专题19.3 一次函数中的规律问题（压轴题专项讲练）-2023-2024学年八年级数学下册压轴题专项讲练系列（人教版）

专题19.3 一次函数中的规律问题 · 典例分析 【典例1】在平面直角坐标系中，直线与y轴交于点，按如图方式作正方形，，，…，，点，，，…，在直线上，点，，，…在x轴上，连接，，…，，则直线的解析式为 ．    【思路点拨】 根据直线和各个正方形，求出点和点的坐标，根据它们的变化规律求出点和的坐标，再由待定系数法求出直线的解析式即可． 【解题过程】 解：当时，， ∴． 又∵四边形是正方形， ∴， ∴的横坐标为1，纵坐标， ∴， ∴的横坐标为， ∴， ∴的横坐标为3，纵坐标， ∴， ∴的横坐标为， ∴， ∴的横坐标为7，纵坐标为， ∴， ∴，， ∴． 设直线的解析式为，将点，， 分别代入，得， 解得：， ∴直线的解析式为 故答案为：． · 学霸必刷 1．（23-24八年级上·河南驻马店·期中）正方形，，，…按如图的方式放置，其中点，，，…和点，，，…分别在直线和x轴上，则点的坐标是（　　） A． B． C． D． 2．（23-24八年级上·安徽合肥·期末）在平面直角坐标系中，直线l：与x轴交于点，如图所示，依次作正方形，正方形，…，正方形，使得点、、、…，在直线l上，点，，，…，在y轴正半轴上，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 3．（22-23八年级下·湖北省直辖县级单位·期末）如图.在平面直角坐标系中，点，，，…在直线上，点，，，…在轴上，，，，…是等腰直角三角形，且.如果点，那么的纵坐标是(    )    A． B． C． D． 4．（23-24八年级下·广西南宁·期中）正方形，，，按图中方式放置，点，，，和点，，，在直线和x轴上，则点的纵坐标是（    ） A． B． C． D． 5．（23-24八年级上·广东深圳·期末）在直角坐标系中，等腰直角三角形、、、…、按如图所示的方式放置，其中点、、、…、均在一次函数的图象上，点、、、…、均在x轴上．若点的坐标为，点的坐标为，则点的坐标为（） A． B． C． D． 6．（22-23八年级下·新疆乌鲁木齐·期末）如图，已知直线：，直线：和点，过点作轴的平行线交直线于点，过点作轴的平行线，交直线于点，过点作轴的平行线，交直线于点，过点作轴的平行线交直线于点，，按此作法进行下去，则点的横坐标为（   ）    A． B． C． D． 7．（22-23八年级下·河南·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线的解析式为，直线的解析式为，直线交轴于点，以为边作第一个等边三角形，交直线于点，过点作轴的平行线交直线于点，以为边作第二个等边三角形△，交直线于点，，顺次这样做下去，第2020个等边三角形的边长为（　　）      A． B． C．4038 D．4040 8．（22-23八年级上·安徽合肥·期中）如图，直线与y轴相交于点，过点作x轴的平行线交直线于点，过点作y轴的平行线交直线于点，再过点作x轴的平行线交直线于点，过点作y轴的平行线交直线于点，…，依此类推，得到直线上的点，，，…，与直线上的点，，，…，则A8B9的长为（　　） A．64 B．128 C．256 D．512 9．（22-23八年级下·山东临沂·期末）如图，已知直线l：与x轴的夹角是30°，过点A（0，1）作y轴的垂线交直线l于点B，过点B作直线l的垂线交y轴于点；过点作y轴的垂线交直线l于点，过点作直线l的垂线交y轴于点……按此作法继续下去，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 10．（2024·山东东营·二模）如图放置的，，都是边长为2的等边三角形，边在轴上，点，，，，都在直线上，则点的坐标是 ． 11．（22-23八年级下·黑龙江鹤岗·期末）如图，已知直线l：y＝x，过点A（0，1）作y轴的垂线交直线l于点B，过点B作直线l的垂线交y轴于点A1，过点A1作y轴的垂线交直线l于点B1，过点B1作直线l的垂线交y轴于点A2；……，按如此作法继续下去，则A2022的坐标为 ． 12．（23-24九年级下·四川内江·阶段练习）如图，已知直线，过点作轴的垂线交直线于点，过点作直线的垂线交轴于点；过点作轴的垂线交直线于，过点作直线的垂线交轴于点；按此作法继续下去，则点的坐标为 ； 13．（22-23八年级下·河北石家庄·期中）如图，已知、、 在直线上，按照如图所示方法分别作等腰面积为，等腰面积为，（其中点都在轴正半轴上，都为顶角，），若，则 ，则 ． 14．（23-24八年级上·广东佛山·期中）在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，且直线与轴相交所成的锐角为，如图所示，在直线上，点，，，在轴正半轴上，依次作正方形，正方形，正方形，正方形，，点，，则只由前个正方形所形成图形的周长和是 ．（用的代数式表示） 15．（22-23八年级上·宁夏银川·期末）如图放置的，，，…都是边长为2的等边三角形，点在轴上，点O，，…都在正比例函数的图象上，则点的坐标是 ． 16．（23-24八年级上·山东济南·期末）如图，直线与轴交于点，与轴交于点，在△内作等边三角形，使它的一边在轴上，一个顶点在边上，作出的第个等边三角形是△，第个等边三角形是△，第3个等边三角形是，…则第2024个等边三角形的边长等于 ． 17．（23-24八年级上·山东济南·期末）平面直角坐标系中，点在直线上，点在轴上，是等腰直角三角形．，如果点，那么的纵坐标是 ． 18．（23-24八年级上·四川成都·阶段练习）如图，在一次无人机表演中，操作者设计了如下程序：无人机从与x轴成角出发，触碰到直线上的点后，与原方向成角折回，再触碰到x轴上的点后，与原方向成角折回，依次进行，当无人机行至时，无人机行驶的路程是 ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题19.3 一次函数中的规律问题 · 典例分析 【典例1】在平面直角坐标系中，直线与y轴交于点，按如图方式作正方形，，，…，，点，，，…，在直线上，点，，，…在x轴上，连接，，…，，则直线的解析式为 ．    【思路点拨】 根据直线和各个正方形，求出点和点的坐标，根据它们的变化规律求出点和的坐标，再由待定系数法求出直线的解析式即可． 【解题过程】 解：当时，， ∴． 又∵四边形是正方形， ∴， ∴的横坐标为1，纵坐标， ∴， ∴的横坐标为， ∴， ∴的横坐标为3，纵坐标， ∴， ∴的横坐标为， ∴， ∴的横坐标为7，纵坐标为， ∴， ∴，， ∴． 设直线的解析式为，将点，， 分别代入，得， 解得：， ∴直线的解析式为 故答案为：． · 学霸必刷 1．（23-24八年级上·河南驻马店·期中）正方形，，，…按如图的方式放置，其中点，，，…和点，，，…分别在直线和x轴上，则点的坐标是（　　） A． B． C． D．  【思路点拨】 根据直线和正方形的性质得出点的坐标，然后再推出点、、的坐标，……点的坐标是，即可得出答案．本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征，通过求出的坐标，找出规律是解题的关键． 【解题过程】 解：直线，当时，， 的坐标为. 四边形为正方形， 的坐标为，的坐标为. 当时，， 的坐标为， 四边形为正方形， 的坐标为，的坐标为. 同理，可知：的坐标为，的坐标为，的坐标为，……， 的坐标为（n为整数）， 点的坐标是. 故选：B. 2．（23-24八年级上·安徽合肥·期末）在平面直角坐标系中，直线l：与x轴交于点，如图所示，依次作正方形，正方形，…，正方形，使得点、、、…，在直线l上，点，，，…，在y轴正半轴上，则点的坐标为（    ） A． B． C． D．  【思路点拨】 本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、正方形的性质及点的坐标的规律，根据点的坐标的变化找出变化规律（为正整数）是解题的关键．根据一次函数图象上点的坐标特征结合正方形的性质可得出点，的坐标，同理可得出、、、…及、、、…的坐标，根据点的坐标变化可找出变化规律为（为正整数），依此规律即可得出结论． 【解题过程】 解：直线l：与x轴交于点， ∴当时，， ∴， ∵为正方形， ∴， 同理可得：，，，…， 、、、… ∴（为正整数）， ∴点的坐标为 故选：A． 3．（22-23八年级下·湖北省直辖县级单位·期末）如图.在平面直角坐标系中，点，，，…在直线上，点，，，…在轴上，，，，…是等腰直角三角形，且.如果点，那么的纵坐标是(    )    A． B． C． D．  【思路点拨】 设点坐标，结合函数解析式，寻找纵坐标规律，进而解题． 【解题过程】 解：如图，    ∵在直线上， ∴， ∴， 设，…，， 则有，，…， 又∵，，3，…都是等腰直角三角形， ∴，，…，， 将点坐标依次代入直线解析式得到： ，，，…，， 又∵， ∴，，，…，， 故选：A． 4．（23-24八年级下·广西南宁·期中）正方形，，，按图中方式放置，点，，，和点，，，在直线和x轴上，则点的纵坐标是（    ） A． B． C． D．  【思路点拨】 本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、正方形的性质以及规律型，解题的关键是利用一次函数图象上点的坐标特征及正方形的性质可得出点，，的坐标，即可根据正方形的性质得出，，的纵坐标，根据点的坐标的变化可找出变化规律：点的纵坐标为，再代入即可得出结论． 【解题过程】 解：如图所示，过点作轴于， 当时，，当时，， ∴点的坐标为，点A的坐标为， ∵四边形为正方形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点的纵坐标与点的纵坐标相同，都为1， 当时，， ∴点的坐标为, 同理，点的纵坐标为2， 同理，可知：点的坐标为， 点的纵坐标为4， ……， ∴点的纵坐标为， ∴点的纵坐标为． 故选：B． 5．（23-24八年级上·广东深圳·期末）在直角坐标系中，等腰直角三角形、、、…、按如图所示的方式放置，其中点、、、…、均在一次函数的图象上，点、、、…、均在x轴上．若点的坐标为，点的坐标为，则点的坐标为（） A． B． C． D．  【思路点拨】 本题考查了一次函数图象上点的坐标特点，涉及到的知识点有待定系数法求一次函数解析式，一次函数图象上点的坐标特征以及等腰直角三角形的性质．解答该题的难点是找出点的坐标的规律．首先，根据等腰直角三角形的性质求得点、的坐标；然后，将点、的坐标代入一次函数解析式，利用待定系数法求得该直线方程是；最后，利用等腰直角三角形的性质推知点的坐标，即可求得点的坐标，找到规律，即可求解； 【解题过程】 解：∵点的坐标为，点的坐标为， ∴，则． ∵是等腰直角三角形，， ∴ 点的坐标是． 同理，在等腰直角中， ，则． ∵点、均在一次函数的图象上， ∴，解得， ∴一次函数的解析式是， ∵点的横坐标相同，都是3，当时，， ∴ ， 同理可得， ∴， 当时，， ∴点的坐标为， 故选C． 6．（22-23八年级下·新疆乌鲁木齐·期末）如图，已知直线：，直线：和点，过点作轴的平行线交直线于点，过点作轴的平行线，交直线于点，过点作轴的平行线，交直线于点，过点作轴的平行线交直线于点，，按此作法进行下去，则点的横坐标为（   ）    A． B． C． D．  【思路点拨】 点，在直线上，得到，求得的纵坐标的纵坐标，得到，即的横坐标为，同理，的横坐标为，的横坐标为，的横坐标为，的横坐标为，的横坐标为，的横坐标为，的横坐标为，，求得的横坐标为，于是得到结论． 【解题过程】 解：∵过点作轴的平行线交直线于点， ∴在直线上， ∴， ∵轴， ∴的纵坐标的纵坐标， ∵在直线上， ∴， ∴， ∴，即的横坐标为， ∵轴， ∴的横坐标为，且在直线上， ∴， ∴， ∵轴， ∴的纵坐标的纵坐标，且在直线上， ∴， ∴， ∴，即的横坐标为， ∵轴， ∴的横坐标为，且在直线上， 即：的横坐标为， 的横坐标为，的横坐标为， 的横坐标为，的横坐标为， 用同样的方法可得： 的横坐标为，的横坐标为， 的横坐标为，的横坐标为， ， ∴的横坐标为， ∴的横坐标为，的横坐标为， ∴的横坐标为，的横坐标为． 故选：B． 7．（22-23八年级下·河南·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线的解析式为，直线的解析式为，直线交轴于点，以为边作第一个等边三角形，交直线于点，过点作轴的平行线交直线于点，以为边作第二个等边三角形△，交直线于点，，顺次这样做下去，第2020个等边三角形的边长为（　　）      A． B． C．4038 D．4040  【思路点拨】 延长交轴于，交轴于，根据等边三角形的性质得，，，直线的解析式为，得，由直线的解析式得第一个等边三角形边长为1，解得，，把代入求得的纵坐标，即可求得第二个等边三角形的边长，从而找出规律，按照此规律即可求得第2020个等边三角形的边长． 【解题过程】 解：延长交轴于，延长交轴于，    ，，均为等边三角形， ，，， 直线的解析式为：， ， 对于直线，，当时，， 点的坐标为， ， 在中，，， ，， 点的坐标为， 对于，当时，， 点的坐标为， ， ， ， 在中，，， ，， 点的坐标为， 对于，当时，， ， ， 同理得：，， 以此类推，第个等边三角形的边长为， 第2020个等边三角形的边长为． 故选：A． 8．（22-23八年级上·安徽合肥·期中）如图，直线与y轴相交于点，过点作x轴的平行线交直线于点，过点作y轴的平行线交直线于点，再过点作x轴的平行线交直线于点，过点作y轴的平行线交直线于点，…，依此类推，得到直线上的点，，，…，与直线上的点，，，…，则A8B9的长为（　　） A．64 B．128 C．256 D．512  【思路点拨】 此题考查了一次函数规律探索问题，涉及的知识有：一次函数的性质，以及坐标与图形性质，对于直线，令求出y的值，确定出纵坐标，即为的纵坐标，代入直线中求出的横坐标，即可求出的长，由与的横坐标相等得出的横坐标，代入求出纵坐标，即为的纵坐标，代入直线中求出B2的横坐标，即可求出的长，同理求出，，…，归纳总结即可得到的长．弄清题中的规律是解本题的关键． 【解题过程】 解：对于直线，令，求出， ， 轴， 的纵坐标为2， 将代入中得：， ， ， 轴， 的横坐标为2， 将代入直线中得：， ， 与的纵坐标为4， 将代入中得：， ， ， 同理，…，， 则的长为． 故选：D． 9．（22-23八年级下·山东临沂·期末）如图，已知直线l：与x轴的夹角是30°，过点A（0，1）作y轴的垂线交直线l于点B，过点B作直线l的垂线交y轴于点；过点作y轴的垂线交直线l于点，过点作直线l的垂线交y轴于点……按此作法继续下去，则点的坐标为（    ） A． B． C． D．  【思路点拨】 根据所给直线解析式可得l与x轴的夹角，进而根据所给条件依次得到点的坐标，通过相应规律得到坐标即可． 【解题过程】 解：∵与x轴的夹角是30°， ∴∠ABO＝30°， ∵A（0，1），AB⊥y轴， 当y＝1时，代入上式得：x＝， 即AB＝，AO＝1， ∴OB＝2，B（，1）， ∵⊥l， ∴＝4， ∴（0，4），（4，4）， 同理可得，...，， ∴， 故选：A． 10．（2024·山东东营·二模）如图放置的，，都是边长为2的等边三角形，边在轴上，点，，，，都在直线上，则点的坐标是 ．  【思路点拨】 本题主要考查正比例函数图像上点的变化特征．先求出的长度，再用勾股定理求出的坐标，根据和的位置关系即可求出的坐标． 【解题过程】 解：∵，，都是边长为2的等边三角形， ∴，，， ∴， ∴， 设，则 则， 解得， ， ，即， 故答案为：． 11．（22-23八年级下·黑龙江鹤岗·期末）如图，已知直线l：y＝x，过点A（0，1）作y轴的垂线交直线l于点B，过点B作直线l的垂线交y轴于点A1，过点A1作y轴的垂线交直线l于点B1，过点B1作直线l的垂线交y轴于点A2；……，按如此作法继续下去，则A2022的坐标为 ．  【思路点拨】 根据所给直线解析式可得l与x轴的夹角，进而根据所给条件依次得到点，的坐标，通过相应规律得到纵坐标即可． 【解题过程】 解：∵直线的解析式为：， ∴与x轴的夹角45°． ∵轴， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴（0，2）， 同理可得（0，4），（0，8）， …， ∴纵坐标为：2n， ∴纵坐标为：22022， ∴（0，22022）． 故答案为：（0，22022）． 12．（23-24九年级下·四川内江·阶段练习）如图，已知直线，过点作轴的垂线交直线于点，过点作直线的垂线交轴于点；过点作轴的垂线交直线于，过点作直线的垂线交轴于点；按此作法继续下去，则点的坐标为 ；  【思路点拨】 本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，直角三角形角所对的直角边等于斜边的一半的性质，根据直线l的解析式求出，从而得到，根据直角三角形角所对的直角边等于斜边的一半求出然后表示出与的关系，再根据点在x轴上写出坐标即可． 【解题过程】 解：∵直线l的解析式是， ∴，． ∵，轴，点N在直线上， ∴，， ∴． 又∵，即， ∴，． 同理，， ， … ． ∴点的坐标是． 故答案是：． 13．（22-23八年级下·河北石家庄·期中）如图，已知、、 在直线上，按照如图所示方法分别作等腰面积为，等腰面积为，（其中点都在轴正半轴上，都为顶角，），若，则 ，则 ．  【思路点拨】 关键一次函数图像上点的坐标特征，得到的纵坐标，然后根据三角形面积公式求出三角形的面积，得到变化规律进行求解． 【解题过程】 解：∵、、，…，在直线上， ∴ ，，，，…，； 又∵， 故 ∴； ； ； ； … ∴Sn（n为奇数），（n为偶数）， ∴ ． 故答案是：1；675． 14．（23-24八年级上·广东佛山·期中）在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，且直线与轴相交所成的锐角为，如图所示，在直线上，点，，，在轴正半轴上，依次作正方形，正方形，正方形，正方形，，点，，则只由前个正方形所形成图形的周长和是 ．（用的代数式表示）  【思路点拨】 本题考查了一次函数图像上点的坐标特征，等腰直角三角形的性质，正方形的性质，根据图形，分别算出正方形，正方形，正方形，找到规律，即可求解，根据图形，找到规律是解题的关键． 【解题过程】 解：∵点， ∴， ∴正方形的周长为； ∵直线与轴相交所成的锐角为， ∴， ∴正方形的周长为； ∴， ∴正方形的周长为； ∴第个正方形的周长为； ∴前个正方形所形成图形的周长和为：， 设， 则， ∴得，， ∴， 故答案为：． 15．（22-23八年级上·宁夏银川·期末）如图放置的，，，…都是边长为2的等边三角形，点在轴上，点O，，…都在正比例函数的图象上，则点的坐标是 ．  【思路点拨】 本题主要考查了与一次函数有关的规律探索，等边三角形的性质，勾股定理等等，过点作于C，过点作于D，通过勾股定理和等边三角形的性质求出，则，进而利用待定系数法求出正比例函数解析式为，通过求出点的纵坐标为，点的纵坐标为，以此类推，可知点的纵坐标为，进而求出点的纵坐标，再代入正比例解析式中求解即可． 【解题过程】 解：如图所示，过点作于C，过点作于D， ∵是边长为2的等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴正比例函数解析式为 同理可得， 由等边三角形的性质可得， ∴， ∴点的纵坐标为， 点的纵坐标为， ……， 以此类推，可知点的纵坐标为， ∴点的纵坐标为， 在中，当时，， ∴点的坐标是， 故答案为：． 16．（23-24八年级上·山东济南·期末）如图，直线与轴交于点，与轴交于点，在△内作等边三角形，使它的一边在轴上，一个顶点在边上，作出的第个等边三角形是△，第个等边三角形是△，第3个等边三角形是，…则第2024个等边三角形的边长等于 ．  【思路点拨】 本题考查了一次函数与坐标轴的交点、等边三角形的性质、含30度角直角三角形的性质、勾股定理和规律推理．过点作轴于点D，由直线求出，，从而得到和的长度，然后根据含30度角直角三角形的性质得出，从而求出，再根据勾股定理得出，从而得到，，，依此类推，第n个等边三角形的边长等于，据此即可求解． 【解题过程】 解：如图，过点作轴于点D， ∵直线与x、y轴交于B、C两点， ∴当时，，当时，， ∴点，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴, ∴第1个等边三角形的边长， 同理：第2个等边三角形的边长， 第3个等边三角形的边长， ……， 由此发现：第n个等边三角形的边长等于， ∴第2024个等边三角形的边长等于． 故答案为：． 17．（23-24八年级上·山东济南·期末）平面直角坐标系中，点在直线上，点在轴上，是等腰直角三角形．，如果点，那么的纵坐标是 ．  【思路点拨】 过点作轴于，过点作轴于，过点作轴于，设，，分别求出点的坐标为，点的坐标为，由点在直线上得出该直线的表达式为：，由点在直线上，得出，再由点在直线上，得出，代入求出的值即可． 【解题过程】 解：如图，过点作轴于，过点作轴于，过点作轴于， ， 设，， 点， ， 为等腰直角三角形，且， ， 同理可得：，，， ，， 点的坐标为，点的坐标为， 点在直线上， ， 解得：， 该直线的表达式为：， 点在直线上， ， 解得：， 点在直线上， ， 整理得：， 将代入得：， 点的纵坐标为， 故答案为：． 18．（23-24八年级上·四川成都·阶段练习）如图，在一次无人机表演中，操作者设计了如下程序：无人机从与x轴成角出发，触碰到直线上的点后，与原方向成角折回，再触碰到x轴上的点后，与原方向成角折回，依次进行，当无人机行至时，无人机行驶的路程是 ．  【思路点拨】 本题考查了一次函数与几何的综合，解题的关键是找出等边三角形边长的递变规律． 先由直线方程求得直线与x轴的夹角，再证明无人机行驶的轨迹是若干个等边三角形，且每后一个等边三角形是前一个等边三角形边长的2倍，最后利用巧算法求得无人机行驶的总路程． 【解题过程】 解：如图，在直线上任取一点P，作轴，垂足为点Q，取的中点M． 设，即， 在中，， ∴， ∵点M是斜边的中点， ∴ ∴是等边三角形． ∴， ∴ 即． 由与x轴成角出发，即， ∴， 依题意， ∴是等边三角形． 同理：（n为正整数）均为等边三角形． 由与，得， ∴．则 由可得， ∴． 所以每后一个等边三角形的边长是前一个等边三角形边长的2倍． ∴ 设 则 两式相减得：． 故答案为：． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 6 学科网（北京）股份有限公司 $$