专题19.2 一次函数图象与坐标轴的交点问题（压轴题专项讲练）-2023-2024学年八年级数学下册压轴题专项讲练系列（人教版）

专题19.2 一次函数图象与坐标轴的交点问题 · 典例分析 【典例1】如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数分别与x轴、y轴交于A、B两点，过点B作交x轴于点C． （1）求点C的坐标； （2）点D为直线上一点，且，求直线的解析式； （3）若点是轴上一点，连接，将沿着所在直线折叠，当点落在轴上时，求点的坐标． 【思路点拨】 （1）设，，由直线分别交轴、轴于点，可得，，利用面积法即可求解； （2）过点作轴于，由得，根据等腰三角形的性质得，则，点，利用待定系数法即可得直线的解析式； （3）分点落在轴负半轴和轴正半轴上两种情况分类讨论，利用折叠的性质以及勾股定理求解即可． 【解题过程】 （1）解：设，， 直线分别交轴、轴于点，， ，， ，，，，， ， ，解得， ∴点C的坐标为； （2）解：过点作轴于， ， ， ， ，， ∴， 点为直线上一点， ∴点的坐标为， 设直线的解析式为， ，解得， 直线的解析式为； （3）解：设点的坐标为． 将沿着所在直线折叠，当点落在轴负半轴上时，设点落在轴负半轴的点处，如图所示： 根据折叠的性质可得：，，， ， ， 在中，， ，解得， 点的坐标为； 将沿着所在直线折叠，当点落在轴正半轴上时，设点落在轴正半轴的点处，如图所示： 根据折叠的性质可得：，，， ， ， 在中，， ，解得， 点的坐标为； 综上，点的坐标为或． · 学霸必刷 1．（23-24八年级下·山东济南·期中）如图，一次函数的图象分别与x轴和y轴相交于A、C两点，且与正比例函数的图象交于点． （1）求m，n的值； （2）当时，直接写出自变量x的取值范围； （3）在y轴上找一点P，使的值最小，求点P的坐标．  【思路点拨】 （1）先把点代入求得，再把点代入求n得值即可； （2）根据图象求解即可； （3）作点A关于y轴的对称点，连接，交y轴于点P，此时，的值最小，利用待定系数法全等直线的解析式，令，求得y的值即可． 【解题过程】 （1）解：把点代入得，， ∴， 把点代入得，， 解得； （2）解：由图可得，当时，； （3）解：如图，过点A作关于y轴的对称点，连接，交y轴于点P， 把代入得，， 解得， ∴， 由对称的性质可得， ，， ∴， ∴当点A、P、B三点共线时，的值最小， 设直线的解析式为， 把、代入得， ， 解得， ∴直线的表达式为， 把代入得，， ∴． 2．（23-24八年级上·江苏盐城·阶段练习）如图所示，已知点，，，，过、两点的直线的函数表达式为，动点从现在的位置出发，沿轴以每秒个单位长度的速度向上移动，设移动时间为． （1）若直线随点向上平移，则： ①当时，求直线的函数表达式． ②当点，位于直线的异侧时，确定的取值范围． （2）当点移动到某一位置时，的周长最小，试确定的值．  【思路点拨】 （1）①设平移后的函数表达式为，其中，即可求解； ②当直线过点时，将点的坐标代入可得；当直线过点时可得，即可求解； （2）作点关于轴的对称点，连接交轴于点，则点为所求点，即可求解． 【解题过程】 （1）解：（1）①∵过、两点的直线的函数表达式为，，， 动点从现在的位置出发，沿轴以每秒个单位长度的速度向上移动，设移动时间为，设平移后的函数表达式为， 当时，， ∴此时， ∴， ∴， 当时，直线的函数表达式为； ②当直线：过点时， 得：， 解得：， 当直线：过点时， 得：， 解得：， ∴当点，位于直线的异侧时，的取值范围为； （2）作点关于轴的对称点，连接交轴于点， ∴，， ∴的周长：， 此为的周长的最小值， 则点即为所求点， 设直线的表达式为，过点，， ∴， 解得：， ∴直线的表达式为， 当时，， ∴点， ∴， ∴的值为秒． 3．（23-24八年级下·陕西商洛·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，直线的函数解析式为，与x轴，y轴分别交于点A，点B，直线的函数解析式为，与x轴，y轴分别交于点，点D，直线与交于点E，已知点E的横坐标为． （1）求直线的函数解析式； （2）若直线上存在点P，使得，请求出点P的坐标； （3）已知M是线段上的动点，过点M作直线平行于y轴，交直线于点N，过点M作y轴的垂线，交y轴于点Q，是否存在点M，使的两条直角边之比为？若存在，请求出满足条件的所有点M的坐标；若不存在，请说明理由．  【思路点拨】 本题主要考查了一次函数与三角形综合，解题的关键是掌握一次函数性质，运用分类讨论思想解答； （1）将点的横坐标，代入求得点E的坐标为，再利用待定系数法求得直线的函数表达式； （2）根据，解出或，将其代入即可解答； （3）设点，则，，表示出，，分两种情况：①当时，②当时，分别进行计算即可解答； 【解题过程】 （1）解：对于，当时，． 所以点E的坐标为． 将，代入， 得， 解得． ∴直线的函数表达式为； （2）解：∵， ∴， 解得或． 当时，， 解得； 当时，， 解得． ∴点P的坐标为或； （3）解：存在． 设点，则，． 所以，． 分两种情况： ①当时，， 解得或（舍去）． 所以点M的坐标为； ②当时，， 解得或（舍去）． 所以点M的坐标为． 综上，满足条件的所有点M的坐标为或． 4．（22-23八年级下·重庆涪陵·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线：与x轴、y轴分别交于点A，B，直线交x轴、y轴分别于点，，直线与直线交于点E，连接．    （1）求直线的解析式； （2）求的面积； （3）连接，若点P是x轴上一动点，连接，当为等腰三角形时，请直接写出点P的坐标．  【思路点拨】 （1）用待定系数法求出直线解析式解题； （2）先解方程组得到点E的坐标，然后求出点A、B的坐标，运用解题即可； （3）分三种情况分类讨论解题即可． 【解题过程】 （1）解：设直线的解析式为：， 把点，代入得： ，解得， ∴直线的解析式为； （2）解方程组得， ∴点E的坐标为， 令，则， 解得， ∴点A得坐标为， 当时，， ∴点B得坐标为， ∴ ； （3）解：如图所示，当时，    由等腰三角形的对称性可得； 如图所示，当时， ， 或；    如图所示，当时， 设，则， 在中， 即， 解得， ∴，    综上所述，点P的坐标为：，，或 5．（22-23八年级下·福建龙岩·期末）直线与轴、轴分别交于点，无论取何值，直线经过定点． （1）请直接写出定点的坐标； （2）定义：在平面直角坐标系中，将点变换为（为常数），我们把这种变换称为“兔变换”，当时，点，经过“兔变换”后的对应点分别是，若轴，点在轴上，求； （3）在（2）的条件下，点在轴上，连接，若，求点的坐标．  【思路点拨】 （1）将直线化为，即可得到答案； （2）由点经过“兔变换”后对应的点为，可求出的值，再求出的坐标，最后根据三角形的面积公式计算即可； （3）先求出点的坐标，设，则，再由，得到，进行计算即可得到答案． 【解题过程】 （1）解： ， 出定点的坐标为； （2）解：当时，， 当时，， ， 点经过“兔变换”后对应的点为， ， 解得：， 点经过“兔变换”后的对应点为，点经过“兔变换”后的对应点为， ， ， ， ， 点在轴上， ， ，， ， 画出草图如图所示： ， ； （3）解：由（2）得，， 当时，， 解得：， ， 点在轴上， 设， 画出草图如图所示： ， ， 由（1）得， ， ， ， 解得：或， 点的坐标为或． 6．（22-23八年级上·广东佛山·期中）如图，直线l上与x轴、y轴分别交于A、B两点，于点M，点P为直线l上不与点A、B重合的一个动点． （1）点A坐标为（　　）；点B坐标为（　　）；线段的长为________． （2）当的面积是6时，求点P的坐标； （3）在y轴上是否存在点Q，使得以O、P、Q为顶点的三角形与全等，若存在，请直接写出所有符合条件的点P的坐标，否则，说明理由．  【思路点拨】 （1）根据一次函数图像的性质，通过列一元一次方程并求解，即可得到点A和点B坐标；通过勾股定理的性质计算，得，结合三角形面积公式的性质计算，即可得到答案； （2）点P的坐标为，通过列方程并求解，再结合一次函数的性质计算，即可得到答案； （3）设点P的坐标为，结合题意，分，，三种情况分析；根据全等三角形、一元一次方程、直角坐标系的性质计算，即可得到答案． 【解题过程】 （1）当时， ∴ ∴点A坐标为：，； 当时， ∴点B坐标为：，； ∴ ∵ ∴ 故答案为：，，； （2）设点P的坐标为 ∵的面积是6时 ∴ ∴ ∴点P的坐标为或； （3）设点P的坐标为 ∵以O、P、Q为顶点的三角形与全等，且 ∴分，，三种情况分析； ∵点Q在y轴上，点P为直线l上不与点A、B重合的一个动点 ∴不成立； 当时，如下图： ∵，， ∴当成立时，得：或 当时，得； ∴或 ∴点P的坐标为或 当时，得 ∴点P的坐标为或； 当时，如下图： ∵的直角边 的斜边 ∵，即和矛盾 ∴不成立； ∴在y轴上存在点Q，使得以O、P、Q为顶点的三角形与全等，点P的坐标为：或或或． 7．（23-24八年级下·辽宁大连·期中）定义：在平面直角坐标系中，我们称直线，为常数）是点的关联直线，点是直线的关联点；特别地，当时，直线的关联点为． 如图，直线与轴交于点，与轴交于点． 【定义辨析】 （1）直线的关联点的坐标是（   ） A．    B．    C．    D． 【定义延伸】 （2）点的关联直线与直线交于点，求点的坐标；； 【定义应用】 （3）点的关联直线与轴交于点，，求的值．  【思路点拨】 （1）根据题中所给新定义可直接进行求解； （2）求出点的坐标为，根据题中所给新定义可得点的关联直线为，联立直线即可求解； （3）根据题中所给新定义可得点的关联直线为，则点，分两种情况：①当点在直线左侧时，②当点在直线右侧时，分别求解即可． 【解题过程】 解：（1）直线，为常数），点是直线的关联点， 直线的关联点的坐标是， 故答案为：D； （2）直线，当时，，解得， 点的坐标为， 直线，为常数）是点的关联直线， 点的关联直线为， 联立得，解得， 的坐标为； （3）点的关联直线为， 当时，， 点的坐标为， 当时，， 点的坐标为， ①如图1，当点在直线左侧时，过点作，交直线于点，过点作垂直轴于点． ， ， ， ， ， ， ，， 是等腰直角三角形， ， ， ， ，， 的坐标为， 把点代入得，； ②如图2，当点在直线右侧时， 同理可证， ，， 点的坐标为 把点代入得，， 综上所述，的值为或． 8．（23-24八年级下·云南昆明·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴，y轴分别交于点，经过点C的直线与x轴交于点． （1）求直线的解析式； （2）点G是线段上一动点，连接，若把分成两个三角形，且满足，求点G的坐标； （3）已知D为的中点，点E是平面内一点，当是以为直角边的等腰直角三角形时，直接写出点E的坐标．  【思路点拨】 （1）根据题意，求得点C的坐标，结合B的坐标，利用待定系数法求解析式即可； （2）求出，设，根据得到，根据三角形的面积即可求得的值，进而求得G点的坐标； （3）分类讨论：①当点D为直角顶点时，②当点C为直角顶点时，根据等腰直角三角形以及全等三角形的性质即可求解． 【解题过程】 （1）解：∵直线与x轴，y轴分别交于点， ∴令，则，解得， 令，则， ∴，， 设直线的解析式为， ∵直线过点，， ，解得， ∴直线的解析式为， （2）解：如图， ∵，，， ，， ， 设， 当，即时， 由可得， ， ； （3）解：，D为的中点， ∴， ①当点D为直角顶点时，如图，过点D作轴于点F，过点E作于点G，交x轴于点H ， 是等腰直角三角形， ，， ， ∴ ， ，， ∵，， ， ， ， ， ， ， 同理可得 ， ∴点E的坐标为或 ②当点C为直角顶点时，如图，过点作轴于，过点E作轴于， 同①可得， ，， ∵，， ，，， ， ， 同理可得． 综上所述，点E的坐标为或或或． 9．（23-24八年级下·湖北荆门·阶段练习）如图，直线分别与轴交于两点，点的坐标为，过点的直线交轴正半轴于点，且． （1）直接写出两点的坐标； （2）在轴上方是否存在点，使以点为顶点的三角形与全等？若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由； （3）点是轴上的一点，连接，将沿直线翻折，当点的对应点恰好落在轴上时，求此时直线的函数表达式．  【思路点拨】 （1）由直线过点，利用一次函数图象上点的坐标特征可求出的值，进而可得出点的坐标及的长度，结合，可求出点的坐标； （2）分和两种情况解答即可求解； （3）设，则或，在中，利用勾股定理可得出关于的方程，解之得到点的坐标，再利用待定系数法即可求出； 本题考查了待定系数法求函数解析式，坐标与图形，勾股定理，折叠的性质，全等三角形的性质，运用分类思想是解题的关键． 【解题过程】 （1）解：直线过点， ∴， ∴， 当时，， ∴点的坐标为，即， ∵， ∴， ∵点在轴正半轴， ∴点的坐标为； （2）解：分和两种情况考虑，如图， 当时， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴点的坐标为； 当时，，， ∴， ∴点的坐标为； 综上所述，点的坐标为或； （3）解：依照题意画出图形，如图所示， 由翻折得，，， ∵，， ∴， ∴或， ∴设，则或， 在中，， ∴ ， 即或， 解得或， ∴点的坐标为或， 设直线的函数表达式为， ∴或， 解得或， ∴直线的函数表达式为或． 10．（23-24八年级上·浙江绍兴·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴和y轴分别交于点B，C，与直线相交于点A． （1）求点A的坐标及的面积． （2）在线段上有一动点P，过点P作平行于y轴的直线与直线交于点D，问在y轴上是否存在点H，使得是以P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，请求出满足条件的点H的坐标；若不存在，请说明理由． （3）过点A作y轴的垂线，垂足为E，在y轴上找点M，使，请直接写出点M的坐标．  【思路点拨】 本题考查一次函数的综合应用，等腰三角形的性质，三角形全等的判定及性质． （1）解由两条直线解析式组成的方程组，即可得到点A的坐标，把代入中，求得点B的坐标，根据三角形的面积公式即可得到的面积； （2）设，则，则，，由等腰得到，即，求解即可解答； （3）分两种情况：①若点M在点E的下方．过点B作与AM的延长线交于点N．证明是等腰直角三角形，得到．过点N作轴于点F，过点A作轴于点G．易证，得到，，进而得到．通过待定系数法求出直线的解析式，令，即可取得点M的坐标．②若点M在点E的上方，根据对称性即可求解． 【解题过程】 （1）解方程组，得． ∴点A的坐标为． 把代入得， 解得：， ∴点B的坐标为， ∴， ∴； （2）存在． 如图， 设，则． ∴． ∵轴． ∴． ∵是以P为直角顶点的等腰直角三角形． ∴． ∴． ∴． ∴． （3）或． 分两种情况： ①若点M在点E的下方， 如图，过点B作与AM的延长线交于点N． ∵，轴， ∴，， ∴， ∵． ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 过点N作轴于点F，过点A作轴于点G． ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． ∴，． ∵，． ∴，． ∴． ∴． 设直线解析式为， ∵直线经过点，， ∴，解得：， ∴直线解析式为， 令，得． ∴点M的坐标为． ②若点M在点E的上方， 如图， 由对称性可知． 综上所述：或． 11．（23-24九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）在平面直角坐标系中，点为坐标原点，直线交轴的正半轴于点，交轴的正半轴于点． （1）求的度数： （2）如图1，点在上，点在的延长线上，且，连接交于点，求证：； （3）如图2，在（2）的条件下，点在轴的负半轴上，，点在的延长线上，连接，，，若，且，求线段的长．  【思路点拨】 （1）先求出，，得到，即可求出； （2）过点作于，交于点，得到，证明，得到，进而证明，即可证明； （3）过点作于，于，过点作于点，设，得到，进而证明，再证明，得到，得到，，设， 从而得到，，，证明为的中位线，得到，根据，解得，得到，，过点作于点，得到，根据勾股定理求出． 【解题过程】 （1）解：令，则，令，则，解得， ∴，， ∴， ∵， （2）解：如图，过点作于，交于点， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵ ∴， 又∵， ， ； （3）解：如图，过点作于，于，过点作于点， 设， ∵， ， ∵，， ，， ， ∵， ，， ， ∴ ， ∵， ， ， ∴， ∴， ∵，，， ， ，， 设， ， ， ，， ， ， ， 在中，，， 为的中位线， ， ，解得， ，， 过点作于点， ∵， ， 在中，勾股得． 12．（22-23八年级上·山东济南·期末）综合与探究： 如图1，平面直角坐标系中，一次函数图像分别交轴、轴于点、，一次函数的图像经过点，并与轴交于点，点是直线上的一个动点． （1）求直线的表达式与点的坐标； （2）如图2，过点作轴的垂线，交直线于点，垂足为点，试探究直线上是否存在点，使？若存在，求出点的坐标，说明理由． （3）试探究轴上是否存在点，使以，，为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请求出M点的坐标，若不存在，请说明理由．  【思路点拨】 （1）分别求出，，再确定函数解析式即可； （2）设，则，则，再求，由题意可得，即可求点坐标； （3）分三种情况：①当以为等腰三角形的顶点时，；②当以为等腰三角形的顶点时，，则点与点关于轴对称；③当以为等腰三角形的顶点时，，设，由，即可求解． 【解题过程】 （1）解：∵一次函数图象分别交轴、轴于点、， 当时，则，得：， 当时，得：， ∴，， ∵一次函数的图像经过点， ∴， ∴直线的表达式为：， 当时，则，得：， ∴点的坐标为； （2）存在，理由如下： 设，则， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴或， ∴点的坐标为或； （3）存在，理由如下： ∵，， ∴，， ∴， ①当以为等腰三角形的顶点时， ∴， ∴点的坐标为或； ②当以为等腰三角形的顶点时， ∴， ∴点与点关于轴对称， ∴点的坐标为； ③当以为等腰三角形的顶点时， ∴， 设， ∴， ∴， 解得：， ∴点的坐标为； 综上所述，点的坐标为或或或． 13．（23-24八年级上·重庆大渡口·期中）如图，直线交x轴和y轴于点A和点B，点在y轴上，连接． （1）求直线的解析式； （2）若点P是直线上一点，若的面积为3，求点P的坐标； （3）在x轴上是否存在一点D，使得是等腰三角形，若存在，请直接写出点D坐标，若不存在，请说明理由．  【思路点拨】 （1）根据直线与坐标轴的交点求出点A坐标，再利用待定系数法求解； （2）首先求出点B坐标，再设点，由，即可求解； （3）首先根据点的坐标求出，再分，，，四种情况，画出图形，结合等腰三角形的定义和勾股定理求解即可． 【解题过程】 （1）解：交轴于点， 当时，解得， ， 设直线的解析式为，将，代入， 则，解得：， ∴直线的解析式为：； （2）解：在中，当时，则； ∴； 设点，如图，连接， 则， 解得， 故点或； （3）解：∵，， ∴； 当时， ∴； 当时， ∴； 当时， ∵， ∴， ∴； 当时， 设，则， 在中，， 即， 解得：，即， ∴； 综上：点D坐标为，，，． 14．（22-23八年级上·辽宁沈阳·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点，与y轴交于点，点为y轴上一动点（动点与点不重合），点是点关于直线的对称点，连接．    （1）求点、的坐标； （2）求线段的长度； （3）当点的坐标是时，请直接写出点的坐标； （4）当点在x轴上时，请直接写出点的坐标．  【思路点拨】 （1）分别令，即可； （2）先根据勾股定理求出，再根据对称性即可得； （3）先根据点 得出为等腰直角三角形， 可得轴，，由此即可得出点 ； （4）分类讨论：点可能在右侧，也可能在左侧．根据中点坐标公式，确定中点，待定系数法确定直线的函数表达式，令横坐标为0，即可求出点坐标． 【解题过程】 （1）解：在中， 令，则， ， 令，则， ， ， （2）在中，根据勾股定理，得：， ， ， 点是点关于直线的对称点， ， （3）如图，过点作轴，    的坐标是， ， ， ， ， 轴， 点是点关于直线的对称点， ， ． （4）分两种情况讨论：点可能在右侧，也可能在左侧． 当点在右侧时： 如图，连接，中点记为点，连接交y轴于点，    ， ， 为中点， ， 设直线函数表达式为， 将， 代入，得：， 解得：， 直线函数表达式为， 令，则， ； 当点在左侧时： 如图，连接，中点记为点，连接交y轴于点，    ， ， 为中点， ， 设直线函数表达式为， 将， 代入，得：， 解得：， 直线函数表达式为， 令，则， ． 综上所述：点的坐标为或． 15．（22-23八年级下·福建泉州·阶段练习）如图1，已知函数与x轴交于点A，与y轴交于点B，点C与点A关于y轴对称． （1）请写出点A坐标 　 　，点B坐标 　 　，直线的函数解析式 　 　； （2）设点是轴上的一个动点，过点作轴的平行线，交直线于点，交直线于点． ①若的面积为，求点的坐标； ②点在线段上，连接，如图，若，直接写出的坐标．  【思路点拨】 （1）先确定出点坐标和点A坐标，进而求出点坐标，最后用待定系数法求出直线解析式； （2）①先表示出，最后用三角形面积公式即可得出结论； ②分点在轴左侧和右侧，由对称得出，，所以，当即可，利用勾股定理建立方程即可，即可求解． 【解题过程】 （1）解：对于， 由得：， ∴． 由得： ，解得， ∴， ∵点与点关于轴对称． ∴，， 设直线的函数解析式为， ∴，解得， ∴直线的函数解析式为， 故答案为： ，，； （2）解：①设点，，则点， ，点， ， 过点作与点， 则|，， 则的面积，解得， 故点的坐标为 ， 或 ， ； ②如图，当点在轴的左侧时， ∵点与点A关于轴对称， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设，则， ， ∴， ，， ∴， 解得：， ∴ ， ， 如图，当点在轴的右侧时， 同理可得 ， ， 综上，点的坐标为 ， 或 ， ． 16．（22-23八年级上·四川成都·期末）如图，直线与x轴、y轴分别交于点A和点B，点C在线段上，将沿所在直线折叠后，点A恰好落在y轴上点D处，若，． （1）求直线的解析式． （2）求的值． （3）直线CD上是否存在点P使得，若存在，请直接写出P的坐标．  【思路点拨】 （1）根据勾股定理可得，设，解方程求出点B的坐标，进而求出直线的解析式； （2）设，根据勾股定理可以求出长，进而求出三角形的面积比； （3）分点P在第三象限内和第一象限内两种情况解题即可． 【解题过程】 （1）由题知，设，则． 在中，， 即：， ， ∴， 又， ∴． （2）设，则， 由折叠性质知：． 在中：， ∴， ∴． ∴， ∴，， ∴． （3），，理由如下： 如图，当点P在第三象限内时，过C作于M，过M作轴，轴于E，F， 则,， 又∵ ∴ ∴， ∵轴，轴 ∴为正方形 ∴， ∴) ∴直线解析式为：， ∵两点坐标为： ∴直线解析式为：， 联立解得：， ∴ 如图，当点P在第一象限内时，过C作于M，过M作轴，轴于E，F， 则,， 又∵ ∴ ∴， ∵轴，轴 ∴为正方形 ∴， ∴) ∴直线解析式为：， ∵两点坐标为： ∴直线解析式为：， 联立解得：， ∴ 综上所述，或 17．（23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）在平面直角坐标系中，点为坐标原点，直线交轴的负半轴于点，交轴的正半轴于点． （1）求点的坐标； （2）如图1，直线交轴的正半轴于点，交于点，连接，设的面积为，求与的函数解析式； （3）如图2，在（2）的条件下，点在的延长线上，连接，若，，求点的坐标．  【思路点拨】 （1）由题意得出，待定系数法求出直线解析式，令，则，即可得解； （2）求出，得到，，从而得出，再由，计算即可得出； （3）求出，作交于，轴于，证明得出，求出直线的解析式为，得出，作交轴于，证明平分，作于，由角平分线的性质定理得出，待定系数法求出直线的解析式为，得出，由勾股定理得出，由，得出，求出的值，取符合题意的的值即可得解． 【解题过程】 （1）解：， ， 将代入直线得：， 解得：， 直线解析式为， 令，则， ； （2）解：在中，令，则， ， ， 在中，令，则， 解得：， ， ， ， ； （3）解：，， ， 如图，作交于，轴于， ， 则为等腰直角三角形，，， ， ， ， ， ，， ， ， 设直线的解析式为， 将，代入解析式得， 解得：， 直线的解析式为， 令，则， 解得：， ， ， 作交轴于， ， ， ， 平分， 作于， ， ，直线解析式为， 设直线的解析式为， 将代入得：， 直线的解析式为， 令，则， 解得：， ， ， 在中，由勾股定理得，， ，， ， 整理得：， 解得：或或， 点在轴正半轴， ， ， ，经检验，是原分式方程的根， 当时，， ． 18．（22-23八年级下·福建福州·期中）直线交轴于点，交轴于点． （1）如图1，若，则点坐标为______，点坐标为______； （2）如图2，若直线：交于点，点的横坐标为，求的值； （3）当时，若点为轴上的一点，，求点坐标．  【思路点拨】 （1）将，，分别代入求解即可； （2）求得、坐标，过点作轴，交轴于点，交于点，即点的纵坐标与点相同，可求得的横坐标，过点作轴于点，过点作轴于点，过点作轴于点，通过证明，将转化成求解即可； （3）过点作于点，由已知可得是等腰直角三角形，则，过点作轴于点，过点作于点，设，，画出点在点的左侧或右侧的图形，分类讨论，得到与的等量关系建立方程组，求得的坐标，再利用待定系数法求得直线的解析式，令即可求解． 【解题过程】 （1）解：当，时，则， ， 当，时，则， 解得：， ， 故答案为：，； （2）解：如图，过点作轴，交轴于点，交于点；过点作轴于点，过点作轴于点， ， 时， 解得：， ， 点横坐标为，且在直线上， ， ， 当时， 解得：， ， ，， 垂直平分， ， ， 解得：， ， ，， 在与中， ， ， ， ， ，，， ，， ； （3）解：过点作于点，过点作轴于点，过点作于点， ，， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， ， ，， 设，， 由（1）知当时，，， ，， ①如图，当点在点左侧时，在第二象限， ，， ， 解得：， ， 设直线解析式为， ， 解得：， 直线解析式为， 当时，解得， ， ②如图，当点在点右侧时，在第一象限， ，， ， 解得：， ， 设直线解析式为， ， 解得：， 直线解析式为， 当时，解得， ， 综上所述，点的坐标为或． 19．（22-23八年级上·广东揭阳·期末）已知：如图，一次函数的图像分别与轴、轴相交于点、，且与经过轴负半轴上的点的一次函数的图像相交于点，直线与轴相交于点，与关于轴对称，． （1）求直线的函数表达式和点的坐标； （2）点为线段上的一个动点，连接． ①若直线将的面积分为两部分，试求点的坐标： ②点是否存在某个位置，将沿着直线翻折，使得点恰好落在直线上方的坐标轴上？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．  【思路点拨】 （1）根据题意，利用已知条件得到点，点坐标，用待定系数法可求出直线的解析式，联立直线和直线的解析式可求出点的坐标． （2）①过点作轴于点，先求出的面积，直线将的面积分为两部分，需要分两种情况：当点在线段上时，则有，由此建立方程求解，得到答案；当点在线段上时，设直线与轴交于点，此时有，由此建立方程求解，得到答案． ②将沿着直线翻折，使得点恰好落在直线上方的坐标轴上，需要分三种情况：当点落在轴负半轴上；当点落在轴上；当点落在轴正半轴上，画出图形，求出答案． 【解题过程】 （1）解：根据题意得： 点、， ， 与关于轴对称，， ，， ， 把点和点的坐标代入一次函数， ， 解得， 直线的函数表达式为：， 令， 解得：， ， 点的坐标为． （2）①如图，过点作轴于点，连接， ， ，， ， ， 、、， 点是线段的中点， ， 当点在线段上时，则有 ， ， ， 解得：， ； 当点在线段上时，设直线与轴交于点，如图，此时有 ， ， ，解得， ， ， 直线的解析式为， 令， 解得：， ， 综上所述，若直线将的面积分为两部分，点的坐标为或． ②存在，理由如下： 将沿着直线翻折，使得点恰好落在直线上方的坐标轴上，分三种情况： 当点落在轴负半轴上处，如图， 由折叠性质可知，，， 由 题意可知，，， 则， ， ， ， ， ， ， ， 轴， 点的纵坐标为， ； 当点落在轴上处，如图， 过点作于点，作轴于点，过点作轴于点， 由折叠性质得： 平分， ， ， ， 即， 解得：， ； 当点落在轴正半轴上处，如图， 此时，点和点重合，和符合题意，舍去， 综上所述，存在点，将沿着直线翻折，使得点恰好落在直线上方的坐标轴上，此时点坐标为或． 20．（22-23八年级上·四川成都·期中）如图1，在平面直角坐标系中，直线过点，与x轴交于点B．直线过点A，交x轴于点C，交y轴于点D． （1）求点A，B的坐标及k的值； （2）以为边，在直线右侧作等腰直角，求出点H的坐标； （3）如图2，点E为中点，点P在直线上，连接，当面积为时，求点P的坐标．  【思路点拨】 （1）将点代入直线求出a得到点A的坐标，将点A坐标代入，求出k得到一次函数解析式，再求出时x的值即可得到点B的坐标； （2）分三种情况：当是等腰直角三角形时，；当是等腰直角三角形时，；当是等腰直角三角形时，，根据全等三角形的判定和性质求解即可； （3）根据，求出，利用面积求出，过点P作直线，交x轴于Q，过点C作，得到，即向右平移个单位得到，求出的解析式为，求两直线交点即为点P；同理，向右平移个单位得到，同理得到点P的坐标． 【解题过程】 （1）解：将点代入直线中，得， ∴； 将点A坐标代入，得， 解得， ∴， 当时，，解得， ∴； （2）当是等腰直角三角形时， ∵直线的解析式为， ∴设直线的解析式是，将点B的坐标代入，得， ∴直线的解析式是， 过点A作于F，过点作于E， ∴ ∵ ∴ 又∵ ∴ ∴ ∴ ∴当时， ∴； 当是等腰直角三角形时，， 设直线的解析式为， 将点A的坐标代入，得， ∴直线的解析式为， 过点作交延长线于G， 可得， ∴， ∴点的横坐标为， ∴点的纵坐标为， ∴； 当是等腰直角三角形时，，如图， 过点作于T，则， ∵，， ∴， ∴直线的解析式为， 过T作轴，过A作，过点作， 同理可得，， ∴； 综上，点H的坐标为或或； （3）∵， ∴， ∴, ∵点E为中点， ∴ ∵面积为， ∴， ∴， 过点P作直线，交x轴于Q，过点C作， ∴ ∴ ∴向右平移个单位得到， ∴的解析式为， ∴， 解得 ∴， ∴； 同理，向右平移个单位得到， ∴的解析式为， ∴， 解得， ∴ ∴ 综上，点P的坐标为或． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题19.2 一次函数图象与坐标轴的交点问题 · 典例分析 【典例1】如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数分别与x轴、y轴交于A、B两点，过点B作交x轴于点C． （1）求点C的坐标； （2）点D为直线上一点，且，求直线的解析式； （3）若点是轴上一点，连接，将沿着所在直线折叠，当点落在轴上时，求点的坐标． 【思路点拨】 （1）设，，由直线分别交轴、轴于点，可得，，利用面积法即可求解； （2）过点作轴于，由得，根据等腰三角形的性质得，则，点，利用待定系数法即可得直线的解析式； （3）分点落在轴负半轴和轴正半轴上两种情况分类讨论，利用折叠的性质以及勾股定理求解即可． 【解题过程】 （1）解：设，， 直线分别交轴、轴于点，， ，， ，，，，， ， ，解得， ∴点C的坐标为； （2）解：过点作轴于， ， ， ， ，， ∴， 点为直线上一点， ∴点的坐标为， 设直线的解析式为， ，解得， 直线的解析式为； （3）解：设点的坐标为． 将沿着所在直线折叠，当点落在轴负半轴上时，设点落在轴负半轴的点处，如图所示： 根据折叠的性质可得：，，， ， ， 在中，， ，解得， 点的坐标为； 将沿着所在直线折叠，当点落在轴正半轴上时，设点落在轴正半轴的点处，如图所示： 根据折叠的性质可得：，，， ， ， 在中，， ，解得， 点的坐标为； 综上，点的坐标为或． · 学霸必刷 1．（23-24八年级下·山东济南·期中）如图，一次函数的图象分别与x轴和y轴相交于A、C两点，且与正比例函数的图象交于点． （1）求m，n的值； （2）当时，直接写出自变量x的取值范围； （3）在y轴上找一点P，使的值最小，求点P的坐标． 2．（23-24八年级上·江苏盐城·阶段练习）如图所示，已知点，，，，过、两点的直线的函数表达式为，动点从现在的位置出发，沿轴以每秒个单位长度的速度向上移动，设移动时间为． （1）若直线随点向上平移，则： ①当时，求直线的函数表达式． ②当点，位于直线的异侧时，确定的取值范围． （2）当点移动到某一位置时，的周长最小，试确定的值． 3．（23-24八年级下·陕西商洛·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，直线的函数解析式为，与x轴，y轴分别交于点A，点B，直线的函数解析式为，与x轴，y轴分别交于点，点D，直线与交于点E，已知点E的横坐标为． （1）求直线的函数解析式； （2）若直线上存在点P，使得，请求出点P的坐标； （3）已知M是线段上的动点，过点M作直线平行于y轴，交直线于点N，过点M作y轴的垂线，交y轴于点Q，是否存在点M，使的两条直角边之比为？若存在，请求出满足条件的所有点M的坐标；若不存在，请说明理由． 4．（22-23八年级下·重庆涪陵·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线：与x轴、y轴分别交于点A，B，直线交x轴、y轴分别于点，，直线与直线交于点E，连接．    （1）求直线的解析式； （2）求的面积； （3）连接，若点P是x轴上一动点，连接，当为等腰三角形时，请直接写出点P的坐标．   5．（22-23八年级下·福建龙岩·期末）直线与轴、轴分别交于点，无论取何值，直线经过定点． （1）请直接写出定点的坐标； （2）定义：在平面直角坐标系中，将点变换为（为常数），我们把这种变换称为“兔变换”，当时，点，经过“兔变换”后的对应点分别是，若轴，点在轴上，求； （3）在（2）的条件下，点在轴上，连接，若，求点的坐标．   6．（22-23八年级上·广东佛山·期中）如图，直线l上与x轴、y轴分别交于A、B两点，于点M，点P为直线l上不与点A、B重合的一个动点． （1）点A坐标为（　　）；点B坐标为（　　）；线段的长为________． （2）当的面积是6时，求点P的坐标； （3）在y轴上是否存在点Q，使得以O、P、Q为顶点的三角形与全等，若存在，请直接写出所有符合条件的点P的坐标，否则，说明理由．   7．（23-24八年级下·辽宁大连·期中）定义：在平面直角坐标系中，我们称直线，为常数）是点的关联直线，点是直线的关联点；特别地，当时，直线的关联点为． 如图，直线与轴交于点，与轴交于点． 【定义辨析】 （1）直线的关联点的坐标是（   ） A．    B．    C．    D． 【定义延伸】 （2）点的关联直线与直线交于点，求点的坐标；； 【定义应用】 （3）点的关联直线与轴交于点，，求的值． 8．（23-24八年级下·云南昆明·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴，y轴分别交于点，经过点C的直线与x轴交于点． （1）求直线的解析式； （2）点G是线段上一动点，连接，若把分成两个三角形，且满足，求点G的坐标； （3）已知D为的中点，点E是平面内一点，当是以为直角边的等腰直角三角形时，直接写出点E的坐标． 9．（23-24八年级下·湖北荆门·阶段练习）如图，直线分别与轴交于两点，点的坐标为，过点的直线交轴正半轴于点，且． （1）直接写出两点的坐标； （2）在轴上方是否存在点，使以点为顶点的三角形与全等？若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由； （3）点是轴上的一点，连接，将沿直线翻折，当点的对应点恰好落在轴上时，求此时直线的函数表达式． 10．（23-24八年级上·浙江绍兴·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴和y轴分别交于点B，C，与直线相交于点A． （1）求点A的坐标及的面积． （2）在线段上有一动点P，过点P作平行于y轴的直线与直线交于点D，问在y轴上是否存在点H，使得是以P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，请求出满足条件的点H的坐标；若不存在，请说明理由． （3）过点A作y轴的垂线，垂足为E，在y轴上找点M，使，请直接写出点M的坐标． 11．（23-24九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）在平面直角坐标系中，点为坐标原点，直线交轴的正半轴于点，交轴的正半轴于点． （1）求的度数： （2）如图1，点在上，点在的延长线上，且，连接交于点，求证：； （3）如图2，在（2）的条件下，点在轴的负半轴上，，点在的延长线上，连接，，，若，且，求线段的长．   12．（22-23八年级上·山东济南·期末）综合与探究： 如图1，平面直角坐标系中，一次函数图像分别交轴、轴于点、，一次函数的图像经过点，并与轴交于点，点是直线上的一个动点． （1）求直线的表达式与点的坐标； （2）如图2，过点作轴的垂线，交直线于点，垂足为点，试探究直线上是否存在点，使？若存在，求出点的坐标，说明理由． （3）试探究轴上是否存在点，使以，，为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请求出M点的坐标，若不存在，请说明理由． 13．（23-24八年级上·重庆大渡口·期中）如图，直线交x轴和y轴于点A和点B，点在y轴上，连接． （1）求直线的解析式； （2）若点P是直线上一点，若的面积为3，求点P的坐标； （3）在x轴上是否存在一点D，使得是等腰三角形，若存在，请直接写出点D坐标，若不存在，请说明理由．   14．（22-23八年级上·辽宁沈阳·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点，与y轴交于点，点为y轴上一动点（动点与点不重合），点是点关于直线的对称点，连接．    （1）求点、的坐标； （2）求线段的长度； （3）当点的坐标是时，请直接写出点的坐标； （4）当点在x轴上时，请直接写出点的坐标． 15．（22-23八年级下·福建泉州·阶段练习）如图1，已知函数与x轴交于点A，与y轴交于点B，点C与点A关于y轴对称． （1）请写出点A坐标 　 　，点B坐标 　 　，直线的函数解析式 　 　； （2）设点是轴上的一个动点，过点作轴的平行线，交直线于点，交直线于点． ①若的面积为，求点的坐标； ②点在线段上，连接，如图，若，直接写出的坐标． 16．（22-23八年级上·四川成都·期末）如图，直线与x轴、y轴分别交于点A和点B，点C在线段上，将沿所在直线折叠后，点A恰好落在y轴上点D处，若，． （1）求直线的解析式． （2）求的值． （3）直线CD上是否存在点P使得，若存在，请直接写出P的坐标．   17．（23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）在平面直角坐标系中，点为坐标原点，直线交轴的负半轴于点，交轴的正半轴于点． （1）求点的坐标； （2）如图1，直线交轴的正半轴于点，交于点，连接，设的面积为，求与的函数解析式； （3）如图2，在（2）的条件下，点在的延长线上，连接，若，，求点的坐标．   18．（22-23八年级下·福建福州·期中）直线交轴于点，交轴于点． （1）如图1，若，则点坐标为______，点坐标为______； （2）如图2，若直线：交于点，点的横坐标为，求的值； （3）当时，若点为轴上的一点，，求点坐标．   19．（22-23八年级上·广东揭阳·期末）已知：如图，一次函数的图像分别与轴、轴相交于点、，且与经过轴负半轴上的点的一次函数的图像相交于点，直线与轴相交于点，与关于轴对称，． （1）求直线的函数表达式和点的坐标； （2）点为线段上的一个动点，连接． ①若直线将的面积分为两部分，试求点的坐标： ②点是否存在某个位置，将沿着直线翻折，使得点恰好落在直线上方的坐标轴上？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 20．（22-23八年级上·四川成都·期中）如图1，在平面直角坐标系中，直线过点，与x轴交于点B．直线过点A，交x轴于点C，交y轴于点D． （1）求点A，B的坐标及k的值； （2）以为边，在直线右侧作等腰直角，求出点H的坐标； （3）如图2，点E为中点，点P在直线上，连接，当面积为时，求点P的坐标．   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