第03讲 矩形的性质【八大考点+过关测】- 【暑假自学课】2024年新九年级数学暑假提升精品讲义（北师大版）

第03讲 矩形的性质 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1.掌握矩形的概念和性质，理解矩形与平行四边形的区别与联系； 2．掌握矩形的概念与有关性质，会用这些知识进行简单的推理与计算； 3．在了解矩形与平行四边形之间的关系，掌握、运用矩形性质的过程中，渗透数形结合、转化化归与方程思想，进一步提高分析问题与解决问题的能力。 一、矩形的定义 定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形. 要点：矩形定义的两个要素：①是平行四边形；②有一个角是直角.即矩形首先是一个平行四边形，然后增加一个角是直角这个特殊条件. 二、矩形的性质 矩形的性质包括四个方面： 1.矩形具有平行四边形的所有性质； 2.矩形的对角线相等； 3.矩形的四个角都是直角； 4.矩形是轴对称图形，它有两条对称轴. 要点：（1）矩形是特殊的平行四边形，因而也是中心对称图形.过中心的任意直线可将矩形分成完全全等的两部分. （2）矩形也是轴对称图形，有两条对称轴（分别通过对边中点的直线）.对称轴的交点就是对角线的交点（即对称中心）. （3）矩形是特殊的平行四边形，矩形具有平行四边形的所有性质，从而矩形的性质可以归结为从三个方面看：从边看，矩形对边平行且相等；从角看，矩形四个角都是直角；从对角线看，矩形的对角线互相平分且相等. 考点一：矩形性质理解 例1．（2023·重庆沙坪坝·模拟预测）下列命题正确的是（　　） A．矩形的四个角都相等 B．矩形的四条边都相等 C．矩形的对角线互相垂直 D．矩形的对角线平分内角 【答案】A 【分析】本题考查真假命题的判断、矩形的性质，根据矩形的角、边、对角线的特点逐项判断即可． 【详解】解：A、矩形的四个角都相等，正确，符合题意； B、矩形的四条边不相等，故原命题错误，不符合题意； C、矩形的对角线相等但不垂直，故原命题错误，不符合题意； D、矩形的对角线相等但不平分内角，故原命题错误，不符合题意； 故选A． 【变式1-1】（23-24八年级下·广东江门·期中）菱形具有而矩形不一定具有的性质是（   ） A．对角相等 B．邻角互补 C．对角线互相平分 D．对角线互相垂直 【答案】D 【分析】本题主要考查矩形和菱形的性质．根据矩形和菱形都是特殊的平行四边形，所以平行四边形所具有的性质，矩形和菱形都具有，故可得出答案． 【详解】解：∵矩形和菱形是平行四边形， ∴A、B、C是二者都具有的性质， ∴对角线互相垂直是菱形具有而矩形不一定具有的性质． 故选：D． 【变式1-2】（23-24八年级下·河南濮阳·期中）矩形不一定具有的性质是（      ） A．对角线垂直 B．四个角都是直角 C．是轴对称图形 D．对角线相等 【答案】A 【分析】本题考查了矩形的性质，熟练掌握矩形的性质是解题的关键．根据矩形的性质：对边相等且平行，四个角都是直角，对角线平分且相等，矩形既是中心对称图形也是轴对称图形，根据性质判断即可． 【详解】解：矩形不一定具有的性质是对角线垂直． 故选：B． 【变式1-3】（2024·河南鹤壁·一模）矩形具有而菱形不具有的性质是（    ） A．两组对边分别平行 B．两组对角分别相等 C．对角线相等 D．对角线互相平分 【答案】C 【分析】本题考查了矩形的性质和菱形的性质，能熟记知识点是解此题的关键．根据矩形的性质和菱形的性质即可解决问题． 【详解】解：矩形的性质是：①矩形的四个角都是直角，②矩形的对边相等且互相平行，③矩形对角线相等且互相平分； 菱形的性质是：①菱形的四条边都相等，菱形的对边互相平行；②菱形的对角相等，③菱形的对角线互相平分且垂直，并且每条对角线平分一组对角， 所以矩形具有而菱形不具有的性质是对角线相等， 故选：． 考点二：利用矩形的性质求角度 例2.（23-24八年级下·辽宁鞍山·期中）如图，在矩形中，点是延长线上一点，连接，若则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了矩形的性质，等腰三角形的性质，主要利用了矩形的对角线相等，等边对等角，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记性质是解题的关键．根据等边对等角的性质可得，再求解即可． 【详解】解：如图，连接， 四边形是矩形， ， ， ， ， ， 故选：D． 【变式2-1】（2024·四川凉山·二模）如图，矩形的对角线相交于点，过点作，交于点，连接．若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了矩形的性质，等腰三角形的性质与判定，三角形内角和定理的应用，根据矩形的性质可得对角线相等，进而根据已知可得垂直平分，根据等边对等角得出，进而可得，根据即可求解． 【详解】解：∵矩形的对角线相交于点， ∴，， 又∵ ∴， ∴ ∴ ∵， ∴ ∴ 又∵ ∴ ∴ ∴， 故选：C． 【变式2-2】（2024八年级下·全国·专题练习）如图，延长矩形的边至点，使，连接，若，则的度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题重点考查矩形的性质、等腰三角形的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和等知识，正确的作出需要的辅助线是解题的关键． 由等腰三角形的性质可得，再由矩形的性质和三角形的外角性质可求解． 【详解】解：连接交于点， ∵四边形是矩形， ∴，，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 【变式2-3】（2024八年级下·浙江·专题练习）如图，在矩形中，对角线、相交于点，于点，，则的大小是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了矩形的性质、等腰三角形的性质以及直角三角形的性质等知识；熟练掌握矩形的性质和等腰三角形的性质是解题的关键．由矩形的性质得出，得出，由直角三角形的性质求出，即可得出答案． 【详解】解：四边形是矩形， ，，，， ， ， ， ， ， ， ， ； 故选：C 考点三：利用矩形的性质求线段长 例3. （23-24八年级下·浙江杭州·期中）如图，矩形中，，，在边上取一点E，使，过点C作，垂足为点F，则的长为 . 【答案】 【分析】本题考查矩形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题关键． 先根据勾股定理求出,再结合矩形的性质证明得出即可解答． 【详解】解：∵四边形是矩形, ∴, ∴, ∵, ∴. ∵, ∴, 在和中, ， ∴, ， 故答案为：． 【变式3-1】（23-24八年级下·湖南衡阳·阶段练习）如图，在矩形中，对角线，交于点O，若，则的长为 ． 【答案】3 【分析】本题考查了矩形的性质，解题的关键是熟练掌握矩形对角线的性质，从而完成求解．根据矩形的对角线相等且互相平分的性质计算， 得，即可得到答案． 【详解】解：∵四边形为矩形，， ∴，， ∴， 故答案为：3． 【变式3-2】（23-24八年级下·湖北襄阳·期中）如图，在矩形中，分别是上的点，分别是的中点，，，则线段的长为 ． 【答案】6.5// 【分析】本题主要考查了矩形的性质、勾股定理、三角形中位线等知识，正确作出辅助线是解题关键．连接，利用勾股定理解得的值，然后根据三角形中位线的性质求解即可． 【详解】解：连接，如下图， ∵四边形是矩形，，， ∴，， ∴在中，， ∵分别是的中点， ∴． 故答案为：6.5． 【变式3-3】（23-24八年级下·江苏无锡·期中）如图，矩形中，，，对角线、相交于点，点是线段上任意一点，且于点，于点，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查矩形的性质，勾股定理，解题的关键是掌握矩形的性质，勾股定理的运用．连接，根据矩形的性质，得，点是对角线的中点，则，再根据，，即可求出的值． 【详解】解：连接， ∵四边形是矩形， ∴，，， ，，， ∴， 根据勾股定理得：， ∴， ∵，， ∴， ∵于点，于点， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 考点四：利用矩形的性质求面积 例4. （2024·陕西西安·模拟预测）如图，点是矩形的对称中心，，分别是边，上的点，且，已知矩形的面积是32，那么图中阴影部分的面积为 ． 【答案】8 【分析】本题主要考查了矩形性质以及全等三角形的判定与性质，证明是解题的关键．首先根据矩形的性质可得，，进而可得，证明，由全等三角形的性质可得，然后结合矩形的性质求解即可． 【详解】解：∵四边形为矩形， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 故答案为：8． 【变式4-1】（23-24八年级下·福建南平·期中）如图，矩形的对角线交于点O，，，则矩形的面积是 ． 【答案】 【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理等知识．根据矩形的性质得到对角线、相等且互相平分，进而判断出是等边三角形，从而求出，，根据勾股定理求出，即可求出矩形的面积是． 【详解】解：∵四边形为矩形， ∴对角线、相等且互相平分，， ∴, ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴在中，， ∴矩形的面积是． 故答案为： 【变式4-2】（23-24七年级下·上海金山·期中）如图，长方形中，点E、F分别为边上的任意点，、的面积分别为15和25，那么四边形的面积为 ． 【答案】40 【分析】本题考查了三角形的面积，解题的关键是能正确作出辅助线， 连接，可得，再根据面积的和差可得，同理可得，即可解答 【详解】解：连接，      ， 又，， 同理     ， 又，， ， 故答案为：40 【变式4-3】（23-24八年级下·江苏南京·期中）如图，矩形中，，，点E、F、G、H分别在、 、、上，且，．点P为矩形内一点，四边形、四边形的面积分别记为、，则 ． 【答案】21 【分析】本题考查矩形的性质，过作并延长交于T，过作并延长交于N，结合矩形的性质及三角形面积加减关系求解即可得到答案． 【详解】过作并延长交于T，过作并延长交于N，连接，，，， ∵四边形是矩形，，，，， ∴，，，，， ， ∵，， ∴，， ∴ ． 故答案为：21． 考点五：求矩形在坐标系中的坐标 例5. （22-23九年级下·山东济南·阶段练习）在平面直角坐标系中，长方形如图所示，，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据长方形的性质求出点的横、纵坐标即可获得答案． 【详解】解：∵四边形为长方形， ∴，， ∵， ∴点的横坐标与点相同，为， 点的纵坐标与点相同，为， ∴点的坐标为． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了坐标与图形的性质，解题关键是利用矩形“对边平行且相等”的性质解决问题． 【变式5-1】（22-23八年级下·天津东丽·期末）如图，四边形是矩形，三点的坐标分别是，，，对角线交点为，则点的坐标是 ．    【答案】 【分析】根据题意，可得，由中点坐标公式直接求解即可得到答案． 【详解】解：四边形是矩形，三点的坐标分别是，，， ， 矩形对角线交点为， 由平面直角坐标系中中点坐标公式可得， 故答案为：． 【点睛】本题考查矩形性质及中点坐标公式，熟记矩形性质及中点坐标公式是解决问题的关键． 【变式5-2】（22-23八年级下·重庆江津·期中）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点，，点在轴上，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】由两点距离公式可求的长，由矩形的性质可求，即可求解． 【详解】解：连接， 点，， ， 四边形是矩形， ， 点的坐标为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形的性质，坐标与图形的性质，掌握矩形的对角线相等是解题的关键． 【变式5-3】（21-22九年级上·福建三明·期中）如图，矩形OABC的顶点B的坐标为（4，3），则对角线AC的长等于 ． 【答案】5 【分析】连接OB，利用勾股定理求出OB的长，即为AC的长． 【详解】如图，连接OB， ∵B的坐标为（4，3）， ∴ ∵四边形OABC是矩形 ∴AC=OB=5 故答案为：5． 【点睛】此题主要考查求矩形对角线的长，解题的关键是熟知矩形对角线相等． 考点六：利用矩形的性质证明 例6. （23-24八年级下·辽宁葫芦岛·期中）如图所示，在矩形中，对角线的垂直平分线分别交于点，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求菱形的面积． 【答案】(1)证明过程见解答 (2)20 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，平行线的性质，全等三角形的性质和判定，菱形的判定和性质，平行四边形的判定，矩形的性质等知识点，能综合运用知识点进行推理和计算是解此题的关键． （1）根据线段的垂直平分线得出，根据矩形的性质得出，求出，根据全等三角形的判定定理得出，求出，得出四边形为平行四边形，再得出答案即可； （2）根据菱形的性质得出，设，根据勾股定理求出，再求出面积即可． 【详解】（1）证明：∵是的垂直平分线， ， ∵四边形是矩形， ， ， 在和中 ， ， ， ， ∴四边形为平行四边形， ， ∴四边形为菱形； （2）解：∵四边形为菱形， ， 设， ∵四边形是矩形， ， 由勾股定理得：， 即， 解得：， 即， ， ∴菱形的面积． 【变式6-1】（23-24九年级下·辽宁鞍山·期中）如图，矩形中，过对角线的中点O作直线，分别交于点E，F，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定，矩形的性质，由四边形是矩形，得到，再得出，由是的中点，得到，即可得出，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 【详解】证明：四边形是矩形， ， ， 是的中点， ， 又， ． 【变式6-2】（2024·四川南充·三模）如图，在矩形中，点E在边上，且，过点D作于点F． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)8 【分析】本题考查矩形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理： （1）证明，得到，即可得出结论； （2）根据全等三角形的性质，得到，利用勾股定理求出的长即可． 【详解】（1）证明：∵矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）∵，， ∴， ∵， ∴， 在中， 由勾股定理，得：． 【变式6-3】（23-24八年级下·湖北武汉·阶段练习）如图，矩形的对角线，交于点，且，． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，请直接写出菱形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)1 【分析】（1）根据矩形性质可得：，再证明四边形是平行四边形，利用菱形的判定即可证得结论； （2）先求出矩形面积，再根据矩形性质可得，再由菱形性质可得菱形的面积，可求解． 【详解】（1）证明：矩形的对角线，相交于点， ，，， ， ∵，， 四边形是平行四边形， 四边形是菱形； （2）解： 四边形是矩形，，， ，， ， 四边形是菱形， 菱形的面积； 【点睛】本题考查了矩形性质，菱形的判定和性质，矩形面积和菱形面积，平行四边形的判定等基础知识，能综合运用相关知识点进行推理和计算是解此题的关键． 考点七：矩形与折叠问题 例7. （23-24八年级下·北京昌平·期中）矩形ABCD中，，，按如图方式折叠，使点B落与点D重合，折痕为，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了矩形与折叠问题，勾股定理，先由折叠的性质可得，再由矩形的性质可得，设，则，可由勾股定理建立方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：由翻折的性质可知，， ∵四边形是矩形， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得， ， ， 解得， ∴； 故答案为：． 【变式7-1】（23-24八年级下·辽宁大连·期中）如图，在矩形中，，，E是边上一点，将沿折叠，使点B落在点F处，连接．当为直角三角形时，的长是 ． 【答案】5或2 【分析】本题考查的是折叠变换的性质，掌握折叠变换是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等是解题的关键．当为直角三角形时，需要分类讨论：分与两种情况，通过勾股定理列方程求解． 【详解】解：当时，三点共线， 设长为x，则， 由翻折可得，， 由勾股定理的， ∴， ∵， ∴， 即， 解得， ∴． 当时，四边形为正方形， ∴， ∴． 故答案为：5或2． 【变式7-2】（2024·河南驻马店·二模）如图所示，在矩形中，，点P在上，且，点E是线段上不与端点重合的一个动点，连接，将关于直线对称的三角形记作，若垂直于矩形的任意一边，则线段的长是 ． 【答案】或 【分析】本题考查了矩形的判定与性质，折叠的性质，勾股定理，注意分类讨论；分两种情况考虑：①时；②PF⊥AB时；利用勾股定理建立方程即可求解． 【详解】解：在矩形中，，， ， 则由勾股定理得， ①当时，如图1所示， 则四边形是矩形， ， ， 设，则， 由折叠知：， 在中， ， 解得， ； ②当 PF⊥AB时，如图2所示，过F作交延长线于点G， 则四边形是矩形， ，， ； 设，则； 在中， ， 解得． ． 综上所述，满足条件的BE的值为或5． 【变式7-3】（2024·河南新乡·二模）如图，矩形中，，点是边上的一动点（点不与点，重合），连接，把沿所在直线翻折得到，则当点落在矩形的边所在的直线上时，的长为 ． 【答案】1或 【分析】本题主要考查了矩形的的折叠问题，勾股定理，根据题意得：，设，则，然后分两种情况讨论：当点落在边所在的直线上时，当点落在边所在的直线上时，则，结合勾股定理，即可求解． 【详解】解：根据题意得：， 设，则， 如图，当点落在边所在的直线上时，则，    ∴， ∴， 在中，， ∴， 解得：， 即； 如图，当点落在边所在的直线上时，则，    ∴， 在和中， ， 即， ∴， 解得：， 即； 综上所述，的长为或1． 故答案为：或1 考点八：斜边的中线等于斜边的一半 例8. （23-24八年级下·江苏南京·期中）如图，在中，，、、分别为、、的中点，若，则 ． 【答案】3 【分析】此题考查了三角形中位线定理、直角三角形斜边中线的性质等知识，熟练掌握相关定理是解题的关键．根据三角形中位线定理得到，则，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到的长． 【详解】解：∵D、E分别为的中点， ∴， ∴， ∵在中，，F为的中点， ∴， 故答案为：3． 【变式8-1】（23-24八年级下·内蒙古呼和浩特·期中）如图，在中，，于点D，E是斜边的中点，已知，，则的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了直角三角形斜边上的中线，证得是等腰直角三角形是解题的关键．根据已知条件得，求得，根据直角三角形的性质得到，求得，得到，于是求得结论． 【详解】解：∵， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵点E是的中点，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ， ， 故答案为：． 【变式8-2】（2024·重庆·一模）如图，在矩形中，，矩形外一点E满足，点O为对角线的中点，则的长度为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了矩形的性质，勾股定理，直角三角形的性质，连接，设交于F，则由矩形的性质可得，点O是对角线的中点，利用勾股定理得到，再证明，即可得到． 【详解】解：如图所示，连接，设交于F， ∵四边形是矩形，点O是对角线的中点， ∴，点O是对角线的中点， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式8-3】（2024八年级下·江苏·专题练习）如图，将矩形绕点顺时针旋转得到矩形，、分别是、的中点，若，，则的长为 ．    【答案】5 【分析】本题考查了旋转的性质，矩形的性质，直角三角形斜边中线性质等知识，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．连接，，根据矩形的性质可得，，然后在中，利用勾股定理求出的长，再利用直角三角形斜边上的中线可得，最后根据旋转的性质可得：，，从而利用勾股定理进行计算，即可解答． 【详解】解：连接，，   四边形是矩形， ，， ， ， 点是的中点， ， 由旋转得：，， ， 故答案为：5 一、单选题 1．（23-24八年级下·湖北武汉·期中）矩形是特殊的平行四边形，下列性质矩形具有而平行四边形不一定具有的是（   ） A．对边平行 B．对边相等 C．对角线互相平分 D．对角线相等 【答案】D 【分析】本题考查矩形和平行四边形的性质，熟练掌握矩形和平行四边形的性质是解题关键．根据矩形和平行四边形都有的性质：对边平行且相等，对角线互相平分等；矩形具有而平行四边形不具有的是对角线相等解答即可． 【详解】解：解：A、矩形和平行四边形的对边都平行，故不合题意； B、矩形和平行四边形的对边都相等，故不合题意； C、矩形和平行四边形的对角线都互相平分，故不合题意； D、矩形的对角线相等，平行四边形的对角线不相等，故符合题意． 故选D． 2．（23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，矩形中，点E在上，且平分，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查矩形的性质，平行线的性质，等腰三角形的性质，通过可得，通过，可得，结合角平分线的定义可得，即可求解． 【详解】解：矩形中，， ，， ， ， 平分， ， ， ， ， 故选C． 3．（2024·陕西渭南·三模）如图，在矩形中，，延长到点E，连接交于点G，点F为的中点，连接、，若，，则的长为（    ） A．8 B．6 C．5 D．4 【答案】B 【分析】本题主要考查了矩形的性质，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半以及勾股定理，根据矩形的性质得出，，，由F为的中点可知，进一步得出，利用勾股定理即可求出． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， ∵F为的中点， ∴， ∵， ∴ 在中， 故选：B． 4．（23-24八年级下·河南漯河·期中）数学家吴文俊院士非常重视古代数学家贾宪提出的“从长方形对角线上任一点作两条分别平行于两邻边的直线，则所容两长方形面积相等（如图）”这一推论，他从这一推论出发，利用“出入相补”原理复原了《海岛算经》九题古证，下列结论一定成立的是（   ） ①；②；③；④ A．②③④ B．①②④ C．①②③ D．①②③④ 【答案】C 【分析】根据矩形的性质及材料，即可判断， 此题主要考查矩形的性质，解题的关键是熟知矩形的性质定理． 【详解】解：根据题意可知，故③正确， 根据矩形的性质得，，故①，②正确， ，， ∵不一定成立， ∴不一定成立，故④错误， 综上所述，①②③一定成立， 故选：C． 5．（2023·河南商丘·二模）如图，在平面直角坐标系中，四边形为矩形，点，分别在轴、轴上，且点，为边上一点，将沿所在直线翻折，当点的对应点恰好落在对角线上时，点的坐标为(    ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了折叠的性质，矩形的性质，勾股定理，坐标与图形．根据点的坐标得出，根据勾股定理求得，设，则．在中，由勾股定理，建立方程，解方程，即可求解． 【详解】解：依题意，， 由折叠的性质，可知，， ． 设，则．在中，由勾股定理， 得， 解得． 点的坐标为， 故选B． 二、填空题 6．（23-24八年级下·云南昆明·期中）如图，在中，，，是的中点，且，则 ．    【答案】 【分析】本题考查含角的直角三角形的性质和直角三角形斜边上的中线的性质，根据含角的直角三角形的性质求出，再根据直角三角形斜边上的中线的性质求出即可． 【详解】解：中，，，， ， 中，，点是的中点， 故答案为：． 7．（2024八年级下·浙江·专题练习）如图，在矩形中，连接，延长至点，使，连接，若，则的度数是 °． 【答案】 【分析】本题考查了矩形的性质，等边对等角求角度；连接，根据矩形的性质可得，则，根据，则，，根据三角形的外角的性质，得出，进而可得． 【详解】解：连接， 四边形是矩形， ，，， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 8．（2024八年级下·全国·专题练习）如图，，矩形的顶点A、B分别在边、上，当B在边上运动时，A随之在上运动，矩形的形状保持不变，其中，．运动过程中点D到点O的最大距离是 ． 【答案】 【分析】取线段的中点E，连接，根据直角三角形的特征量，三角形不等式解答即可． 本题考查了斜边上的中线等于斜边的一半，勾股定理，矩形的性质，三角形不等式，熟练掌握三角形不等式，勾股定理是解题的关键． 【详解】 解：如图：取线段的中点E，连接， ∵，矩形，，， ∴， ∴， ∵， ∴当点D，点E，点O共线时，的长度最大． ∴点D到点O的最大距离， 故答案为：． 9．（2024·海南·一模）如图，四边形是矩形，点是边上一动点，将沿直线折叠，点落在点处，连接并延长，交边于点，则 ；若，的面积是，则的长为 ． 【答案】 1 【分析】本题考查了矩形的性质、轴对称的性质、勾股定理、三角形面积公式，①由矩形的性质结合轴对称的性质得出，推出，即可得解；②由轴对称的性质，得，，．设，则，求出，再由三角形面积公式计算即可得出答案，灵活利用矩形的性质、轴对称的性质和直角三角形的性质解决问题是解此题的关键． 【详解】解：①如图， ， ∵四边形是矩形， ∴． ∴． 由轴对称的性质，得， ∴． ∴． ∴； ②由轴对称的性质，得，，． 设，则． 由①，得， ∴． 由勾股定理，得． ∵的面积是， ∴，即， 解得． ∴． 故答案为：，． 10．（2024·黑龙江佳木斯·三模）在矩形中，M为对角线和的交点，点N在边所在的直线上，且．当是直角三角形时，的长为 ． 【答案】4或 【分析】本题考查了矩形的性质、勾股定理、线段垂直平分线的判定与性质，平行线分线段成比例定理以及分类讨论等知识，分两种情况，①当时，②当时，根据矩形的性质和勾股定理分别求出的长，即可得出结论，熟练掌握矩形的性质和勾股定理，进行分类讨论是解题的关键． 【详解】解：分两种情况：①如图1，当时， 则， 四边形是矩形， ， ， ， M为对角线和的交点， 为对角线的中点， ， ， ， ； ②如图2，当时， 则， 为对角线的中点， ， 垂直平分， ， ，， ， ， ； 综上所述，的长为4或， 故答案为：4或． 三、解答题 11．（22-23八年级下·安徽芜湖·期末）如图，、是矩形边上的两点，．    (1)若，则______°； (2)求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】（1）根据四边形是矩形得，，根据得，根据平行线的性质即可得； （2）根据四边形是矩形得，，根据可证明，得，即可得． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴． （2）证明：∵四边形是矩形， ∴，， 在和中， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，平行线的性质，解题的关键是掌握这些知识点． 12．（2024·浙江金华·二模）如图，在矩形中，E是上一点，且，过点D作于点F． (1)求证：． (2)已知，．求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了矩形的性质、全等三角形性质和判定、勾股定理，解题的关键在于熟练掌握相关性质定理． （1）矩形的性质得到，，得到，，根据“”定理证明，再根据全等三角形性质即可解题； （2）根据矩形的性质和全等三角形性质得到，，由勾股定理易求的长，根据计算即可． 【详解】（1）证明：四边形为矩形， ，， ，， ， ， ， ， ， ； （2）解：，． 由题意知，，， ， ． 13．（2024·江苏南京·一模）如图，已知矩形，点，分别在的延长线和的延长线上，且． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)已知，．当的长为 时，四边形是菱形． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】（1）由矩形的性质得到，，继而，即可得证； （2）当四边形是菱形时，得到，由四边形是矩形，得，由勾股定理可得，求解即可． 【详解】（1）证明：四边形是矩形， ，， ， ， 四边形是平行四边形； （2）解：若四边形是菱形， ， ∵四边形是矩形， ∴ ， ， ， 当的长为时，四边形是菱形， 故答案为：． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定，矩形的性质，勾股定理，菱形的判定与性质，熟练掌握知识点是解题的关键． 14．（23-24八年级下·浙江金华·期中）如图，在矩形中，，点D为对角线中点，点E在所在的直线上运动，连结，把沿翻折，点O的对应点为点F，连结． (1)当点F在下方时（如图1），求证：． (2)当点F落在矩形的对称轴上时，求的长． (3)是否存在点E，使得以D，E，F，B为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求的长；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2) (3)的长为或6或10 【分析】（1）由外角性质，折叠的性质可得，，，能够推导出，从而可证明结论； （2）当点F落在矩形的对称轴上时，即，交于点M，由勾股定理，折叠性质，中位线的定义求出的长，利用勾股定理即可求解； （3）画出图形，结合图形分三种情况讨论：当四边形为平行四边形时；当四边形为平行四边形时；当四边形为平行四边形时． 【详解】（1）证明：由折叠性质可知：，， 点D为对角线中点， ， ， ， ， ， ； （2）如图，当点F落在矩形的对称轴上时，即，交于点M， 在中， ，且为中点， 为中位线， ， ， 由折叠性质，，则 设，则， 在中， ，即， 解得：， 的长为； （3）存在点E，使得以D，E，F，B为顶点的四边形是平行四边形，理由如下： 如图，当四边形为平行四边形时， ，且， ， ； 如图，当四边形为平行四边形时， ，， ， ， 在中，， ； 如图，当四边形为平行四边形时， ， ， ， 在中，， ， 综上所述，的长为或6或10． 【点睛】本题是四边形的综合题，图形折叠的性质，矩形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，平行线的判定，中位线的判定与性质，熟练掌握相关性质定理是解题关键． 15．（2024·山东临沂·一模）在数学活动课上，李老师给同学们提供了一个矩形（如图1），其中，连接对角线，且，要求各小组以图形的旋转为主题开展数学活动．以下是部分小组的探究过程，请你参与活动并解答所提出的问题： (1)如图2，“奋勇”小组将绕点D旋转得到，当点落到对角线上时，与交于点F，试猜想线段与的数量关系，并加以证明； (2)“勤学”小组在“奋勇”小组的基础上，取的中点E，连接，试判断四边形的形状，并说明理由； (3)在绕点D旋转的过程中，当时，求点A与点之间的距离，请你思考此问题，直接写出答案． 【答案】(1)，证明见解析 (2)四边形是菱形．理由见解析 (3)6或． 【分析】（1）首先根据矩形的性质得到，然后利用得到，然后证明出是等边三角形，得到，即可证明出； （2）首先由是等边三角形得到，然后结合旋转的性质得到，然后证明出，然后由得到与互相平分，证明出四边形是菱形； （3）根据题意分两种情况：当点在上方时，连接，首先由得到，然后结合旋转的性质得到，证明出点A，，三点共线，然后得到；当点在线段下方时，首先由和旋转的性质得到是等边三角形，然后利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）， 证明：∵四边形是矩形， ∴， 又∵， ∴，， 由旋转可得，， ∴是等边三角形， ∴， ∴； （2）四边形是菱形． 理由：由（1）得是等边三角形， ∴， 由旋转得，，，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∵，点E是线段的中点， ∴， 又∵，，， ∴， 又∵， ∴， ∴与互相平分， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴平行四边形是菱形； （3）如图所示，当点在上方时，连接， ∵， ∴， 由旋转可得，，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴点A，，三点共线， ∴， ∴，， ∴； 如图所示，当点在线段下方时， 由旋转可得，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴． 综上所述，当时，点与点之间的距离为6或． 【点睛】本题属于四边形旋转综合题，主要考查了矩形的性质，勾股定理，等边三角形的判定与性质，旋转的性质的综合应用，熟练掌握矩形的性质，勾股定理，等边三角形的判定与性质，旋转的性质是解题的关键． ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第03讲 矩形的性质 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1.掌握矩形的概念和性质，理解矩形与平行四边形的区别与联系； 2．掌握矩形的概念与有关性质，会用这些知识进行简单的推理与计算； 3．在了解矩形与平行四边形之间的关系，掌握、运用矩形性质的过程中，渗透数形结合、转化化归与方程思想，进一步提高分析问题与解决问题的能力。 一、矩形的定义 定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形. 要点：矩形定义的两个要素：①是平行四边形；②有一个角是直角.即矩形首先是一个平行四边形，然后增加一个角是直角这个特殊条件. 二、矩形的性质 矩形的性质包括四个方面： 1.矩形具有平行四边形的所有性质； 2.矩形的对角线相等； 3.矩形的四个角都是直角； 4.矩形是轴对称图形，它有两条对称轴. 要点：（1）矩形是特殊的平行四边形，因而也是中心对称图形.过中心的任意直线可将矩形分成完全全等的两部分. （2）矩形也是轴对称图形，有两条对称轴（分别通过对边中点的直线）.对称轴的交点就是对角线的交点（即对称中心）. （3）矩形是特殊的平行四边形，矩形具有平行四边形的所有性质，从而矩形的性质可以归结为从三个方面看：从边看，矩形对边平行且相等；从角看，矩形四个角都是直角；从对角线看，矩形的对角线互相平分且相等. 考点一：矩形性质理解 例1．（2023·重庆沙坪坝·模拟预测）下列命题正确的是（　　） A．矩形的四个角都相等 B．矩形的四条边都相等 C．矩形的对角线互相垂直 D．矩形的对角线平分内角 【变式1-1】（23-24八年级下·广东江门·期中）菱形具有而矩形不一定具有的性质是（   ） A．对角相等 B．邻角互补 C．对角线互相平分 D．对角线互相垂直 【变式1-2】（23-24八年级下·河南濮阳·期中）矩形不一定具有的性质是（      ） A．对角线垂直 B．四个角都是直角 C．是轴对称图形 D．对角线相等 【变式1-3】（2024·河南鹤壁·一模）矩形具有而菱形不具有的性质是（    ） A．两组对边分别平行 B．两组对角分别相等 C．对角线相等 D．对角线互相平分 考点二：利用矩形的性质求角度 例2.（23-24八年级下·辽宁鞍山·期中）如图，在矩形中，点是延长线上一点，连接，若则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】（2024·四川凉山·二模）如图，矩形的对角线相交于点，过点作，交于点，连接．若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（2024八年级下·全国·专题练习）如图，延长矩形的边至点，使，连接，若，则的度数是（　　） A． B． C． D． 【变式2-3】（2024八年级下·浙江·专题练习）如图，在矩形中，对角线、相交于点，于点，，则的大小是（    ） A． B． C． D． 考点三：利用矩形的性质求线段长 例3. （23-24八年级下·浙江杭州·期中）如图，矩形中，，，在边上取一点E，使，过点C作，垂足为点F，则的长为 . 【变式3-1】（23-24八年级下·湖南衡阳·阶段练习）如图，在矩形中，对角线，交于点O，若，则的长为 ． 【变式3-2】（23-24八年级下·湖北襄阳·期中）如图，在矩形中，分别是上的点，分别是的中点，，，则线段的长为 ． 【变式3-3】（23-24八年级下·江苏无锡·期中）如图，矩形中，，，对角线、相交于点，点是线段上任意一点，且于点，于点，则的值是 ． 考点四：利用矩形的性质求面积 例4. （2024·陕西西安·模拟预测）如图，点是矩形的对称中心，，分别是边，上的点，且，已知矩形的面积是32，那么图中阴影部分的面积为 ． 【变式4-1】（23-24八年级下·福建南平·期中）如图，矩形的对角线交于点O，，，则矩形的面积是 ． 【变式4-2】（23-24七年级下·上海金山·期中）如图，长方形中，点E、F分别为边上的任意点，、的面积分别为15和25，那么四边形的面积为 ． 【变式4-3】（23-24八年级下·江苏南京·期中）如图，矩形中，，，点E、F、G、H分别在、 、、上，且，．点P为矩形内一点，四边形、四边形的面积分别记为、，则 ． 考点五：求矩形在坐标系中的坐标 例5. （22-23九年级下·山东济南·阶段练习）在平面直角坐标系中，长方形如图所示，，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】（22-23八年级下·天津东丽·期末）如图，四边形是矩形，三点的坐标分别是，，，对角线交点为，则点的坐标是 ．    【变式5-2】（22-23八年级下·重庆江津·期中）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点，，点在轴上，则点的坐标为 ． 【变式5-3】（21-22九年级上·福建三明·期中）如图，矩形OABC的顶点B的坐标为（4，3），则对角线AC的长等于 ． 考点六：利用矩形的性质证明 例6. （23-24八年级下·辽宁葫芦岛·期中）如图所示，在矩形中，对角线的垂直平分线分别交于点，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求菱形的面积． 【变式6-1】（23-24九年级下·辽宁鞍山·期中）如图，矩形中，过对角线的中点O作直线，分别交于点E，F，求证：． 【变式6-2】（2024·四川南充·三模）如图，在矩形中，点E在边上，且，过点D作于点F． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【变式6-3】（23-24八年级下·湖北武汉·阶段练习）如图，矩形的对角线，交于点，且，． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，请直接写出菱形的面积． 考点七：矩形与折叠问题 例7. （23-24八年级下·北京昌平·期中）矩形ABCD中，，，按如图方式折叠，使点B落与点D重合，折痕为，则 ． 【变式7-1】（23-24八年级下·辽宁大连·期中）如图，在矩形中，，，E是边上一点，将沿折叠，使点B落在点F处，连接．当为直角三角形时，的长是 ． 【变式7-2】（2024·河南驻马店·二模）如图所示，在矩形中，，点P在上，且，点E是线段上不与端点重合的一个动点，连接，将关于直线对称的三角形记作，若垂直于矩形的任意一边，则线段的长是 ． 【变式7-3】（2024·河南新乡·二模）如图，矩形中，，点是边上的一动点（点不与点，重合），连接，把沿所在直线翻折得到，则当点落在矩形的边所在的直线上时，的长为 ． 考点八：斜边的中线等于斜边的一半 例8. （23-24八年级下·江苏南京·期中）如图，在中，，、、分别为、、的中点，若，则 ． 【变式8-1】（23-24八年级下·内蒙古呼和浩特·期中）如图，在中，，于点D，E是斜边的中点，已知，，则的面积为 ． 【变式8-2】（2024·重庆·一模）如图，在矩形中，，矩形外一点E满足，点O为对角线的中点，则的长度为 ． 【变式8-3】（2024八年级下·江苏·专题练习）如图，将矩形绕点顺时针旋转得到矩形，、分别是、的中点，若，，则的长为 ．    一、单选题 1．（23-24八年级下·湖北武汉·期中）矩形是特殊的平行四边形，下列性质矩形具有而平行四边形不一定具有的是（   ） A．对边平行 B．对边相等 C．对角线互相平分 D．对角线相等 2．（23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，矩形中，点E在上，且平分，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 3．（2024·陕西渭南·三模）如图，在矩形中，，延长到点E，连接交于点G，点F为的中点，连接、，若，，则的长为（    ） A．8 B．6 C．5 D．4 4．（23-24八年级下·河南漯河·期中）数学家吴文俊院士非常重视古代数学家贾宪提出的“从长方形对角线上任一点作两条分别平行于两邻边的直线，则所容两长方形面积相等（如图）”这一推论，他从这一推论出发，利用“出入相补”原理复原了《海岛算经》九题古证，下列结论一定成立的是（   ） ①；②；③；④ A．②③④ B．①②④ C．①②③ D．①②③④ 5．（2023·河南商丘·二模）如图，在平面直角坐标系中，四边形为矩形，点，分别在轴、轴上，且点，为边上一点，将沿所在直线翻折，当点的对应点恰好落在对角线上时，点的坐标为(    ) A． B． C． D． 二、填空题 6．（23-24八年级下·云南昆明·期中）如图，在中，，，是的中点，且，则 ．    7．（2024八年级下·浙江·专题练习）如图，在矩形中，连接，延长至点，使，连接，若，则的度数是 °． 8．（2024八年级下·全国·专题练习）如图，，矩形的顶点A、B分别在边、上，当B在边上运动时，A随之在上运动，矩形的形状保持不变，其中，．运动过程中点D到点O的最大距离是 ． 9．（2024·海南·一模）如图，四边形是矩形，点是边上一动点，将沿直线折叠，点落在点处，连接并延长，交边于点，则 ；若，的面积是，则的长为 ． 10．（2024·黑龙江佳木斯·三模）在矩形中，M为对角线和的交点，点N在边所在的直线上，且．当是直角三角形时，的长为 ． 三、解答题 11．（22-23八年级下·安徽芜湖·期末）如图，、是矩形边上的两点，．    (1)若，则______°； (2)求证：． 12．（2024·浙江金华·二模）如图，在矩形中，E是上一点，且，过点D作于点F． (1)求证：． (2)已知，．求的长． 13．（2024·江苏南京·一模）如图，已知矩形，点，分别在的延长线和的延长线上，且． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)已知，．当的长为 时，四边形是菱形． 14．（23-24八年级下·浙江金华·期中）如图，在矩形中，，点D为对角线中点，点E在所在的直线上运动，连结，把沿翻折，点O的对应点为点F，连结． (1)当点F在下方时（如图1），求证：． (2)当点F落在矩形的对称轴上时，求的长． (3)是否存在点E，使得以D，E，F，B为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求的长；若不存在，请说明理由． 15．（2024·山东临沂·一模）在数学活动课上，李老师给同学们提供了一个矩形（如图1），其中，连接对角线，且，要求各小组以图形的旋转为主题开展数学活动．以下是部分小组的探究过程，请你参与活动并解答所提出的问题： (1)如图2，“奋勇”小组将绕点D旋转得到，当点落到对角线上时，与交于点F，试猜想线段与的数量关系，并加以证明； (2)“勤学”小组在“奋勇”小组的基础上，取的中点E，连接，试判断四边形的形状，并说明理由； (3)在绕点D旋转的过程中，当时，求点A与点之间的距离，请你思考此问题，直接写出答案． ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$