第02讲 勾股定理逆定理【六大考点+过关测】- 【暑假自学课】2024年新八年级数学暑假提升精品讲义（北师大版）

第02讲 勾股定理逆定理 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1．经历勾股定理的逆定理的探索过程，知道勾股定理与逆定理的联系与区别； 2．能用勾股定理的逆定理解决一些简单的实际问题； 3．初步认识勾股定理的逆定理的重要意义，会用勾股定理就解决一些几何问题. 知识点1：勾股定理逆定理 1.定义：如果三角形的三条边长，满足，那么这个三角形是直角三角形. 注意：（1）勾股定理的逆定理的作用是判定某一个三角形是否是直角三角形. （2）勾股定理的逆定理是把“数”转为“形”，是通过计算来判定一个三角形是否为直角三角形. 2.如何判定一个三角形是否是直角三角形 （1）首先确定最大边（如）. （2）验证与是否具有相等关系.若，则△ABC是∠C＝90°的直角三角形；若，则△ABC不是直角三角形. 注意：当时，此三角形为钝角三角形；当时，此三角形为锐角三角形，其中为三角形的最大边. 知识点2：勾股数 像 15，8，17 这样，能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数. 勾股数满足两个条件：①满足勾股定理 ②三个正整数 考点一：勾股数的判定 例1．（23-24八年级下·广东湛江·阶段练习）下列四组数中，是勾股数的是（    ） A．5，12，13 B．4，5，6 C．2，5，6 D．1，2，3 【答案】A 【分析】本题考查了勾股数．解题的关键是理解勾股数的定义：有a，b，c三个正整数，满足，称为勾股数．想要判定是否为勾股数，必须根据勾股数是正整数，同时还需验证两条较短边的平方和是否等于最长边的平方． 【详解】解：A． ，能构成勾股数，故该选项正确； B． ，不能构成勾股数，故该选项错误； C．，不能构成勾股数，故该选项错误； D． ，不能构成勾股数，故该选项错误． 故选A． 【变式1-1】（23-24七年级下·陕西西安·阶段练习）我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中．下列各组数中，是“勾股数”的是（    ） A．7，8，9 B．5，12，13 C．4，5，6 D．2，3，4 【答案】B 【分析】本题主要考查了勾股数，关键是掌握勾股数的定义：若三个正整数、、满足，则称、、为勾股数．根据“勾股数”的定义，逐项判断，即可求解． 【详解】解：A、，不是“勾股数”，不符合题意； B、，是“勾股数”，符合题意； C、，不是“勾股数”，不符合题意； D、，不是“勾股数”，不符合题意； 故选：B． 【变式1-2】（23-24八年级下·广西来宾·期中）下列各组数是勾股数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查勾股数，根据勾股数是满足的三个正整数逐项判断即可． 【详解】解：A、∵，∴不是勾股数，不符合题意； B、∵，∴不是勾股数，不符合题意； C、∵都不是整数，∴不是勾股数，不符合题意； D、∵，∴是勾股数，符合题意； 故选：D． 【变式1-3】（23-24八年级下·江西新余·期中）下列各组数中，为勾股数的是（    ） A．9，40，41 B．5，6，7 C．，， D．，， 【答案】A 【分析】本题考查了勾股数的定义，勾股数就是可以构成一个直角三角形三边的一组正整数，根据勾股数的定义逐项判断即可． 【详解】解：A、，9，40，41是勾股数，故此选项符合题意； B、，5，6，7不是勾股数，故此选项不符合题意； C、，不是正整数，，，不是勾股数，故此选项不符合题意； D、，，不是正整数，，，不是勾股数，故此选项不符合题意； 故选：A． 考点二：判断三边能否构成直角三角形 例2.（23-24八年级下·安徽淮北·期中）在中，，，的对边分别是a，b，c．下列条件不能说明是直角三角形的是（    ） A． B． C． D．，， 【答案】D 【分析】本题考查了直角三角形的判定，勾股定理的逆定理，正确理解勾股定理的逆定理是解题的关键．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可． 【详解】A、， ， ， ， ， 是直角三角形， 故此选项正确，不符合题意； B、设，则，， ， 是直角三角形， 故此选项正确，不符合题意； C、， ， ， 是直角三角形， 故此选项正确，不符合题意； D、，，， ， 不是直角三角形， 故此选项错误，符合题意． 故选D． 【变式2-1】（23-24八年级上·四川成都·期中）满足下列条件的，其中是直角三角形的为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理和三角形的内角和定理，能理解勾股定理的逆定理的内容是解此题的关键． 根据三角形的内角和定理和勾股定理的逆定理逐个判断即可． 【详解】解：A、，， ∴最大角为， 不是直角三角形， 故该选项不符合题意； B、设分别为， ， ， 是直角三角形， 故本选项符合题意； C、， ∴不符合三角形三边关系， 故本选项不符合题意； D、， ， 不是直角三角形， 故该选项不符合题意； 故选：B． 【变式2-2】（23-24八年级下·云南昭通·期中）下列条件中，不能判断为直角三角形的是（　　） A．，， B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查勾股定理和三角形内角和定理，掌握判定直角三角形的方法是解题的关键， A、根据勾股定理的逆定理进行判定即可， B、根据比值并结合勾股定理的逆定理即可判断出三角形的形状， C、根据三角形的内角和为度，即可计算出的值， D、根据角的比值求出各角的度数，便可判断出三角形的形状． 【详解】A、当，，， ，故是直角三角形； B、当时，设，，， 则，故是直角三角形， C、当时， ∵， ∴，则，故是直角三角形， D、当时， ∵， 则最大角为，故不是直角三角形， 故选：D． 【变式2-3】（23-24八年级下·内蒙古呼和浩特·期中）中，、、的对边分别为、、，下列条件中，不能判定是直角三角形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理和勾股定理的逆定理，根据三角形内角和定理即可判断A、C；如果三角形的三边长，，满足，那么这个三角形就是直角三角形，据此可判断B、D． 【详解】解：A、∵，， ∴，，， ∴不是直角三角形，符合题意； B、∵， ∴， ∴， ∴是直角三角形，不符合题意； C、∵，且， ∴， ∴是直角三角形，不符合题意； D、∵， ∴设，，，且， ∴是直角三角形，不符合题意； 故选：A． 考点三：在网格中判断直角三角形 例3. （23-24八年级下·云南昭通·期中）如图，在每个小正方形边长都为1的网格图中，顶点都在格点上，下列结论不正确的是（    ） A． B．的面积为5 C． D．点到的距离为 【答案】D 【分析】本题考查的是勾股定理及其逆定理，利用网格图计算三角形的面积，点到直线的距离．熟练掌握勾股定理及其逆定理是解题的关键． 利用勾股定理求出长可判定A，利用网格图计算三角形的面积可判定B，利用勾股定理及其逆定理判定C；利用面积公式求出边的高，即可利用点到直线的距离判定D． 【详解】解：A． ∵， ∴，本选项结论正确，不符合题意； B．，本选项结论正确，不符合题意； C．，，， ， ，本选项结论正确，不符合题意； D．点A到的距离，本选项结论错误，符合题意； 故答案为：D 【变式3-1】（2024八年级下·全国·专题练习）如图，在四个均由十六个小正方形组成的正方形网格中，各有一个三角形，那么这四个三角形中，不是直角三角形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是勾股定理及其逆定理，熟知如果三角形的三边长，，满足，那么这个三角形就是直角三角形是解答此题的关键． 根据勾股定理及其逆定理对各选项进行逐一判断即可． 【详解】解： A、如图： ，，， 不是直角三角形，故本选项符合题意； B、如图： ，，， 是直角三角形，故本选项不符合题意； C、如图： ，，， 是直角三角形，故本选项不符合题意； D、如图： ，，， 是直角三角形，故本选项不符合题意． 故选：A． 【变式3-2】（23-24八年级下·辽宁鞍山·期中）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1．    (1)求的周长； (2)若点为直线上任意一点，则线段的最小值为________． 【答案】(1) (2)2 【分析】此题考查了勾股定理与网格、勾股定理逆定理等知识，准确掌握勾股定理及其逆定理是解题的关键． （1）利用勾股定理求出各边的长，求和即可得到的周长； （2）过作，证明是直角三角形，为斜边，利用等积法即可求出答案． 【详解】（1）解：，，， 的周长； （2）过作，    ∵， ∴是直角三角形，为斜边， 的面积， 即， 解得， 即线段的最小值为． 【变式3-3】（23-24八年级下·广东珠海·期中）如图，四边形的四个顶点都在网格上，且每个小正方形的边长都为1．    (1)求四边形的面积； (2)判断线段和的位置关系，并说明理由． 【答案】(1)17.5 (2)，理由见解析 【分析】本题考查了四边形的面积，三角形的面积，勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键． （1）根据四边形的面积等于长方形的面积减去四个直角三角形的面积和一个小长方形的面积计算即可； （2）根据勾股定理的逆定理判断即可． 【详解】（1）解：四边形的面积为： ； （2）解：， 理由：如图，连接，   ，，， ， 是直角三角形且， 即． 考点四：利用勾股定理的逆定理求解 例4. （23-24八年级下·江西吉安·阶段练习）在四边形中，已知，，，． (1)连接，试判断的形状，并说明理由； (2)求的度数． 【答案】(1)为等边三角形，理由见解析. (2)． 【分析】本题考查了等边三角形的判定和性质，直角三角形的判定和性质． （1）连接，根据，，得出是等边三角形即可； （2）根据勾股定理的逆定理判断三角形是直角三角形，从而求得． 【详解】（1）解：是等边三角形． ，， 是等边三角形； （2）解：是等边三角形， ，， 在中，，， ， ， ． 【变式4-1】（23-24八年级下·云南昭通·期中）如图，在中，，垂足为．    (1)求的长； (2)判断的形状，并说明理由． 【答案】(1)20 (2)是直角三角形，理由见解析 【分析】本题考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，正确理解定理是关键． （1）在直角中利用勾股定理即可求解． （2）利用勾股定理的逆定理即可判断． 【详解】（1）解：， 是直角三角形，． ． （2）是直角三角形，理由如下： ， 是直角三角形，． ， ． ， 是直角三角形，是直角． 【变式4-2】（23-24八年级下·重庆长寿·期中）如图，在四边形中，已知，，，，． (1)求线段的长； (2)求证：是直角三角形． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查勾股定理，勾股定理的逆定理： （1）先根据含30度角的直角三角形的性质得出，再根据勾股定理得出答案即可； （2）得出，即，即可得出结论． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， ∴； （2）证明：∵，，， ∴，即， ∴， ∴是直角三角形． 【变式4-3】（23-24八年级下·湖北黄石·期中）如图，四边形中，，为对角线，于E，． (1)确定的度数； (2)求线段的长． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）由勾股定理求出的长，再利用勾股定理的逆定理即可作出判断； （2）利用等面积法即可求解． 本题考查了勾股定理及其逆定理，掌握等积法是关键． 【详解】（1）证明：在直角中，，，， ． ，， ， 是直角三角形，且． （2）解：， ． 考点五：勾股定理逆定理的实际应用 例5. （23-24八年级下·广东湛江·阶段练习）如图，在一条东西走向河流的一侧有一村庄，河边原有两个取水点，，由于某种原因，由到的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点（，，）在同一条直线上），并新修一条路，测得千米，千米，千米．问是否为从村庄到河边最近的路？请说明理由．    【答案】是，理由见解析 【分析】此题考查勾股定理的逆定理的应用、垂线段最短，熟练掌握勾股逆定理是解决本题的关键．根据勾股定理的逆定理验证为直角三角形，进而得到，再根据点到直线的距离垂线段最短即可解答； 【详解】解：是，理由如下： 在中，∵， 即， ∴为直角三角形，且， ∴， 由点到直线的距离垂线段最短可知，是从村庄到河边的最近路； 【变式5-1】（23-24八年级下·陕西西安·期中）如图，阳光中学有一块四边形的空地，为了绿化环境，学校计划在空地上种植草皮．经测量，若每平方米草皮需要100元，种植这块草皮需要投入多少资金?（其他费用不计） 【答案】11400元 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理及逆定理是解本题的关键．连接，在中，利用勾股定理求出，再利用勾股定理的逆定理判断得到，最后利用即可解答． 【详解】解：解：如图，连接， 在中，， 在中，，， 而， 即， 为直角三角形， ， ， 所以需费用 (元)． 【变式5-2】（23-24八年级下·广东广州·期中）如图，在笔直的公路旁有一座山，从山另一边的C处到公路上的停靠站A的距离为，与公路上另一停靠站B的距离为，停靠站A，B之间的距离为，为方便运输货物现要从公路上的D处开凿隧道修通一条公路到C处，且． (1)求证：； (2)求修建的公路的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了勾股定理，勾股定理逆定理的应用，以及三角形的面积公式等知识，熟练掌握这两个定理是解题关键． （1）根据勾股定理的逆定理，由得到是直角三角形，进而得解； （2）利用的面积公式可得，，从而求出的长． 【详解】（1）解：证明：∵，，，， ∴， ∴． （2）∵， ∴， ∴． 答：修建的公路的长是． 【变式5-3】（23-24八年级下·河北衡水·阶段练习）如图，某社区有一块四边形空地，，，．从点A修了一条垂直的小路（垂足为E），E恰好是的中点，且． (1)求边的长； (2)连接，判断的形状； (3)求这块空地的面积． 【答案】(1) (2)是直角三角形 (3)这块空地的面积为 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，三角形的面积计算，掌握勾股定理和三角形面积公式是解题关键． （1）利用勾股定理以及线段中点的性质即可． （2）通过计算三条边的长度，根据勾股定理的逆定理来判断三角形的形状． （3）把四边形的面积分割成两个三角形的面积来计算． 【详解】（1）解：， ． 在中， ，， ． 是的中点， ． （2）解：，是的中点， ． ，， ， ， 是直角三角形． （3）解：由（2）可知，是直角三角形，， ， 由（1）可知，， 这块空地得面积为：． 考点六：勾股定理逆定理的拓展问题 例6. （23-24八年级上·江苏徐州·期中）在中，，设为最长边，当时，是直角三角形；当时，利用代数式和的大小关系，探究的形状（按角分类）． (1)当三边分别为6、8、9时，为________三角形；当三边分别为6、8、11时，为________三角形； (2)猜想：当________时，为锐角三角形；当________时，为钝角三角形；（填“>”或“<”或“=”） (3)判断：当时， 当为直角三角形时，则的取值为________； 当为锐角三角形时，则的取值范围________； 当为钝角三角形时，则的取值范围________． 【答案】(1)锐角；钝角 (2) (3)①；②；③ 【分析】本题主要考查勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键． （1）当两直角边为6、8时，利用勾股定理可得斜边的长度，当三角形最长的边小于所求边为锐角三角形，反之为钝角三角形； （2）根据勾股定理的逆定理即可得出结论； （3）当为直角三角形时，可求出，再根据勾股定理的逆定理求出下面情况的取值范围． 【详解】（1）解：当两直角边为6、8时，斜边 当三边分别为6、8、9时，为锐角三角形 当三边分别为6、8、11时，为钝角三角形 （2）解：由勾股定理逆定理可得， 当时，为锐角三角形； 当时，为钝角三角形； （3）解：当为直角三角形时，； 当为锐角三角形时，， ； 当为钝角三角形时，， 则的取值范围为， 两边之和大于第三边， ． 【变式6-1】（21-22八年级下·福建厦门·期中）定义：如图，点M，N（点M在N的左侧）把线段AB分割成AM，MN，NB．若以AM，MN，NB为边的三角形是一个直角三角形，则称点M、N是线段AB的购股分割． (1)已知M、N把线段AB分割成AM，MN，BN，若，，，则点M、N是线段AB的勾股分割点吗？请说明理由； (2)已知点M、N是线段AB的勾股分割点，且AM为直角边，若，，求BN的长． 【答案】(1)是，理由见解析 (2)BN＝12或13 【分析】（1）根据勾股定理逆定理，即可判断点M、N是线段AB的勾股分割点． （2）设BN＝x，则MN＝30−AM−BN＝25−x，分三种情形①当AM为最大线段时，依题意AM2＝MN2＋BN2，②当MN为最大线段时，依题意MN2＝AM2＋NB2，③当BN为最大线段时，依题意BN2＝AM2＋MN2，分别列出方程即可解决问题． 【详解】（1）是．理由如下： ∵AM2＋BN2＝1.52＋22＝6.25，MN2＝2.52＝6.25， ∴AM2＋NB2＝MN2， ∴AM、MN、NB为边的三角形是一个直角三角形， ∴点M、N是线段AB的勾股分割点． （2）设BN＝x，则MN＝30−AM−BN＝25−x， ①当MN为最大线段时，依题意MN2＝AM2＋NB2， 即（25−x）2＝x2＋25， 解得x＝12； ②当BN为最大线段时，依题意BN2＝AM2＋MN2． 即x2＝25＋（25−x）2， 解得x＝13， 综上所述，BN＝12或13． 【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理的运用，解题的关键是理解题意，学会分类讨论，注意不能漏解． 【变式6-2】（20-21九年级上·江苏苏州·阶段练习）阅读下列内容：设a，b，c是一个三角形的三条边的长，且a是最长边，我们可以利用a，b，c三条边长度之间的关系来判断这个三角形的形状：①若，则该三角形是直角三角形；②若，则该三角形是钝角三角形；③若，则该三角形是锐角三角形．例如：若一个三角形的三边长分别是4，5，6，则最长边是6，，故由③可知该三角形是锐角三角形，请解答以下问题： （1）若一个三角形的三边长分别是7，8，9，则该三角形是________三角形． （2）若一个三角形的三边长分别是5，12，x．且这个三角形是直角三角形，求的值． （3）当，时，判断的形状，并求出对应的的取值范围． 【答案】（1）锐角；（2）169或119；（3）见解析 【分析】（1）直接利用定义结合三角形三边得出答案； （2）直接利用勾股定理得出x2的值； （3）分△ABC为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形结合三边关系得出答案． 【详解】解：（1）∵72+82=49+64=113＞92， ∴三角形是锐角三角形， 故答案为：锐角； （2）∵这个三角形是直角三角形，当x为斜边， ∴52+122=x2， ∴x2=169， 当12是斜边， 则52+x2=122， 解得：x2=119， 故x2的值为169或119； （3）∵a=2，b=4， ∴， ∴， 若△ABC是钝角三角形， 则或， 则或， ∴或； 若△ABC是直角三角形， 则或， 则或； 若△ABC是锐角三角形， 则或， 则或， ∴． 【点睛】此题主要考查了勾股定理及其逆定理以及三角形的三边关系，正确进行相关计算是解题关键． 【变式6-3】（23-24八年级下·福建莆田·阶段练习）定义：若a，b，c是的三边，且，则称为“方倍三角形”． (1)对于①等边三角形②直角三角形，下列说法一定正确的是 ． A．①一定是“方倍三角形”                B．②一定是“方倍三角形” C．①②都一定是“方倍三角形”            D．①②都一定不是“方倍三角形” (2)如图，中，，，P为边上一点，将沿直线进行折叠，点A落在点D处，连接，．若为“方倍三角形”，且，求的面积． 【答案】(1)A (2) 【分析】本题考查了翻折变换、等边三角形的性质，解决本题的关键是掌握等边三角形的性质． （1）根据“方倍三角形”定义可得，等边三角形一定是“方倍三角形”，直角三角形不一定是“方倍三角形”进而可以判断； （2）根据题意可得，根据“方倍三角形”定义可得为等边三角形，从而证明为等腰直角三角形，可得，延长交于点，根据勾股定理求出的长，根据为等腰直角三角形，可得，进而可以求的面积． 【详解】（1）解：对于①等边三角形，三边相等， 设边长为， 则， 根据“方倍三角形”定义可知： 等边三角形一定是“方倍三角形”； 对于②直角三角形，三边满足关系式： ， 根据“方倍三角形”定义可知： 直角三角形不一定是“方倍三角形”； 故答案为：； （2）由题意可知： ， ，， 根据“方倍三角形”定义可知： ， ， 为等边三角形，， ， ， ， ， ， ，， ， ， 为等腰直角三角形， ， ， 延长交于点，如图， ， ，， ， ， ， 为等腰直角三角形， ， ． 一、单选题 1．（23-24八年级下·广西桂林·期中）下列各组数是勾股数的是（　　） A．，， B．，， C．，，52 D．，， 【答案】B 【分析】本题考查了勾股数的定义、勾股定理的逆定理，根据勾股数的定义“凡是可以构成一个直角三角形三边的一组正整数，称之为勾股数”，逐项验证即可，掌握勾股数的定义、计算判断是解题的关键． 【详解】解：A、，故该组数不是勾股数，不符合题意； B、，故该组数是勾股数，符合题意； C、，故该组数不是勾股数，不符合题意； D、，故该组数不是勾股数，不符合题意； 故选：B． 2．（23-24八年级下·河南洛阳·期中）已知的三边分别为a，b，c，下列条件不能判定为直角三角形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了三角形的内角和，勾股定理的逆定理，解题的关键是熟练运用三角形的性质，本题属于基础题型． 【详解】A、∵，，，，则 ∴，，， ∴不是直角三角形，故符合题意； B、，, ∴， ∴是直角三角形，故不符合题意； C、∵，即， ∴是直角三角形，故不符合题意； D、∵， ∴， ∴是直角三角形，故不符合题意； 故选：A． 3．（23-24八年级下·江苏南通·期中）如图，正方形网格中的，若小方格边长为1，则的形状为（    ） A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．以上答案都不对 【答案】A 【分析】考查了勾股定理的逆定理，解答此题要用到勾股定理的逆定理：已知三角形的三边满足，则三角形是直角三角形．根据勾股定理求得各边的长，再利用勾股定理的逆定理进行判定，从而不难得到其形状． 【详解】解：正方形小方格边长为1， ， ， ， 在中， ，， ， 是直角三角形． 故选：A 4．（23-24八年级下·辽宁沈阳·期中）如图，在中， ，若点A到的距离是1，则与之间的距离是（  ） A． B．2 C． D．3 【答案】A 【分析】本题考查勾股定理逆定理、三角形面积公式和点到直线的距离，根据三角形面积公式求出点A到的距离，即可求得与之间的距离． 【详解】解：∵， ∴为直角三角形， ∴， 设点A到的距离是h， ∴， ∴， ∴， ∵点A到的距离是1，， ∴与之间的距离为：， 故选：A． 5．（23-24八年级下·广西百色·期中）如图，在中，，，，已知点D是的中点，连接，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是勾股定理与勾股定理的逆定理的应用，熟记勾股定理与勾股定理的逆定理是解本题的关键． 先利用勾股定理逆定理得出，再利用勾股定理求解可得答案． 【详解】解：∵，点D是的中点， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故选C 二、填空题 6．（23-24八年级下·湖北孝感·期中）如图，每个小正方形的边长都为，、、是小正方形的顶点，则 【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，等腰直角三角形的性质与判定，利用勾股定理和勾股定理的逆定理证明是等腰直角三角，且，则． 【详解】解：如图所示，连接， 由网格的特点和勾股定理得，， ∴， ∴是等腰直角三角形，且， ∴， 故答案为：． 7．（23-24八年级下·甘肃庆阳·期中）已知的三边长满足，则的形状是 ． 【答案】直角三角形 【分析】本体考查了非负数的性质，勾股定理的逆定理，利用非负数的性质求出a、b、c的值，然后利用勾股定理的逆定理判断即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴是直角三角形， 故答案为：直角三角形 8．（23-24八年级下·全国·假期作业）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，的顶点均在格点上，则的大小为 ． 【答案】/90度 【分析】本题考查勾股定理及其逆定理．勾股定理求出三条边的长，再利用勾股定理逆定理得到，即可． 【详解】解：由勾股定理，得：， ∴， ∴； 故答案为：． 9．（2024七年级下·全国·专题练习）如图，是直线外一点，、、三点在直线上，且于点，，若，，，，则点到直线的距离是 ． 【答案】4 【分析】此题主要考查了点到直线的距离，勾股定理的逆定理，理解点到直线距离的定义，熟练掌握勾股定理的逆定理是解决问题的关键．先利用勾股定理的逆定理证明为直角三角形，得，然后再根据点到直线距离的定义可得出答案． 【详解】解：，，， ， 为直角三角形，即， ， 点到直线的距离是是线段的长， 即点到直线的距离是是4． 故答案为：4． 10．（23-24八年级下·河北廊坊·期中）如图，在中，，，．利用尺规在，上分别截取，，使；分别以为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在内交于点；作射线交于点．则 度， ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，角平分线的性质，掌握作角平分线的方法，角平分线的性质，勾股定理及其逆定理的运用是解题的关键． 根据勾股定理的逆定理可求出是直角三角形，求出；过点作，根据角平分线的性质，勾股定理可求出的值． 【详解】解：∵， ∴， ∴是直角三角形， ∴； 根据作图可得是角平分线，如图所示，过点作于点， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 解得，， ∴； 故答案为：， ． 三、解答题 11．（23-24八年级下·湖北武汉·期中）如图，在中，是边上一点，，，． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)见详解 (2)14 【分析】本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理，以及勾股定理的逆定理是解题的关键． （1）先利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形，从而可得，即可解答； （2）利用（1）的结论可得：，然后在中，利用勾股定理求出的长，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答． 【详解】（1）证明：，，， ，， ， 是直角三角形， ， ； （2）解：， ， ，， ， ， ， 的长为14． 12．（23-24八年级下·甘肃庆阳·期中）如图，有一艘货船和一艘客船同时从港口A出发，客船与货船速度的比为，出发后，客船比货船多走了，货船沿东偏南方向航行，后货船到达处，客船到达C处，若此时两船相距． (1)货船的速度为 ，客船的速度为 ； (2)求客船航行的方向． 【答案】(1)15，20 (2)客船航行的方向为北偏东方向 【分析】本题主要考查了方向角，勾股逆定理的应用以及一元一次方程的应用．正确得出的长是解题的关键． （1）设客船与货船的速度分别是海里/小时和海里/小时，依据客船1小时比货船多走5海里，列方程求解即可； （2）依据，可得是直角三角形，且，再根据货船航行方向，即可得到客船航行的方向． 【详解】（1）解：设客船与货船的速度分别是海里/小时和海里/小时， 根据题意得 解得 ∴， 即客船与货船的速度分别是和海里/小时； 故答案为：15，20． （2）∵，， ∴ ∴为直角三角形且， ∵货船沿东偏南方向航行， 即， ∵， ∴ 即客船航行的方向为北偏东． 13．（23-24八年级下·四川泸州·期中）如图，正方形网格中，每个小正方形的边长为1， (1)求网格上的的周长． (2)请判断是不是直角三角形，并说明理由． (3)点P是边上的一个动点，则线段的最小值为 ． 【答案】(1) (2)是直角三角形，理由见解析； (3)4 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，以及垂线段最短．先根据勾股定理求出的三条边长，再根据勾股定理的逆定理判定即可，灵活运用勾股定理及其逆定理是解题的关键． （1）利用勾股定理求出的三边长，即可求出周长； （2）利用勾股定理逆定理判定即可； （3）根据点到直线的距离，垂线段最短即可求解； 【详解】（1）利用勾股定理可得， ，，， 的周长为． （2） , 是直角三角形． （3）过点作于点， 则此时线段取得最小值， ， ． 14．（23-24八年级下·云南昆明·期中）如图，在中，内角，，所对应的边分别为，，． (1)若，，满足，求证：是直角三角形． (2)若，，（其中，都是正整数，且），求证：是直角三角形． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）由题中条件，利用平方差公式、完全平方和公式恒等变形得到，由勾股定理的逆定理即可得证是直角三角形； （2）由，，得到；；；从而得到，由勾股定理的逆定理即可得证是直角三角形． 【详解】（1）证明：，，满足， ，即， ，则是直角三角形； （2）证明：，，， ；；； ， ，则，即是直角三角形． 【点睛】本题考查勾股定理的逆定理判定三角形是直角三角形，涉及平方差公式、完全平方公式等知识，熟练掌握平方差公式、完全平方公式恒等变形及勾股定理的逆定理是解决问题的关键． 15．（23-24七年级下·黑龙江大庆·期中）如图，A村和B村相距1500米，经过A村和B村（将A，B村看成直线l上的点）的笔直公路l旁有一块山地正在开发，现需要在C处进行爆破．C处与B村的距离为1200米，C处与A村相距900米．    (1)判断爆破点C与A、B两村围成的三角形形状，并求爆破点C到公路l的距离； (2)已知爆破点C周围750米之外为安全范围，在进行爆破时，公路段是否有危险而需要封锁？如果需要，请计算需要封锁的路段长度；如果不需要，请说明理由． 【答案】(1)爆破点C与A、B两村围成的三角形是直角三角形，爆破点处到公路的距离为720米； (2)公路有危险而需要封锁，420米． 【分析】本题考查了勾股定理以及勾股定理逆定理的应用． （1）根据勾股定理逆定理判定是直角三角形，利用三角形的面积公式即可求得米； （2）根据720米米可以判断有危险，根据勾股定理求出，进而求出． 【详解】（1）解： 在中，米，米，米， ∴，， ∴， ∴是直角三角形， 如图，过C作于D． ∵， ∴ （米）． 答：爆破点C与A、B两村围成的三角形是直角三角形；爆破点处到公路的距离为720米； （2）解：公路有危险而需要封锁． 理由如下：如图，以点C为圆心，750米为半径画弧，交于点E，F，连接，，    由于720米米，故有危险， 因此段公路需要封锁． ∴米， ∴ （米）， 故米， 则需要封锁的路段长度为420米． 16．（23-24八年级下·湖北孝感·期中）一个四边形的模具如图1所示，其中，，，，，按规定这个模具中也应为直角，解答下列问题： (1)这个模具是否符合规定要求？请说明理由； (2)如图2，连接，求的长． 【答案】(1)符合规定要求，理由见解析 (2) 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，全等三角形的判定与性质，正确作出辅助线构造全等三角形是解（2）的关键． （1）先根据勾股定理求出，再根据勾股定理逆定理判断即可； （2）作交的延长线与点E，根据证明得，，然后利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）∵，，， ∴． ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴符合规定要求； （2）作交的延长线与点E ∵， ∴， 在和中 ， ∴， ∴，， ∴， ∴． ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第02讲 勾股定理逆定理 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1．经历勾股定理的逆定理的探索过程，知道勾股定理与逆定理的联系与区别； 2．能用勾股定理的逆定理解决一些简单的实际问题； 3．初步认识勾股定理的逆定理的重要意义，会用勾股定理就解决一些几何问题. 知识点1：勾股定理逆定理 1.定义：如果三角形的三条边长，满足，那么这个三角形是直角三角形. 注意：（1）勾股定理的逆定理的作用是判定某一个三角形是否是直角三角形. （2）勾股定理的逆定理是把“数”转为“形”，是通过计算来判定一个三角形是否为直角三角形. 2.如何判定一个三角形是否是直角三角形 （1）首先确定最大边（如）. （2）验证与是否具有相等关系.若，则△ABC是∠C＝90°的直角三角形；若，则△ABC不是直角三角形. 注意：当时，此三角形为钝角三角形；当时，此三角形为锐角三角形，其中为三角形的最大边. 知识点2：勾股数 像 15，8，17 这样，能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数. 勾股数满足两个条件：①满足勾股定理 ②三个正整数 考点一：勾股数的判定 例1．（23-24八年级下·广东湛江·阶段练习）下列四组数中，是勾股数的是（    ） A．5，12，13 B．4，5，6 C．2，5，6 D．1，2，3 【变式1-1】（23-24七年级下·陕西西安·阶段练习）我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中．下列各组数中，是“勾股数”的是（    ） A．7，8，9 B．5，12，13 C．4，5，6 D．2，3，4 【变式1-2】（23-24八年级下·广西来宾·期中）下列各组数是勾股数的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】（23-24八年级下·江西新余·期中）下列各组数中，为勾股数的是（    ） A．9，40，41 B．5，6，7 C．，， D．，， 考点二：判断三边能否构成直角三角形 例2.（23-24八年级下·安徽淮北·期中）在中，，，的对边分别是a，b，c．下列条件不能说明是直角三角形的是（    ） A． B． C． D．，， 【变式2-1】（23-24八年级上·四川成都·期中）满足下列条件的，其中是直角三角形的为（　　） A． B． C． D． 【变式2-2】（23-24八年级下·云南昭通·期中）下列条件中，不能判断为直角三角形的是（　　） A．，， B． C． D． 【变式2-3】（23-24八年级下·内蒙古呼和浩特·期中）中，、、的对边分别为、、，下列条件中，不能判定是直角三角形的是（    ） A． B． C． D． 考点三：在网格中判断直角三角形 例3. （23-24八年级下·云南昭通·期中）如图，在每个小正方形边长都为1的网格图中，顶点都在格点上，下列结论不正确的是（    ） A． B．的面积为5 C． D．点到的距离为 【变式3-1】（2024八年级下·全国·专题练习）如图，在四个均由十六个小正方形组成的正方形网格中，各有一个三角形，那么这四个三角形中，不是直角三角形的是（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】（23-24八年级下·辽宁鞍山·期中）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1．    (1)求的周长； (2)若点为直线上任意一点，则线段的最小值为________． 【变式3-3】（23-24八年级下·广东珠海·期中）如图，四边形的四个顶点都在网格上，且每个小正方形的边长都为1．    (1)求四边形的面积； (2)判断线段和的位置关系，并说明理由． 考点四：利用勾股定理的逆定理求解 例4. （23-24八年级下·江西吉安·阶段练习）在四边形中，已知，，，． (1)连接，试判断的形状，并说明理由； (2)求的度数． 【变式4-1】（23-24八年级下·云南昭通·期中）如图，在中，，垂足为．    (1)求的长； (2)判断的形状，并说明理由． 【变式4-2】（23-24八年级下·重庆长寿·期中）如图，在四边形中，已知，，，，． (1)求线段的长； (2)求证：是直角三角形． 【变式4-3】（23-24八年级下·湖北黄石·期中）如图，四边形中，，为对角线，于E，． (1)确定的度数； (2)求线段的长． 考点五：勾股定理逆定理的实际应用 例5. （23-24八年级下·广东湛江·阶段练习）如图，在一条东西走向河流的一侧有一村庄，河边原有两个取水点，，由于某种原因，由到的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点（，，）在同一条直线上），并新修一条路，测得千米，千米，千米．问是否为从村庄到河边最近的路？请说明理由．    【变式5-1】（23-24八年级下·陕西西安·期中）如图，阳光中学有一块四边形的空地，为了绿化环境，学校计划在空地上种植草皮．经测量，若每平方米草皮需要100元，种植这块草皮需要投入多少资金?（其他费用不计） 【变式5-2】（23-24八年级下·广东广州·期中）如图，在笔直的公路旁有一座山，从山另一边的C处到公路上的停靠站A的距离为，与公路上另一停靠站B的距离为，停靠站A，B之间的距离为，为方便运输货物现要从公路上的D处开凿隧道修通一条公路到C处，且． (1)求证：； (2)求修建的公路的长． 【变式5-3】（23-24八年级下·河北衡水·阶段练习）如图，某社区有一块四边形空地，，，．从点A修了一条垂直的小路（垂足为E），E恰好是的中点，且． (1)求边的长； (2)连接，判断的形状； (3)求这块空地的面积． 考点六：勾股定理逆定理的拓展问题 例6. （23-24八年级上·江苏徐州·期中）在中，，设为最长边，当时，是直角三角形；当时，利用代数式和的大小关系，探究的形状（按角分类）． (1)当三边分别为6、8、9时，为________三角形；当三边分别为6、8、11时，为________三角形； (2)猜想：当________时，为锐角三角形；当________时，为钝角三角形；（填“>”或“<”或“=”） (3)判断：当时， 当为直角三角形时，则的取值为________； 当为锐角三角形时，则的取值范围________； 当为钝角三角形时，则的取值范围________． 【变式6-1】（21-22八年级下·福建厦门·期中）定义：如图，点M，N（点M在N的左侧）把线段AB分割成AM，MN，NB．若以AM，MN，NB为边的三角形是一个直角三角形，则称点M、N是线段AB的购股分割． (1)已知M、N把线段AB分割成AM，MN，BN，若，，，则点M、N是线段AB的勾股分割点吗？请说明理由； (2)已知点M、N是线段AB的勾股分割点，且AM为直角边，若，，求BN的长． 【变式6-2】（20-21九年级上·江苏苏州·阶段练习）阅读下列内容：设a，b，c是一个三角形的三条边的长，且a是最长边，我们可以利用a，b，c三条边长度之间的关系来判断这个三角形的形状：①若，则该三角形是直角三角形；②若，则该三角形是钝角三角形；③若，则该三角形是锐角三角形．例如：若一个三角形的三边长分别是4，5，6，则最长边是6，，故由③可知该三角形是锐角三角形，请解答以下问题： （1）若一个三角形的三边长分别是7，8，9，则该三角形是________三角形． （2）若一个三角形的三边长分别是5，12，x．且这个三角形是直角三角形，求的值． （3）当，时，判断的形状，并求出对应的的取值范围． 【变式6-3】（23-24八年级下·福建莆田·阶段练习）定义：若a，b，c是的三边，且，则称为“方倍三角形”． (1)对于①等边三角形②直角三角形，下列说法一定正确的是 ． A．①一定是“方倍三角形”                B．②一定是“方倍三角形” C．①②都一定是“方倍三角形”            D．①②都一定不是“方倍三角形” (2)如图，中，，，P为边上一点，将沿直线进行折叠，点A落在点D处，连接，．若为“方倍三角形”，且，求的面积． 一、单选题 1．（23-24八年级下·广西桂林·期中）下列各组数是勾股数的是（　　） A．，， B．，， C．，，52 D．，， 2．（23-24八年级下·河南洛阳·期中）已知的三边分别为a，b，c，下列条件不能判定为直角三角形的是（   ） A． B． C． D． 3．（23-24八年级下·江苏南通·期中）如图，正方形网格中的，若小方格边长为1，则的形状为（    ） A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．以上答案都不对 4．（23-24八年级下·辽宁沈阳·期中）如图，在中， ，若点A到的距离是1，则与之间的距离是（  ） A． B．2 C． D．3 5．（23-24八年级下·广西百色·期中）如图，在中，，，，已知点D是的中点，连接，则的长为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 6．（23-24八年级下·湖北孝感·期中）如图，每个小正方形的边长都为，、、是小正方形的顶点，则 7．（23-24八年级下·甘肃庆阳·期中）已知的三边长满足，则的形状是 ． 8．（23-24八年级下·全国·假期作业）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，的顶点均在格点上，则的大小为 ． 9．（2024七年级下·全国·专题练习）如图，是直线外一点，、、三点在直线上，且于点，，若，，，，则点到直线的距离是 ． 10．（23-24八年级下·河北廊坊·期中）如图，在中，，，．利用尺规在，上分别截取，，使；分别以为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在内交于点；作射线交于点．则 度， ． 三、解答题 11．（23-24八年级下·湖北武汉·期中）如图，在中，是边上一点，，，． (1)求证：； (2)若，求的长． 12．（23-24八年级下·甘肃庆阳·期中）如图，有一艘货船和一艘客船同时从港口A出发，客船与货船速度的比为，出发后，客船比货船多走了，货船沿东偏南方向航行，后货船到达处，客船到达C处，若此时两船相距． (1)货船的速度为 ，客船的速度为 ； (2)求客船航行的方向． 13．（23-24八年级下·四川泸州·期中）如图，正方形网格中，每个小正方形的边长为1， (1)求网格上的的周长． (2)请判断是不是直角三角形，并说明理由． (3)点P是边上的一个动点，则线段的最小值为 ． 14．（23-24八年级下·云南昆明·期中）如图，在中，内角，，所对应的边分别为，，． (1)若，，满足，求证：是直角三角形． (2)若，，（其中，都是正整数，且），求证：是直角三角形． 15．（23-24七年级下·黑龙江大庆·期中）如图，A村和B村相距1500米，经过A村和B村（将A，B村看成直线l上的点）的笔直公路l旁有一块山地正在开发，现需要在C处进行爆破．C处与B村的距离为1200米，C处与A村相距900米．    (1)判断爆破点C与A、B两村围成的三角形形状，并求爆破点C到公路l的距离； (2)已知爆破点C周围750米之外为安全范围，在进行爆破时，公路段是否有危险而需要封锁？如果需要，请计算需要封锁的路段长度；如果不需要，请说明理由． 16．（23-24八年级下·湖北孝感·期中）一个四边形的模具如图1所示，其中，，，，，按规定这个模具中也应为直角，解答下列问题： (1)这个模具是否符合规定要求？请说明理由； (2)如图2，连接，求的长． ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$