第01讲 探索勾股定理【八大考点+过关测】- 【暑假自学课】2024年新八年级数学暑假提升精品讲义（北师大版）

第01讲 探索勾股定理 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1．掌握勾股定理，了解利用拼图验证勾股定理的方法； 2．会借助勾股定理确定数轴上表示无理数的点，理解实数与数轴上的点一一对应关系； 3．能够从实际问题中抽象出直角三角形，并能运用勾股定理进行有关的计算和证明。 知识点01 勾股定理 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方. 如图：直角三角形ABC的两直角边长分别为，斜边长为，那么. 注意：（1）勾股定理揭示了一个直角三角形三边之间的数量关系. （2）利用勾股定理，当设定一条直角边长为未知数后，根据题目已知的线段长可以建立方程求解，这样就将数与形有机地结合起来，达到了解决问题的目的. （3）理解勾股定理的一些变式：，， . 运用：1.已知直角三角形的任意两条边长，求第三边； 2.用于解决带有平方关系的证明问题； 3.利用勾股定理，作出长为的线段 知识点02 勾股定理证明 （1）邹元治证法（内弦图）：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形. 图（1）中，所以. （2）赵爽弦图（外弦图）：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形. 图（2）中，所以.　 （3）总统证法：如图（3）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形. ，所以. 考点一：已知直角三角形的两边，求第三边长 例1．（22-23八年级上·福建泉州·期末）一直角三角形的两直角边长分别为5和12，则斜边的长是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理，根据直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方进行求解即可． 【详解】解：∵一直角三角形的两直角边长分别为5和12， ∴该直角三角形的斜边长为， 故答案为：． 【变式1-1】（23-24八年级下·吉林松原·期中）如图，原来从A村到B村，需要沿路（）绕过两地间的一片湖，在A、B间建好桥后，就可直接从A村到B村．若，那么建好桥后从A村到B村比原来减少的路程为 ． 【答案】4 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟记勾股定理是解题的关键． 根据勾股定理求出的长，再和以前的距离作比较即可得出答案． 【详解】解：由勾股定理得， ∴建好桥后从A村到B村比原来减少的路程为， 故答案为． 【变式1-2】（23-24八年级下·河南新乡·期中）在直角中，，，则的长为 【答案】10或 【分析】本题考查了勾股定理．分是直角边或是斜边两种情况讨论，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：当是直角边时， 则， 当是斜边时， 则， 故答案为：10或． 【变式1-3】（23-24七年级下·安徽马鞍山·期中）若一个直角三角形的两边长为9和12，则这个三角形的斜边长为 ． 【答案】12或15 【分析】本题考查了勾股定理．注意12可能是直角边，也可能是斜边，所以得分两种情况讨论． 【详解】解：当9和12都是直角边时， 斜边； 当9是直角边，12是斜边时， 斜边为12． 故答案为：12或15． 考点二：以直角三角形三边为边长的图形面积 例2.（23-24八年级下·湖南湘西·期中）如图所示，如果正方形A的面积为625，正方形B的面积为400，则正方形C的边长为 ． 【答案】15 【分析】设A的边长为a，B的边长为b，C的边长为c，根据题意，得，，，计算即可． 本题考查了勾股定理，正确理解定理是解题的关键． 【详解】解：设A的边长为a，B的边长为b，C的边长为c， 根据题意，得，，， ． 解得． 故答案为：15． 【变式2-1】（23-24七年级下·黑龙江大庆·期中）如图，正方形的边长分别为直角三角形的三边长，若正方形的边长分别为4和8，则正方形的面积为 ． 【答案】48 【分析】本题考查勾股定理的应用．由正方形的边长分别为4和8可得中间的直角三角形的一直角边和斜边分别是4和8，再用勾股定理可求另一直角边，即可得出答案． 【详解】解：如图， ∵正方形的边长分别为4和8， ∴ ∵是直角三角形， ∴ ∴正方形的面积． 故答案为：48． 【变式2-2】（23-24八年级下·黑龙江大庆·期中）如图，在中，，分别以、、为直径作半圆，图中阴影部分图形称为“希波克拉底月牙”．当，时，则阴影部分的面积为 ． 【答案】30 【分析】本题考查了勾股定理，掌握勾股定理是解题的关键． 首先根据勾股定理求出，然后根据阴影部分面积等于以为直径的2 个半圆的面积加上减去为半径的半圆面积即，然后代数求解即可． 【详解】解：在中，， ， ． 故答案为：30． 【变式2-3】（2024·四川成都·二模）如图，所有阴影部分的四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，若正方形的面积依次为5、13、30，则正方形的面积为 ． 【答案】12 【分析】本题主要考查了正方形和勾股定理，解题关键是勾股定理的正确应用． 由所有阴影部分的四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，根据勾股定理得，由正方形、、的面积依次为、、，得，故正方形的面积为12． 【详解】解：由所有阴影部分的四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，根据勾股定理得， 由正方形、、的面积依次为、、，得， 故正方形的面积为12． 故答案为：12． 考点三：等面积法求直接斜边上的高问题 例3. （23-24八年级下·湖北武汉·期中）在如图的网格中，小正方形的边长均为1，A、B、C三点均在正方形格点上，则点A到直线BC的距离是 ． 【答案】2 【分析】本题考查了网格图的问题，解题关键是正确应用勾股定理．用割补法求出的面积，用勾股定理求出的长，然后利用面积法求解即可． 【详解】解：面积， 由勾股定理得， 设点A到直线的距离是d， 得， 解得． 故答案为：2． 【变式3-1】（23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，的顶点在边长为的正方形网格的格点上，于点．则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理与网格问题，利用勾股定理求出的长，利用网格求出的面积，再根据面积法即可求出的长，利用割补法求出的面积是解题的关键． 【详解】解：由勾股定理可得，， 由网格可得，， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式3-2】（23-24八年级下·浙江金华·阶段练习）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，求边上的高长＝ ． 【答案】 【分析】本题主要考查三角形面积公式，运用分割法求出的面积，运用勾股定理求出的长，再运用等积法即可求出边上的高 【详解】解：； 由勾股定理得， 所以，边上的高长， 故答案为：． 【变式3-3】（23-24七年级上·山东泰安·期末）如图所示，的顶点A、B、C在边长为1的正方形网格的格点上，于点D，则BD的长为 ．    【答案】3 【分析】本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是，，斜边长为，那么．根据题意求出的面积，根据勾股定理求出，根据三角形的面积公式计算，得到答案． 【详解】解：由图形可知，，边上的高为3， 的面积， 由勾股定理得，， 则， 解得，， 故答案为：3 考点四：勾股定理与无理数 例4. （23-24八年级下·河南濮阳·期中）如图，点 A 表示的实数是（      ）      A． B． C．1 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了数轴、勾股定理等知识点，解答本题的关键是求得的长度．根据勾股定理可得的长，再求出的长，然后求得点A所表示的数即可． 【详解】解：如图：    由题意得： ， ∵ ∴点A表示的实数是 故选B． 【变式4-1】（23-24八年级下·湖北黄冈·期中）如图所示：数轴上点所表示的数为，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是勾股定理与实数．先根据勾股定理求出三角形的斜边长，再根据两点间的距离公式即可求出A点的坐标． 【详解】解：图中的直角三角形的两直角边为1和2， ∴斜边长为：， ∴到A的距离是， ∴点A所表示的数为：． 故选：B． 【变式4-2】（23-24七年级下·山东济宁·期中）如图，数轴上点表示的数是1，点表示的数是，于点，且，以点为圆心，的长为半径画弧，交数轴的负半轴于点，则点表示的数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理，数轴上点的平移，熟练掌握左减右加是解题的关键． 根据勾股定理，得，点A向左平移个单位长度即可得到点D表示的数． 【详解】根据题意，得，， 由勾股定理得：， 故点A向左平移个单位长度即可得到点D表示的数，即． 故选：D． 【变式4-3】（23-24八年级下·河南信阳·阶段练习）如图的数轴上，点A，C对应的实数分别为1，3，线段于点A，且长为1个单位长度，若以点C为圆心，长为半径的弧交数轴于0和1之间的点P，则点P表示的实数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了实数在数轴上的表示，勾股定理；由勾股定理得，求出，由即可求解；能用勾股定理求解，找出实数在数轴的点是解题的关键． 【详解】解：由题意得 ， ， ， P表示的实数为； 故选：B． 考点五：勾股定理与折叠问题 例5. （23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图是一张直角三角形纸片，两直角边，将折叠，顶点与点重合，折痕为，则的长为 ．    【答案】 【分析】本题考查了折叠的性质，勾股定理，运用勾股定理建立方程求出是关键；由折叠知，则，在中由勾股定理建立方程，即可求出，在中由勾股定理即可求得结果． 【详解】解：， ； 由折叠知， 则； 在中，， 即， 解得：； 在中，由勾股定理得． 故答案为：． 【变式5-1】（23-24八年级下·内蒙古通辽·阶段练习）如图已知长方形中，，在边上取一点E，将折叠使点D恰好落在边上的点F，则的长为 ． 【答案】/3厘米 【分析】本题主要考查了图形的翻折变换以及勾股定理、全等三角形、方程思想等知识，关键是熟练掌握勾股定理，找准对应边．设的长为x，由将折叠使点D恰好落在边上的点F可得，所以，；在中由勾股定理得：，已知的长可求出的长，又，在中由勾股定理可得：，即：，将求出的的值代入该方程求出x的值，即求出了的长． 【详解】解：∵四边形是长方形， ，， 根据题意得：， ，，， 设，则， 在中，由勾股定理得：， 即， ， ， 在中，由勾股定理可得：， 即， ， ， 即． 故答案为：． 【变式5-2】（23-24八年级下·甘肃平凉·期中）如图所示为一张直角三角形纸片，直角边，，将折叠，使点B与点A重合，折痕为，则的长为 cm． 【答案】 【分析】本题考查勾股定理与折叠问题． 设，则，，在中，根据勾股定理构造方程求解即可． 【详解】解：设，则， 由折叠可得：， ∵， ∴在中，， 即， 解得：， ∴． 故答案为：． 【变式5-3】（2024九年级下·江苏徐州·专题练习）如图，在等腰直角三角形中，，，点P是边上任意一点，连接，将沿翻折，点B的对应点为，当有一边与垂直时，的长为 ． 【答案】或1或2 【分析】本题考查了折叠的性质，勾股定理，分三种情况讨论，当时，当时，当时，利用勾股定理建立方程求解即可． 【详解】解：当时，如图， 在等腰直角三角形中，，， ∴，， 设，则，， ∵将沿翻折， ∴，， ∴，即， 解得； ∴ 当时，如图， 此时，； 当时，如图， 此时，点A，B，在同一直线上，； 综上，当有一边与垂直时，的长为或1或2． 故答案为：或1或2． 考点六：利用勾股定理求两条线段的平方和（差） 例6. （23-24八年级上·江苏盐城·阶段练习）中，斜边，则的值是 ． 【答案】2 【分析】先画图，再利用勾股定理可求的值，从而易求的值． 【详解】解：如图所示， 在中，， 又∵， ∴， ∴． 故答案是∶2． 【点睛】本题考查了勾股定理，直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方． 【变式6-1】（23-24八年级下·河南郑州·期中）对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线交于点，若，，则 ． 【答案】73 【分析】本题考查勾股定理的应用，从题中抽象出勾股定理这一数学模型是解题关键． 在和中，根据勾股定理得，进一步得，再根据，然后根据等量代换即可解答． 【详解】解：∵， ∴， 在和中，根据勾股定理得：， ∴， ∵， ∴. 故答案为：73． 【变式6-2】（22-23八年级下·山西大同·期末）如图，和都是等腰直角三角形，，，的顶点A在的斜边上，则的值为 ．    【答案】8 【分析】根据常见的“手拉手全等模型”，结合勾股定理即可求解． 【详解】解：连接，如图所示：    因为和都是等腰直角三角形，， 即 故 故答案为： 【点睛】本题综合考查全等三角形的判定与性质以及勾股定理的应用．掌握相关几何知识是解题的关键． 【变式6-3】（23-24八年级上·辽宁沈阳·阶段练习）如图，四边形ABCD的对角线交于点O．若，，，则 ．    【答案】21 【分析】根据勾股定理即可解答． 【详解】解：，，， 在中，， 在中，， 又在中，， 在中，， ． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，灵活应用勾股定理是解题关键． 考点七：利用勾股定理证明线段平方关系 例7. （23-24八年级下·安徽蚌埠·期中）如图，在中，． (1)求证：； (2)当，，时，求的值． 【答案】(1)证明见解析； (2)； 【分析】本题考查了勾股定理和平方差公式的相关证明和计算及解二元一次方程组，熟练掌握和运用勾股定理是解决问题的关键． （1）在和中，分别运用勾股定理可得，，利用边相等，联立两式移项即得证． （2）根据第一问的结论，可求出的值，利用平方差公式，结合，可求得，而，由此可求得、，由勾股定理即可求出． 【详解】（1）证明： ， 在和中，根据勾股定理得， ，， ， 移项得：． 故． （2）解： ，， ， ， ，即， ， ，解得， ， ． 【变式7-1】（23-24八年级上·江西吉安·期末）如图，已知与都是等腰直角三角形，其中，为边上一点．    (1)试判断与的大小关系，并说明理由； (2)试说明三者之间的关系． 【答案】(1)，理由见解析 (2)，理由见解析 【分析】（1）证明即可； （2）根据（1）可得，得到，，得到是直角三角形，根据勾股定理证明即可． 【详解】（1）．理由如下： ∵与都是等腰直角三角形， ∴ ， ∴． ∴， ∴． （2）．理由如下： 由（1）可得， ∴，， ∴， ∴， ∴． 【点睛】此题综合运用了等腰直角三角形的性质、全等三角形的性质和判定、以及勾股定理，关键是根据全等三角形的性质得出． 【变式7-2】（23-24九年级上·安徽·开学考试）如图，在中，已知，D是斜边的中点，交于点E，连接    (1)求证：； (2)若，，求的周长. 【答案】(1)见解析 (2)14 【分析】（1）由线段垂直平分线的性质可得，在利用勾股定理建立线段的平方关系，再等量代换即可求证； （2）在中，由勾股定理得的长度，结合线段垂直平分线的性质即可求解． 【详解】（1）证明：∵D是斜边的中点，， ∴是线段的垂直平分线， ∴. 在中，由勾股定理得， ∴， 即. （2）解：∵D是斜边的中点，， ∴. 在中，由勾股定理得， ∴. 又∵， ∴， ∴的周长为. 【点睛】本题考查了勾股定理的应用、线段垂直平分线的性质等知识点．熟记相关结论是解题关键． 【变式7-3】（23-24八年级上·辽宁沈阳·阶段练习）如图，在等腰中，，，点F是直线AB上一个动点，作等腰，且，连接．    (1)找出图中全等三角形______． (2)如图求证：； (3)若，则______． 【答案】(1) (2)见解析 (3)2 【分析】（1）可证，从而得证； （2）由全等得，，得，根据勾股定理得证结论； （3）中，勾股定理求得，得，于是． 【详解】（1）解：如图，, ∴． ∴． 又， ∴． 故全等三角形为． （2）解：∵， ∴． ∴． ∴． ∴． （3）解：中，， ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． 【点睛】本题考查勾股定理，全等三角形的判定和性质；由全等三角形推证线段相等、角相等是解题的关键． 考点八：勾股定理的证明方法 例8. （23-24八年级下·辽宁葫芦岛·期中）勾股定理是平面几何中一个极为重要的定理，世界上各个文明古国都对勾股定理的发现和研究作出过贡献．特别是定理的证明，据说方法有余种．其中我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出了证明．请你用下面弦图（由四个全等的直角三角形围成的）证明勾股定理： 如果直角三角形的两条直角边长分别为，斜边长为，那么． 【答案】见解析 【分析】本题考查了勾股定理的证明，全等三角形的性质，完全平方公式等知识．熟练掌握勾股定理的证明，完全平方公式是解题的关键． 由弦图可知，，则四边形和四边形是正方形，由，可得，整理得． 【详解】证明：由弦图可知，， ∴四边形和四边形是正方形， ∵， ∴， ， ∴． 【变式8-1】（23-24七年级下·全国·假期作业）勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，且巧妙各有不同，其中的“面积法”给了小聪以灵感．他惊喜地发现：当两个全等的直角三角形如图（1）或图（2）摆放时，都可以用“面积法”来证明勾股定理． 下面是小聪利用图（1）证明勾股定理的过程： 将两个全等的直角三角形按如图（1）所示摆放，其中．求证：． 【答案】见解析 【分析】此题考查了勾股定理的证明，用两种方法表示出四边形的面积是解本题的关键．证明勾股定理时，用几个全等的直角三角形拼成一个规则的图形，然后利用大图形的面积等于几个小图形的面积和，化简整理即可得到勾股定理表达式． 【详解】证明：如图（1），连接，过点作边上的高，则． ， ， ， ． 【变式8-2】（23-24八年级下·河南平顶山·期中）数与形是数学中的两个最古老，也是最基本的研究对象．数与形也是有联系的，这种联系称为“数形结合”．利用“数形结合”思想可以直观地帮助我们解决一些数学验证或运算． (1)我国是最早了解勾股定理的国家之一，该定理阐明了直角三角形的三边关系．请你利用如图对勾股定理（即下列命题）进行验证，从中体会“数形结合”的思想： 已知：如图，在和中，，（点，，在一条直线上），，，． 证明：； (2)请利用“数形结合”思想，画图并推算出的结果． 【答案】(1)见解析 (2)见解析， 【分析】本题考查了勾股定理的证明及完全平方公式，熟练掌握数形相结合的思想是解题的关键． （）利用面积法证明即可； （）利用面积法计算即可． 【详解】（1）证明：梯形的面积， 梯形的面积， ∴， 化简可得：； （2）解：如图所示： 大正方形的面积； 大正方形的面积， ∴． 【变式8-3】（23-24八年级下·广西南宁·期中）我国是最早了解勾股定理的国家之一，汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅如图1所示“赵爽弦图”（边长为c的大正方形中放四个全等的直角三角形，两直角边长分别为a，b，斜边长为c）． (1)如图1，请用两种不同方法表示图中空白部分面积． 方法1：______； 方法2：______； 根据以上信息，可以得到等式：______； (2)小亮将“弦图”中的4个三角形进行了运动变换，得到图2，请利用图2证明勾股定理； (3)如图3，将图2的2个三角形进行了运动变换，若，，求阴影部分的面积． 【答案】(1)；； (2)见解析 (3)阴影部分的面积为52． 【分析】本题考查了勾股定理的证明与运用，灵活掌握等面积法在证明勾股定理中的作用是解题的关键． （1）方法1：求得小正方形的边长为，方法2：大正方形的面积减4个直角三角形的面积，据此计算即可； （2），列式计算即可证明； （3）先用勾股定理计算出c，再利用计算面积即可． 【详解】（1）解：方法1：； 方法2：； ∵，即， 故； 根据以上信息，可以得到等式：； 故答案为：；；； （2）解：∵， 即， 整理得， 故； （3）解：如图，， ∵，， ∴， 则， ∴， 故阴影部分的面积为52． 一、单选题 1．（2024·福建宁德·二模）在中，，，，则的长是（    ） A． B．11 C．13 D．17 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理，在中，，，据此直接计算即可求解． 【详解】解：如图， 在中，，， ∴， 故选C． 2．（23-24八年级下·黑龙江·期中）如图是以直角三角形各边为边在三角形外部画正方形得到的．每个正方形中的数字及字母表示所在正方形的面积，其中的值为（    ） A．6 B．5 C．8 D．7 【答案】D 【分析】本题主要考查了勾股定理，根据勾股定理可知面积为4和面积为3的正方形的边长的平方和等于面积为S的正方形边长的平方，据此可得答案． 【详解】解：每个正方形中的数及字母S表示所在正方形的面积， 每个正方形中的数字以及字母S表示所在正方形的边长的平方， ∴由勾股定理得：； 故选：D． 3．（23-24八年级下·安徽芜湖·阶段练习）如图，在中，，，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理、勾股定理等知识点，掌握运用等面积法求线段长度成为解题的关键， 先根据三角形内角和定理得到,再运用勾股定理求出，然后利用等面积法求出，最后再利用勾股定理求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴ ∴，即，解得：， ∵， ∴． 故选：B． 4．（23-24八年级下·广东珠海·期中）如图，数轴上的点表示的数是，点表示的数是1，于点，且，以点为圆心，为半径画弧交数轴于点，则点表示的数为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了勾股定理与无理数，关键是能准确理解并运用该知识和勾股定理进行求解．先运用勾股定理求得线段的长，即可求解． 【详解】解：由题意得， ， ∴点D表示的数为， 故选C． 5．（2024·山东烟台·二模）如图，三角形纸片中，，沿和将纸片折叠，使点B和点C都落在边上的点P处，则的长是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了折叠的性质，勾股定理，掌握折叠的性质以及勾股定理是解题的关键． 根据题意可得，，，可得，继而设，则，根据勾股定理即可求解． 【详解】解：∵沿过点A的直线将纸片折叠，使点B落在边上的点P处， ∴，， ∵折叠纸片，使点C与点P重合， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 设， 则， ∴， 解得， 即， 故选：A． 二、填空题 6．（23-24八年级下·北京海淀·期中）如图，直线l上有三个正方形a、b、c，若a、b的面积分别为2和5，则c的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了对勾股定理几何意义的理解能力，根据根据已知及全等三角形的判定可得到，从而得到c的面积的面积的面积． 【详解】解： ∵三个正方形， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴（如上图），根据勾股定理的几何意义，的面积的面积的面积， ∴c的面积的面积的面积． 故答案为：． 7．（23-24八年级下·内蒙古呼和浩特·期中）如图，四边形中，，分别以为直径作半圆，已知各半圆面积为，，则 ． 【答案】3 【分析】本题考查的是勾股定理及其应用，根据圆的面积公式得到，，根据勾股定理得到，，计算即可． 【详解】解：连接，如图， 由题意得，， ， ， ， ∴，， ∵， ∴，， ∴ ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故答案为：3． 8．（2024·四川内江·二模）在中，，，，分别是，，的对边，若，则的面积为 ． 【答案】3 【分析】此题考查了勾股定理、乘法公式的应用，根据勾股定理得到，代入整理后的结果,得到，即可得到的面积． 【详解】解：在中，，，，分别是，，的对边， ∴， ∵ ∴ 即 ∴ 即 解得 ∴， 即的面积为3． 故答案为：3 9．（2024八年级下·全国·专题练习）定义：我们把三角形某边上高的长度与这边中点到高的距离的比值称为三角形某边的“中偏度值”．如图，中，，，，是边上的高，则中边的“中偏度值”为 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查勾股定理，解答本题的关键是明确题意，求出边上的高和该边上的中点到高的距离．根据题意和题目中的数据，可以计算出中边上的高和该边上的中点到的距离，再求它们的比值即可． 【详解】解：作为的中线， ，，， ， ∵， ∴， ， ∴， 为斜边上的中线，， ∴， ∴， 即点到的距离为， 则中边的“中偏度值”为：． 故答案为：． 10．（23-24八年级下·重庆·期中）如图，已知为等腰直角三角形，，点E为上一点，且，点D为边上一点，连接，将沿折叠得到，若的延长线恰好经过点B，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查等腰直角三角形的性质，折叠的性质以及勾股定理，设，由折叠得，，，由勾股定理求出在中，由勾股定理，求出的值即可． 【详解】解：如图， ∵， ∴， 在中， ∴， ∴， 设， 由折叠得，，， ∴，， 在中，由勾股定理得 ∴， 解得，， ∴， 故答案为：． 三、解答题 11．（23-24八年级下·安徽阜阳·阶段练习）如图，在中，，，把沿直线折叠，使点A与点B重合，若的周长为，，求的面积． 【答案】的面积为96 【分析】本题考查了轴对称的性质，勾股定理等．利用折叠的性质，得到 是解题的关键． 根据折叠的性质可知，利用三角形周长可求出的值，再根据勾股定理可求出与的长，进而求出三角形的面积即可． 【详解】解：由折叠可知， ， ，， ，即 又， ，， ． 答：的面积为96． 12．（23-24八年级下·甘肃陇南·期中）已知：在中，，于，，．求：    (1)求的面积； (2)求线段的长： (3)求高的长． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】（）利用直角三角形的面积公式计算即可求解； （）根据勾股定理计算即可求解； （）利用三角形面积即可求解； 本题考查了直角三角形的面积，勾股定理，掌握勾股定理及三角形面积计算公式是解题的关键． 【详解】（1）解：∵，，， ∴； （2）∵，，， ∴； （3）解：∵， ∴， ∴， ∴． 13．（23-24七年级下·黑龙江大庆·期中）如图，，． (1)求的长度； (2)作，并求的面积． 【答案】(1)14 (2)图见解析，84 【分析】本题考查勾股定理，三角形的面积的计算． （1）在中，直接用勾股定理求解即可； （2）过点作于点，分别在中，在中用勾股定理表达出，建立等式，求出，进而求出的面积． 【详解】（1）解：在中， ∴； （2）如图，过点作于点， ∴， 设，则 在中，， 由勾股定理可得，， 在中，， 由勾股定理可得，， ∴ 解得，， ∴ ∴（舍去负的值） ∴． 14．（23-24八年级下·河北邢台·期中）如图，已知为火车道，为公路，A为火车站（点A在射线上），P为村庄（点P在射线上），且．公路与公路垂直，垂足为D，经测量，． (1)原来P村村民需沿才能到达火车站，现修通公路，求P村村民沿公路到达火车站，比原来少走多少路； (2)求的长； (3)若在，上修建一个仓库F，使火车站A到仓库F的距离为，求的长． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）利用勾股定理，计算，结合，计算即可； （2）设，则，在中，利用勾股定理解答即可； （3）分点F在点D的两侧，计算即可． 本题考查了勾股定理，分类思想，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 【详解】（1）∵公路与公路垂直，垂足为D，，． ∴， ∵， ∴, 故少走了． （2）设，则， 在中， ， ∴， 解得， 故． （3）∵公路与公路垂直，垂足为D，，，． ∴，． 如图，当点F在上时， ； 当点F在上时，； 故的长为或． 15．（23-24八年级下·河南新乡·期中）【背景介绍】勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力，如图1是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成，用它可以证明勾股定理，思路是大正方形的面积有两种求法，一种是等于另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，即，从而得到等式，化简使得结论．这里用两种求法来表示同一个量从而得到等式可方程的方法，我们称之为“双求法”． 【方法运用】千百年来，人们对勾股定理的证明趋之若蝥，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者．向常春在2010年构造发现了一个新的证法：把两个全等的和如图2放置，其三边长分别为a，b，c，，显然． （1）请用a，b，c分别表示出四边形，梯形的面积，再探究这三个图形面积之间的关系，证明勾股定理：（提示：对角线互相垂直的四边形的面积等于对角线乘积的一半）； 【方法迁移】 （2）如图3，在中，是边上的高，，求的值． 【答案】（1），，，，证明见解析；（2） 【分析】（1）表示出三个图形的面积进行加减计算可证； （2）根据是边上的高，，代入数值进行计算，即可作答． 本题考查了证明勾股定理，勾股定理的应用等知识，解题的关键是理解题意灵活运用所学知识解决问题． 【详解】解：（1）， ， ， ， ， 化简得：； （2）设 ∵是边上的高， ∴ ∴ 即 解得． ∴． ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第01讲 探索勾股定理 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1．掌握勾股定理，了解利用拼图验证勾股定理的方法； 2．会借助勾股定理确定数轴上表示无理数的点，理解实数与数轴上的点一一对应关系； 3．能够从实际问题中抽象出直角三角形，并能运用勾股定理进行有关的计算和证明。 知识点01 勾股定理 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方. 如图：直角三角形ABC的两直角边长分别为，斜边长为，那么. 注意：（1）勾股定理揭示了一个直角三角形三边之间的数量关系. （2）利用勾股定理，当设定一条直角边长为未知数后，根据题目已知的线段长可以建立方程求解，这样就将数与形有机地结合起来，达到了解决问题的目的. （3）理解勾股定理的一些变式：，， . 运用：1.已知直角三角形的任意两条边长，求第三边； 2.用于解决带有平方关系的证明问题； 3.利用勾股定理，作出长为的线段 知识点02 勾股定理证明 （1）邹元治证法（内弦图）：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形. 图（1）中，所以. （2）赵爽弦图（外弦图）：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形. 图（2）中，所以.　 （3）总统证法：如图（3）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形. ，所以. 考点一：已知直角三角形的两边，求第三边长 例1．（22-23八年级上·福建泉州·期末）一直角三角形的两直角边长分别为5和12，则斜边的长是 ． 【变式1-1】（23-24八年级下·吉林松原·期中）如图，原来从A村到B村，需要沿路（）绕过两地间的一片湖，在A、B间建好桥后，就可直接从A村到B村．若，那么建好桥后从A村到B村比原来减少的路程为 ． 【变式1-2】（23-24八年级下·河南新乡·期中）在直角中，，，则的长为 【变式1-3】（23-24七年级下·安徽马鞍山·期中）若一个直角三角形的两边长为9和12，则这个三角形的斜边长为 ． 考点二：以直角三角形三边为边长的图形面积 例2.（23-24八年级下·湖南湘西·期中）如图所示，如果正方形A的面积为625，正方形B的面积为400，则正方形C的边长为 ． 【变式2-1】（23-24七年级下·黑龙江大庆·期中）如图，正方形的边长分别为直角三角形的三边长，若正方形的边长分别为4和8，则正方形的面积为 ． 【变式2-2】（23-24八年级下·黑龙江大庆·期中）如图，在中，，分别以、、为直径作半圆，图中阴影部分图形称为“希波克拉底月牙”．当，时，则阴影部分的面积为 ． 【变式2-3】（2024·四川成都·二模）如图，所有阴影部分的四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，若正方形的面积依次为5、13、30，则正方形的面积为 ． 考点三：等面积法求直接斜边上的高问题 例3. （23-24八年级下·湖北武汉·期中）在如图的网格中，小正方形的边长均为1，A、B、C三点均在正方形格点上，则点A到直线BC的距离是 ． 【变式3-1】（23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，的顶点在边长为的正方形网格的格点上，于点．则的长为 ． 【变式3-2】（23-24八年级下·浙江金华·阶段练习）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，求边上的高长＝ ． 【变式3-3】（23-24七年级上·山东泰安·期末）如图所示，的顶点A、B、C在边长为1的正方形网格的格点上，于点D，则BD的长为 ．    考点四：勾股定理与无理数 例4. （23-24八年级下·河南濮阳·期中）如图，点 A 表示的实数是（      ）      A． B． C．1 D． 【变式4-1】（23-24八年级下·湖北黄冈·期中）如图所示：数轴上点所表示的数为，则的值是（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】（23-24七年级下·山东济宁·期中）如图，数轴上点表示的数是1，点表示的数是，于点，且，以点为圆心，的长为半径画弧，交数轴的负半轴于点，则点表示的数是（    ） A． B． C． D． 【变式4-3】（23-24八年级下·河南信阳·阶段练习）如图的数轴上，点A，C对应的实数分别为1，3，线段于点A，且长为1个单位长度，若以点C为圆心，长为半径的弧交数轴于0和1之间的点P，则点P表示的实数为（    ） A． B． C． D． 考点五：勾股定理与折叠问题 例5. （23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图是一张直角三角形纸片，两直角边，将折叠，顶点与点重合，折痕为，则的长为 ．    【变式5-1】（23-24八年级下·内蒙古通辽·阶段练习）如图已知长方形中，，在边上取一点E，将折叠使点D恰好落在边上的点F，则的长为 ． 【变式5-2】（23-24八年级下·甘肃平凉·期中）如图所示为一张直角三角形纸片，直角边，，将折叠，使点B与点A重合，折痕为，则的长为 cm． 【变式5-3】（2024九年级下·江苏徐州·专题练习）如图，在等腰直角三角形中，，，点P是边上任意一点，连接，将沿翻折，点B的对应点为，当有一边与垂直时，的长为 ． 考点六：利用勾股定理求两条线段的平方和（差） 例6. （23-24八年级上·江苏盐城·阶段练习）中，斜边，则的值是 ． 【变式6-1】（23-24八年级下·河南郑州·期中）对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线交于点，若，，则 ． 【变式6-2】（22-23八年级下·山西大同·期末）如图，和都是等腰直角三角形，，，的顶点A在的斜边上，则的值为 ．    【变式6-3】（23-24八年级上·辽宁沈阳·阶段练习）如图，四边形ABCD的对角线交于点O．若，，，则 ．    考点七：利用勾股定理证明线段平方关系 例7. （23-24八年级下·安徽蚌埠·期中）如图，在中，． (1)求证：； (2)当，，时，求的值． 【变式7-1】（23-24八年级上·江西吉安·期末）如图，已知与都是等腰直角三角形，其中，为边上一点．    (1)试判断与的大小关系，并说明理由； (2)试说明三者之间的关系． 【变式7-2】（23-24九年级上·安徽·开学考试）如图，在中，已知，D是斜边的中点，交于点E，连接    (1)求证：； (2)若，，求的周长. 【变式7-3】（23-24八年级上·辽宁沈阳·阶段练习）如图，在等腰中，，，点F是直线AB上一个动点，作等腰，且，连接．    (1)找出图中全等三角形______． (2)如图求证：； (3)若，则______． 考点八：勾股定理的证明方法 例8. （23-24八年级下·辽宁葫芦岛·期中）勾股定理是平面几何中一个极为重要的定理，世界上各个文明古国都对勾股定理的发现和研究作出过贡献．特别是定理的证明，据说方法有余种．其中我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出了证明．请你用下面弦图（由四个全等的直角三角形围成的）证明勾股定理： 如果直角三角形的两条直角边长分别为，斜边长为，那么． 【变式8-1】（23-24七年级下·全国·假期作业）勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，且巧妙各有不同，其中的“面积法”给了小聪以灵感．他惊喜地发现：当两个全等的直角三角形如图（1）或图（2）摆放时，都可以用“面积法”来证明勾股定理． 下面是小聪利用图（1）证明勾股定理的过程： 将两个全等的直角三角形按如图（1）所示摆放，其中．求证：． 【变式8-2】（23-24八年级下·河南平顶山·期中）数与形是数学中的两个最古老，也是最基本的研究对象．数与形也是有联系的，这种联系称为“数形结合”．利用“数形结合”思想可以直观地帮助我们解决一些数学验证或运算． (1)我国是最早了解勾股定理的国家之一，该定理阐明了直角三角形的三边关系．请你利用如图对勾股定理（即下列命题）进行验证，从中体会“数形结合”的思想： 已知：如图，在和中，，（点，，在一条直线上），，，． 证明：； (2)请利用“数形结合”思想，画图并推算出的结果． 【变式8-3】（23-24八年级下·广西南宁·期中）我国是最早了解勾股定理的国家之一，汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅如图1所示“赵爽弦图”（边长为c的大正方形中放四个全等的直角三角形，两直角边长分别为a，b，斜边长为c）． (1)如图1，请用两种不同方法表示图中空白部分面积． 方法1：______； 方法2：______； 根据以上信息，可以得到等式：______； (2)小亮将“弦图”中的4个三角形进行了运动变换，得到图2，请利用图2证明勾股定理； (3)如图3，将图2的2个三角形进行了运动变换，若，，求阴影部分的面积． 一、单选题 1．（2024·福建宁德·二模）在中，，，，则的长是（    ） A． B．11 C．13 D．17 2．（23-24八年级下·黑龙江·期中）如图是以直角三角形各边为边在三角形外部画正方形得到的．每个正方形中的数字及字母表示所在正方形的面积，其中的值为（    ） A．6 B．5 C．8 D．7 3．（23-24八年级下·安徽芜湖·阶段练习）如图，在中，，，则（    ）    A． B． C． D． 4．（23-24八年级下·广东珠海·期中）如图，数轴上的点表示的数是，点表示的数是1，于点，且，以点为圆心，为半径画弧交数轴于点，则点表示的数为（    ） A．2 B． C． D． 5．（2024·山东烟台·二模）如图，三角形纸片中，，沿和将纸片折叠，使点B和点C都落在边上的点P处，则的长是（　　） A． B． C． D． 二、填空题 6．（23-24八年级下·北京海淀·期中）如图，直线l上有三个正方形a、b、c，若a、b的面积分别为2和5，则c的面积为 ． 7．（23-24八年级下·内蒙古呼和浩特·期中）如图，四边形中，，分别以为直径作半圆，已知各半圆面积为，，则 ． 8．（2024·四川内江·二模）在中，，，，分别是，，的对边，若，则的面积为 ． 9．（2024八年级下·全国·专题练习）定义：我们把三角形某边上高的长度与这边中点到高的距离的比值称为三角形某边的“中偏度值”．如图，中，，，，是边上的高，则中边的“中偏度值”为 ． 10．（23-24八年级下·重庆·期中）如图，已知为等腰直角三角形，，点E为上一点，且，点D为边上一点，连接，将沿折叠得到，若的延长线恰好经过点B，则 ． 三、解答题 11．（23-24八年级下·安徽阜阳·阶段练习）如图，在中，，，把沿直线折叠，使点A与点B重合，若的周长为，，求的面积． 12．（23-24八年级下·甘肃陇南·期中）已知：在中，，于，，．求：    (1)求的面积； (2)求线段的长： (3)求高的长． 13．（23-24七年级下·黑龙江大庆·期中）如图，，． (1)求的长度； (2)作，并求的面积． 14．（23-24八年级下·河北邢台·期中）如图，已知为火车道，为公路，A为火车站（点A在射线上），P为村庄（点P在射线上），且．公路与公路垂直，垂足为D，经测量，． (1)原来P村村民需沿才能到达火车站，现修通公路，求P村村民沿公路到达火车站，比原来少走多少路； (2)求的长； (3)若在，上修建一个仓库F，使火车站A到仓库F的距离为，求的长． 15．（23-24八年级下·河南新乡·期中）【背景介绍】勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力，如图1是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成，用它可以证明勾股定理，思路是大正方形的面积有两种求法，一种是等于另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，即，从而得到等式，化简使得结论．这里用两种求法来表示同一个量从而得到等式可方程的方法，我们称之为“双求法”． 【方法运用】千百年来，人们对勾股定理的证明趋之若蝥，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者．向常春在2010年构造发现了一个新的证法：把两个全等的和如图2放置，其三边长分别为a，b，c，，显然． （1）请用a，b，c分别表示出四边形，梯形的面积，再探究这三个图形面积之间的关系，证明勾股定理：（提示：对角线互相垂直的四边形的面积等于对角线乘积的一半）； 【方法迁移】 （2）如图3，在中，是边上的高，，求的值． ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$