人教版八年级下学期期末模拟A卷（范围：全册）-2023-2024学年八年级数学下册单元+月考+期中+期末实战演练卷（人教版，广东专用）

2023-2024学年八年级下学期期末模拟A卷 （范围：全册，时间：90分钟，满分：120分） 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．若有意义，则x的取值范围是（　　） A． B． C． D．x为任何实数 2．能判断是直角三角形的是（    ） A．，， B． C． D．， 3．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 4．如图，已知四边形是平行四边形，下列结论中不正确的是（    ） A．当时，它是菱形 B．当时，它是菱形 C．当时，它是矩形 D．当时，它是正方形 5．4月23日是世界读书日．习总书记说“希望孩子们养成阅读习惯，快乐阅读，健康成长，”读书正当时，莫负好时光，某校积极开展全员阅读活动．小明为了解本组同学4月份的课外阅读量，对本组同学进行调查，并将调查结果绘制成折线统计图（如下图）．下列说法中，正确的是（   ） A．小明这组共有名同学 B．本组同学4月份的课外阅读量的中位数是 C．本组同学月份的课外阅读量的众数是4 D．本组同学4月份的课外阅读量的平均数是 6．如图，在中，于点，交其延长线于点，若，，且的周长为40，则的面积为（    ） A．24 B．36 C．40 D．48 7．如图所示的是小红从家去图书馆看书，又去超市买东西，然后回家的过程，其中(分钟)表示时间，(千米)表示小红离家的距离，且小红家、图书馆、超市在同一条直线上，则下列叙述不正确的是（    ） A．小红从家到图书馆用了分钟，图书馆离小红家有千米 B．小红在图书馆看书用了分钟 C．超市离小红家有千米，小红从超市回家的平均速度是千米分钟 D．从图书馆到超市用了分钟，图书馆离超市有千米 8．我国是最早了解勾股定理的国家之一．据《周髀算经》记载，勾股定理的公式与证明是在商代由商高发现的，故又称之为“商高定理”；三国时代的蒋铭祖对《蒋铭祖算经》内的勾股定理作出了详细注释，并给出了另外一个证明．下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（    ） A． B． C． D． 9．如图，一次函数的图像交y轴于点，交x轴于点，则下列说法正确的是（    ） A．该函数的表达式为 B．点不在该函数图象上 C．点，在图象上，若，则 D．将图象向上平移1个单位得到直线 10．小明用四根相同长度的木条制作了一个正方形学具（如图1），测得对角线，将正方形学具变形为菱形（如图2），，则图2中对角线的长为（　　） A． B． C． D． 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分. 11．如图，在矩形中，对角线相交于点．若，，则的长为 ． 12．已知，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，，边交x轴于D点，则D点的坐标为 ．    13．对于任意不相等的两个数，，定义一种运算“”如下，如，计算： ． 14．如图，直线与x轴，y轴分别交于A和B，点C、D分别为线段的中点，P为上一动点，当的值最小时，点P的坐标为 ．    15．如图，在中，，点E为的中点，点F为边上的一个动点，将三角形沿折叠，点A的对应点为，当以E，F，，C为顶点的四边形是平行四边形时，线段的长为 ． 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题8分，共24分. 16．（1）计算：． （2）已知，求的值． 17．已知和x成正比例，且当时，当． (1)求y与x之间的函数关系式； (2)若点在这个函数图象上，求m的值． 18．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1． (1)分别求出线段、的长度； (2)在图中画线段，使得的长为 ，以、、三条线段能否构成直角三角形，并说明理由． 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分. 19．如图，已知在平行四边形中，平分交于点，点在上，，连接交于点，连接．    (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求的长． 20．某区为了检测各个学校劳育实施情况，当地教委发布了“普通中小学校劳动教育状况评价指标”．为了解某校学生一周劳动次数的情况，在该校七、八年级中各随机抽取20名学生进行调查，并将结果整理、描述和分析，下面给出了部分信息． 七年级20名学生的一周劳动次数为： 七、八年级抽取的学生一周劳动次数的平均数、众数、中位数、5次及以上人数所占百分比如表： 年级 平均数 众数 中位数 5次及以上人数所占百分比 七年级 八年级 根据以上信息，回答下列问题： (1)补全条形统计图，上述表中的 ， ， ； (2)若劳动次数越多则视为劳动情况越好，请判断哪个年级一周的劳动情况更好，并说明理由； (3)若一周劳动次数4次及以上为良好，该校七年级有800名学生，八年级有600名学生，估计该校七年级和八年级一周劳动次数良好的学生总人数是多少． 21．如图1，某校机器人兴趣小组在长方形水池边上进行机器人测试．机器人从点B处出发，按图中箭头所示的方向，依次匀速走完下列三条线路：线段，线段，线段，到点A处停止．如果机器人所在的位置用点P表示，那么的面积与机器人出发后的时间t（分钟）之间的关系图像如图2所示．    (1)请求出长方形的长和宽； (2)当时，求S与t之间的关系式； (3)若沿途在某处让机器人原地做了分钟的其他性能测试，然后重新出发，前后速度保持不变，请你求出机器人停下来做其他性能测试时，已行走了的路程． 五、解答题（三）：本大题共2小题，每小题12分，共24分. 22．如图1，在平面直角坐标系中，直线与交于点，且分别交x轴于A、C两点． (1)求a，b的值及点A，C的坐标； (2)在直线上找一点D，使得是的面积的2倍，求出点D的坐标； (3)y轴上有一动点P，直线上有一动点M，点N在平面上，若四边形是正方形，求出点N的坐标． 23．定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形． (1)根据定义判矩形 已知：如图1，在平行四边形中，是它的两条对角线，．求证：平行四边形是矩形． (2)动手操作有发现 如图2，在矩形中，是的中点，将沿折叠后得到，点在矩形内部，延长交于点．猜想线段与有何数量关系?并证明你的结论． (3)类比探究到一般 如图3，将(2)中的矩形改为平行四边形，其它条件不变，(2)中的结论是否仍然成立，请说明理由． (4)解决问题巧应用 如图4，保持(2)中的条件不变，若点是的中点，且，请直接写出矩形的面积． 试卷第4页，共11页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023-2024学年八年级下学期期末模拟A卷 （范围：全册，时间：90分钟，满分：120分） 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．若有意义，则x的取值范围是（　　） A． B． C． D．x为任何实数 【答案】B 【分析】此题主要考查了二次根式有意义的条件，解答此题的关键是要明确：二次根式中的被开方数是非负数．根据二次根式中的被开方数是非负数，列不等式计算即可． 【详解】∵有意义， ∴ ∴． 故选：B． 2．能判断是直角三角形的是（    ） A．，， B． C． D．， 【答案】C 【分析】本题考查了直角三角形的判定等知识，分别根据勾股定理逆定理，三角形内角和定理等知识逐项判断即可求解． 【详解】解：A. ∵，∴不是直角三角形，故原选项不合题意； B. ∵，∴，∴不是直角三角形，故原选项不合题意； C. 设，则，∵，∴是直角三角形，故原选项符合题意； D. ∵，，∴，∴不是直角三角形，故原选项不合题意． 故选：C 3．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次根式的性质、二次根式的除法、二次根式的混合运算等知识点，掌握二次根式的运算法则是解题的关键． 根据二次根式的性质、二次根式的除法、二次根式的混合运算法则逐项判断即可． 【详解】解：A．，故A选项错误，不符合题意； B．，故B选项错误，不符合题意； C．，故C选项错误，不符合题意；     D．，故D选项正确，符合题意．     故选：D． 4．如图，已知四边形是平行四边形，下列结论中不正确的是（    ） A．当时，它是菱形 B．当时，它是菱形 C．当时，它是矩形 D．当时，它是正方形 【答案】D 【分析】此题主要考查学生对正方形的判定、平行四边形的性质、菱形的判定和矩形的判定的理解和掌握，此题涉及到的知识点较多，学生答题时容易出错． 根据邻边相等的平行四边形是菱形；根据所给条件可以证出邻边相等；根据有一个角是直角的平行四边形是矩形；根据对角线相等的平行四边形是矩形． 【详解】解：A、根据邻边相等的平行四边形是菱形可知：四边形是平行四边形，当时，它是菱形，故A选项正确，不符合题意； B、四边形是平行四边形，， 四边形是菱形，故B选项正确，不符合题意； C、有一个角是直角的平行四边形是矩形，故C选项正确，不符合题意； D、根据对角线相等的平行四边形是矩形可知当时，它是矩形，不是正方形，故D选项错误，符合题意． 故选：D． 5．4月23日是世界读书日．习总书记说“希望孩子们养成阅读习惯，快乐阅读，健康成长，”读书正当时，莫负好时光，某校积极开展全员阅读活动．小明为了解本组同学4月份的课外阅读量，对本组同学进行调查，并将调查结果绘制成折线统计图（如下图）．下列说法中，正确的是（   ） A．小明这组共有名同学 B．本组同学4月份的课外阅读量的中位数是 C．本组同学月份的课外阅读量的众数是4 D．本组同学4月份的课外阅读量的平均数是 【答案】D 【分析】本题考查折线统计图、中位数、众数、平均数，分别根据折线统计图和中位数、众数、平均数的定义求解即可． 【详解】解：A、随机选取了（名）同学，故该选项错误，不符合题意； B、将数据从小到大排列，位于第8个位置的数为3，则中位数为3本，故该选项错误，不符合题意； C、课外阅读量为3的出现次数最多，则众数为3，故该选项错误，不符合题意； D、该组数据的平均数为（本），故该选项正确，符合题意， 故选：D． 6．如图，在中，于点，交其延长线于点，若，，且的周长为40，则的面积为（    ） A．24 B．36 C．40 D．48 【答案】D 【分析】本题考查了平行四边形的性质，根据平行四边形的周长与面积得到关于、的两个方程并求出的值是解题的关键．根据平行四边形的周长求出，再用面积法求出，然后求出的值，再根据平行四边形的面积公式计算即可得解． 【详解】解：的周长， ①， 于，于，，， ， 整理得，②， 联立①②解得，， 的面积． 故选：D 7．如图所示的是小红从家去图书馆看书，又去超市买东西，然后回家的过程，其中(分钟)表示时间，(千米)表示小红离家的距离，且小红家、图书馆、超市在同一条直线上，则下列叙述不正确的是（    ） A．小红从家到图书馆用了分钟，图书馆离小红家有千米 B．小红在图书馆看书用了分钟 C．超市离小红家有千米，小红从超市回家的平均速度是千米分钟 D．从图书馆到超市用了分钟，图书馆离超市有千米 【答案】D 【分析】本题考查了函数的图象，观察图象，获取信息是解题关键． 根据图象，可得从家到图书馆，图书馆到超市的距离以及相应的时间，根据路程、速度与时间的关系，可得答案． 【详解】解：由题意得： 小红从家到图书馆用了分钟，图书馆离小红家有千米，故选项A说法正确，不符合题意； 小红在图书馆看书用了：分钟，故选项B说法正确，不符合题意； 超市离小红家有千米，小红从超市回家的平均速度是：千米分钟，故选项C说法正确，不符合题意； 从图书馆到超市用了：分钟，图书馆离超市有：千米，故选项D说法错误，符合题意． 故选：D． 8．我国是最早了解勾股定理的国家之一．据《周髀算经》记载，勾股定理的公式与证明是在商代由商高发现的，故又称之为“商高定理”；三国时代的蒋铭祖对《蒋铭祖算经》内的勾股定理作出了详细注释，并给出了另外一个证明．下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了勾股定理的证明，完全平方公式的应用，根据面积公式，逐项推理论证判断即可． 【详解】解：A．大正方形面积为：，也可以看做是4个直角三角形和一个小正方形组成，则其面积为：，∴，可以证明勾股定理，故本选项不符合题意； B．梯形的面积为：，也可看作是2个直角三角形和一个等腰直角三角形组成，则其面积为：，∴，可以证明勾股定理，故本选项不符合题意； C．大正方形的面积为：，也可看作是4个直角三角形和一个小正方形组成，则其面积为：，∴，∴故本选项不符合题意； D．图形中不涉及直角三角形，故无法证明勾股定理，故本选项符合题意； 故选：D． 9．如图，一次函数的图像交y轴于点，交x轴于点，则下列说法正确的是（    ） A．该函数的表达式为 B．点不在该函数图象上 C．点，在图象上，若，则 D．将图象向上平移1个单位得到直线 【答案】D 【分析】本题主要考查了求一次函数解析式、一次函数的性质、一次函数的平移等知识点，掌握一次函数图像的性质成为解题的关键． 先运用待定系数法求得函数解析式即可判断A选项，将代入解析式即可判断B选项；根据一次函数增减性即可判断C选项；根据一次函数的平移规律可判断D选项． 【详解】解：A．由题意可得：，解得，即函数解析式为，故A选项不符合题意； B．当时，，即点在该函数图像上，故B选项不符合题意． C．在中，y随x的增大而增大，则当时，，故C选项不符合题意． D． 图像向上平移1个单位得到直线，故D选项符合题意． 故选：D． 10．小明用四根相同长度的木条制作了一个正方形学具（如图1），测得对角线，将正方形学具变形为菱形（如图2），，则图2中对角线的长为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查正方形的性质，菱形的性质，勾股定理．熟练掌握特殊平行四边形的性质是解题关键．由正方形的性质可求出，当四边形为菱形，且时，连接交于，可得是等边三角形，则，进而得到，由勾股定理可求出，进而可求出． 【详解】解：如图1，四边形是正方形，， ， 在图2中，连接交于， ，， 是等边三角形，则， 四边形是菱形， ，，， ， ， 故选：C． 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分. 11．如图，在矩形中，对角线相交于点．若，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了矩形的性质，勾股定理，等边三角形的性质与判定，先由矩形的性质得到，，证明是等边三角形，得到，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 故答案为：． 12．已知，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，，边交x轴于D点，则D点的坐标为 ．    【答案】 【分析】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，坐标与图形性质，根据题意得出直线的解析式是解题的关键． 利用待定系数法求出直线的解析式，求出D点坐标即可． 【详解】解：设直线的解析式为， ，， ， 解得， 直线的解析式为， 当时，， ． 故答案为：． 13．对于任意不相等的两个数，，定义一种运算“”如下，如，计算： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了实数的运算，直接利用题中新定义的运算公式代值求解，进而得出答案，正确理解题中新定义运算公式是解题关键． 【详解】解：， 故答案为：． 14．如图，直线与x轴，y轴分别交于A和B，点C、D分别为线段的中点，P为上一动点，当的值最小时，点P的坐标为 ．    【答案】 【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式、一次函数图象上点的坐标特征以及轴对称中最短路径问题，根据一次函数解析式求出点A、B的坐标，再由中点坐标公式求出点C、D的坐标，根据对称的性质找出点的坐标，结合点C、的坐标求出直线的解析式，令即可求出x的值，从而得出点P的坐标． 【详解】解：作点D关于x轴的对称点，连接交x轴于点P，此时值最小，最小值为，如图．    令中，则， ∴点B的坐标为； 令中，则，解得：， ∴点A的坐标为． ∵点C、D分别为线段的中点， ∴点，点． ∵点和点D关于x轴对称， ∴点的坐标为． 设直线的解析式为， ∵直线过点， ∴，解得， ∴直线的解析式为． 令，则，解得：， ∴点P的坐标为． 故答案为：． 15．如图，在中，，点E为的中点，点F为边上的一个动点，将三角形沿折叠，点A的对应点为，当以E，F，，C为顶点的四边形是平行四边形时，线段的长为 ． 【答案】2或 【分析】本题主要考查了折叠的性质，平行四边形的性质与判定，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，分如图1，四边形是平行四边形，如图2，四边形是平行四边形，两种情况利用折叠的性质进行求解即可． 【详解】解：如图1，四边形是平行四边形， ∵，点E为的中点， ∴， 由折叠得， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴ ； 如图2，四边形是平行四边形，作于点G， ∵， ∴， ∵ ， ∴， ∴， ∴点F与点G重合， ∴， 综上所述，线段的长为2或， 故答案为：2或． 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题8分，共24分. 16．（1）计算：． （2）已知，求的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了二次根式的混合运算； （1）根据二次根式的运算法则化简运算即可； （2）先把所求代数式化为最简形式，把α、b值代入，利用乘法公式计算，可得答案． 【详解】解：（1） （2）∵ ∴ 17．已知和x成正比例，且当时，当． (1)求y与x之间的函数关系式； (2)若点在这个函数图象上，求m的值． 【答案】(1)函数解析式是 (2) 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，解答本题的关键是利用待定系数法解得一次函数的解析式． （1）根据正比例函数的定义设设，然后把x、y的值代入求出k的值，再整理即可得解． （2）将点P的坐标代入函数解析式进行验证． 【详解】（1）设， 把代入得：， 解得：， ∴函数解析式是； （2）∵点在这个函数图象上， ∴ 18．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1． (1)分别求出线段、的长度； (2)在图中画线段，使得的长为 ，以、、三条线段能否构成直角三角形，并说明理由． 【答案】(1)； (2)见解析；可以组成直角三角形，理由见解析 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，利用网格的性质解题是关键． （1）结合网格的特点，利用勾股定理求解即可； （2）利用勾股定理画出，再利用勾股定理得逆定理，即可判断三角形 【详解】（1）解：由网格可知，，； （2）解：如图，，即即为所求作； 以、、三条线段能构成直角三角形，理由如下： ，，，且， ， 以、、三条线段能构成直角三角形． 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分. 19．如图，已知在平行四边形中，平分交于点，点在上，，连接交于点，连接．    (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)的长为 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，菱形的判定和性质，勾股定理； （1）由平行四边形的性质得，则，而，所以，得，而，则，则，，证明四边形是平行四边形，由，证明四边形是菱形； （2）由菱形的性质得，，，则，所以，则． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ， ， 平分， ， ， ， ， ， ，， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形． （2）解：四边形是菱形，，， ，，， ， ， ， ∴的长为6． 20．某区为了检测各个学校劳育实施情况，当地教委发布了“普通中小学校劳动教育状况评价指标”．为了解某校学生一周劳动次数的情况，在该校七、八年级中各随机抽取20名学生进行调查，并将结果整理、描述和分析，下面给出了部分信息． 七年级20名学生的一周劳动次数为： 七、八年级抽取的学生一周劳动次数的平均数、众数、中位数、5次及以上人数所占百分比如表： 年级 平均数 众数 中位数 5次及以上人数所占百分比 七年级 八年级 根据以上信息，回答下列问题： (1)补全条形统计图，上述表中的 ， ， ； (2)若劳动次数越多则视为劳动情况越好，请判断哪个年级一周的劳动情况更好，并说明理由； (3)若一周劳动次数4次及以上为良好，该校七年级有800名学生，八年级有600名学生，估计该校七年级和八年级一周劳动次数良好的学生总人数是多少． 【答案】(1)统计图见解析，，， (2)七年级，理由见解析 (3)670人 【分析】本题考查条形统计图、中位数、众数、用样本估计总体， （1）根据表格中的数据和条形统计图中的数据以及众数、中位数的意义，可以得到，，的值； （2）根据表格中的数据，由于七年级与八年级抽取的学生的一周劳动次数的平均数，众数均相同，因此可以从中位数比较得出答案； （3）分别求出七年级人中一周劳动次数良好的人数，再求出八年级人中一周劳动次数良好的人数，即可计算出该校七年级和八年级一周劳动次数良好的学生总人数是多少． 【详解】（1）解：， 补全统计图如下： 由条形统计图可得：八年级的众数为3，即； 七年级的劳动次数依次为： ，，，，，，，，，，，，，，，，，，，， 则中位数为，即， 其中次及以上人数为人，则所占百分比为，即； （2）七年级学生一周的劳动情况更好， 理由：七年级的中位数高于八年级，故七年级学生一周的劳动情况更好； （3）由题意可得： 人， ∴该校七年级和八年级一周劳动次数良好的学生总人数是670人． 21．如图1，某校机器人兴趣小组在长方形水池边上进行机器人测试．机器人从点B处出发，按图中箭头所示的方向，依次匀速走完下列三条线路：线段，线段，线段，到点A处停止．如果机器人所在的位置用点P表示，那么的面积与机器人出发后的时间t（分钟）之间的关系图像如图2所示．    (1)请求出长方形的长和宽； (2)当时，求S与t之间的关系式； (3)若沿途在某处让机器人原地做了分钟的其他性能测试，然后重新出发，前后速度保持不变，请你求出机器人停下来做其他性能测试时，已行走了的路程． 【答案】(1)长是，宽是 (2) (3) 【分析】本题主要考查了从函数图象获取信息，列函数关系式： （1）根据函数图象可得到，再根据在上运动时，的面积为，结合三角形面积公式得到，据此即可求出答案； （2）根据（1）所求可得机器人的速度为每分钟走，则，再根据三角形面积公式求解即可； （3）根据题意可求出a的值，进而根据路程等于速度乘以时间求出答案． 【详解】（1）解：观察图像可知，机器人从B点走到C点用了3分钟，从C点走到走到D点用了6分钟 ∵机器人是匀速运动 ∴， 又从图像可知， ∴， ∴长方形的长是，宽是． （2）解：由（1）可知，机器人3分钟走了的路程， ∴机器人的速度为每分钟走， ∴， ∴当时，S与t之间的关系式为： （3）解：由题意可得 ∴机器人停下来做其他性能测试时，已行走了的路程为：． 五、解答题（三）：本大题共2小题，每小题12分，共24分. 22．如图1，在平面直角坐标系中，直线与交于点，且分别交x轴于A、C两点． (1)求a，b的值及点A，C的坐标； (2)在直线上找一点D，使得是的面积的2倍，求出点D的坐标； (3)y轴上有一动点P，直线上有一动点M，点N在平面上，若四边形是正方形，求出点N的坐标． 【答案】(1)，，， (2)或 (3)或 【分析】本题考查的是一次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、勾股定理的运用、正方形的存在性问题等； （1）把分别代入与即可求出a，b的值，分别令与即可得到点A，C的坐标； （2）过作交于，则，再求出的面积，根据是的面积的2倍列方程求解即可； （3）过作于，过作于，当四边形是正方形时，可证得设，，根据全等求出坐标，再根据平移求出点N的坐标． 【详解】（1）把代入可得，解得， ∴， 令，解得， ∴， 把代入可得，解得， ∴， 令，解得， ∴； （2）过作交于， 设，则， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵是的面积的2倍， ∴， ∴，解得或， ∴或； （3）根据题意设，， 当在第一象限时，如图，过作于，于，则 ∴，，，， 当四边形是正方形时，，，从平移到与从平移到平移规则一致， ∴ ∴， ∴，， ∴，解得 ∴，， ∴向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度得到 ∴向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度得到； 当在第四象限时，如图，过作于，于，则 ∴，，，， 当四边形是正方形时，，，从平移到与从平移到平移规则一致， ∴ ∴， ∴，， ∴，解得 ∴，， ∴向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到 ∴向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到； 当在第二象限时，如图，过作于，于，则 ∴，，，， 当四边形是正方形时，，，从平移到与从平移到平移规则一致， ∴ ∴， ∴，， ∴，解得不合题意； 综上所述，或． 23．定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形． (1)根据定义判矩形 已知：如图1，在平行四边形中，是它的两条对角线，．求证：平行四边形是矩形． (2)动手操作有发现 如图2，在矩形中，是的中点，将沿折叠后得到，点在矩形内部，延长交于点．猜想线段与有何数量关系?并证明你的结论． (3)类比探究到一般 如图3，将(2)中的矩形改为平行四边形，其它条件不变，(2)中的结论是否仍然成立，请说明理由． (4)解决问题巧应用 如图4，保持(2)中的条件不变，若点是的中点，且，请直接写出矩形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 (3)成立，理由见解析 (4) 【分析】（1）由“边边边”证明，然后得到，即可得到结论成立； （2）连接，利用折叠的性质，矩形的性质，证明，即可得到结论成立； （3）连接，利用折叠的性质，平行四边形的性质，证明，即可得到结论成立； （4）由折叠的性质，先求出，然后由勾股定理求出，即可求出面积． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形 ∴，， 在和中， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴平行四边形是矩形； （2）证明：． 理由如下：如图，连接， ∵E是的中点， ∴， ∵沿折叠后得到， ∴，， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∵在和中， ∵， ∴， ∴； （3）证明：（2）中的结论仍然成立． 理由如下：如图，连接， ∵E是的中点， ∴， ∵将沿折叠后得到， ∴，， ∴， ∴； ∵四边形为平行四边形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； 即（2）中的结论仍然成立． （4）解：在平行四边形中，， 由（2）可知， ∵点是的中点， ∴， 由折叠的性质，则， ∴， ∵， ∴， ∴矩形的面积为： ； 【点睛】本题考查了矩形的判定和性质，平行四边形的性质，勾股定理，折叠的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确的进行证明． 试卷第4页，共11页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$