第16讲 直线和圆锥曲线的位置关系-【暑假预科讲义】2024年新高二数学暑假精品课（高一升高二）（人教A版2019选择性必修第一册）

第16讲 直线和圆锥曲线的位置关系 【人教A版2019】 ·模块一 直线与椭圆的位置关系 ·模块二 直线与双曲线的位置关系 ·模块三 直线与抛物线的位置关系 ·模块四 课后作业 模块一 直线与椭圆的位置关系 1．点与椭圆的位置关系 (1)点与椭圆的位置关系： (2)对于点与椭圆的位置关系，有如下结论： 点在椭圆外+>1; 点在椭圆内+<1; 点在椭圆上+=1. 2．直线与椭圆的位置关系 (1)直线与椭圆的三种位置关系 类比直线与圆的位置关系，直线与椭圆有相离、相切、相交三种位置关系，如图所示. (2)利用方程讨论直线与椭圆的位置关系： >0直线与椭圆相交有两个公共点; =0直线与椭圆相切有且只有一个公共点; <0直线与椭圆相离无公共点. 3．弦长问题 (1)定义：直线与椭圆的交点间的线段叫作椭圆的弦. (2)弦长公式：设直线l:y=kx+m交椭圆+=1 (a>b>0)于，两点， 则或. 4．“中点弦问题” (1)解决椭圆中点弦问题的两种方法 ①根与系数的关系法：联立直线方程和椭圆方程构成方程组，消去一个未知数，利用一元二次方程根 与系数的关系以及中点坐标公式解决. ②点差法：利用端点在曲线上，坐标满足方程，将端点坐标分别代入椭圆方程，然后作差，构造出中 点坐标和斜率的关系. 设，，代入椭圆方程+=1 (a>b>0)， 得， ①-②可得+=0， 设线段AB的中点为，当时，有+=0. 因为为弦AB的中点，从而转化为中点与直线AB的斜率之间的关系，这就是处理弦 中点轨迹问题的常用方法. (2)弦的中点与直线的斜率的关系 线段AB是椭圆+=1 (a>b>0)的一条弦，当弦AB所在直线的斜率存在时，弦AB的中点M的坐标 为，则弦AB所在直线的斜率为，即. 【考点1 判断直线与椭圆的位置关系】 【例1.1】（23-24高二上·山东济南·期中）直线l：与椭圆C：的位置关系是（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．不能确定 【例1.2】（23-24高二上·全国·课后作业）直线与椭圆的公共点的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．无数个 【变式1.1】（23-24高二下·上海浦东新·期中）已知椭圆，直线，则直线l与椭圆C的位置关系为（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定 【变式1.2】（23-24高二上·内蒙古赤峰·期末）若直线与：没有交点，则过点、两点的直线与椭圆的交点个数是（     ） A．至多为 B． C． D． 【考点2 椭圆的弦长问题】 【例2.1】（2024高二上·江苏·专题练习）设直线与椭圆相交于A，B两点，则（    ） A． B． C． D． 【例2.2】（23-24高二上·江苏镇江·期末）已知椭圆的焦点为F，椭圆上M，N满足：，则（    ） A． B．3 C． D． 【变式2.1】（23-24高二上·福建莆田·阶段练习）已知椭圆的中心在原点，焦点为，，且离心率．过点的直线与椭圆相交于，两点，且为的中点，则弦长（    ） A． B． C． D． 【变式2.2】（23-24高二上·福建三明·期中）已知直线被椭圆截得的弦长为，则下列直线中被椭圆截得的弦长一定有的有（　　） A． B． C． D． 【考点3 椭圆的“中点弦”问题】 【例3.1】（23-24高二上·江苏·期中）设A，B为双曲线右支上的两点，若线段的中点为，则直线的方程是（   ） A． B． C． D． 【例3.2】（23-24高二上·贵州六盘水·阶段练习）已知椭圆，过点，斜率为的直线与交于两点，且为的中点，则（    ） A．1 B． C． D． 【变式3.1】（23-24高二上·安徽·阶段练习）已知椭圆以及椭圆内一点，则以P为中点的弦所在直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 【变式3.2】（23-24高二上·重庆黔江·阶段练习）设直线与椭圆交于两点,且点为线段的中点,则直线的方程为（   ） A． B． C． D． 模块二 直线与双曲线的位置关系 1．直线与双曲线的位置关系 (1)研究直线与双曲线的位置关系： 一般通过直线方程与双曲线方程所组成的方程组的解的个数进行判断. ①代入②得. 当=0，即时，直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线交于一点. 当0，即时，=. >0直线与双曲线有两个交点,称直线与双曲线相交； =0直线与双曲线有一个交点,称直线与双曲线相切； <0直线与双曲线没有交点,称直线与双曲线相离. (2)对直线与双曲线的交点位置分以下三种情况进行讨论： ①若一条直线与双曲线的右支交于两个不同的点，则应满足条件； ②若一条直线与双曲线的左支交于两个不同的点，则应满足条件； ③若一条直线与双曲线的左、右两支各有一个交点，则应满足条件. 2．弦长问题 ①弦长公式：直线y=kx+b与双曲线相交所得的弦长d. ②解决此类问题时要注意是交在同一支，还是交在两支上. ③处理直线与圆锥曲线相交弦有关问题时，利用韦达定理、点差法的解题过程中，并没有条件确定直 线与圆锥曲线一定会相交，因此，最后要代回去检验. ④双曲线的通径： 过焦点且与焦点所在的对称轴垂直的直线被双曲线截得的线段叫作双曲线的通径.无论焦点在x轴上还是在y轴上，双曲线的通径总等于. 3．“中点弦问题” “设而不求”法解决中点弦问题： ①过椭圆内一点作直线，与椭圆交于两点，使这点为弦的中点，这样的直线一定存在，但在双曲线的这类问题中，则不能确定.要注意检验. ②在解决此类问题中，常用韦达定理及垂直直线的斜率关系.常用的解题技巧是如何应用直线方程将转化为能用韦达定理直接代换的.垂直关系有时用向量的数量关系来刻画，要注意转化. 4．双曲线的第二定义 平面内，当动点M到一个定点的距离和它到一条定直线(点不在直线上)的距离之比是常数e=(e>1)时，这个动点的轨迹就是双曲线，定点是双曲线的焦点，定直线是双曲线的准线，常数e是双曲线的离心率. 【考点1 判断直线与双曲线的位置关系】 【例1.1】（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·期中）直线与双曲线交点的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．4 【例1.2】（2024高二·全国·专题练习）直线与双曲线的位置关系是（　　） A．相切 B．相交 C．相离 D．无法确定 【变式1.1】（23-24高二上·四川成都·期中）已知直线，双曲线，则（    ） A．直线与双曲线有且只有一个公共点 B．直线与双曲线的左支有两个公共点 C．直线与双曲线的右支有两个公共点 D．直线与双曲线的左右两支各有一个公共点 【变式1.2】（23-24高二上·湖北武汉·期中）过点作直线，使它与双曲线只有一个公共点，这样的直线有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 【考点2 双曲线的弦长问题】 【例2.1】（23-24高二下·重庆沙坪坝·阶段练习）已知双曲线C：的一条渐近线方程是，过其左焦点作斜率为2的直线l交双曲线C于A，B两点，则截得的弦长（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 【例2.2】（23-24高二上·浙江金华·期中）已知等轴双曲线的中心在原点，焦点在y轴上，与直线交于A，B两点，若，则该双曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 【变式2.1】（23-24高二上·广东惠州·期末）过双曲线右焦点F作直线l交双曲线于A、B两点，若，则这样直线l有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 【变式2.2】（2024·北京·模拟预测）已知双曲线的两个焦点分别为，过的直线与双曲线的同一支交于，两点，且，则线段的长度为（    ） A． B．9 C． D．6 【考点3 双曲线的“中点弦”问题】 【例3.1】（23-24高二上·天津和平·期末）直线l与双曲线交于A，B两点，线段AB的中点为点，则直线l的斜率为（    ） A． B． C． D． 【例3.2】（23-24高三上·湖北武汉·期末）已知A，B为双曲线上不同两点，下列点中可为线段的中点的是（    ） A． B． C． D． 【变式3.1】（23-24高三上·内蒙古呼和浩特·开学考试）设A，B为双曲线上的两点，若线段AB的中点为，则直线AB的方程是（    ） A． B． C． D． 【变式3.2】（23-24高二上·浙江宁波·期末）过双曲线内一点且斜率为的直线交双曲线于两点，弦恰好被平分，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 模块三 直线与抛物线的位置关系 1．直线与抛物线的位置关系 (1)直线与抛物线的三种位置关系： (2)设直线l:y=kx+m，抛物线:=2px(p>0)，将直线方程与抛物线方程联立，整理成关于x的方程 . ①若k≠0，当>0时，直线与抛物线相交，有两个交点； 当=0时，直线与抛物线相切，有一个交点； 当<0时，直线与抛物线相离，无交点. ②若k=0，直线与抛物线只有一个交点，此时直线平行于抛物线的对称轴或与对称轴重合. 因此直线与抛物线只有一个交点是直线与抛物线相切的必要不充分条件. 2．弦长问题 设直线与抛物线交于A,B两点，则 |AB|==或 |AB|== (k为直线的斜率，k≠0). 3．抛物线的焦点弦问题 抛物线=2px(p>0)上一点A与焦点F(,0)的距离为|AF|=，若MN为抛物线=2px(p>0)的焦点弦，则焦点弦长为|MN|=++p(,分别为M,N的横坐标). 设过抛物线焦点的弦的端点为A,B，则四种标准方程形式下的弦长公式为： 标准方程 弦长公式 y2=2px(p>0) |AB|=x1+x2+p y2=-2px(p>0) |AB|=p-(x1+x2) x2=2py(p>0) |AB|=y1+y2+p x2=-2py(p>0) |AB|=p-(y1+y2) 4．抛物线的切线 过抛物线=2px(p>0)上的点P的切线方程是. 抛物线=2px(p>0)的斜率为k的切线方程是(k≠0). 【考点1 判断直线与抛物线的位置关系】 【例1.1】（23-24高二下·上海·阶段练习）已知抛物线方程，过点的直线与抛物线只有一个交点，这样的直线有（    ）条 A．0 B．1 C．2 D．3 【例1.2】（23-24高二上·全国·课后作业）已知直线与抛物线只有一个公共点，则直线与抛物线的位置关系是（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．相交或相切 【变式1.1】（23-24高二上·安徽宿州·期末）过点作直线与抛物线相交，恰好有一个交点，则符合条件的直线的条数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【变式1.2】（23-24高二下·江西新余·期末）已知直线及抛物线，则（    ） A．直线与抛物线有一个公共点 B．直线与抛物线有两个公共点 C．直线与抛物线有一个或两个公共点 D．直线与抛物线可能没有公共点 【考点2 抛物线的弦长问题】 【例2.1】（2024·四川自贡·二模）已知定点，直线：与抛物线交于两点A，B，若，则(    ) A．4 B．6 C．8 D．10 【例2.2】（2023·全国·模拟预测）已知抛物线的一条弦恰好以为中点，弦的长是，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式2.1】（2024·山东聊城·三模）已知抛物线的焦点到其准线的距离为2，过的直线与交于，两点，则的最小值为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【变式2.2】（23-24高二上·河北衡水·期中）若抛物线的焦点为，直线：与抛物线交于A，B两点，且，则（    ） A．4 B． C．2 D． 【考点3 抛物线的焦点弦问题】 【例3.1】（23-24高三下·全国·阶段练习）已知为抛物线的焦点，过的直线与交于两点，则（    ） A． B． C． D． 【例3.2】（23-24高二上·广东珠海·期中）已知抛物线，过其焦点F的直线与该抛物线交于A、B两点，A在第一象限，且，则直线AB的斜率为（    ） A．1 B． C． D．无法确定 【变式3.1】（23-24高三上·山东烟台·阶段练习）抛物线上存在一点，到抛物线焦点的距离为3，直线交抛物线C于另一点N，则线段MN的长为（   ） A． B． C． D． 【变式3.2】（23-24高二上·河北保定·期中）已知抛物线C：的焦点为F，准线为l，过点F且倾斜角为的直线在第一象限交C于点A，若点A在l上的投影为点B，且，则（    ） A．1 B．2 C． D．4 【考点4 圆锥曲线中的三角形（四边形）面积问题】 【例4.1】（23-24高三下·全国·阶段练习）已知过抛物线的焦点的直线交抛物线于两点，当直线垂直于轴时，． (1)求抛物线方程； (2)若，为坐标原点，求的面积． 【例4.2】（23-24高二上·四川凉山·期末）已知椭圆的右顶点，过点的直线与椭圆交于，两点（，异于点），当直线与轴垂直时，. (1)求椭圆C的方程； (2)求面积的取值范围. 【变式4.1】（23-24高三上·四川成都·期末）在平面直角坐标系中，点与点关于原点对称，是动点，且直线与的斜率之积等于. (1)求动点的轨迹方程； (2)设直线和分别与直线交于点，问：是否存在点使得与的面积相等？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由. 【变式4.2】（23-24高三上·江苏盐城·阶段练习）设双曲线的离心率为，且顶点到渐近线的距离为.已知直线过点，直线与双曲线的左，右两支的交点分别为，直线与双曲线的渐近线的交点为，其中点在轴的右侧.设的面积分别是. (1)求双曲线的方程； (2)求的取值范围. 【考点5 圆锥曲线中的定点、定值、定直线问题】 【例5.1】（23-24高三上·广西·开学考试）已知椭圆的离心率为，长轴长为4． (1)求椭圆C的标准方程； (2)O为坐标原点，过点且斜率不为零的直线与椭圆C交于E，F两点，试问：在x轴上是否存在一个定点T，使得．若存在，求出定点T的坐标；若不存在，说明理由． 【例5.2】（23-24高二上·山东济南·阶段练习）已知抛物线：. (1)过抛物线的焦点，且斜率为的直线交抛物线于，两点，求； (2)直线过点且与抛物线交于，两点，过，分别作抛物线的切线，这两条切线交于点.证明：点在定直线上. 【变式5.1】（23-24高三上·上海闵行·期中）已知双曲线：的离心率为，点在双曲线上．过的左焦点F作直线交的左支于A、B两点． (1)求双曲线C的方程； (2)若，试问：是否存在直线，使得点M在以为直径的圆上?请说明理由． (3)点，直线交直线于点．设直线、的斜率分别、，求证：为定值． 【变式5.2】（23-24高三上·河北石家庄·期末）已知椭圆的上、下顶点分别是，点P（异于两点），直线PA与PB的斜率之积为，椭圆C的长轴长为6． (1)求C的标准方程； (2)已知，直线PT与椭圆C的另一个交点为Q，且直线AP与BQ相交于点D，证明点在定直线上. 模块四 课后作业 一、单选题 1．（23-24高二上·辽宁大连·期中）已知椭圆，直线，则与的位置关系为（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．以上选项都不对 2．（23-24高二上·江苏南京·期末）已知直线与双曲线有且只有一个交点，则实数的值是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二上·内蒙古呼伦贝尔·期末）已知抛物线，过点的直线与抛物线交于A，B两点，点为抛物线的焦点，若，则（    ） A．2 B． C．1 D． 4．（23-24高二上·全国·单元测试）已知椭圆内一点,直线l与椭圆C交于A,B两点，且M为线段的中点，则直线l的斜率为（    ） A． B． C．3 D． 5．（23-24高二上·江苏泰州·期中）已知双曲线C：的右焦点为F，过F的直线l与双曲线C交于A，B两点，若，则这样的直线l有（    ） A．0条 B．2条 C．3条 D．4条 6．（23-24高二上·江苏无锡·期中）斜率为1的直线经过抛物线（）的焦点，且与抛物线相交于两点，线段的长为8，则的值为（    ） A． B．1 C．2 D．3 7．（23-24高二上·全国·单元测试）已知椭圆的左、右焦点分别为，直线与交于点两点，若面积是的2倍，则（    ） A． B． C． D． 8．（23-24高二上·福建莆田·期末）已知为椭圆上任一点，过作圆的两条切线，切点分别为，则四边形面积的最大值为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（23-24高二上·湖南长沙·期末）直线经过抛物线的焦点，且与抛物线相交于两点，下列说法正确的是（    ） A．， B．直线的斜率为1时， C．的最小值为6 D．以为直径的圆与的准线相切 10．（23-24高二上·浙江杭州·期中）设椭圆的方程为，斜率为k的直线l不经过原点O，且与椭圆相交于A，B两点，M为线段AB的中点，则（    ） A． B．若，则直线l的方程为 C．若直线l的方程为，则 D．若直线l的方程为，则 三、填空题 11．（23-24高二上·陕西西安·期末）过抛物线的焦点作直线交抛物线于两点，若，那么 ． 12．（2024·全国·模拟预测）已知双曲线（，）的左、右焦点分别为，，过点作直线交两条渐近线于点，，且．若点在轴上的射影为，则 ． 四、解答题 13．（23-24高二上·贵州铜仁·阶段练习）已知椭圆，直线（其中）与椭圆相交于两点，为的中点，为坐标原点，． (1)求的值； (2)求的面积． 14．（23-24高二上·江苏南通·期末）设m为实数，已知F为抛物线的焦点，是抛物线上一点，O为坐标原点，且． (1)求m的值； (2)过点F垂直于MF的直线与抛物线相交于A，B两点，求AB的长． 15．（23-24高二上·广东惠州·阶段练习）已知双曲线的焦距为4，且过点． (1)求双曲线的方程； (2)过双曲线的左焦点分别作斜率为的两直线与，直线交双曲线于两点，直线交双曲线于两点，设分别为与的中点，若，证明：直线过定点． 16．（23-24高二下·安徽滁州·期中）已知椭圆：，，分别为椭圆的左顶点和右焦点，过的直线交椭圆于点，若，且当直线轴时，． (1)求椭圆的方程； (2)设直线，的斜率分别为，，问是否为定值？并证明你的结论； (3)记的面积为，求的最大值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第16讲 直线和圆锥曲线的位置关系 【人教A版2019】 ·模块一 直线与椭圆的位置关系 ·模块二 直线与双曲线的位置关系 ·模块三 直线与抛物线的位置关系 ·模块四 课后作业 模块一 直线与椭圆的位置关系 1．点与椭圆的位置关系 (1)点与椭圆的位置关系： (2)对于点与椭圆的位置关系，有如下结论： 点在椭圆外+>1; 点在椭圆内+<1; 点在椭圆上+=1. 2．直线与椭圆的位置关系 (1)直线与椭圆的三种位置关系 类比直线与圆的位置关系，直线与椭圆有相离、相切、相交三种位置关系，如图所示. (2)利用方程讨论直线与椭圆的位置关系： >0直线与椭圆相交有两个公共点; =0直线与椭圆相切有且只有一个公共点; <0直线与椭圆相离无公共点. 3．弦长问题 (1)定义：直线与椭圆的交点间的线段叫作椭圆的弦. (2)弦长公式：设直线l:y=kx+m交椭圆+=1 (a>b>0)于，两点， 则或. 4．“中点弦问题” (1)解决椭圆中点弦问题的两种方法 ①根与系数的关系法：联立直线方程和椭圆方程构成方程组，消去一个未知数，利用一元二次方程根 与系数的关系以及中点坐标公式解决. ②点差法：利用端点在曲线上，坐标满足方程，将端点坐标分别代入椭圆方程，然后作差，构造出中 点坐标和斜率的关系. 设，，代入椭圆方程+=1 (a>b>0)， 得， ①-②可得+=0， 设线段AB的中点为，当时，有+=0. 因为为弦AB的中点，从而转化为中点与直线AB的斜率之间的关系，这就是处理弦 中点轨迹问题的常用方法. (2)弦的中点与直线的斜率的关系 线段AB是椭圆+=1 (a>b>0)的一条弦，当弦AB所在直线的斜率存在时，弦AB的中点M的坐标 为，则弦AB所在直线的斜率为，即. 【考点1 判断直线与椭圆的位置关系】 【例1.1】（23-24高二上·山东济南·期中）直线l：与椭圆C：的位置关系是（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．不能确定 【解题思路】判断出直线过定点，且定点在椭圆内可得答案. 【解答过程】将直线l：变形为l：， 由得，于是直线l过定点， 而，于是点在椭圆C：内部， 因此直线l：与椭圆C：相交． 故选：A．    【例1.2】（23-24高二上·全国·课后作业）直线与椭圆的公共点的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．无数个 【解题思路】联立直线与椭圆的方程消去y，再利用判别式判断作答. 【解答过程】由消去y并整理得，显然， 所以直线与椭圆相交，有2个公共点. 故选：C. 【变式1.1】（23-24高二下·上海浦东新·期中）已知椭圆，直线，则直线l与椭圆C的位置关系为（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定 【解题思路】根据直线方程可得直线过定点，判断点与椭圆C的位置关系即可得结果. 【解答过程】对于直线，整理得， 令，解得， 故直线过定点. ∵，则点在椭圆C的内部， 所以直线l与椭圆C相交. 故选：A. 【变式1.2】（23-24高二上·内蒙古赤峰·期末）若直线与：没有交点，则过点、两点的直线与椭圆的交点个数是（     ） A．至多为 B． C． D． 【解题思路】由直线与圆相离得到点位置后判断. 【解答过程】直线与：没有交点， 所以直线与：相离， 所以，得， 故点在以原点为圆心，2为半径的圆内，所以 ，即在椭圆内部， 而易知在椭圆外， 所以过点、两点的直线与该椭圆必有2个交点． 故选：B. 【考点2 椭圆的弦长问题】 【例2.1】（2024高二上·江苏·专题练习）设直线与椭圆相交于A，B两点，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】联立直线与椭圆，根据弦长公式即可. 【解答过程】联立直线与椭圆方程， 消可得：，， 设， 则，，根据弦长公式有： . 故选：B. 【例2.2】（23-24高二上·江苏镇江·期末）已知椭圆的焦点为F，椭圆上M，N满足：，则（    ） A． B．3 C． D． 【解题思路】设出点，根据推导出点坐标，将坐标代入椭圆方程组成方程组，解出点，然后求出线段的长度. 【解答过程】设、， 不妨设为右焦点，据题意得， 因为， 所以， 所以， 将点代入椭圆方程得 由，得， 所以， 所以， 所以， 所以， 所以. 故选：D. 【变式2.1】（23-24高二上·福建莆田·阶段练习）已知椭圆的中心在原点，焦点为，，且离心率．过点的直线与椭圆相交于，两点，且为的中点，则弦长（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据题意分别求出，求解椭圆方程，然后分别设，，利用点差法求出直线，然后再与椭圆方程联立从而求解. 【解答过程】由题知，，所以， 所以，椭圆的方程为， 由题知直线的斜率不为，设，，则， 代入椭圆方程得，作差得， 即，得， 所以直线的斜率，故直线的方程为，即， 联立，化简得，解得或， 所以，，所以弦长，故C正确. 故选：C. 【变式2.2】（23-24高二上·福建三明·期中）已知直线被椭圆截得的弦长为，则下列直线中被椭圆截得的弦长一定有的有（　　） A． B． C． D． 【解题思路】作图，用对称性即可求解. 【解答过程】如图所示，BCD三项的直线均和对称 而椭圆关于原点对称，故弦长都相同 故选：BCD. 【考点3 椭圆的“中点弦”问题】 【例3.1】（23-24高二上·江苏·期中）设A，B为双曲线右支上的两点，若线段的中点为，则直线的方程是（   ） A． B． C． D． 【解题思路】 由题意中点弦可以采用点差法求直线斜率，根据点斜式即可得解，但要回代直线进行检验. 【解答过程】设， 则有，两式相减，得， 因为线段AB的中点为， 所以， 因此由， 即直线AB的斜率为，方程为， 代入双曲线方程中，得， 因为， 所以线段存在. 故选：C. 【例3.2】（23-24高二上·贵州六盘水·阶段练习）已知椭圆，过点，斜率为的直线与交于两点，且为的中点，则（    ） A．1 B． C． D． 【解题思路】设，因为为的中点，可得，代入椭圆的方程，两式相减，得出关于的方程，即可求解. 【解答过程】设，因为为的中点，可得 又由，两式相减得 ， 则，得． 故选：B. 【变式3.1】（23-24高二上·安徽·阶段练习）已知椭圆以及椭圆内一点，则以P为中点的弦所在直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据给定条件，利用点差法，列式计算即得. 【解答过程】显然点在椭圆内，设以P为中点的弦端点， 则，由，得， 即，所以直线的斜率. 故选：D. 【变式3.2】（23-24高二上·重庆黔江·阶段练习）设直线与椭圆交于两点,且点为线段的中点,则直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【解题思路】设的坐标,代入椭圆的方程,作差得的值,即直线的斜率,然后根据点斜式求得直线方程即可. 【解答过程】设则 将点代入椭圆方程,两式作差得 即直线的斜率为 直线的方程为即. 故选：. 模块二 直线与双曲线的位置关系 1．直线与双曲线的位置关系 (1)研究直线与双曲线的位置关系： 一般通过直线方程与双曲线方程所组成的方程组的解的个数进行判断. ①代入②得. 当=0，即时，直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线交于一点. 当0，即时，=. >0直线与双曲线有两个交点,称直线与双曲线相交； =0直线与双曲线有一个交点,称直线与双曲线相切； <0直线与双曲线没有交点,称直线与双曲线相离. (2)对直线与双曲线的交点位置分以下三种情况进行讨论： ①若一条直线与双曲线的右支交于两个不同的点，则应满足条件； ②若一条直线与双曲线的左支交于两个不同的点，则应满足条件； ③若一条直线与双曲线的左、右两支各有一个交点，则应满足条件. 2．弦长问题 ①弦长公式：直线y=kx+b与双曲线相交所得的弦长d. ②解决此类问题时要注意是交在同一支，还是交在两支上. ③处理直线与圆锥曲线相交弦有关问题时，利用韦达定理、点差法的解题过程中，并没有条件确定直 线与圆锥曲线一定会相交，因此，最后要代回去检验. ④双曲线的通径： 过焦点且与焦点所在的对称轴垂直的直线被双曲线截得的线段叫作双曲线的通径.无论焦点在x轴上还是在y轴上，双曲线的通径总等于. 3．“中点弦问题” “设而不求”法解决中点弦问题： ①过椭圆内一点作直线，与椭圆交于两点，使这点为弦的中点，这样的直线一定存在，但在双曲线的这类问题中，则不能确定.要注意检验. ②在解决此类问题中，常用韦达定理及垂直直线的斜率关系.常用的解题技巧是如何应用直线方程将转化为能用韦达定理直接代换的.垂直关系有时用向量的数量关系来刻画，要注意转化. 4．双曲线的第二定义 平面内，当动点M到一个定点的距离和它到一条定直线(点不在直线上)的距离之比是常数e=(e>1)时，这个动点的轨迹就是双曲线，定点是双曲线的焦点，定直线是双曲线的准线，常数e是双曲线的离心率. 【考点1 判断直线与双曲线的位置关系】 【例1.1】（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·期中）直线与双曲线交点的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．4 【解题思路】根据已知直线和渐近线平行即可得答案. 【解答过程】由题知，双曲线的渐近线方程为， 所以直线与双曲线的一条渐近线平行， 由图可知，直线l与双曲线有且只有一个交点. 故选：B. 【例1.2】（2024高二·全国·专题练习）直线与双曲线的位置关系是（　　） A．相切 B．相交 C．相离 D．无法确定 【解题思路】联立直线方程和双曲线方程消去y然后可解出x，从而得出直线和双曲线位置关系，得出答案. 【解答过程】由得  整理得，； 所以，故直线和双曲线只有一个交点； 又双曲线的渐近线方程为： 与双曲线的一条渐近线平行且与双曲线只有一个交点. 所以直线和双曲线的位置关系为相交． 故选：B. 【变式1.1】（23-24高二上·四川成都·期中）已知直线，双曲线，则（    ） A．直线与双曲线有且只有一个公共点 B．直线与双曲线的左支有两个公共点 C．直线与双曲线的右支有两个公共点 D．直线与双曲线的左右两支各有一个公共点 【解题思路】发现点在双曲线的右顶点的右边，联立直线与双曲线方程并画出图形即可得到答案. 【解答过程】在同一平面直角坐标系中分别画出与的图象如图所示： 由图可知直线过点，它在双曲线的右顶点的右边， 联立直线与双曲线方程得，解得或， 则直线与双曲线的右支有两个公共点. 故选：C. 【变式1.2】（23-24高二上·湖北武汉·期中）过点作直线，使它与双曲线只有一个公共点，这样的直线有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 【解题思路】根据点在双曲线上，与渐近线平行以及该点处的切线均只与双曲线有一个公共点即可求解. 【解答过程】当时，，所以，故点在双曲线上， 因此过点且与双曲线的两条渐近线平行的直线，只与双曲线有一个交点， 设（且） 将其代入双曲线方程可得，化简得， 令，化简得， 解得， 故过点处的切线也只与双曲线有唯一的交点， 或者由得， 当时，，故，故处的切线斜率为， 故过点经过点的直线方程为，即， 联立与可得，解得， 因此在点处的切线也只与双曲线有唯一的交点， 综上可知：过点的直线有3条与双曲线有一个交点， 故选：C. 【考点2 双曲线的弦长问题】 【例2.1】（23-24高二下·重庆沙坪坝·阶段练习）已知双曲线C：的一条渐近线方程是，过其左焦点作斜率为2的直线l交双曲线C于A，B两点，则截得的弦长（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 【解题思路】根据渐近线方程和焦点坐标可解得，再将直线方程代入双曲线方程消元，由韦达定理和弦长公式可得. 【解答过程】双曲线C：的一条渐近线方程是，，即左焦点，，，，，双曲线C的方程为易知直线l的方程为，设，，由，消去y可得，， 故选：D. 【例2.2】（23-24高二上·浙江金华·期中）已知等轴双曲线的中心在原点，焦点在y轴上，与直线交于A，B两点，若，则该双曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】设出双曲线方程，联立直线，求出交点坐标，即可求解 【解答过程】由题意可设双曲线方程为，， 由得，则，， 不妨假设，则， 由图象的对称性可知， 可化为， 即，解得， 故双曲线方程为：， 故选：C. 【变式2.1】（23-24高二上·广东惠州·期末）过双曲线右焦点F作直线l交双曲线于A、B两点，若，则这样直线l有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 【解题思路】根据轴（弦是在同一支）和与轴不垂直（弦是跨两支）分成两种情况进行分类讨论，由此得出正确结论. 【解答过程】设，则. 对于过双曲线一个焦点的弦长，如果弦是在同一支上，那么最短的弦是垂直于轴的弦，长度为；如果弦是跨两支，那么最短的弦为实轴. 过双曲线的右焦点作直线交双曲线于两点. 若轴，则为通径，而通径长度正好是4，故直线交双曲线于同支上的两点且，这样的直线只有一条. 若经过顶点，此时，故直线交双曲线于异支上的两点且，这样的直线有且只有两条. 故满足的直线有条. 故选：C. 【变式2.2】（2024·北京·模拟预测）已知双曲线的两个焦点分别为，过的直线与双曲线的同一支交于，两点，且，则线段的长度为（    ） A． B．9 C． D．6 【解题思路】根据对称性不妨设过的直线为，与双曲线的方程联立，运用韦达定理和向量共线的坐标表示，结合弦长公式，计算可得． 【解答过程】双曲线中，，，则， 根据对称性不妨设过的直线为， 联立，可得， 则 设，，则，，① 由，可得， 即有，② 由①②可得，，所以， 解得（负值已舍去），， 所以． 故选：C． 【考点3 双曲线的“中点弦”问题】 【例3.1】（23-24高二上·天津和平·期末）直线l与双曲线交于A，B两点，线段AB的中点为点，则直线l的斜率为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】设，，代入双曲线方程，两式相减可得，由题目条件经整理后可得答案. 【解答过程】设，，则直线l的斜率为 代入，得，两式相减得：. 又线段AB的中点为点，则. 则.经检验满足题意. 故选：D. 【例3.2】（23-24高三上·湖北武汉·期末）已知A，B为双曲线上不同两点，下列点中可为线段的中点的是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】 利用点差法结合选项得出方程，再与双曲线方程联立一一验证是否有两个不同交点即可. 【解答过程】设的中点， 所以， 易知， 由点差法可得 ， 若，此时， 与双曲线联立， 即与双曲线只有一个交点，故A错误； 若，则此时， 与双曲线联立 ， 即与双曲线有两个交点，故B正确； 若，则此时， 与双曲线联立， 即与双曲线有一个交点，故C错误； 若，则此时， 与双曲线联立，显然无解， 即与双曲线没有交点，故D错误； 故选：B. 【变式3.1】（23-24高三上·内蒙古呼和浩特·开学考试）设A，B为双曲线上的两点，若线段AB的中点为，则直线AB的方程是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】利用点差法，结合一元二次方程根与系数关系进行求解判断即可. 【解答过程】设， 则有，两式相减，得， 因为线段AB的中点为， 所以， 因此由， 即直线AB的斜率为，方程为， 代入双曲线方程中，得， 因为， 所以线段AB存在， 故选：C. 【变式3.2】（23-24高二上·浙江宁波·期末）过双曲线内一点且斜率为的直线交双曲线于两点，弦恰好被平分，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】 设，则有，，将两点的坐标代入双曲线方程相减，再结合的关系，可得，从而可得，从而可得答案. 【解答过程】解：由题意可得，且， 又因为， 所以， 即有， 所以， 所以， 所以， 所以， 所以. 故选：C. 模块三 直线与抛物线的位置关系 1．直线与抛物线的位置关系 (1)直线与抛物线的三种位置关系： (2)设直线l:y=kx+m，抛物线:=2px(p>0)，将直线方程与抛物线方程联立，整理成关于x的方程 . ①若k≠0，当>0时，直线与抛物线相交，有两个交点； 当=0时，直线与抛物线相切，有一个交点； 当<0时，直线与抛物线相离，无交点. ②若k=0，直线与抛物线只有一个交点，此时直线平行于抛物线的对称轴或与对称轴重合. 因此直线与抛物线只有一个交点是直线与抛物线相切的必要不充分条件. 2．弦长问题 设直线与抛物线交于A,B两点，则 |AB|==或 |AB|== (k为直线的斜率，k≠0). 3．抛物线的焦点弦问题 抛物线=2px(p>0)上一点A与焦点F(,0)的距离为|AF|=，若MN为抛物线=2px(p>0)的焦点弦，则焦点弦长为|MN|=++p(,分别为M,N的横坐标). 设过抛物线焦点的弦的端点为A,B，则四种标准方程形式下的弦长公式为： 标准方程 弦长公式 y2=2px(p>0) |AB|=x1+x2+p y2=-2px(p>0) |AB|=p-(x1+x2) x2=2py(p>0) |AB|=y1+y2+p x2=-2py(p>0) |AB|=p-(y1+y2) 4．抛物线的切线 过抛物线=2px(p>0)上的点P的切线方程是. 抛物线=2px(p>0)的斜率为k的切线方程是(k≠0). 【考点1 判断直线与抛物线的位置关系】 【例1.1】（23-24高二下·上海·阶段练习）已知抛物线方程，过点的直线与抛物线只有一个交点，这样的直线有（    ）条 A．0 B．1 C．2 D．3 【解题思路】考虑直线斜率存在：，和不存在三种情况，讨论即可得解. 【解答过程】因为点不在抛物线上，易知当直线斜率不存在时，直线方程为，满足题意； 当直线斜率时，易知满足条件； 当直线斜率存在且时，设直线方程为， 由，整理得到， 由，解得. 综上所述：满足条件的直线有条. 故选：D. 【例1.2】（23-24高二上·全国·课后作业）已知直线与抛物线只有一个公共点，则直线与抛物线的位置关系是（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．相交或相切 【解题思路】根据直线和抛物线只有一个公共点确定正确答案. 【解答过程】直线与抛物线的对称轴平行或与抛物线相切时有一个公共点， 所以D选项正确. 故选：D. 【变式1.1】（23-24高二上·安徽宿州·期末）过点作直线与抛物线相交，恰好有一个交点，则符合条件的直线的条数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【解题思路】作图分析，根据抛物线的图形特点结合直线与抛物线的位置关系，可得答案. 【解答过程】如图示，过点作直线与抛物线相交，恰好有一个交点， 符合条件的直线有三条，其中两条是与抛物线相切的直线，其中包含y轴，另一条是与抛物线对称轴平行的直线， 故选：D. 【变式1.2】（23-24高二下·江西新余·期末）已知直线及抛物线，则（    ） A．直线与抛物线有一个公共点 B．直线与抛物线有两个公共点 C．直线与抛物线有一个或两个公共点 D．直线与抛物线可能没有公共点 【解题思路】求出直线系经过的定点，对分类讨论，判断点与抛物线的位置关系，即可推出结果. 【解答过程】直线，直线过定点． 当时，直线与抛物线有一个公共点，即顶点； 当时，点在抛物线的内部，所以直线与抛物线有两个公共点， 综上所述，直线与抛物线有一个或两个公共点. 故选：C. 【考点2 抛物线的弦长问题】 【例2.1】（2024·四川自贡·二模）已知定点，直线：与抛物线交于两点A，B，若，则(    ) A．4 B．6 C．8 D．10 【解题思路】设，联立直线l与抛物线的方程，求得，，，由可得，从而可求k的值，根据弦长公式即可求． 【解答过程】设， ， 由题知，，故， 则， 由， 即， 即，解得，则， 则． 故选：C． 【例2.2】（2023·全国·模拟预测）已知抛物线的一条弦恰好以为中点，弦的长是，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【解题思路】设点，则，确定得到直线方程，联立方程根据韦达定理得到根与系数的关系，根据弦长公式计算即可. 【解答过程】设点，弦AB所在直线的方程为， 则. 点在抛物线上，，故， ，即，故弦所在直线的方程为. ，整理得，所以. 所以， 得，即， 得，解得. 故选：B. 【变式2.1】（2024·山东聊城·三模）已知抛物线的焦点到其准线的距离为2，过的直线与交于，两点，则的最小值为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【解题思路】根据题意确定抛物线，分直线平行于轴时和不平行于轴时，分别求，即可得解. 【解答过程】根据题意，抛物线的焦点到其准线的距离为2， 即，则抛物线，焦点， 当直线平行于轴时，，， 当直线不平行于轴时， 设直线，， 联立方程组，得，， 则， 又，所以的最小值为4. 故选：B. 【变式2.2】（23-24高二上·河北衡水·期中）若抛物线的焦点为，直线：与抛物线交于A，B两点，且，则（    ） A．4 B． C．2 D． 【解题思路】联立直线的方程和抛物线方程，化简写出根与系数关系，利用求得，根据抛物线的弦长公式求得正确答案. 【解答过程】抛物线的焦点， 直线过抛物线的焦点， 设，根据抛物线的定义可知， 由，消去并化简得， 所以， 由两边平方得， ， 所以. 故选：D. 【考点3 抛物线的焦点弦问题】 【例3.1】（23-24高三下·全国·阶段练习）已知为抛物线的焦点，过的直线与交于两点，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】应用抛物线的焦点弦的长度的求法即可求解. 【解答过程】抛物线的焦点 ， 将点代入得，， 由,得， 设，则， 所以 . 故选：C． 【例3.2】（23-24高二上·广东珠海·期中）已知抛物线，过其焦点F的直线与该抛物线交于A、B两点，A在第一象限，且，则直线AB的斜率为（    ） A．1 B． C． D．无法确定 【解题思路】结合题意及抛物线的定义，分析该几何图形，利用为直角三角形，得到边角关系，进而求得斜率. 【解答过程】结合题意：可知抛物线的准线为：， 如图所示：过分别作准线的垂线，垂足为, 过点作的垂线，垂足为点, 设，直线的倾斜角为， 因为,所以， 由抛物线的定义：， 结合图形易知：, 所以， 在直角三角形中，， 所以直线AB的斜率. 故选：C. 【变式3.1】（23-24高三上·山东烟台·阶段练习）抛物线上存在一点，到抛物线焦点的距离为3，直线交抛物线C于另一点N，则线段MN的长为（   ） A． B． C． D． 【解题思路】首先根据焦半径公式求抛物线方程，再联立直线与抛物线方程，利用韦达定理，表示焦点弦长公式，即可求解. 【解答过程】，得， 所以抛物线，当时，， 利用对称性，不妨设，即，， ，直线：， 联立，得，其中， 线段. 故选：B. 【变式3.2】（23-24高二上·河北保定·期中）已知抛物线C：的焦点为F，准线为l，过点F且倾斜角为的直线在第一象限交C于点A，若点A在l上的投影为点B，且，则（    ） A．1 B．2 C． D．4 【解题思路】利用抛物线的定义求出点的坐标，代入抛物线方程求解. 【解答过程】 如图，因为，所以， 又因为，所以过点作轴的垂线，垂足为， 则,所以， 因为点在抛物线上， 所以，整理得，， 解得或（舍）， 故选:B. 【考点4 圆锥曲线中的三角形（四边形）面积问题】 【例4.1】（23-24高三下·全国·阶段练习）已知过抛物线的焦点的直线交抛物线于两点，当直线垂直于轴时，． (1)求抛物线方程； (2)若，为坐标原点，求的面积． 【解题思路】（1）设抛物线方程为,由题意求出其焦点坐标，进而可求出结果； （2）先由题意得出直线的方程，联立直线与抛物线方程，求出，即可求出结果. 【解答过程】（1）抛物线的焦点为， 令，解得：，，解得：，∴． 抛物线的方程为：； （2） 依题意.设直线方程为 ， 设，，则， 得， 恒成立. ， ． 得， 则直线方程为.点到直线的距离为， 得的面积. 【例4.2】（23-24高二上·四川凉山·期末）已知椭圆的右顶点，过点的直线与椭圆交于，两点（，异于点），当直线与轴垂直时，. (1)求椭圆C的方程； (2)求面积的取值范围. 【解题思路】（1）根据题意，得到，再由当直线与轴垂直时，得到，代入椭圆的方程，求得，即可求得椭圆的标准方程； （2）设直线的方程为，联立方程组，得到，，得到的面积为，结合对勾函数的单调性，即可求解. 【解答过程】（1）解：由椭圆的右顶点，可得， 当直线与轴垂直时，且， 所以直线过点，可得，解得， 所以椭圆的方程为. （2）解：依题意，直线的斜率不为0，设直线的方程为，，， 联立方程组，整理得，且 所以，， ∴的面积为 ， 令，则 又由对勾函数在上单调递增，则， 所以，从而，当且仅当时取等号， 故面积的取值范围为. 【变式4.1】（23-24高三上·四川成都·期末）在平面直角坐标系中，点与点关于原点对称，是动点，且直线与的斜率之积等于. (1)求动点的轨迹方程； (2)设直线和分别与直线交于点，问：是否存在点使得与的面积相等？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由. 【解题思路】（1）设P点坐标，根据两点斜率公式计算即可求解； （2）作图，运用弦长公式和三角形面积公式即可求解. 【解答过程】（1）设 ，依题意有 ，由 ， 即， 所以动点的轨迹方程为 ； （2）   设，， ∴当 时，有， 由弦长公式得， ， ∴，解之得， 此时 ，点P的坐标为或 ; 所以存在点满足题意，且为或 . 【变式4.2】（23-24高三上·江苏盐城·阶段练习）设双曲线的离心率为，且顶点到渐近线的距离为.已知直线过点，直线与双曲线的左，右两支的交点分别为，直线与双曲线的渐近线的交点为，其中点在轴的右侧.设的面积分别是. (1)求双曲线的方程； (2)求的取值范围. 【解题思路】（1）根据双曲线的离心率以及顶点到渐近线的距离，列式计算，求出的值，即得答案； （2）将转化为，利用直线和双曲线的方程联立，求出弦长的表达式，联立直线和渐近线方程求得的表达式，即可得的表达式，结合参数范围，即可求得答案. 【解答过程】（1）由题意可得双曲线的一条渐近线方程为， 离心率为，则， 顶点到渐近线的距离为，不妨取顶点，则， 即得，故，结合， 解得 故双曲线的方程为； （2）由题意得， 直线l的斜率存在，设直线的方程为，设， 由，得， 则，即得， 则， 且 ， 由，得， 则, 得， 故， 而，. 【考点5 圆锥曲线中的定点、定值、定直线问题】 【例5.1】（23-24高三上·广西·开学考试）已知椭圆的离心率为，长轴长为4． (1)求椭圆C的标准方程； (2)O为坐标原点，过点且斜率不为零的直线与椭圆C交于E，F两点，试问：在x轴上是否存在一个定点T，使得．若存在，求出定点T的坐标；若不存在，说明理由． 【解题思路】（1）由椭圆的性质结合离心率的计算解出标准方程即可； （2）假设存在，由已知可转化求得.设出直线方程，然后与椭圆联立，根据韦达定理得出坐标关系表示出斜率，化简整理可得出，进而得出的值. 【解答过程】（1）由题意可得，， 所以， 所以椭圆C的标准方程为. （2） 假设存在x轴上的定点，使得. 则结合图可得，所以. 由题意，直线的斜率一定存在，设直线的方程为， 设，， 由得，， ，则， 且. 因为直线ET的斜率为，直线的斜率为， 由得. 因为，， 所以， 即， 所以， 所以，则， 所以在x轴上存在一个定点，使得． 【例5.2】（23-24高二上·山东济南·阶段练习）已知抛物线：. (1)过抛物线的焦点，且斜率为的直线交抛物线于，两点，求； (2)直线过点且与抛物线交于，两点，过，分别作抛物线的切线，这两条切线交于点.证明：点在定直线上. 【解题思路】（1）由已知直线：，联立抛物线方程，结合韦达定理、焦点弦公式即可得解. （2）设，，首先将过点的两条切线方程求出来（分别用它们的坐标表示），然后联立两条切线方程可得的横坐标表达式为，由三点共线可得为定值，由此即可得证. 【解答过程】（1） 设，，由题意可得抛物线焦点，准线，直线：， 联立，得，所以， 所以. （2） 设，， 由题意，过点且与抛物线相切的直线斜率存在且不为0，不妨设为， 则过点且与抛物线相切的直线方程为，① 联立，得， 所以，代入，得， 解得，带入①式即得， 即过点且与抛物线相切的直线方程为， 同理可得过点且与抛物线相切的直线方程为， 联立，可得， 由题意，直线斜率可能不存在但是一定不为0，设直线方程为， 联立，得，所以，即得， 所以点在定直线上. 【变式5.1】（23-24高三上·上海闵行·期中）已知双曲线：的离心率为，点在双曲线上．过的左焦点F作直线交的左支于A、B两点． (1)求双曲线C的方程； (2)若，试问：是否存在直线，使得点M在以为直径的圆上?请说明理由． (3)点，直线交直线于点．设直线、的斜率分别、，求证：为定值． 【解题思路】(1)根据题意列式求，进而可得双曲线方程； (2)设，联立方程，利用韦达定理判断是否为零即可； (3)用两点坐标表示出直线，得点坐标，表示出，结合韦达定理，证明为定值． 【解答过程】（1）由双曲线的离心率为，且在双曲线上， 可得，解得，∴双曲线的方程为． （2）双曲线的左焦点为， 当直线的斜率为0时，此时直线为，与双曲线左支只有一个交点，舍去； 当直线的斜率不为0时，设， 联立方程组，消得，易得， 设，则，可得， ∵， 则 ， 即，可得与不垂直， ∴不存在直线，使得点在以为直径的圆上． （3）由直线，得， ∴，又， ∴ ， ∵，∴，且， ∴，即为定值． 【变式5.2】（23-24高三上·河北石家庄·期末）已知椭圆的上、下顶点分别是，点P（异于两点），直线PA与PB的斜率之积为，椭圆C的长轴长为6． (1)求C的标准方程； (2)已知，直线PT与椭圆C的另一个交点为Q，且直线AP与BQ相交于点D，证明点在定直线上. 【解题思路】（1）设，根据斜率之积和点P在椭圆上整理可得椭圆C的标准方程； （2）设直线PT的方程为，联立椭圆方程消去y，利用P，Q坐标表示出直线PA与PB的方程，求解出点D的坐标，然后用韦达定理化简即可得证． 【解答过程】（1）由题意可得，且，则. 设， 则，所以 ， 因为点P在椭圆C上，所以， 所以，代入式得 ， 由代入得， 故椭圆C的标准方程为：+＝1； （2）设，，显然直线PT不垂直于x轴， 故可设直线PT的方程为， 由消去y得， 因为点在椭圆C的内部，则直线与椭圆恒有两个交点， 所以， 由（1）知，, 所以直线AP的方程为，直线BQ的方程为， 由直线AP与BQ相交于点，则， 消得①， 由（1）知，得， 可得 ， 将代入①式得，解得， 即点D在直线上．    模块四 课后作业 一、单选题 1．（23-24高二上·辽宁大连·期中）已知椭圆，直线，则与的位置关系为（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．以上选项都不对 【解题思路】 根据给定条件，联立方程并借助一元二次方程判别式判断得解. 【解答过程】由消去y并整理得：，显然， 因此方程组有两个不同的解， 所以与相交. 故选：A. 2．（23-24高二上·江苏南京·期末）已知直线与双曲线有且只有一个交点，则实数的值是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】由题意求出双曲线的渐近线和直线经过的定点，根据定点在双曲线的一条渐近线上知直线与另一条渐近线平行即可求解. 【解答过程】由题意得，直线过定点，双曲线的渐近线为， 则点在渐近线上， 因为直线与双曲线有且只有一个交点，则直线与另一条渐近线平行，所以． 故选：A． 3．（23-24高二上·内蒙古呼伦贝尔·期末）已知抛物线，过点的直线与抛物线交于A，B两点，点为抛物线的焦点，若，则（    ） A．2 B． C．1 D． 【解题思路】根据焦半径公式得到点的坐标，进而求出直线的方程，与抛物线联立求得点的坐标，然后利用焦半径公式求解即可. 【解答过程】抛物线的焦点坐标为，设， 因为，所以，得，所以或， 当时，直线的斜率为，所以直线：， 联立，解得或，所以，所以 ； 当时，直线的斜率为，所以直线：， 联立，解得或，所以，所以 ； 综上，. 故选：C. 4．（23-24高二上·全国·单元测试）已知椭圆内一点,直线l与椭圆C交于A,B两点，且M为线段的中点，则直线l的斜率为（    ） A． B． C．3 D． 【解题思路】设，利用点差法即可求解. 【解答过程】设，则①，②， 联立①②整理得， 又，， 所以，即直线的斜率为. 故选：D. 5．（23-24高二上·江苏泰州·期中）已知双曲线C：的右焦点为F，过F的直线l与双曲线C交于A，B两点，若，则这样的直线l有（    ） A．0条 B．2条 C．3条 D．4条 【解题思路】分直线的斜率是否为两种情况讨论，直线的斜率不等于时，设方程为，，联立方程，利用韦达定理求出，再根据弦长公式结合弦长求出即可得解. 【解答过程】由题意，， 当直线的斜率为时，直线的方程为， 在方程中，令，则， 此时，符合题意， 当直线的斜率不等于时，设方程为， 联立，消得， 则，解得， 设， 则， 故 ，解得， 综上所述，符合题意得直线有条. 故选：C. 6．（23-24高二上·江苏无锡·期中）斜率为1的直线经过抛物线（）的焦点，且与抛物线相交于两点，线段的长为8，则的值为（    ） A． B．1 C．2 D．3 【解题思路】先设点和，设直线方程为，联立直线和抛物线方程，利用弦长公式可计算出的值. 【解答过程】设点和，设直线方程为， 联立方程：，可得：， ， 线段的长为：， 得， 故选：C. 7．（23-24高二上·全国·单元测试）已知椭圆的左、右焦点分别为，直线与交于点两点，若面积是的2倍，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】由三角形的面积关系得出并用含m的关系式表示，再由直曲联立判别式大于零得出m的取值范围即可. 【解答过程】设直线与轴的交点为，则. 所以，. 因为所以. 由得，即 ，. 所以，解得 或. 因为与有两个交点， 联立 消得， 则,解得. 所以. 故选：C. 8．（23-24高二上·福建莆田·期末）已知为椭圆上任一点，过作圆的两条切线，切点分别为，则四边形面积的最大值为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】作出图形，将面积问题转化为边长最值问题，利用参数方程找到边长最值，求解即可. 【解答过程】   连接，，，而易知， 易知的参数方程为，(是参数)， 故，，由两点间距离公式得， 易得当时，取得最大值，即四边形面积也取得最大值， 故此时，，即四边形面积的最大值为. 故选：C. 二、多选题 9．（23-24高二上·湖南长沙·期末）直线经过抛物线的焦点，且与抛物线相交于两点，下列说法正确的是（    ） A．， B．直线的斜率为1时， C．的最小值为6 D．以为直径的圆与的准线相切 【解题思路】直线的方程可设为，与抛物线方程联立可得，, ,，从而可判断A；根据可判断BC；设线段的中点为，求出点到准线的距离,即可判断D. 【解答过程】依题意可知直线过抛物线的焦点,且直线的方程可设为,    将直线方程与抛物线方程联立可得， 因为，所以，, 所以, ，故A正确； , 当时,有最小值4，故C错误； 当直线的斜率为1时，则，故，故B错误； 设线段的中点为，则, 所以点到准线的距离为, 所以以为直径的圆与的准线相切,故D正确. 故选:AD. 10．（23-24高二上·浙江杭州·期中）设椭圆的方程为，斜率为k的直线l不经过原点O，且与椭圆相交于A，B两点，M为线段AB的中点，则（    ） A． B．若，则直线l的方程为 C．若直线l的方程为，则 D．若直线l的方程为，则 【解题思路】利用点差法，即可判断A；根据A的结果，结合中点坐标和直线的斜率，可分别判断BC，直线与椭圆方程联立，结合弦长公式，即可判断D. 【解答过程】A.设，，， ，两式相减得， 整理为，即，故A错误； B.由，以及，可知，，则， 所以直线的方程为，则，故B正确； C.由，且直线l的方程为，所以，即， 且，解得：，，即，故C错误； D.联立，得，得或， 弦长，故D正确. 故选：BD. 三、填空题 11．（23-24高二上·陕西西安·期末）过抛物线的焦点作直线交抛物线于两点，若，那么 10 ． 【解题思路】 由焦半径公式求得焦点弦长. 【解答过程】由题设抛物线焦点坐标为， 则由抛物线定义易知：， 故. 故答案为：10. 12．（2024·全国·模拟预测）已知双曲线（，）的左、右焦点分别为，，过点作直线交两条渐近线于点，，且．若点在轴上的射影为，则 ． 【解题思路】画出图形，数形结合，由已知条件和双曲线的几何性质运算求解即可. 【解答过程】如图所示，    设直线交轴于点， 则． 双曲线的渐近线方程为， ，． 不妨设，，则，则，，， ，． 故答案为：. 四、解答题 13．（23-24高二上·贵州铜仁·阶段练习）已知椭圆，直线（其中）与椭圆相交于两点，为的中点，为坐标原点，． (1)求的值； (2)求的面积． 【解题思路】（1）联立方程，利用韦达定理求点的坐标，结合两点间距离公式运算求解； （2）根据（1）中韦达定理可得，且直线与轴的交点为椭圆的右焦点，进而可求面积. 【解答过程】（1）设两点的坐标分别为， 联立方程，消去得． 由，且，可得， 则， 可得点的坐标为， 又因为，解得或（舍去）， 所以的值为. （2）由（1）可知：， 则， 可得， 由椭圆方程可知：， 由直线与轴的交点为椭圆的右焦点， 则， 所以的面积为． 14．（23-24高二上·江苏南通·期末）设m为实数，已知F为抛物线的焦点，是抛物线上一点，O为坐标原点，且． (1)求m的值； (2)过点F垂直于MF的直线与抛物线相交于A，B两点，求AB的长． 【解题思路】（1）根据题意分析可知直线的，根据抛物线方程以及斜率公式列式求解； （2）根据题意可得直线AB的方程，联立抛物线方程，结合抛物线的定义分析求解. 【解答过程】（1）由题意可得：，直线的倾斜角为，斜率， 则，解得或（舍去）， 所以m的值为6. （2）由（1）可知：抛物线方程为，， 因为，可知直线的斜率为， 则直线的方程为， 设， 联立方程，消去y得， 则，可得， 所以. 15．（23-24高二上·广东惠州·阶段练习）已知双曲线的焦距为4，且过点． (1)求双曲线的方程； (2)过双曲线的左焦点分别作斜率为的两直线与，直线交双曲线于两点，直线交双曲线于两点，设分别为与的中点，若，证明：直线过定点． 【解题思路】（1）由题意得，再将代入双曲线方程，结合可求出，从而可求出双曲线方程 （2）设直线方程为，，将直线方入双曲线方程化简后利用根与系数的关系，结合中点坐标公式可表示点M的坐标，再利用表示出点N的坐标，再表示出直线MN的方程，可求得直线MN过定点，从而可求得答案. 【解答过程】（1）由题意得，得，所以， 因为点在双曲线上，所以，解 得， 所以双曲线方程为． （2），设直线方程为， ， 由，得， 则， 所以，所以的中点， 因为，所以用代换，得， 当，即时，直线的方程为，过点， 当时，， 直线的方程为， 令，得， 所以直线也过定点． 16．（23-24高二下·安徽滁州·期中）已知椭圆：，，分别为椭圆的左顶点和右焦点，过的直线交椭圆于点，若，且当直线轴时，． (1)求椭圆的方程； (2)设直线，的斜率分别为，，问是否为定值？并证明你的结论； (3)记的面积为，求的最大值． 【解题思路】（1）由，，及可求得，； （2）可先设直线的方程与，的坐标，联立直线与椭圆的方程，由韦达定理建立交点坐标的关系，将用坐标表示，再探求定值的存在性； （3）根据，将用参数表示，从而得到面积关于函数，根据此函数的形式特点，可求得面积的最大值． 【解答过程】（1）设椭圆的右焦点为，，则， 由，得， 又当直线轴时，，的横坐标为，将代入中，得， 则， 联立，解得，，， 所以椭圆的方程为 （2）证明如下： 显然，直线不与轴垂直，可设的方程为， 联立椭圆方程，消去并整理得， 又设，，由韦达定理得 从而， ， 所以， 即，故得证． （3）由知， 所以 ． 令，， 则，设函数， 由对勾函数性质易知在上为增函数， 得，即时，， 此时取得最大值为． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$