专题06 有理数的加法-2024年小升初数学无忧衔接（2024新教材通用版）

专题06. 有理数的加法 1．理解有理数加法的意义，掌握有理数加法法则，正确进行有理数加法运算； 2．理解有理数加法运算律，并能运用运算律简化运算； 3．经历探索有理数加法法则的过程，理解有理数加法法则的合理性； 4. 感知数学知识源于生活，并应用于生活，渗透“化归”等数学思想。 题型探究 题型1、有理数加法法则的辨析 3 题型2、有理数的加法运算 4 题型3、有理数加法的运算律 6 题型4、有理数加法的实际应用 11 题型5、有理数加法的综合运用（幻方问题） 14 题型6、有理数加法的综合运用（新定义） 18 培优精练 A组（能力提升） 20 B组（培优拓展） 26 【思考1】一间0°C冷藏室连续两次改变温度： (1) 第一次上升5°C，接着再上升3°C； (2) 第一次下降5°C，接着再下降3°C； (3) 第一次下降5°C，接着再上升3°C； (4) 第一次下降3°C，接着再上升5°C。 问：连续两次变化使温度共上升了多少摄氏度? 注意： (1)上升：下降5°C，即上升-5°C；下降3C，即上升- 3°C；(2)共：对连续两次温度变化进行求和； （3）可借助温度计（或数轴）理解。 【加减号的历史】加减法最早出现在人类社会的早期阶段，但是，加减法的符号真正被广泛运用是在十七世纪，在那之前运算符号都是比较麻烦的。1514年，荷兰的赫克首次用“＋”表示加法，用“-”表示减法。1544年，德国数学家施蒂费尔在《整数算术》中正式用“＋”和“- ”表示加减，后来又经过法国数学家韦达（Vieta）的宣传和提倡，才开始普及，直到1630年，才得到大家的公认，并被广泛采用。 1.定义：把两个（或多个）有理数相加的过程叫有理数的加法。（两个有理数相加，和是一个有理数）。 2.法则：（1）同号两数相加，和取相同的符号，且和的绝对值等于加数的绝对值的和；（2）绝对值不相等的异号两数相加，和取绝对值较大的加数的符号，且和的绝对值等于加数中绝对值较大者与较小者的差；互为相反数的两个数相加得0；（3）一个数同0相加，仍得这个数． 注意：1）有理数的运算分两步走，第一步，确定符号，第二步，确定绝对值；2）计算的时候要看清符号，同时要熟练掌握计算法则； 3.运算律： 1）加法交换律：两个数相加，交换加数的位置，和不变；即a+b＝b+a。 2）加法结合律：三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变；即(a+b)+c＝a+(b+c)。 注意：1）利用加法交换律、结合律，可以使运算简化，认识运算律对于理解运算有很重要的意义。 2）注意两种运算律的正用和反用，以及混合运用。 题型1、有理数加法法则的辨析 【解题技巧】有理数加法的法则：①同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；②绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．互为相反数的两个数相加得0；③一个数同0相加，仍得这个数． 例1．（2024七年级上·广东·专题练习）下列说法正确的是（　　） A．三个有理数相加和一定大于每个加数 B．三个非零有理数相加，和可能等于零 C．两个有理数和为负数时，这两个数都是负数 D．两个负数相加，把绝对值相加 【答案】B 【分析】通过举例子结合有理数的加法运算法则逐一分析各选项即可． 【详解】解：如 ∴三个有理数相加和一定大于每个加数是不正确的描述，故A不符合题意；如 ∴三个非零有理数相加，和可能等于零是正确的描述，故B符合题意；如 ∴两个有理数和为负数时，这两个数都是负数是不准确的描述，故C不符合题意； 两个负数相加，取与加数相同的负号，再把绝对值相加，原来的描述是错误的，故D不符合题意；故选B 【点睛】本题考查的是有理数的加法运算的理解，运算法则为：同号的两数相加，取与加数相同的正负号，再把绝对值相加，绝对值不相等的异号的两数相加，取绝对值较大的加数的符号，再用较大的绝对值减去较小的绝对值，互为相反数的两个数相加得0，0与一个数相加仍得这个数；掌握与理解法则是解本题关键． 例2．（23-24七年级上·贵州铜仁·阶段练习）已知两个有理数，那么a+b与a，必定是（    ） A． B． C． D．以上都不对 【答案】D 【分析】根据有理数加减法即可判断每个选项是否正确． 【详解】解：当时，，故A选项错误； 当时，，故B选项错误； 当，时，，此时，故C选项错误，故选：D． 【点睛】本题考查有理数的加减运算和大小比较，注意：和可能会比加数小． 变式1．（2023·重庆·七年级校考期中）下列说法中正确的是（    ） A．两数相加，其和大于任何一个加数 B．异号两数相加，其和小于任何一个加数 C．绝对值相等的异号两数相加，其和一定为零 D．两数相加，取较小一个加数的符号作为结果的符号 【答案】C 【分析】根据有理数的加法分别分析各个选项，然后得出结论即可． 【详解】解：A选项，两数相加，其和大于任何一个加数，说法错误，例如：两个负数相加，故不符合题意；B选项，异号两数相加，其和小于任何一个加数，说法错误，如果和为正数，就不满足题干要求，故不符合题意；C选项，绝对值相等的异号两数相加，其和一定为零，说法正确，故符合题意； D选项，两数相加，取绝对值较大一个加数的符号作为结果的符号，原说法错误，故不符合题意；故选：C． 【点睛】本题主要考查有理数加法的知识，熟练掌握有理数加法是解题的关键． 变式2．（23-24七年级上·广东惠州·阶段练习）如果，那么，，三个数中（   ） A．有一个数必为 B．至少有一个负数 C．有且只有一个负数 D．至少有两个负数 【答案】B 【分析】根据有理数的加法计算法则求解即可． 【详解】解：∵， ∴，，三个数中必然会有负数，即，，三个数中至少有一个负数，故选B． 【点睛】本题主要考查了有理数的加法计算，熟知相关计算法则是解题的关键． 题型2、有理数的加法运算 【解题技巧】根据有理数加法的法则计算即可。 例1．（23-24七年级上·广东·课后作业）的符号取 号，的符号取 号，的符号取 号． 【答案】 负/- 正/+ 负/- 【分析】根据加法法则判断和的符号即可． 【详解】解：的符号取负号，的符号取正号，的符号取负号， 故答案为：负，正，负 【点睛】此题考查了加法法则判断和的符号，熟练掌握加法法则是解题的关键． 例2．（23-24七年级上·广东佛山·阶段练习）计算：(1)；(2)． 【答案】(1)(2) 【分析】本题考查了有理数的加法法则，熟练掌握加法法则是解答本题的关键． （1）根据加法法则计算即可；（2）根据加法法则计算即可． 【详解】（1）； （2）． 变式1．（2023·山东滨州·模拟预测）中国人最先使用负数，魏晋时期的数学家刘徽在“正负术”的注文中指出，可将算筹（小棍形状的记数工具）正放表示正数，斜放表示负数．如图，根据刘徽的这种表示法，图可列式计算为，由此可推算图中计算所得的结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查的是有理数的加法与阅读理解型，根据图示得出两个数，然后再进行求和得出答案． 【详解】解：由题意得：，故选：C． 变式2．（2024·吉林松原·二模）比大5的数是（    ） A．3 B． C．7 D． 【答案】A 【分析】本题考查了有理数加法的实际应用，根据题意列出式子计算即可． 【详解】解：根据题意得：，故选：A． 变式3．（2023·河北石家庄·统考二模）若要等式4成立，“”中应填的运算符号是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用有理数的运算法则计算即可确定出运算符号． 【详解】解：∵，∴“”中应填的运算符号是，故A正确．故选：A． 【点睛】本题主要考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 题型3、有理数加法的运算律 【解题技巧】有理数常见简算方法：①相反数结合——抵消；②同号结合——符号易确定；③同分母结合法——无需通分（分母倍数的也可考虑）；④凑整数；⑤同行结合法——分数拆分为整数和分数。 例1．（23-24七年级上·江苏宿迁·阶段练习）下列变形，运用加法运算律错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了有理数加法的运算律，熟练掌握交换律，结合律是解题的关键． 【详解】A. ，符合交换律，不符合题意；     B. ，符合交换律，不符合题意； C. ，不符合结合律，符合题意；     D. ，符合结合律，不符合题意；故选C． 例2．（2023七年级上·江苏·专题练习）利用运算律计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)(2)(3)(4) 【分析】（1）根据加法交换律和结合律进行运算即可； （2）根据加法交换律和结合律进行运算即可； （3）根据加法交换律和结合律进行运算即可； （4）根据加法交换律和结合律进行运算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 【点睛】本题主要考查了有理数加法运算，解题的关键是熟练掌握加法的交换律和结合律，准确计算． 例3．（23-24七年级上·河南郑州·期中）阅读下面文字： 对于可以如下计算： 原式 ______ ______ ______． 上面这种方法叫拆项法． (1)请补全以上计算过程； (2)类比上面的方法计算：． 【答案】(1)(2)，过程见详解。 【分析】本题考查了有理数的加法，解题的关键是熟练掌握有理数的加法运算法则． （1）根据有理数的加法法则计算； （2）参照（1）的解题思路解题即可． 【详解】（1）解：可以如下计算： 原式， 故答案为： （2）解： 变式1．（23-24七年级上·山东淄博·期中），上面的计算所运用的运算律是（    ） A．交换律 B．结合律 C．先用结合律，再用交换律 D．先用交换律，再用结合律 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．根据加法交换律和结合律进行计算，即可解答． 【详解】解：， 上面的计算所运用的运算律是先用交换律，再用结合律，故选：D． 变式2．（23-24七年级上·山东临沂·阶段练习）下列变形，运用加法运算律正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用加法交换律及结合律判断即可得到结果． 【详解】解：A、，故A错误； B、，故B正确； C、，故C错误； D、，故D错误．故选：B． 【点睛】此题考查了有理数的加法运算律，熟练掌握加法运算律是解本题的关键． 变式3．（23-24七年级上·江苏连云港·阶段练习）计算 ． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的加法运算以及加法运算律，根据加法运算律添加大括号，简便计算即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 变式4．（2024·广东七年级课时练习）计算： (1)（﹣3）+40+（﹣32）+（﹣8） (2)43+（﹣77）+27+（﹣43） (3)18+（﹣16）+（﹣23）+16 (4)（﹣3）+（+7）+4+3+（﹣5）+（﹣4） (5)5.6+（﹣0.9）+4.4+（﹣8.1） (6)（﹣2）+17+（+12）+（﹣4） 【答案】(1)﹣3(2)﹣50(3)﹣5(4)2(5)1(6) 【分析】(1)运用加法的交换律和结合律，同号的相结合，再按照异号两数相加的法则计算即可； (2)运用加法的交换律和结合律，同号的相结合，再按照异号两数相加的法则计算即可； (3)运用加法的交换律和结合律，同号的相结合，再按照异号两数相加的法则计算即可； (4)运用加法的交换律和结合律，同号的相结合，再按照异号两数相加的法则计算即可； (5)运用加法的交换律和结合律，同分母的相结合，再按照异号两数相加的法则计算即可． （1）（﹣3）+40+（﹣32）+（﹣8） ＝40+[（﹣3）+（﹣32）+（﹣8）] ＝40+（﹣43） ＝﹣3， （2）43+（﹣77）+27+（﹣43） ＝（43+27）+[（﹣77）+（﹣43）] ＝70+（﹣120） ＝﹣50， （3）18+（﹣16）+（﹣23）+16 ＝（18+16）+[（﹣16）+（﹣23）] ＝34+（﹣39） ＝﹣5， （4）（﹣3）+（+7）+4+3+（﹣5）+（﹣4） ＝[（+7）+4+3]+[（﹣3）+（﹣5）+（﹣4）] ＝14+（﹣12） ＝2， （5）5.6+（﹣0.9）+4.4+（﹣8.1） ＝（5.6+4.4）+[（﹣0.9）+（﹣8.1）] ＝10+（﹣9） ＝1， （6） ＝ ＝ ＝． 【点睛】本题考查了有理数加法法则和加法的运算律，熟练运用有理数的加法法则是解题的关键． 题型4、有理数加法的实际应用 【解题技巧】有理数运算相关的实际应用题种类较多，但是很多题目只是所给的情境不一样，解答的方法并没有发生改变。能够熟练的分析应用题的数量关系，找准解题的方法和技巧。 例1．（23-24七年级上·福建漳州·期末）王叔叔10月1日9：00微信零钱还有83.18元，下图是王叔叔10月1日9：00至5日9：00的微信账单，其中正数表示收款，负数表示付款，王叔叔于10月5日9：00扫二维码付款给超市后的微信零钱为（    ） 账单 10月1日09：24微信转账 10月2日16：36扫码付款给肉食店 10月4日10：20微信红包 10月5日9：00扫码付款给超市 A．175 B．175.36 C．185 D．210.36 【答案】A 【分析】本题考查了正数和负数，有理数的加法运算的应用．根据“正数表示收款，负数表示付款”，列式计算即可求解． 【详解】解：（元）， 即10月5日9：00扫二维码付款给超市后的微信零钱为175元．故选：A． 例2．（23-24七年级上·河南郑州·期末）某日小明在一条南北方向的公路上跑步．他从A地出发，每隔记录下自己的跑步情况（向南为正方向，单位：m）：，1100，，1010，，988． (1)后他停下来休息，此时他在A地的什么方向？距离A地多远？ (2)小明休息完返回A地，小明共跑了多少米？ 【答案】(1)此时他在A地的南方，距离A地．(2)小明休息完返回A地，小明共跑了米． 【分析】（1）本题考查正负数的意义，以及有理数加法运算的实际运用，根据有理数加法运算法则计算出其后跑步情况，结合向南为正方向，即可解题． （2）本题考查绝对值的意义，需要注意小明休息完要返回A地，再根据绝对值的意义计算，即可解题． 【详解】（1）解：（）， 向南为正方向，此时他在A地的南方，距离A地． （2）解：小明休息完要返回A地， 小明共跑了（）， 答：小明休息完返回A地，小明共跑了米． 例3．（2024·北京通州·一模）某公司筹备一场展览会，现列出筹备展览会的各项工作．具体筹备工作包含以下内容（见下表）．其中，“前期工作”是指相对于某项工作，排在该工作之前需完成的工作称为该工作的前期工作． 工作代码 工作名称 持续时间（天） 前期工作 A 张贴海报、收集作品 7 无 B 购买展览用品 3 无 C 打扫展厅 1 无 D 展厅装饰 3 C E 展位设计与布置 3 ABD F 展品布置 2 E G 宣传语与环境布置 2 ABD H 展前检查 1 FG （1）在前期工作结束后，完成“展厅装饰 ”最短需要 天； （2）完成本次展览会所有筹备工作的最短总工期需要 天． 【答案】 4 13 【分析】本题考查了优化问题，即如何在最短的时间内完成工作，实现最优效果． （1）根据表格知，完成“展厅装饰 ”要完成C、D两项工作，故可得到至少需要的天数； （2）由表格知，完成A的时间里，可同时完成B、C、D的工作，可进行E的工作，则可进行G、H的工作，从而完成整个工作，从而可得最短总工作时间． 【详解】解：（1）由表格知，在前期工作结束后，完成“展厅装饰 ”最短需要（天）；故答案为：4； （2）完成本次展览会所有筹备工作的路径为：，最短总工期需要的天数为：（天）；故答案为为：13． 变式1．（2023·湖北·七年级校考阶段练习）某次数学考试成绩以80分为标准，高于80分记为“”，低于80分记为“”，例如：78分记为“”，81分记为“”，将某小组五名同学的成绩简记为，，，，0，则这五名同学的平均成绩应为 __． 【答案】82分 【分析】求出每个数与标准的差的平均数，再加上80分，就是这五名同学的平均成绩. 【详解】这五名同学的平均成绩应为 故答案为：82分． 【点睛】本题考查了有理数的加法运算.多个有理数求平均值，可以采用新数据法.掌握这种计算方法是解题的关键. 变式2．（2023·重庆·七年级统考期中）现有甲、乙两支同样的温度计，将它们按如图位置放置，如果向左移动甲温度计，使其度数12与乙温度计的度数对齐，那么此时乙温度计与甲温度计数对齐的度数是____________． 【答案】10 【分析】先根据度数12到度数共有16个单位长度，再根据度数12正对着乙温度计的度数，即可得出答案． 【详解】∵度数12到度数共有16个单位长度，∵度数12正对着乙温度计的度数， ∴甲温度计的度数正对着乙温度计的度数是；故答案为：10． 【点睛】本题考查了有理数的加法的应用，解题关键是掌握温度计上点的特点． 变式3．（23-24七年级上·江苏南通·期末）一天，王女士到某办公楼办事，假定乘电梯向上一层记为，向下一层记为，电楼上下层数依次录如下（单位层）：． (1)请问王女士最后在几层？(2)该大楼，每层高．电梯每上（或下）零耗电千瓦时，请你计算，她乘电梯办事，电梯需要耗电多少千瓦时？ 【答案】(1)王女士最后停在1楼(2)她办事时电梯需要耗电千瓦时 【分析】本题考查有理数的加减法运算的应用和绝对值的应用，灵活运用所学知识求解是解决本题的关键． （1）根据题意将数据相加起来即可求解； （2）将所有数据加绝对值进行相加即可求解，再结合题意进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意可得， 答：王女士最后回到了原出发点，即1楼位置． （2）解：由题意可得， （层）， （千瓦时） 答：耗电千瓦时． 题型5、有理数加法的综合运用（幻方问题） 【解题技巧】利用幻方和相等建立等量关系或直接幻方和相等的性质解题即可。 例1．（23-24七年级上·广东深圳·期末）幻方的历史悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”，把洛书用今天的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方，三阶幻方的每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等，如图是另一个三阶幻方，则的值为（   ） A．3 B．4 C．5 D．7 【答案】D 【分析】本题主要考查了有理数的加减法以及出三元一次方程的音乐，根据题意出三元一次方程以及整体思想是解题关键． 如图：根据题中给出的三阶幻方的每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等，即可列出三元一次方程，然后变形即可解答． 【详解】解：∵三阶幻方的每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等， ∴如图可得： 即．故选D． 例2．（23-24七年级上·江苏泰州·期末）爱动脑筋的小明同学设计了如图所示的“幻方”游戏图，将1，，3，，5，，7，分别填入图中的圆圈内，使得横、竖以及内外两个正方形的4个数字之和都相等，他已经将、5、7、这四个数填入了圆圈，则图中的值为 ． 【答案】或 【分析】本题考查有理数的加法，根据,且横、竖以及内外两圈上的4个数字之和都相等，得出横、竖以及内外两圈上的4个数字之和都是，设小圈上的数为c，大圈上的数为d，得出，，，，进而分情况得出a的值，然后计算即可. 【详解】解：设小圈上的数为c，大圈上的数为d， ∵，且横、竖以及内外两圈上的4个数字之和都相等， ∴内外两个圈的4个数字之和都是，横、竖的4个数字之和也是， 则，得， ，得， ，， 当时，，， 当时，，， 故答案为：或. 变式1．（23-24七年级上·安徽·期末）如图是根据幻方改编的“幻圆”游戏，将，，，，，，分别填入图中的圆圈内，使横、竖以及内外两圈上的4个数字之和都相等，已知图中、⊙分别表示一个数，则的值为（    ） A． B．1 C．或4 D．或1 【答案】D 【分析】由于八个数的和是，所以需满足两个圈的和是，横、竖的和也是．列等式可得结论． 【详解】解：设小圈上的数为，空白处为c；大圈上的数为，空白处为d ∵横、竖以及内外两圈上的4个数字之和都相等， ∴两个圈的和是，横、竖的和也是， 则，得 ∵内圈的数和是 ，得， ∵一共八个数，，，，，， ∴或者 ∵当时，，则 当时，，则， ∴的值为或 故选：D． 【点睛】本题考查了有理数的加法．解决本题的关键是知道横竖两个圈的和都是． 变式2．（23-24七年级上·山西临汾·期中）阅读下面材料，并完成相应任务． 幻方 相传大禹治水时，洛水中出现了一只神龟，其背上有美妙的图案，史称“洛书”．用现在的数字翻译出来，就是三阶幻方．其每行、每列、每条对角线上的数字之和都相等，这个和叫做幻和，正中间的那个数叫做中心数，且幻和恰好等于中心数的3倍．如图1，是由1，2，3，4，5，6，7，8，9所组成的一个三阶幻方，其幻和为15，中心数为5．    (1)请在图2的空格中填上合适的数，使其构成一个三阶幻方； (2)请将，3，5，7，9这八个数分别填入图3的空格中，使其构成一个三阶幻方． 【答案】(1)见解析(2)见解析 【分析】（1）根据三个数的和为，依次列式计算即可求解； （2）先将已知的9个数求和，再除以3即可求出每行、每列、每条对角线上的三个数之和，根据幻方的特点可知，已知的从小到大的排列的9个数中，居于中间位置的数填在幻方的正中心的格子中，并且这列数中最大的数与最小的数必在一起，据此填表即可． 【详解】（1）解：如图： ； （2）解：， 即幻方中，每行、每列、每条对角线上的三个数之和都等于6， 根据幻方的特点可知：从小到大的排列的9个数中，居于中间位置的数填在幻方的正中心的格子中，并且这列数中最大的数与最小的数必在一起， 即三阶幻方如下： ． 【点睛】本题考查了有理数的加法，根据表格，先求出三个数的和是解题的关键，也是本题的突破口． 题型6、有理数加法的综合运用（新定义） 【解题技巧】“新定义”型问题是指在问题中定义了初中数学中没有学过的一些概念、新运算、新符号，要求学生读懂题意并结合已有知识进行理解，而后根据新定义进行运算、推理、迁移的一种题型.它一般分为三种类型：（1）定义新运算；（2）定义初、高中知识衔接“新知识”;（3）定义新概念.这类试题考查考生对“新定义”的理解和认识，以及灵活运用知识的能力，解题时需要将“新定义”的知识与已学知识联系起来，利用已有的知识经验来解决问题. 例1．（2023·河北石家庄·七年级统考期末）对于一个非整数的有理数（为整数），我们规定：表示不大于的最大整数，表示不小于的最小整数，表示最接近的整数．例如，，，．则使成立的的取值范围为（    ） A． B． C．且 D．以上答案都不对 【答案】A 【分析】根据选项的特点，选择特殊的值代入，然后利用排除法求解即可． 【详解】解：取，，， ∴，不符合题意，排除B、C； 取，，， ∴，符合题意， ∵ 故选：A． 【点睛】题目主要考查有理数的加法运算，理解新定义的运算是解题关键． 例2．（2022秋·北京通州·七年级统考期中）用符号表示a，b两个有理数中的较大的数，用符号表示a，b两个有理数中的较小的数，则的值为________． 【答案】 【分析】先根据新符号的定义化简所求式子，再计算有理数的加法即可得． 【详解】解：．故答案为：． 【点睛】本题考查了有理数的加法，掌握理解新符号的定义是解题关键． 变式1．（2022秋·重庆·七年级校考期中）对有理数a、b定义新运算如下：，则_________． 【答案】/ 【分析】根据，用3的相反数加上的倒数，求出的值，进而求出 的值即可． 【详解】解：∵，∴， ∴；故答案为：； 【点睛】此题主要考查了有理数的混合运算，解答此题的关键是弄清楚运算“”的运算方法． 变式2．（2022秋·七年级单元测试）设表示不超过的最大整数，计算：______． 【答案】3 【分析】根据题中所给新定义运算可进行求解． 【详解】解：∵表示不超过的最大整数， ∴，∴；故答案为3． 【点睛】本题主要考查有理数的加法，熟练掌握有理数的加法运算是解题的关键． 变式3．（2022秋·重庆七年级课时练习）古代埃及人在进行分数运算时，只使用分子是1的分数，因此这种分数也叫做埃及分数，我们注意到，某些真分数恰好可以写成两个埃及分数的和，例如：，则写成两个埃及分数的和的形式为为= ___________． 【答案】 【分析】根据题目给出的埃及分数的定义，即可解答． 【详解】解：∵只使用分子是1的分数，因此这种分数也叫做埃及分数， ∴，故答案为：． 【点睛】本题考查了有理数的加法，读懂题目，明确埃及分数的定义是解决本题的关键． A组（能力提升） 1．（2023·四川乐山·七年级统考期中）已知两数的和为正，下面的判断中，正确的是（   ） A．两个加数必须都为正数 B．两个加数都为负数 C．两个加数中至少有一个正数 D．两个加数必须一正，一负 【答案】C 【分析】根据有理数加法计算法则逐一判断即可． 【详解】解：A．若两数的和为正，则绝对值大的那个数的符号为正，并不一定两个加数都是正数，说法错误，不符合题意；B．若两数的和为正，则绝对值大的那个数的符号为正，说法错误，不符合题意； C．若两数的和为正，则绝对值大的那个数的符号为正，即两个加数中至少有一个正数，说法正确，符合题意；D．若两数的和为正，则绝对值大的那个数的符号为正，两个加数可以都是正数，说法错误，不符合题意；故选：C． 【点睛】本题考查了有理数加法计算，熟知两个有理数相加，符号取绝对值较大的数的符号是解题的关键． 2．（23-24七年级上·浙江·期末）计算：的结果是（    ） A． B． C．1 D．9 【答案】A 【分析】本题考查了有理数的加法运算，注意计算的准确性即可． 【详解】解：，故选：A 3．（2024·广东·二模）甲地的平均海拔为，乙地的平均海拔比甲地高，乙地的平均海拔为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了有理数的加法，理解题意，正确列出式子是解答本题的关键． 根据题意，甲地的平均海拔为，乙地平均海拔比甲地高，则乙地的平均海拔为，由此得到答案． 【详解】解：∵甲地的平均海拔为，乙地平均海拔比甲地高， ∴乙地的平均海拔为．故选：B． 4．（22-23七年级上·河北石家庄·阶段练习）魏晋时期的数学家刘徽在其著作《九章算术》中用不同颜色的算筹（小棍形状的记数工具）分别表示正数和负数（白色为正，灰色为负），图1表示的是的计算过程，则图2表示的计算过程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了正数和负数，数学常识，本题是阅读型题目，理解图中的含义并熟练应用是解题的关键．依据题意写出算式即可． 【详解】解：根据题意，图2表示的计算过程是：；故选：B． 5．（23-24七年级上·河北邢台·期末）是应用了（    ） A．加法交换律 B．加法结合律 C．分配律 D．移项 【答案】A 【分析】根据题意结合运算律即可得到答案，此题考查了加法交换律，． 【详解】解：是应用了加法交换律，故选：A 6．（23-24七年级上·河北廊坊·阶段练习）关于“三个有理数的和为”这个话题，数学活动小组成员甲、乙、丙、丁四位同学发表了下列看法：甲：这三个有理数可能都是；乙：这三个数中最多有两个正数；丙：这三个数中最少有两个数是负数；丁：这三个有理数是互为相反数．则正确的看法是（    ） A．甲、乙、丙、丁 B．甲、乙、丙 C．甲、乙 D．乙、丙、丁 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的加法，相反数的定义，熟练掌握有理数的加法法则是解题的关键． 根据有理数的加法，相反数的定义推出所有情况，即可得出答案． 【详解】解：若三个有理数的和为，则：情况一：这三个有理数都是； 情况二：这三个有理数，一个正数，一个负数，一个，且正数的绝对值等于负数的绝对值，即这三个有理数有一个是，另外两个数互为相反数； 情况三：这三个有理数，两个正数，一个负数，且负数的绝对值等于两个正数之和； 情况四：这三个有理数，一个正数，两个负数，且两个负数的绝对值之和等于正数； 综上，甲、乙说法正确；故选：C． 7．（23-24七年级上·广西南宁·期中）幻方是古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方——九宫格，如图九宫格内每个小方格内均有不同的数字，要求方格内每一行、每一列以及每一条对角线上的三个数字之和均相等，图中给出了部分数字，则处对应的数字是（　　）    A．7 B．5 C．4 D．1 【答案】C 【分析】根据题意列出算式，先求得得出右上角为，进而求得处对应的数字． 【详解】解：如图所示，    依题意，∴ ∴解得： 故选：C． 【点睛】本题考查了有理数的加法的应用，理解题意是解题的关键． 8．（2023秋·山东济宁·七年级统考期末）下列是运用有理数加法法则计算思考、计算过程的叙述： ①和2的绝对值分别为5和2；②的绝对值5较大；2的绝对值2较小 ③是异号两数相加；④结果的绝对值是用得到；⑤计算结果为； ⑥结果的符号是取的符号－－负号；请按运用法则思考、计算过程的先后顺序排序（只写序号）：______． 【答案】③①②④⑥⑤或③①②⑥④⑤ 【分析】根据有理数的加法法则，按照有理数加法法则的计算顺序逐个判断即可. 【详解】解：根据有理数加法法则：应该先看两数符号是否相同，故应先③， 若符号不同，再看两数的绝对值，故再①，然后再比较绝对值的大小，故再②， 然后再确定结果的绝对值与结果的符号，故再④⑥或⑥④；最后得出结果，故最后为⑤； 综上分析可知，计算过程的先后顺序排序为③①②④⑥⑤或③①②⑥④⑤． 故答案为：③①②④⑥⑤或③①②⑥④⑤． 【点睛】本题考查有理数的加法法则，熟练掌握并理解加法法则的含义是解题的关键． 9．（2023·广东七年级期中）（1）若，，，则____ （2）若，，，则____ 【答案】 【分析】（1）根据有理数的加法法则进行计算即可求解；同号两数相加，取与加数相同的符号，并把绝对值相加．（2）根据有理数的加法法则进行计算即可求解．同号两数相加，取与加数相同的符号，并把绝对值相加． 【详解】（1）若，，，则，故答案为：． （2）若，，，则，故答案为：． 【点睛】本题考查了有理数的加法，熟练掌握有理数的加法法则是解题的关键． 10．（23-24七年级上·重庆·阶段练习）用简便方法计算： ． 【答案】 【分析】原式变形后，计算即可得到结果． 【详解】解：原式 ， 故答案为：． 【点睛】此题考查了有理数的加法，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 11．（2023七年级上·江苏·专题练习）计算：(1)；(2)． 【答案】(1)65(2) 【详解】（1） ； （2） ． 【点睛】 此题考查了有理数的加法计算，正确掌握有理数加法计算法则是解题的关键． 12．（23-24七年级上·广东广州·阶段练习）计算 (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)(2)(3)0(4)0 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 【点睛】本题考查有理数的加法运算，化简绝对值．掌握有理数的加法运算法则和运算律是解题关键． 13．（23-24七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）我国某次军事演习中，一艘核潜艇的初始位置在海平面下，规定核潜艇上升记为“＋”，下降记为“－”，下面是这艘核潜艇在某段时间内的运动情况：．（单位：） (1)最后这艘核潜艇停留的位置在海平面下多少米？ (2)如果这艘核潜艇每上升或下降，核动力装置所提供的能量相当于汽油燃烧所产生的能量，那么在这艘核潜艇运动的这段时间内，核潜艇动力装置提供的能量相当于多少升汽油燃烧所产生的能量？ 【答案】(1)615(2)5325 【分析】本题考查正负数的意义和有理数加法的实际应用．熟练掌握正负数的意义和有理数加法法则，是解题的关键． （1）将所有数据相加，根据最终结果确定核潜艇处在什么位置； （2）将所有数据的绝对值相加，再即可得解． 【详解】（1）解： ； 答：核潜艇处在海平面下米位置； （2）解： (升)； 答：在这一时段内核动力装置所提供的能量相当于升汽油燃烧所产生的能量． B组（培优拓展） 1.（2023·山东·七年级期末）实际测量一座山的高度时，可在若干个观测点中测量每两个相邻的可视观测点的相对高度，然后用这些相对高度计算出山的高度．下表是某次测量数据的部分记录（用表示观测点A相对观测点C的高度），根据这次测量的数据，可得观测点A相对观测点B的高度是（ ） 100米 80米 米 50米 米 20米 A．米 B．240米 C．390米 D．210米 【答案】B 【分析】根据表格信息，利用有理数的加法运算法则进行计算． 【详解】解：由表可知：（米），（米），（米），（米），（米），（米）， ∴（米）． 故选：B． 【点睛】本题考查有理数加法的应用，解题的关键是掌握有理数的加法运算法则． 2．（23-24七年级上·江苏南通·期末）如图，数轴上点表示的数分别是，且满足，则下列各式的值一定是正数的是（    ） A．a B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了数轴，正负数，根据数轴可得，再结合可得出一定是正数，解题的关键是能根据和确定的符号． 【详解】解：由数轴可得：， ，一定是正数，故选：B． 3．（2023秋·浙江绍兴·七年级统考期末）如图，数轴上依次有，，，，五个点，其中，，三点所表示的数分别为，，，且．如果有，，，那么该数轴原点的位置应该在（　　） A．点在线段（不包括端点）上 B．点在线段（不包括端点）上 C．点在线段（不包括端点）上 D．点在线段（不包括端点）上 【答案】C 【分析】根据有理数的加法法则以及数轴上的点进行判断即可求解． 【详解】解：依题意，，，， ∴同为负号，异号，∴，∴原点在之间， ∵，∴的绝对值大于的绝对值，即点到原点的距离大于到原点的距离 ∴该数轴原点的位置应该在点在线段（不包括端点）上，故选：C． 【点睛】本题考查了有理数的加法法则以及数轴上的点，绝对值的意义，数形结合是解题的关键． 4．（23-24七年级上·江苏无锡·期末）同学们都熟悉“幻方”游戏，现将“幻方”游戏稍作改进变成“幻圆”游戏，将，8，，12，，16，，20分别填入图中的圆圈内，使横、竖以及内外两个正方形顶点处圈内4个数字之和都相等，则的值为（    ） A．或 B．或10 C．2或 D．2或 【答案】B 【分析】本题考查有理数的加法，熟练掌握有理数的加法法则，能够根据所给的条件推理出b、d的可能取值是解题的关键．根据所给数的特征，可知横、竖、外圈、内圈的4个数之和为4，再由已经填写的数，确定或，从而求出d的值，即可求解． 【详解】解：∵， ∴横、竖、外圈、内圈的4个数之和为4， ∴，∴， ∵，， ∴，，∴或， 当时，，此时， 当时，，此时． ∴的值为或10．故选：B． 5．（23-24七年级上·福建厦门·期中）小丽在4张同样的纸片上各写了一个正整数，从中随机抽取2张，并将它们上面的数相加．重复这样做，每次所得的和都是7，8，9，10中的一个数，并且这4个数都能取到．猜猜看，小丽在4张纸片上写的数字是 ． 【答案】3，4，4，6或3，4，5，5 【分析】此题主要考查了应用类问题，利用分类讨论得出是解题关键．首先假设这四个数字分别为：A，B，C，D且，进而得出符合题意的答案． 【详解】解：四个数只能是3，4，4，6或3，4，5，5， 理由：设这四个数字分别为：A，B，C，D且， 故，， （1）当时，得， ∵，∴，不合题意舍去，所以， （2）当时，得， （I）当时，，不合题意舍去， （II）当时，∵，∴，不合题意舍去， （2）当时，得， （I）当时，， （II）当时，∵，∴， 故综上所述：这四个数只能是：3，4，4，6或3，4，5，5． 故答案为：3，4，4，6或3，4，5，5． 6．（2023秋·北京平谷·七年级统考期末）黑板上写着7个数，分别为：，a，1，13，b，0，，它们的和为，若每次从中任意擦除两个数，同时写上一个新数（新数为所擦除的两个数的和加上1），这样操作若干次，直至黑板上只剩下一个数，则所剩的这个数是____________． 【答案】 【分析】操作一次，黑板上的数字个数减少1个，数字总和增加1．经过次操作，剩下的一个数是，据此解答即可． 【详解】解：∵每次从中任意擦除两个数，同时写上一个新数（新数为所擦除的两个数的和加1）， ∴操作一次，黑板上的数字个数减少1个，数字总和增加1，（次）， ∴剩下的这个数是．答：剩下的这个数是，故答案为：． 【点睛】本题主要考查了有理数的加法，理解“黑板上的数字个数减少1个，数字总和增加1”是解题的关键． 7．（23-24七年级上·四川成都·阶段练习）阅读计算的方法，再用这种方法计算个小题． 【解析】 原式 ， 上面这种解题方法叫做拆项法． (1)计算：；(2)计算． 【答案】(1)；(2)． 【分析】（）先将各带分数拆分成一个整数与真分数的和，再利用有理数加法的交换律与结合律进行计算即可得；（）先将各带分数拆分成一个整数与真分数的和，再利用有理数加法的交换律与结合律进行计算即可得；本题考查了有理数加法的运算法则和运算律，熟练掌握运算法则和运算律是解题的关键． 【详解】（1）解： ， ； （2）解： ， ． 8．（2022秋·河南信阳·七年级校考期中）对于一个数x，我们用表示小于x的最大整数，例如，．(1)填空：__________；__________；___________． (2)若a，b都是整数，且和互为相反数，求的相反数． 【答案】(1)9，，0 (2)的相反数为 【分析】（1）根据的定义求得即可； （2）根据的定义求得，可得结论． 【详解】（1），， 故答案为：9，，0； （2）， 与互为相反数 ∴ ∴ ∴的相反数为． 【点睛】本题考查了有理数的大小比较和相反数的定义，根据的定义确定其结果是解题的关键． 9．（2024·湖南·七年级期中）探究规律，完成相关题目：对非零数定义一种新的运算，叫※（宏）运算． 下列是一些按照※（宏）运算的运算法则进行运算的算式；；；；． (1)我们在研究有理数的加法运算时，既要考虑符号，又要考虑绝对值．请你类比有理数加法的运算法则，归纳※（宏）运算的运算法则；同号两数进行※（宏）运算时 ，异号两数进行※（宏）运算时 ． (2)计算： ．（括号的作用与它在有理数运算中的作用一致） (3)我们知道加法有交换律和结合律，请你判断交换律和结合律在※（宏）运算中是否适用，如果适用只需作出判断，如果不适用，举反例说明．（举一个例子即可） 【答案】(1)同号得正，并把它们的绝对值相加；异号得负，并用较大的绝对值减去较小的绝对值 (2) (3)加法交换律适用，加法结合律不适用，例子见解析 【分析】（1）根据题目中的例子可以总结出※（宏）运算的运算法则； （2）根据（1）中的结论可以解答本题，注意运算顺序； （3）根据（1）中的结论分别采用加法交换律和结合律计算可以解答本题． 【详解】（1）解：由题意可得， 归纳※（宏运算的运算法则：同号两数进行※（宏运算时，同号得正，并把它们的绝对值相加，异号两数进行※（宏运算时，异号得负，并用较大的绝对值减去较小的绝对值； 故答案为：同号得正，并把它们的绝对值相加；异号得负，并用较大的绝对值减去较小的绝对值． （2）解：，，，故答案为：； （3）解：，．加法交换律适用； ，， 而，加法结合律不适用． 【点睛】本题考查有理数的加法运算，解答本题的关键是明确有理数的加法运算的计算方法． 10．（22-23七年级上·辽宁抚顺·阶段练习）如图是3×3的三阶幻方，将2、4、6、8、10、12、14、16、18这九个数分别填入下列两个方格中，使得每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等． (1)方格正中间位置的数是_______．(2)将两个幻方补充完整． 【答案】(1)10(2)见解析 【分析】（1）根据每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等，可得三个数之和等于正中间位置数的3倍，然后求解即可；（2）根据幻方中数字的规律将两个幻方补充完整即可． 【详解】（1）∵每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等，且等于正中间位置数的3倍， ∴除正中间以外的两个数的和是正中间位置的数的2倍， ∵第一个方格斜对角的两个数为8和12，和为20， ∴正中间位置的数是10， ∵第二个方格中间上下两个数为2和18，和为20， ∴正中间位置的数是10，故答案为：10． （2）将两个幻方补充完整如下： ． 【点睛】此题考查了三阶幻方的知识，有理数的加减法的应用，解题的关键是正确运用幻方中的规律． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 第 2 页 共 20 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题06. 有理数的加法 1．理解有理数加法的意义，掌握有理数加法法则，正确进行有理数加法运算； 2．理解有理数加法运算律，并能运用运算律简化运算； 3．经历探索有理数加法法则的过程，理解有理数加法法则的合理性； 4. 感知数学知识源于生活，并应用于生活，渗透“化归”等数学思想。 题型探究 题型1、有理数加法法则的辨析 3 题型2、有理数的加法运算 4 题型3、有理数加法的运算律 6 题型4、有理数加法的实际应用 11 题型5、有理数加法的综合运用（幻方问题） 14 题型6、有理数加法的综合运用（新定义） 18 培优精练 A组（能力提升） 20 B组（培优拓展） 26 【思考1】一间0°C冷藏室连续两次改变温度： (1) 第一次上升5°C，接着再上升3°C； (2) 第一次下降5°C，接着再下降3°C； (3) 第一次下降5°C，接着再上升3°C； (4) 第一次下降3°C，接着再上升5°C。 问：连续两次变化使温度共上升了多少摄氏度? 注意： (1)上升：下降5°C，即上升-5°C；下降3C，即上升- 3°C；(2)共：对连续两次温度变化进行求和； （3）可借助温度计（或数轴）理解。 【加减号的历史】加减法最早出现在人类社会的早期阶段，但是，加减法的符号真正被广泛运用是在十七世纪，在那之前运算符号都是比较麻烦的。1514年，荷兰的赫克首次用“＋”表示加法，用“-”表示减法。1544年，德国数学家施蒂费尔在《整数算术》中正式用“＋”和“- ”表示加减，后来又经过法国数学家韦达（Vieta）的宣传和提倡，才开始普及，直到1630年，才得到大家的公认，并被广泛采用。 1.定义：把两个（或多个）有理数相加的过程叫有理数的加法。（两个有理数相加，和是一个有理数）。 2.法则：（1）同号两数相加，和取相同的符号，且和的绝对值等于加数的绝对值的和；（2）绝对值不相等的异号两数相加，和取绝对值较大的加数的符号，且和的绝对值等于加数中绝对值较大者与较小者的差；互为相反数的两个数相加得0；（3）一个数同0相加，仍得这个数． 注意：1）有理数的运算分两步走，第一步，确定符号，第二步，确定绝对值；2）计算的时候要看清符号，同时要熟练掌握计算法则； 3.运算律： 1）加法交换律：两个数相加，交换加数的位置，和不变；即a+b＝b+a。 2）加法结合律：三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变；即(a+b)+c＝a+(b+c)。 注意：1）利用加法交换律、结合律，可以使运算简化，认识运算律对于理解运算有很重要的意义。 2）注意两种运算律的正用和反用，以及混合运用。 题型1、有理数加法法则的辨析 【解题技巧】有理数加法的法则：①同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；②绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．互为相反数的两个数相加得0；③一个数同0相加，仍得这个数． 例1．（2024七年级上·广东·专题练习）下列说法正确的是（　　） A．三个有理数相加和一定大于每个加数 B．三个非零有理数相加，和可能等于零 C．两个有理数和为负数时，这两个数都是负数 D．两个负数相加，把绝对值相加 例2．（23-24七年级上·贵州铜仁·阶段练习）已知两个有理数，那么a+b与a，必定是（    ） A． B． C． D．以上都不对 变式1．（2023·重庆·七年级校考期中）下列说法中正确的是（    ） A．两数相加，其和大于任何一个加数 B．异号两数相加，其和小于任何一个加数 C．绝对值相等的异号两数相加，其和一定为零 D．两数相加，取较小一个加数的符号作为结果的符号 变式2．（23-24七年级上·广东惠州·阶段练习）如果，那么，，三个数中（   ） A．有一个数必为 B．至少有一个负数 C．有且只有一个负数 D．至少有两个负数 题型2、有理数的加法运算 【解题技巧】根据有理数加法的法则计算即可。 例1．（23-24七年级上·广东·课后作业）的符号取 号，的符号取 号，的符号取 号． 例2．（23-24七年级上·广东佛山·阶段练习）计算：(1)；(2)． 变式1．（2023·山东滨州·模拟预测）中国人最先使用负数，魏晋时期的数学家刘徽在“正负术”的注文中指出，可将算筹（小棍形状的记数工具）正放表示正数，斜放表示负数．如图，根据刘徽的这种表示法，图可列式计算为，由此可推算图中计算所得的结果为（    ） A． B． C． D． 变式2．（2024·吉林松原·二模）比大5的数是（    ） A．3 B． C．7 D． 变式3．（2023·河北石家庄·统考二模）若要等式4成立，“”中应填的运算符号是（    ） A． B． C． D． 题型3、有理数加法的运算律 【解题技巧】有理数常见简算方法：①相反数结合——抵消；②同号结合——符号易确定；③同分母结合法——无需通分（分母倍数的也可考虑）；④凑整数；⑤同行结合法——分数拆分为整数和分数。 例1．（23-24七年级上·江苏宿迁·阶段练习）下列变形，运用加法运算律错误的是（   ） A． B． C． D． 例2．（2023七年级上·江苏·专题练习）利用运算律计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 例3．（23-24七年级上·河南郑州·期中）阅读下面文字： 对于可以如下计算： 原式 ______ ______ ______． 上面这种方法叫拆项法． (1)请补全以上计算过程；(2)类比上面的方法计算：． 变式1．（23-24七年级上·山东淄博·期中），上面的计算所运用的运算律是（    ） A．交换律 B．结合律 C．先用结合律，再用交换律 D．先用交换律，再用结合律 变式2．（23-24七年级上·山东临沂·阶段练习）下列变形，运用加法运算律正确的是（　　） A． B． C． D． 变式3．（23-24七年级上·江苏连云港·阶段练习）计算 ． 变式4．（2024·广东七年级课时练习）计算： (1)（﹣3）+40+（﹣32）+（﹣8） (2)43+（﹣77）+27+（﹣43） (3)18+（﹣16）+（﹣23）+16 (4)（﹣3）+（+7）+4+3+（﹣5）+（﹣4） (5)5.6+（﹣0.9）+4.4+（﹣8.1） (6)（﹣2）+17+（+12）+（﹣4） 题型4、有理数加法的实际应用 【解题技巧】有理数运算相关的实际应用题种类较多，但是很多题目只是所给的情境不一样，解答的方法并没有发生改变。能够熟练的分析应用题的数量关系，找准解题的方法和技巧。 例1．（23-24七年级上·福建漳州·期末）王叔叔10月1日9：00微信零钱还有83.18元，下图是王叔叔10月1日9：00至5日9：00的微信账单，其中正数表示收款，负数表示付款，王叔叔于10月5日9：00扫二维码付款给超市后的微信零钱为（    ） 账单 10月1日09：24微信转账 10月2日16：36扫码付款给肉食店 10月4日10：20微信红包 10月5日9：00扫码付款给超市 A．175 B．175.36 C．185 D．210.36 例2．（23-24七年级上·河南郑州·期末）某日小明在一条南北方向的公路上跑步．他从A地出发，每隔记录下自己的跑步情况（向南为正方向，单位：m）：，1100，，1010，，988． (1)后他停下来休息，此时他在A地的什么方向？距离A地多远？ (2)小明休息完返回A地，小明共跑了多少米？ 例3．（2024·北京通州·一模）某公司筹备一场展览会，现列出筹备展览会的各项工作．具体筹备工作包含以下内容（见下表）．其中，“前期工作”是指相对于某项工作，排在该工作之前需完成的工作称为该工作的前期工作． 工作代码 工作名称 持续时间（天） 前期工作 A 张贴海报、收集作品 7 无 B 购买展览用品 3 无 C 打扫展厅 1 无 D 展厅装饰 3 C E 展位设计与布置 3 ABD F 展品布置 2 E G 宣传语与环境布置 2 ABD H 展前检查 1 FG （1）在前期工作结束后，完成“展厅装饰 ”最短需要 天； （2）完成本次展览会所有筹备工作的最短总工期需要 天． 变式1．（2023·湖北·七年级校考阶段练习）某次数学考试成绩以80分为标准，高于80分记为“”，低于80分记为“”，例如：78分记为“”，81分记为“”，将某小组五名同学的成绩简记为，，，，0，则这五名同学的平均成绩应为 __． 变式2．（2023·重庆·七年级统考期中）现有甲、乙两支同样的温度计，将它们按如图位置放置，如果向左移动甲温度计，使其度数12与乙温度计的度数对齐，那么此时乙温度计与甲温度计数对齐的度数是_________． 变式3．（23-24七年级上·江苏南通·期末）一天，王女士到某办公楼办事，假定乘电梯向上一层记为，向下一层记为，电楼上下层数依次录如下（单位层）：． (1)请问王女士最后在几层？(2)该大楼，每层高．电梯每上（或下）零耗电千瓦时，请你计算，她乘电梯办事，电梯需要耗电多少千瓦时？ 题型5、有理数加法的综合运用（幻方问题） 【解题技巧】利用幻方和相等建立等量关系或直接幻方和相等的性质解题即可。 例1．（23-24七年级上·广东深圳·期末）幻方的历史悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”，把洛书用今天的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方，三阶幻方的每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等，如图是另一个三阶幻方，则的值为（   ） A．3 B．4 C．5 D．7 例2．（23-24七年级上·江苏泰州·期末）爱动脑筋的小明同学设计了如图所示的“幻方”游戏图，将1，，3，，5，，7，分别填入图中的圆圈内，使得横、竖以及内外两个正方形的4个数字之和都相等，他已经将、5、7、这四个数填入了圆圈，则图中的值为 ． 变式1．（23-24七年级上·安徽·期末）如图是根据幻方改编的“幻圆”游戏，将，，，，，，分别填入图中的圆圈内，使横、竖以及内外两圈上的4个数字之和都相等，已知图中、⊙分别表示一个数，则的值为（    ） A． B．1 C．或4 D．或1 变式2．（23-24七年级上·山西临汾·期中）阅读下面材料，并完成相应任务． 幻方 相传大禹治水时，洛水中出现了一只神龟，其背上有美妙的图案，史称“洛书”．用现在的数字翻译出来，就是三阶幻方．其每行、每列、每条对角线上的数字之和都相等，这个和叫做幻和，正中间的那个数叫做中心数，且幻和恰好等于中心数的3倍．如图1，是由1，2，3，4，5，6，7，8，9所组成的一个三阶幻方，其幻和为15，中心数为5．    (1)请在图2的空格中填上合适的数，使其构成一个三阶幻方； (2)请将，3，5，7，9这八个数分别填入图3的空格中，使其构成一个三阶幻方． 题型6、有理数加法的综合运用（新定义） 【解题技巧】“新定义”型问题是指在问题中定义了初中数学中没有学过的一些概念、新运算、新符号，要求学生读懂题意并结合已有知识进行理解，而后根据新定义进行运算、推理、迁移的一种题型.它一般分为三种类型：（1）定义新运算；（2）定义初、高中知识衔接“新知识”;（3）定义新概念.这类试题考查考生对“新定义”的理解和认识，以及灵活运用知识的能力，解题时需要将“新定义”的知识与已学知识联系起来，利用已有的知识经验来解决问题. 例1．（2023·河北石家庄·七年级统考期末）对于一个非整数的有理数（为整数），我们规定：表示不大于的最大整数，表示不小于的最小整数，表示最接近的整数．例如，，，．则使成立的的取值范围为（    ） A． B． C．且 D．以上答案都不对 例2．（2022秋·北京通州·七年级统考期中）用符号表示a，b两个有理数中的较大的数，用符号表示a，b两个有理数中的较小的数，则的值为________． 变式1．（2022秋·重庆·七年级校考期中）对有理数a、b定义新运算如下：，则_________． 变式2．（2022·七年级单元测试）设表示不超过的最大整数，计算：______． 变式3．（2022·重庆七年级课时练习）古代埃及人在进行分数运算时，只使用分子是1的分数，因此这种分数也叫做埃及分数，我们注意到，某些真分数恰好可以写成两个埃及分数的和，例如：，则写成两个埃及分数的和的形式为为= ___________． A组（能力提升） 1．（2023·四川乐山·七年级统考期中）已知两数的和为正，下面的判断中，正确的是（   ） A．两个加数必须都为正数 B．两个加数都为负数 C．两个加数中至少有一个正数 D．两个加数必须一正，一负 2．（23-24七年级上·浙江·期末）计算：的结果是（    ） A． B． C．1 D．9 3．（2024·广东·二模）甲地的平均海拔为，乙地的平均海拔比甲地高，乙地的平均海拔为（    ） A． B． C． D． 4．（22-23七年级上·河北石家庄·阶段练习）魏晋时期的数学家刘徽在其著作《九章算术》中用不同颜色的算筹（小棍形状的记数工具）分别表示正数和负数（白色为正，灰色为负），图1表示的是的计算过程，则图2表示的计算过程是（    ） A． B． C． D． 5．（23-24七年级上·河北邢台·期末）是应用了（    ） A．加法交换律 B．加法结合律 C．分配律 D．移项 6．（23-24七年级上·河北廊坊·阶段练习）关于“三个有理数的和为”这个话题，数学活动小组成员甲、乙、丙、丁四位同学发表了下列看法：甲：这三个有理数可能都是；乙：这三个数中最多有两个正数；丙：这三个数中最少有两个数是负数；丁：这三个有理数是互为相反数．则正确的看法是（    ） A．甲、乙、丙、丁 B．甲、乙、丙 C．甲、乙 D．乙、丙、丁 7．（23-24七年级上·广西南宁·期中）幻方是古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方——九宫格，如图九宫格内每个小方格内均有不同的数字，要求方格内每一行、每一列以及每一条对角线上的三个数字之和均相等，图中给出了部分数字，则处对应的数字是（　　）    A．7 B．5 C．4 D．1 8．（2023秋·山东济宁·七年级统考期末）下列是运用有理数加法法则计算思考、计算过程的叙述： ①和2的绝对值分别为5和2；②的绝对值5较大；2的绝对值2较小 ③是异号两数相加；④结果的绝对值是用得到；⑤计算结果为； ⑥结果的符号是取的符号－－负号；请按运用法则思考、计算过程的先后顺序排序（只写序号）：______． 9．（2023·广东七年级期中）（1）若，，，则____ （2）若，，，则____ 10．（23-24七年级上·重庆·阶段练习）用简便方法计算： ． 11．（2023七年级上·江苏·专题练习）计算：(1)；(2)． 12．（23-24七年级上·广东广州·阶段练习）计算 (1)； (2)； (3)； (4)． 13．（23-24七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）我国某次军事演习中，一艘核潜艇的初始位置在海平面下，规定核潜艇上升记为“＋”，下降记为“－”，下面是这艘核潜艇在某段时间内的运动情况：．（单位：） (1)最后这艘核潜艇停留的位置在海平面下多少米？ (2)如果这艘核潜艇每上升或下降，核动力装置所提供的能量相当于汽油燃烧所产生的能量，那么在这艘核潜艇运动的这段时间内，核潜艇动力装置提供的能量相当于多少升汽油燃烧所产生的能量？ B组（培优拓展） 1.（2023·山东·七年级期末）实际测量一座山的高度时，可在若干个观测点中测量每两个相邻的可视观测点的相对高度，然后用这些相对高度计算出山的高度．下表是某次测量数据的部分记录（用表示观测点A相对观测点C的高度），根据这次测量的数据，可得观测点A相对观测点B的高度是（ ） 100米 80米 米 50米 米 20米 A．米 B．240米 C．390米 D．210米 2．（23-24七年级上·江苏南通·期末）如图，数轴上点表示的数分别是，且满足，则下列各式的值一定是正数的是（    ） A．a B． C． D． 3．（2023秋·浙江绍兴·七年级统考期末）如图，数轴上依次有，，，，五个点，其中，，三点所表示的数分别为，，，且．如果有，，，那么该数轴原点的位置应该在（　　） A．点在线段（不包括端点）上 B．点在线段（不包括端点）上 C．点在线段（不包括端点）上 D．点在线段（不包括端点）上 4．（23-24七年级上·江苏无锡·期末）同学们都熟悉“幻方”游戏，现将“幻方”游戏稍作改进变成“幻圆”游戏，将，8，，12，，16，，20分别填入图中的圆圈内，使横、竖以及内外两个正方形顶点处圈内4个数字之和都相等，则的值为（    ） A．或 B．或10 C．2或 D．2或 5．（23-24七年级上·福建厦门·期中）小丽在4张同样的纸片上各写了一个正整数，从中随机抽取2张，并将它们上面的数相加．重复这样做，每次所得的和都是7，8，9，10中的一个数，并且这4个数都能取到．猜猜看，小丽在4张纸片上写的数字是 ． 6．（2023秋·北京平谷·七年级统考期末）黑板上写着7个数，分别为：，a，1，13，b，0，，它们的和为，若每次从中任意擦除两个数，同时写上一个新数（新数为所擦除的两个数的和加上1），这样操作若干次，直至黑板上只剩下一个数，则所剩的这个数是____________． 7．（23-24七年级上·四川成都·阶段练习）阅读计算的方法，再用这种方法计算个小题． 【解析】 原式 ， 上面这种解题方法叫做拆项法． (1)计算：；(2)计算． 8．（2022秋·河南信阳·七年级校考期中）对于一个数x，我们用表示小于x的最大整数，例如，．(1)填空：__________；__________；___________． (2)若a，b都是整数，且和互为相反数，求的相反数． 9．（2024·湖南·七年级期中）探究规律，完成相关题目：对非零数定义一种新的运算，叫※（宏）运算． 下列是一些按照※（宏）运算的运算法则进行运算的算式；；；；． (1)我们在研究有理数的加法运算时，既要考虑符号，又要考虑绝对值．请你类比有理数加法的运算法则，归纳※（宏）运算的运算法则；同号两数进行※（宏）运算时 ，异号两数进行※（宏）运算时 ． (2)计算： ．（括号的作用与它在有理数运算中的作用一致） (3)我们知道加法有交换律和结合律，请你判断交换律和结合律在※（宏）运算中是否适用，如果适用只需作出判断，如果不适用，举反例说明．（举一个例子即可） 10．（22-23七年级上·辽宁抚顺·阶段练习）如图是3×3的三阶幻方，将2、4、6、8、10、12、14、16、18这九个数分别填入下列两个方格中，使得每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等． (1)方格正中间位置的数是_______．(2)将两个幻方补充完整． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 第 2 页 共 20 页 学科网（北京）股份有限公司 $$