精品解析：2024年浙江省舟山市定海区金衢山五校联考初中毕业生第三次质量监测数学试题

2024年金衢山五校联考初中毕业生第三次质量监测数学试题卷 1．全卷共三大题，24小题，共8页．满分120分，考试时间120分钟． 2．全卷分卷I（选择题）和卷II（非选择题）两部分，全部在答题纸上作答．卷I的答案必须用2B铅笔填涂；卷II的答案必须用黑色钢笔或签字笔写在答题纸相应位置上． 3．考试时不能使用计算器． 第I卷（选择题） 一、选择题（本题有10小题，每题3分，共30分．请选出各题中唯一的正确选项，不选、多选、错选，均不得分） 1. 下列互为相反数的是（ ） A. 和 B. 和 C. 和 D. 和 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查相反数和绝对值的定义，符号不同，并且绝对值相等的两个数互为相反数，据此逐项判断即可，熟练掌握相反数的定义是解题的关键． 【详解】解：A、，所以和不是互为相反数，故选项不符合题意； B、，所以和互相反数，故选项符合题意； C、，所以和不是互为相反数，故选项不符合题意； D、，所以和不是互为相反数，故选项不符合题意； 故选：B． 2. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查轴对称图形和中心对称图形的识别，理解轴对称图形：如果一个平面图形沿着一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形；中心对称图形：把一个图形绕着某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．据此逐项判断即可． 【详解】解：A中图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； B中图形既是轴对称图形又是中心对称图形，故本选项符合题意； C中图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故本选项不符合题意； D中图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意， 故选：B． 3. 下列说法正确的是（ ） A. “明天下雨的概率为”，意味着明天有的时间下雨 B. 从两个班级中任选三名学生，至少有两名学生来自同一个班级是必然事件 C. 一组数据“6，6，7，8”的中位数和众数都是6 D. 若甲组数据的方差，乙组数据的方差，那么甲组数据比乙组数据稳定 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查概率的意义，事件的分类，中位数与众数以及方差，解题的关键是正确理解概率的意义，事件的分类，中位数与众数计算方法以及方差的意义，根据概率的意义，事件的分类，中位数与众数计算方法以及方差的意义进行解答即可． 【详解】解：A．明天下雨的概率为，只是说明明天下雨的可能性大，与时间无关，故本选项不符合题意； B．从两个班级中任选三名学生，至少有两名学生来自同一个班级，故本选项符合题意； C．一组数据“6，6，7，8”的中位数是，众数是6，故本选项不符合题意； D．若甲组数据方差，乙组数据的方差，那么乙组数据比甲组数据稳定，故本选项不符合题意． 故选：B 4. 一个几何体的部分视图如图，则该几何体是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查三视图的识别和判断，解题关键是掌握常见空间几何体的三视图．由空间几何体的三视图可以得到空间几何体的直观图． 【详解】解：由三视图可知，该组合体的上部分为圆台，下部分为圆柱， 故选：D． 5. 蝶，通称为“蝴蝶”，属于节肢动物，体表具有分节的外骨骼，身体分为头、胸、腹三个部分，胸部长有两对翅膀，翅膀上各式各样的色彩上和斑纹是由翅膀上的鳞片组成．如图，是一只蝴蝶标本，已知表示蝴蝶两“翅膀尾部”、两点的坐标分别为，，则表示蝴蝶身体“尾部”点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由表示蝴蝶两“翅膀尾部”、两点的坐标分别为，,找到坐标系，再读出“尾部”点坐标即可． 【详解】解：该蝴蝶两“翅膀尾部”、两点坐标分别为，,,可建立坐标系如图： 则由图表示蝴蝶身体“尾部”点的坐标为, 答案选A． 【点睛】本题考查了平面直角坐标系的坐标的找法，正确确定坐标系是解题关键． 6. 对于任意不相等的两个数，定义一种运算“*”如下，如，计算：（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了新定义下实数的运算，先依据定义列出算式，然后再进行计算即可，正确理解计算公式是解此题的关键． 【详解】解：由题意得：， 故选：A． 7. 现代办公纸张通常以等标记来表示纸张的幅面规格，一张纸可截成2张纸或4张纸，现计划将100张纸裁成纸和纸，两者共计300张，设可裁成纸张，纸张，根据题意，可列方程组（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，关键是找到等量关系列出方程组．根据一张纸可裁成2张纸或4张纸，可以得出张纸由张纸裁剪而成，张纸由张纸裁剪而成，根据纸100张，得出；再根据纸和纸共计300张，得出即可． 【详解】解：根据题意得：， 故选：D 8. 如图，在矩形中，，点P是的中点，，点M、N在线段上，若是等腰三角形且底角与相等，则的值为（　　） A. 6或2 B. 3或 C. 2或3 D. 6或 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、矩形的性质等知识点，掌握相关结论是解题关键．分类讨论①为等腰的底边②为等腰的腰两种情况即可求解. 【详解】解：分两种情况： ①为等腰的底边时，作于F 则， ∵四边形是矩形， ∴， ∴，， ∵点P是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴，即 解得：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵是等腰三角形且底角与相等， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴， ∴； ②为等腰的腰时，作于F 由①得：，， 设，则， 在中， 解得：，即； 综上所述，的长为或． 故选：D． 9. 如图，已知是半圆O的直径，弦相交于点P，若的度数之和为120°，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理、相似三角形的判定和性质、锐角三角函数的概念．连接，得到是直角，再利用两三角形相似面积比等于相似比的平方求解即可． 【详解】解：连接，由是直径得，． ∵的度数之和为120°， ∴， ∴， ， ， ， ． 故选：D． 10. 已知在平面直角坐标系中，正比例函数的图象与反比例函数的图象的两个交点中，有一个交点的横坐标为1，点和点在函数的图象上(且)，点和点在函数的图象上．当与的积为负数时，t的取值范围是( ) A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】将交点的横坐标1代入两个函数，令二者函数值相等，得．令，代入两个函数表达式，并分别将点A、B的坐标和点C、D的坐标代入对应函数，进而分别求出与的表达式，代入解不等式并求出t的取值范围即可． 【详解】解：∵的图象与反比例函数的图象的两个交点中，有一个交点的横坐标为1， ∴． 令，则，． 将点和点代入，得； 将点和点代入，得． ∴，， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． ①当时，， ∴不符合要求，应舍去； ②当时，， ∴符合要求； ③当时，， ∴不符合要求，应舍去； ④当时，， ∴符合要求； ⑤当时，， ∴不符合要求，应舍去． 综上，t的取值范围是或． 故选：D． 【点睛】本题考查反比例函数与一次函数的交点，解不等式是本题的关键． 第II卷（非选择题） 二、填空题（本题有6小题，每题4分，共24分） 11. 因式分解：___________ 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了因式分解，先提公因式，然后再利用平方差公式进行计算即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 12. 如图，的对角线相交于点O，过点O，且点E，H在边上，点G，F在边上，向内部投掷飞镖，飞镖恰好落在阴影区域的概率为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质和几何概率问题，因为是平行四边形，所以关于点O中心对称，所以，再根据几何概率即可求得答案． 【详解】解：由题意可知关于点O中心对称， ∴， ∴， ∴飞镖恰好落在阴影区域的概率=． 故答案为：． 13. 如图，一个半径长为1厘米的半圆面，将它沿直线作顺时针方向翻动，翻动一周，那么圆心所经过的路程是______厘米． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了圆的周长公式的知识，熟练掌握相关公式是解题关键．根据题意可得，圆心所经过的路程是两个圆与两条等于圆弧长的线段的和，据此求解即可． 【详解】解：依题意得圆心所经过的路程是两个圆与两条等于圆弧长的线段的长度的和， ∴圆心所经过的路程是． 故答案为：． 14. 已知、是一元二次方程的两个实数根，则的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根和系数的关系，代数式求值，得出和的值是解题关键．根据一元二次方程根和系数的关系，得到，，再将代数式变形，整体代入计算即可． 【详解】解：、是一元二次方程的两个实数根， ，， 故答案为：． 15. 如图，直线与轴交于点，与轴交于点，在△内作等边三角形，使它的一边在轴上，一个顶点在边上，作出的第个等边三角形是△，第个等边三角形是△，第3个等边三角形是，…则第2024个等边三角形的边长等于______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与坐标轴的交点、等边三角形的性质、含30度角直角三角形的性质、勾股定理和规律推理．过点作轴于点D，由直线求出，，从而得到和的长度，然后根据含30度角直角三角形的性质得出，从而求出，再根据勾股定理得出，从而得到，，，依此类推，第n个等边三角形的边长等于，据此即可求解． 【详解】解：如图，过点作轴于点D， ∵直线与x、y轴交于B、C两点， ∴当时，，当时，， ∴点，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴, ∴第1个等边三角形边长， 同理：第2个等边三角形的边长， 第3个等边三角形的边长， ……， 由此发现：第n个等边三角形的边长等于， ∴第2024个等边三角形的边长等于． 故答案为：． 16. 二次函数为常数，且经过，一次函数经过，一次函数经过．已知，，其中为整数，则的值为______． 【答案】或5##5或 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数与一次函数综合．根据二次函数对称轴的性质，一次函数与坐标轴的交点坐标列式计算即可． 【详解】解∶∵二次函数为常数，且经过， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∵一次函数经过，一次函数经过． ∴， 当时， ，， ∴，， ∵，，为整数， ∴， 此时； 当时，，， ，， ∴，， ∵，，为整数， ∴， 此时； 故答案为：或5 三、解答题（本题有8小题，第17～19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共66分） 17. （1）计算：； （2）化简：． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）本题考查了特殊角的三角函数值，零指数幂的性质，以及二次根式的化简，熟悉它们的运算规则是解题的关键． （2）本题考查了分式的化简，通分，然后利用平方差公式化简即可解决问题． 【详解】（1）解：原式 （2）解：原式 18. 下面是小明用配方法解一元二次方程的过程，请认真阅读并完成相应的任务． 解：移项，得，……第一步 二次项系数化为1，得，……第二步 配方，得，……第三步 由此可得，……第四步 所以，，．……第五步 （1）小明同学的解答过程，从第________步开始出现错误； （2）请你写出正确的解答过程． 【答案】（1）三 （2），．过程见解析 【解析】 【分析】此题考查了配方法解一元二次方程． （1）按照配方法解一元二次方程的步骤进行判断即可； （2）按照配方法解一元二次方程的正确步骤进行解答即可． 【小问1详解】 小明同学的解答过程，从第三步开始出现错误，配方结果不正确； 故答案为：三 【小问2详解】 解： 移项，得， 二次项系数化为1，得， 配方，得， 由此可得， 所以，，． 19. 如图，正方形的外接圆为，点P在劣弧上（不与点C重合）． （1）求的度数； （2）若的半径为8，求正方形的边长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查圆与正多边形，圆周角定理： （1）连接，根据中心角的计算公式求出的度数，圆周角定理，求出的度数即可； （2）勾股定理求出的长即可． 【小问1详解】 解：连接， 由题意得：， ∴； 【小问2详解】 由（1）知：， 又∵， ∴， 即正方形的边长为：． 20. 为了解中学生的视力情况，某区卫健部门决定随机抽取本区部分初、高中学生进行调查，并对他们的视力数据进行整理，得到如下统计表和统计图． 初中学生视力情况统计表 视力 人数 百分比 0.6及以下 8 0.7 16 8% 0.8 28 14% 0.9 34 17% 1.0 m 34% 1.1及以上 46 n 合计 200 （1）_______，_______． （2）被调查的高中学生视力情况的样本容量为______； （3）分析处理 ①小胡说；“初中学生的视力水平比高中学生的好．”请你对小胡的说法进行判断，并选择一个能反映总体的统计量说明理由； ②约定：视力未达到1.0为视力不良．若该区有15000名初中生，估计该区有多少名初中生视力不良？ 【答案】（1）68，； （2）320 （3）①小胡的说法正确，理由见解析；②估计该区有名初中生视力不良 【解析】 【分析】本题考查了频率与频数，样本容量，利用中位数做决策，利用样本估计总体，根据题意找出所需数据是解题关键． （1）用初中生视力的人数除以所占百分比，得到抽查总人数，再分别求出、的值即可； （2）将被调查的高中学生视力每部分人数相加，即可得到样本容量； （3）①分别找出初中生和高中生视力的中位数，比较分析即可；②用该区初中生总人数乘以视力不良学生的占比，即可得到答案． 【小问1详解】 解：初中生的抽查总人数为人， ，， 故答案为：68，； 【小问2详解】 解：被调查的高中学生视力情况的样本容量为， 故答案为：320； 【小问3详解】 解：①小胡的说法正确，理由如下： 初中生调查人数为200人， 初中生视力的中位数为第100和101个数据的平均数， ，， 初中生视力的中位数落在这一组， 高中生调查人数为320人， 高中生视力的中位数为第160和161个数据的平均数， ，， 初中生视力的中位数落在这一组， ， 初中学生的视力水平比高中学生的好，小胡的说法正确； ②， 即估计该区有名初中生视力不良． 21. 如图是一名军事迷设计的潜水望远镜，，，两个反光镜，直线之间的距离为，．与平行的一束光线经两个反光镜反射后沿射出，其中．（参考值：，，，，，） （1）当G、A、I三点共线时，求反光镜的长度；（结果保留一位小数） （2）已知米，求点A到直线的距离． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查解直角三角形，解题的关键是熟练掌握三角函数的定义． （1）过K作，垂足为S，求出，由得，解可求出； （2）由平行线的性质，解可求出 【小问1详解】 解：过K作，垂足为S， ∵，， ∴，， 由题意：， ∴， ∵， ∴， 在中，，， ∴． 答：反光镜的长度约为． 【小问2详解】 解：过A作，垂足为T， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 在中，，， ∴． 答：点A到直线的距离为． 22. 阅读与思考：下面是小姜同学写的一篇数学学习笔记，请认真阅读并完成相应的任务： 正方形中相等的线段 如图1，在正方形中，如果点E、F分别在上，且，垂足为M，那么与相等吗？证明你的结论． 对于上面的问题，我是这样思考的： （1）：______． 反思1：对于两个端点分别在正方形一组对边上的线段，若这样的两条线段互相垂直，那么这两条线段是否仍然相等呢？ 对此可以做进一步探究： 如图2，在正方形中，如果点E、F、G、H分别在上，且，垂足为M，那么与相等吗？证明你的结论． （2）：______． 反思2：对于两个端点分别在正方形一组对边上的线段，若这样的两条线段相等，那么这两条线段是否一定垂直呢？ 对此可以画图说明： 如图3，在正方形中，如果点E、F、G、H分别在上，且，那么与垂直吗？证明你的结论． （3）：______． 任务： （1）完成笔记中的“我是这样思考的”； （2）回答笔记中反思1的问题，并证明； （3）回答笔记中反思2的问题，在图3中画图并简要说明． 【答案】（1）与相等，理由见解析 （2），理由见解析 （3）当时，那么与不一定垂直． 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定和性质等知识；证明三角形全等是解题的关键． （1）利用证明，即可证明； （2）作，，证明，，与（1）同理得，即可证明； （3）以点为圆心，为半径作圆，与边交于点，得到，但与不垂直，得到当时，那么与不一定垂直． 【小问1详解】 解：与相等，理由如下， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：，证明如下， 如图，作，， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴四边形和都是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， 与由（1）同理得， ∴ ∴； 【小问3详解】 解：与不一定垂直，理由如下： 如图，，则， 以点为圆心，为半径作圆，与边交于点， 此时，，但与不垂直， 故当时，那么与不一定垂直． 23. 图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于点，与轴交于点． （1）求这个二次函数的解析式． （2）如图，二次函数图象的对称轴与直线交于点，若点是直线上方抛物线上的一个动点，求面积的最大值． （3）如图，点是直线上的一个动点，过点的直线与平行，则在直线上是否存在点，使点与点关于直线对称？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）； （2）； （3）存在，或 【解析】 【分析】本题考查二次函数与几何的综合，解题的关键是掌握二次函数的图象和性质，待定系数法求解函数解析式，一次函数的图象和性质，勾股定理的运用，菱形的判定和性质，中点坐标的运用，即可． （1）把点，代入二次 函数，即可； （2）根据二次函数求出点，可求出对称轴设直线的解析式为：，求出直线的解析式，则求出点坐标，过点作的平行线，当点与二次函数有且仅有一个交点时，即面积有最大值，设直线的解析式为：求出直线的解析式的解析式，即可求出点的坐标，则过点作轴交轴于点，过点作轴交轴于点，的面积等于梯形减去梯形减去梯形，即可． （3）根据点与点关于直线对称，则，，，推出，；再根据平行线的性质则，等量代换，等角对等边，菱形的判定和性质，得点是，的中点，根据勾股定理求出，再根据两点间的距离公式，求出点的坐标，最后根据中点坐标公式，即可求出点的坐标． 【小问1详解】 ∵点，在二次函数图象上， ∴， ∴， ∴． 【小问2详解】 ∵与轴有两个交点， ∴， ∴点， ∴对称轴为：， ∵， ∴设直线的解析式为：， ∴， ∴， ∵点在直线上，且横坐标， ∴点， 过点作的平行线，当点与二次函数有且仅有一个交点时，即面积有最大值， 设直线的解析式为：， ∵直线与二次函数有且仅有一个交点， ∴有一个实数根， ∴， ∴， ∴设直线的解析式为：， ∴得， 过点作轴交轴于点，过点作轴交轴于点， ∴的面积等于梯形减去梯形减去梯形， ∴． 【小问3详解】 存在，理由如下： ∵点与点关于直线对称 ∴，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形， ∴连接，交点为点， ∴点是，的中点， ∵，， ∴， ∴， 设点， ∴， ∴， ∴点，， ∵点是，的中点， ∴，， 设点， ∵点，， ∴， ∴点， ∵点，， ∴， 点； 综上所述，点或． 24. （1）如图① ，在三角形纸片中，，，，将折叠，使点与点重合，折痕为，求的长． （2）如图②，在三角形纸片中，，，将折叠，使点与点重合，折痕为，求的值． （3）如图③，在三角形纸片中，，，，将沿过顶点的直线折叠，使点落在边上的点处，折痕为． ①求线段的长； ②若点是边的中点，点为线段上的一个动点，将沿折叠得到，点的对应点为点，与交于点，求的取值范围． 【答案】（1）；（2）；（3）①；② 【解析】 【分析】（1）根据勾股定理计算出，利用平行线分线段成比例定理可得，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求解即可； （2）利用相似三角形的判定与性质，证明，得出，求出，，计算的值即可； （3）①证明，推出，由此即可解决问题；②证明，推出，，推出即可解决问题． 【详解】解：（1）∵，，， ∴， ∵折叠，使点与点重合，折痕为， ∴垂直平分线段， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）∵， ∴， 由题意得垂直平分线段， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）①由折叠的性质可知，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； ②∵，，， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵点为线段上的一个动点，，， ∴， ∴． 【点睛】本题是几何变换综合题，主要考查了折叠的性质、直角三角形斜边上中线的性质、相似三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质、平行线分线段成比例等知识，正确寻找相似三角形是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年金衢山五校联考初中毕业生第三次质量监测数学试题卷 1．全卷共三大题，24小题，共8页．满分120分，考试时间120分钟． 2．全卷分卷I（选择题）和卷II（非选择题）两部分，全部在答题纸上作答．卷I的答案必须用2B铅笔填涂；卷II的答案必须用黑色钢笔或签字笔写在答题纸相应位置上． 3．考试时不能使用计算器． 第I卷（选择题） 一、选择题（本题有10小题，每题3分，共30分．请选出各题中唯一的正确选项，不选、多选、错选，均不得分） 1. 下列互为相反数的是（ ） A. 和 B. 和 C. 和 D. 和 2. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（    ） A. B. C. D. 3. 下列说法正确的是（ ） A. “明天下雨的概率为”，意味着明天有的时间下雨 B. 从两个班级中任选三名学生，至少有两名学生来自同一个班级是必然事件 C. 一组数据“6，6，7，8”的中位数和众数都是6 D. 若甲组数据的方差，乙组数据的方差，那么甲组数据比乙组数据稳定 4. 一个几何体的部分视图如图，则该几何体是（ ） A. B. C. D. 5. 蝶，通称为“蝴蝶”，属于节肢动物，体表具有分节的外骨骼，身体分为头、胸、腹三个部分，胸部长有两对翅膀，翅膀上各式各样的色彩上和斑纹是由翅膀上的鳞片组成．如图，是一只蝴蝶标本，已知表示蝴蝶两“翅膀尾部”、两点的坐标分别为，，则表示蝴蝶身体“尾部”点的坐标为（ ） A. B. C. D. 6. 对于任意不相等的两个数，定义一种运算“*”如下，如，计算：（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 7. 现代办公纸张通常以等标记来表示纸张幅面规格，一张纸可截成2张纸或4张纸，现计划将100张纸裁成纸和纸，两者共计300张，设可裁成纸张，纸张，根据题意，可列方程组（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在矩形中，，点P是的中点，，点M、N在线段上，若是等腰三角形且底角与相等，则的值为（　　） A. 6或2 B. 3或 C. 2或3 D. 6或 9. 如图，已知是半圆O的直径，弦相交于点P，若的度数之和为120°，则等于（ ） A. B. C. D. 10. 已知在平面直角坐标系中，正比例函数的图象与反比例函数的图象的两个交点中，有一个交点的横坐标为1，点和点在函数的图象上(且)，点和点在函数的图象上．当与的积为负数时，t的取值范围是( ) A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 第II卷（非选择题） 二、填空题（本题有6小题，每题4分，共24分） 11. 因式分解：___________ 12. 如图，的对角线相交于点O，过点O，且点E，H在边上，点G，F在边上，向内部投掷飞镖，飞镖恰好落在阴影区域的概率为______． 13. 如图，一个半径长为1厘米的半圆面，将它沿直线作顺时针方向翻动，翻动一周，那么圆心所经过的路程是______厘米． 14. 已知、是一元二次方程两个实数根，则的值是______． 15. 如图，直线与轴交于点，与轴交于点，在△内作等边三角形，使它的一边在轴上，一个顶点在边上，作出的第个等边三角形是△，第个等边三角形是△，第3个等边三角形是，…则第2024个等边三角形的边长等于______． 16. 二次函数为常数，且经过，一次函数经过，一次函数经过．已知，，其中为整数，则的值为______． 三、解答题（本题有8小题，第17～19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共66分） 17. （1）计算：； （2）化简：． 18. 下面是小明用配方法解一元二次方程的过程，请认真阅读并完成相应的任务． 解：移项，得，……第一步 二次项系数化为1，得，……第二步 配方，得，……第三步 由此可得，……第四步 所以，，．……第五步 （1）小明同学的解答过程，从第________步开始出现错误； （2）请你写出正确的解答过程． 19. 如图，正方形的外接圆为，点P在劣弧上（不与点C重合）． （1）求的度数； （2）若的半径为8，求正方形的边长． 20. 为了解中学生的视力情况，某区卫健部门决定随机抽取本区部分初、高中学生进行调查，并对他们的视力数据进行整理，得到如下统计表和统计图． 初中学生视力情况统计表 视力 人数 百分比 0.6及以下 8 0.7 16 8% 0.8 28 14% 0.9 34 17% 1.0 m 34% 11及以上 46 n 合计 200 （1）_______，_______． （2）被调查的高中学生视力情况的样本容量为______； （3）分析处理 ①小胡说；“初中学生的视力水平比高中学生的好．”请你对小胡的说法进行判断，并选择一个能反映总体的统计量说明理由； ②约定：视力未达到1.0为视力不良．若该区有15000名初中生，估计该区有多少名初中生视力不良？ 21. 如图是一名军事迷设计的潜水望远镜，，，两个反光镜，直线之间的距离为，．与平行的一束光线经两个反光镜反射后沿射出，其中．（参考值：，，，，，） （1）当G、A、I三点共线时，求反光镜的长度；（结果保留一位小数） （2）已知米，求点A到直线的距离． 22. 阅读与思考：下面是小姜同学写一篇数学学习笔记，请认真阅读并完成相应的任务： 正方形中相等的线段 如图1，在正方形中，如果点E、F分别在上，且，垂足为M，那么与相等吗？证明你的结论． 对于上面的问题，我是这样思考的： （1）：______． 反思1：对于两个端点分别在正方形一组对边上的线段，若这样的两条线段互相垂直，那么这两条线段是否仍然相等呢？ 对此可以做进一步探究： 如图2，在正方形中，如果点E、F、G、H分别在上，且，垂足为M，那么与相等吗？证明你的结论． （2）：______． 反思2：对于两个端点分别在正方形一组对边上线段，若这样的两条线段相等，那么这两条线段是否一定垂直呢？ 对此可以画图说明： 如图3，在正方形中，如果点E、F、G、H分别在上，且，那么与垂直吗？证明你的结论． （3）：______． 任务： （1）完成笔记中的“我是这样思考的”； （2）回答笔记中反思1的问题，并证明； （3）回答笔记中反思2的问题，在图3中画图并简要说明． 23. 图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于点，与轴交于点． （1）求这个二次函数的解析式． （2）如图，二次函数图象的对称轴与直线交于点，若点是直线上方抛物线上的一个动点，求面积的最大值． （3）如图，点是直线上的一个动点，过点的直线与平行，则在直线上是否存在点，使点与点关于直线对称？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 24. （1）如图① ，在三角形纸片中，，，，将折叠，使点与点重合，折痕为，求的长． （2）如图②，在三角形纸片中，，，将折叠，使点与点重合，折痕为，求的值． （3）如图③，在三角形纸片中，，，，将沿过顶点的直线折叠，使点落在边上的点处，折痕为． ①求线段的长； ②若点是边的中点，点为线段上的一个动点，将沿折叠得到，点的对应点为点，与交于点，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $