21.2.3因式分解法（七大题型提分练）-【上好课】2024-2025学年九年级数学上册同步精品课堂（人教版）

21.2.3解一元二次方程（4）因式分解法 （七大题型提分练） 题型一、用因式分解法解方程 1．（23-24九年级上·安徽亳州·期中）关于的一元二次方程的根是（    ） A． B．0 C．1和2 D．和2 【答案】D 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，先移项，然后利用因式分解法解方程即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴或， 解得或， 故选：D． 2．（2024·陕西渭南·二模）方程的解是 ． 【答案】， 【分析】本题考查了解一元二次方程中的因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法． 直接利用因式分解法解方程即可． 【详解】解：， 或， 所以， 故答案为：， 3．（21-22九年级上·全国·课前预习）因式分解法解方程： （1）； （2） 【答案】（1），；（2）， 【详解】（1）因式分解，得：， 得：或， ，． （2）化为一般式为：， 因式分解，得： 得：或， ，． 4．（23-24九年级上·浙江杭州·期中）解方程： (1). (2)； 【答案】(1)或 (2)或 【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是运用因式分解法来解答. （1）先把方程的右边化为，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，即可求出结果. （2）先把方程的右边化为，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，即可求出结果. 【详解】（1）解： , 即:或, ∴或； （2）解：, , , 即: 或, ∴或． 题型二、用指定方法解方程 5．（23-24九年级下·山东烟台·期中）用指定的方法解方程： (1)（用配方法） (2)（用公式法） (3)（用因式分解法） (4)（用适当的方法） 【答案】(1)， (2) (3) (4) 【分析】本题考查了解一元二次方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）运用配方法解方程，先移项再配方，然后开方即可作答． （2）先化为一般式，再根据算出，以及代入进行化简，即可作答． （3）先移项，再提取公因式，令每个因式为0，进行解出的值，即可作答． （4）先移项，再提取公因式，令每个因式为0，进行解出的值，即可作答． 【详解】（1）解： 移项，得 配方，得，即 ∴ 解得，； （2）解： ∴ 解得； （3）解： 则 解得； （4）解： ∴ 解得． 题型三、用适当的方法解方程 6．（23-24九年级上·安徽淮北·阶段练习）用适当的方法解下列方程． (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解一元二次方程； （1）先化为一般形式，然后根据因式分解法解一元二次方程； （2）根据因式分解法解一元二次方程，即可求解． 【详解】（1）解： ∴ ∴ ∴或 解得： （2）解： ∴ ∴ ∴ ∴或 解得： 7．（23-24九年级下·山东淄博·期中）用适当的方法解下列方程： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解一元二次方程； （1）根据配方法解一元二次方程； （2）先将方程整理成右边为0的等式，再结合因式分解法解题． 【详解】（1）解：， ∴， ∴， ∴， 解得：； （2）解：， ∴， ∴， ∴或， 解得：． 8．（19-20九年级上·浙江杭州·期末）选择适当方法解方程： (1)． (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查了解一元二次方程，能把一元二次方程转化成一元一次方程是解题的关键． （1）方程两边都除以2，再开方，求出方程的解即可； （2）先利用提取公因式法把方程的左边分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可． 【详解】（1）解：， 方程两边同除以2，得：， 开方，得：， 解得：，； （2）解：， ， ， 或， 解得：，． 题型四、用因式分解法解含绝对值的方程 9．（23-24九年级上·重庆江津·期中）阅读下面的例题，回答问题： 例：解方程： 令，原方程化成 解得（不合题意，舍去） 原方程的解是． 请模仿上面的方法解方程： 【答案】 【分析】本题主要考查了换元法解一元二次方程，令，则原方程化为，解方程得到，则，据此求解即可． 【详解】解：令，则原方程化为， ∴， 解得或（不合题意，舍去）， ∴， ∴， 解得． 题型七 、用换元法解方程 10．（23-24九年级下·江苏连云港·期中）三角形两边的长是4和9，第三边满足方程，则三角形周长为 ． 【答案】23 【分析】本题考查了解一元二次方程及三角形三边关系，熟练掌握三角形的三边关系是解题的关键． 解一元二次方程，并用三角形的三边关系得出第三边，再利用三角形的周长即可求解． 【详解】解：， 解得：，， 由，则 4、9、14不能构成三角形； 由， 则4、9、10能构成三角形，则三角形周长为． 故答案为：23． 11．（23-24九年级上·甘肃武威·期中）方程的两个根是等腰三角形的底和腰，则这个等腰三角形周长是 ． 【答案】10 【分析】本题考查了解一元二次方程，等腰三角形的定义，以及三角形三条边的关系．先求出方程的根，再分类讨论，确定是否符合题意． 【详解】解：解方程，得，， 当2为腰，4为底时，不能构成等腰三角形； 当4为腰，2为底时，能构成等腰三角形，周长为． 故答案为10． 12．（23-24九年级上·重庆·阶段练习）已知关于的一元二次方程，其中a，b，c分别是的三边的长度． (1)如果是等边三角形，求这个一元二次方程的根； (2)如果是以为斜边的直角三角形，判断这个一元二次方程根的情况，并说明理由． 【答案】(1) (2)原方程有两个不相等的实数解，理由见解析 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，解一元二次方程，勾股定理； （1）根据是等边三角形，得出，进而解一元二次方程，即可求解； （2）根据勾股定理得出，进而计算一元二次方程根的判别式，即可求解． 【详解】（1）解：∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴ 即， 解得：； （2）解：原方程有两个不相等的实数解 理由：∵是以为斜边的直角三角形， ∴，， ∴ ∵， ∴ ∴原方程有两个不相等的实数解 题型六、一元二次方程的新定义问题 13．（2024·浙江杭州·一模）在实数范围内定义一种新运算“※”，其运算规则为．根据这个规则，方程的解是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】根据新定义，列出常规式的方程，解答即可． 本题考查了新定义的应用、解一元二次方程，正确理解定义，建立方程是解题的关键． 【详解】∵ ，， ∴， 整理，得， 解得或， 故选C． 14．（23-24九年级上·广西河池·期末）对于实数a，b定义运算“※”为，例如，则关于x的方程的解是（    ） A． B． C．， D．， 【答案】D 【分析】本题主要考查了解一元二次方程．根据新运算可得方程，再利用因式分解法解答，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 整理得：， 解得：，． 故选：D 15．（21-22九年级上·湖南郴州·期中）阅读材料：对于任何实数，我们规定符号的意义是 例如：， (1)按照这个规定请你计算的值； (2)按照这个规定请你计算：当时，的值； (3)当的值为13时，求x的值． 【答案】(1) (2)5 (3)，． 【分析】本题考查解一元二次方程，理解“新定义”的运算方法是正确解答的前提． （1）根据提供的方法进行计算即可； （2）解方程得到，根据提供的方法得到，再把代入计算即可． （2）根据提供的方法得到，即，解方程即可． 【详解】（1）解：； （2）解：∵， ∴， 解得， ∴ ； （3）解：由题意得， 即， 整理得， 解得，． 题型五、因式分解法与三角形问题 16．（23-24九年级上·河南周口·阶段练习）已知为实数，且满足，则的值是（    ） A．6 B．30 C．36 D．12 【答案】B 【分析】此题考查换元法解一元二次方程，将所求式子看做一个整体是解题的关键．将看成一个整体，不妨设为，则原式可变形为，因式分解法解方程，由为非负值，即可确定答案． 【详解】解：令， 由， 得， ∴或， 又∵， ∴， 即． ∴， 故选B． 17．（23-24九年级上·江苏南京·阶段练习）换元法解方程： 解：设，则原方程可化为，解得：当时，，解得 当时，，解得 ∴原方程的根是， 请根据以上材料解方程：． 【答案】 【分析】设，则原方程可化为，解得的值，即可得到原方程的根； 【详解】解：设，则原方程可化为 解得∶ 当时，，解得 当时，，方程无解 原方程的根是． 【点睛】本题主要考查了运用换元法解一元二次方程，解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法． 18．（20-21九年级上·江苏扬州·阶段练习）“换元法”是解方程的一种重要的方法，利用“换元法”解方程，往往达到化繁为简的效果，例如：解方程，我们可以令，则原方程可化为，先解出t，然后再还原解出x． （1）解方程，令，原方程可化为 ； （2）若实数满足，则 ； （3）若实数x满足，求的值． 【答案】（1）；（2）3；（3）为4或． 【分析】（1）根据材料变形替换即可； （2）利用换元法，令，求出其值，再代入问题中求解即可； （3）利用换元法，令，求出其值，再代入求值即可． 【详解】（1）原方程为，令，则原方程化为； （2）令，原方程化为，解得， 又，，，即， ； （3）令，原方程化为， 解得，，即：或， 则或 原式的值为4或． 【点睛】本题考查了换元法解一元二次方程，读懂材料意思并灵活运用是解题的关键，换元之后要注意新元的取值范围． 19．（23-24九年级上·广东汕头·期中）“通过等价变换，化陌生为熟悉，化未知为已知”是数学学习中解决问题的基本思维方式，例如：解方程，就可以利用该思维方式，设，将原方程转化为：这个熟悉的关于y的一元二次方程，解出y，再求x，这种方法又叫“换元法”．请你用这种思维方式和换元法解决下面的问题： (1)解方程：； (2)解方程：． 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）设，则可把原方程转化为，再利用因式分解解方程，再把的值代入，再解方程并检验即可； （2）设，原方程可变形为：， 利用因式分解的方法求解，再代入，再解方程即可． 【详解】（1）解：设， 则原方程转化为， 解得，，， ∵， ∴不合题意，舍去， ∴，即， 解得，，． （2）设， 原方程可变形为：， 因式分解为：． ∴或，    ∴或， 对于方程，解得，， 对于方程，∵， ∴此方程无解， ∴原方程的解为：，． 【点睛】本题考查的是利用换元法解方程，一元二次方程的解法，熟练的进行换元是解本题的关键． 1．（2024·江苏宿迁·三模）若使分式的值为0，则a的值为（   ） A．或1 B．或 C． D．或 【答案】C 【分析】本题主要考查了分式方程为零的条件、解一元二次方程等知识点，掌握分式为零的条件成为解题的关键． 先根据分式列不等式组，然后再解一元二次方程和不等式组即可． 【详解】解：∵， ∴，解得：． 故选Ｃ． 2．（23-24九年级下·湖南郴州·期中）方程不相等的实数根的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】本题考查解一元二次方程，将作为一个整体，解方程，再根据根的判别式，进行判断，即可得出结果． 【详解】解：∵， ∴， ∴或， 当时，，方程由两个相等的实数根； 当时，，方程没有实数根； 故选A． 3．（2024·安徽阜阳·三模）定义新运算，如，则方程的解是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握解一元二次方程的方法和步骤． 根据题意，将原方程化为，再将方程化为一般式，最后用因式分解法求解即可． 【详解】解：根据题意可得：， ， ∵， ∴， 整理得：， 解得：，， 故选：B． 4．（2024·浙江·模拟预测）如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另外一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”．以下关于倍根方程的说法：①方程是倍根方程；②若p，q满足，则关于x的方程是倍根方程；③若是倍根方程，则．其中正确的个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】本题考查解一元二次方程，新定义的倍根方程的意义，理解倍根方程的意义和正确求出方程的解是解决问题的关键． ①求出方程的解，再判断是否为倍根方程； ②当p，q满足，则，求出两个根，再根据代入可得两个根之间的关系，进而判断是否为倍根方程； ③根据倍根方程和其中一个根，可求出另一个根，进而得到m、n之间的关系，然后代入验证即可判断． 【详解】解：①解方程 ， ∴或， 解得，，，得，， 方程不是倍根方程； 故①不正确； ②∵，则：， ，， ， 因此是倍根方程， 故②正确； ③若是倍根方程，， 因此或， 当时，， 当时，， ， 故③正确； 故选：C． 5．（2024·浙江·三模）若方程有一个解为，则方程的解为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，解一元二次方程，根据题意得出，进而解方程，即可求解． 【详解】解：∵方程有一个解为， ∴ ∴ 即 ∴ 解得： 故答案为：． 6．（2024·上海徐汇·三模）如果实数x满足，那么的值是 ． 【答案】3 【分析】本题主要考查了用换元法解一元二次方程、解分式方程，利用完全平方公式把方程变形是解题的关键． 利用完全平方公式把方程变形为，利用换元法，设，则，转化为解一元二次方程，求出可能的值，分别得出分式方程，计算检验是否有解，即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ， 设，则， 因式分解得：， ∴或， 解得：或， 当时，则， 整理得：， ∴， 解得：，， 经检验，，都是方程的解， ∴的值为； 当时，则， 整理得：， ， ∴时，方程无解． 综上所述，的值为， 故答案为：． 7．（2024·河北沧州·二模）如图，是一个闭环运算游戏，即：给x一个值，把它代入中得到一个y值，再把得到的y值代入中，又求出一个新的x值．如：把代入中得到；再把代入中求得． （1）把代入中，最后求出的x值为 ； （2）小明发现，给x一个整数并把它代入中后，最后求出的x值竟然是它自身，这个整数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了解一元二次方程，和分式方程． （1）根据题意运算法则计算即可求解； （2）设这个数为，依题意得，解一元二次方程求得整数解即可． 【详解】解：（1）把代入中，， 再把代入中，求得； 经检验是原方程的解， 故答案为：； （2）设这个数为，依题意得， 整理得， 解得（舍去），， 故答案为：． 8．（2024·四川广元·二模）根据图中数字的规律，若第 n个图中的，则p的值为 ． 【答案】100 【分析】本题主要考查了数字类的规律探索，解一元二次方程，观察可知第k个图左上角的数为，右下角的数为，由此可得方程，解方程求出，则． 【详解】解：第1个图左上角的数为1，右下角的数为， 第2个图左上角的数为，右下角的数为， 第3个图左上角的数为1，右下角的数为， 第4个图左上角的数为，右下角的数为， ……， 以此类推可得，第k个图左上角的数为，右下角的数为， ∵第 n个图中的， ∴， 解得或（舍去）， ∴， 故答案为：100． 9．（23-24九年级下·山东淄博·期中）解方程： (1)． (2)． 【答案】(1)，； (2)，． 【分析】（）利用配方法解答即可求解； （）移项提取公因式，利用因式分解法解答即可求解 本题考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， 即， ∴， ∴，； （2）解：移项提取公因式得，， 因式分解得，， ∴或， ∴，． 10．（2024·宁夏银川·二模）下面是小明用因式分解法解一元二次方程的过程，请仔细阅读，并完成相应的问题． 解一元二次方程： 解：原方程可以化为：第一步 两边同时除以得：第二步 系数化为1，得：第三步 任务： (1)小明的解法是不正确的，他从第_________步开始出现了错误； (2)请你继续用因式分解法完成这个方程的正确解题过程． 【答案】(1)二 (2)或，过程见解析 【分析】本题考查了解一元二次方程——因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法． （1）第二步不符合等式的性质； （2）先移项得到，再利用因式分解法把方程转化为或，然后解两个一次方程． 【详解】（1）解：他从第二步开始出现了错误， 故答案为：二； （2）解： 或， 解得：或． 11．（2024·四川达州·一模）阅读下列材料：我们发现，关于x的一元二次方程，如果的值是一个完全平方数时，一元二次方程的根不一定都为整数，但是如果一元二次方程的根都为整数，的值一定是一个完全平方数． 定义：两根都为整数的一元二次方程称为“全整根方程”，代数式的值为该“全整根方程”的“最值码”，用表示，即；若另一关于x的一元二次方程也为“全整根方程”，其“最值码”记为，当满足时，则称一元二次方程是一元二次方程的“全整根伴侣方程”． (1)“全整根方程”的“最值码”是______； (2)关于x的一元二次方程（m为整数、且）是“全整根方程”，请求出该方程的“最值码”； (3)若关于x的一元二次方程是（m，n均为正整数）的“全整根伴侣方程”，求的值． 【答案】(1) (2)方程的“最值码”为； (3) 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式以及“全整根方程”的定义，理解新定义的含义是解本题的关键． （1）直接利用新定义计算即可； （）通过的取值范围确定根的判别式的范围，继而根据“整数根”特点确定根的判别式的取值，最后结合为整数确定取值，按照“最值码”定义求解即可； （）依次求出方程和的“最值码”，根据“全整根伴侣方程”的定义列得方程，结合，均为正整数即可求解；读懂题目中“全整根方程”的“最值码”及“全整根伴侣方程”的定义是解题的关键． 【详解】（1）解：“全整根方程”的“最值码”是 ； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵是“全整根方程”， ∴是完全平方数， 即是完全平方数， ∴或或， 解得或或， ∵为整数， ∴， 当时，方程化为 ， ∴； ∴方程的“最值码”为； （3）解：方程的“最值码”为 ， 方程的“最值码”为 ， ∵是的“全整根伴侣方程”， ∴， 即， 整理得，， ∴， 即， ∵，均为正整数， ∴， ∴， ∴． ( 1 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 21.2.3解一元二次方程（4）因式分解法 （七大题型提分练） 题型一、用因式分解法解方程 1．（23-24九年级上·安徽亳州·期中）关于的一元二次方程的根是（    ） A． B．0 C．1和2 D．和2 2．（2024·陕西渭南·二模）方程的解是 ． 3．（21-22九年级上·全国·课前预习）因式分解法解方程： （1）； （2） 4．（23-24九年级上·浙江杭州·期中）解方程： (1). (2)； 题型二、用指定方法解方程 5．（23-24九年级下·山东烟台·期中）用指定的方法解方程： (1)（用配方法） (2)（用公式法） (3)（用因式分解法） (4)（用适当的方法） 题型三、用适当的方法解方程 6．（23-24九年级上·安徽淮北·阶段练习）用适当的方法解下列方程． (1)． (2)． 7．（23-24九年级下·山东淄博·期中）用适当的方法解下列方程： (1) (2) 8．（19-20九年级上·浙江杭州·期末）选择适当方法解方程： (1)． (2)． 题型四、用因式分解法解含绝对值的方程 9．（23-24九年级上·重庆江津·期中）阅读下面的例题，回答问题： 例：解方程： 令，原方程化成 解得（不合题意，舍去） 原方程的解是． 请模仿上面的方法解方程： 题型五、因式分解法与三角形问题 10．（23-24九年级下·江苏连云港·期中）三角形两边的长是4和9，第三边满足方程，则三角形周长为 ． 11．（23-24九年级上·甘肃武威·期中）方程的两个根是等腰三角形的底和腰，则这个等腰三角形周长是 ． 12．（23-24九年级上·重庆·阶段练习）已知关于的一元二次方程，其中a，b，c分别是的三边的长度． (1)如果是等边三角形，求这个一元二次方程的根； (2)如果是以为斜边的直角三角形，判断这个一元二次方程根的情况，并说明理由． 题型六、一元二次方程的新定义问题 13．（2024·浙江杭州·一模）在实数范围内定义一种新运算“※”，其运算规则为．根据这个规则，方程的解是（    ） A． B． C．或 D．或 14．（23-24九年级上·广西河池·期末）对于实数a，b定义运算“※”为，例如，则关于x的方程的解是（    ） A． B． C．， D．， 15．（21-22九年级上·湖南郴州·期中）阅读材料：对于任何实数，我们规定符号的意义是 例如：， (1)按照这个规定请你计算的值； (2)按照这个规定请你计算：当时，的值； (3)当的值为13时，求x的值． 题型七 、用换元法解方程 16．（23-24九年级上·河南周口·阶段练习）已知为实数，且满足，则的值是（    ） A．6 B．30 C．36 D．12 17．（23-24九年级上·江苏南京·阶段练习）换元法解方程： 解：设，则原方程可化为，解得：当时，，解得 当时，，解得 ∴原方程的根是， 请根据以上材料解方程：． 18．（20-21九年级上·江苏扬州·阶段练习）“换元法”是解方程的一种重要的方法，利用“换元法”解方程，往往达到化繁为简的效果，例如：解方程，我们可以令，则原方程可化为，先解出t，然后再还原解出x． （1）解方程，令，原方程可化为 ； （2）若实数满足，则 ； （3）若实数x满足，求的值． 19．（23-24九年级上·广东汕头·期中）“通过等价变换，化陌生为熟悉，化未知为已知”是数学学习中解决问题的基本思维方式，例如：解方程，就可以利用该思维方式，设，将原方程转化为：这个熟悉的关于y的一元二次方程，解出y，再求x，这种方法又叫“换元法”．请你用这种思维方式和换元法解决下面的问题： (1)解方程：； (2)解方程：． 1．（2024·江苏宿迁·三模）若使分式的值为0，则a的值为（   ） A．或1 B．或 C． D．或 2．（23-24九年级下·湖南郴州·期中）方程不相等的实数根的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．（2024·安徽阜阳·三模）定义新运算，如，则方程的解是（    ） A．， B．， C．， D．， 4．（2024·浙江·模拟预测）如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另外一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”．以下关于倍根方程的说法：①方程是倍根方程；②若p，q满足，则关于x的方程是倍根方程；③若是倍根方程，则．其中正确的个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 5．（2024·浙江·三模）若方程有一个解为，则方程的解为 ． 6．（2024·上海徐汇·三模）如果实数x满足，那么的值是 ． 7．（2024·河北沧州·二模）如图，是一个闭环运算游戏，即：给x一个值，把它代入中得到一个y值，再把得到的y值代入中，又求出一个新的x值．如：把代入中得到；再把代入中求得． （1）把代入中，最后求出的x值为 ； （2）小明发现，给x一个整数并把它代入中后，最后求出的x值竟然是它自身，这个整数是 ． 8．（2024·四川广元·二模）根据图中数字的规律，若第 n个图中的，则p的值为 ． 9．（23-24九年级下·山东淄博·期中）解方程： (1)． (2)． 10．（2024·宁夏银川·二模）下面是小明用因式分解法解一元二次方程的过程，请仔细阅读，并完成相应的问题． 解一元二次方程： 解：原方程可以化为：第一步 两边同时除以得：第二步 系数化为1，得：第三步 任务： (1)小明的解法是不正确的，他从第_________步开始出现了错误； (2)请你继续用因式分解法完成这个方程的正确解题过程． 11．（2024·四川达州·一模）阅读下列材料：我们发现，关于x的一元二次方程，如果的值是一个完全平方数时，一元二次方程的根不一定都为整数，但是如果一元二次方程的根都为整数，的值一定是一个完全平方数． 定义：两根都为整数的一元二次方程称为“全整根方程”，代数式的值为该“全整根方程”的“最值码”，用表示，即；若另一关于x的一元二次方程也为“全整根方程”，其“最值码”记为，当满足时，则称一元二次方程是一元二次方程的“全整根伴侣方程”． (1)“全整根方程”的“最值码”是______； (2)关于x的一元二次方程（m为整数、且）是“全整根方程”，请求出该方程的“最值码”； (3)若关于x的一元二次方程是（m，n均为正整数）的“全整根伴侣方程”，求的值． ( 1 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$