21.2.1配方法（第2课时，12大题型提分练）-【上好课】2024-2025学年九年级数学上册同步精品课堂（人教版）

21.2.1解一元二次方程(2)配方法（十二大题型提分练） 题型一 、配方的过程及正确的结果 1．（23-24八年级下·山东淄博·期中）用配方法解下列方程，其中应在方程两边同时加上4的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·山东济南·期中）用配方法解一元二次方程，配方正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24八年级下·广西百色·期中）用配方法解方程时，配方结果正确的是（    ） A． B． C． D． 题型二、由配方的过程求参数的值 4．（2024九年级·全国·竞赛）将方程变形为后，下列结论正确的是（    ）． A．， B．， C．， D．， 5．（23-24九年级上·云南怒江·阶段练习）用配方法解一元二次方程，可将方程变形为的形式，则n的值是 6．（23-24九年级上·北京密云·期末）用配方法解一元二次方程时，将原方程配方成的形式，则k的值为 ． 题型三、由配方的过程求代数式的值 7．（2024·山东聊城·二模）用配方法解一元二次方程时，将它化为的形式，则的值为（    ） A．3 B．0 C． D． 8．（23-24九年级上·贵州贵阳·期中）已知一元二次方程转化成形式，则原方程可转化为 ． 9．（23-24九年级上·四川成都·期中）把方程化成的形式，则的值是 ． 10．（23-24九年级上·福建泉州·期中）已知实数满足，则 ． 题型四、利用配方法解方程 11．（21-22九年级上·全国·课前预习）配方法解一元二次方程 12．（23-24九年级上·全国·课后作业）用配方法解下列方程： (1)； (2)； (3)． 13．（23-24九年级上·全国·课后作业）用配方法解下列方程： (1)； (2)． 题型五、配方法解方程的具体步骤出错问题 14．（22-23九年级上·全国·课后作业）下面是小明同学解一元二次方程的过程，请认真阅读并完成相应任务． 解： 第一步 第二步 第三步 第四步 第五步 所以， 第六步 任务一：填空：上述小明同学解此一元二次方程的方法是________，依据的一个数学公式是________；第________步开始出现错误； 任务二：请你直接写出该方程的正确解． 15．（16-17九年级上·全国·课后作业）嘉淇同学用配方法推导一元二次方程的求根公式时，对于的情况，她是这样做的： 由于a≠0，方程变形为： ……第一步 ……第二步 ……第三步 ，……第四步 ……第五步 (1)嘉淇的解法从第______步开始出现错误；事实上，当时，方程的求根公式是______； (2)用配方法解方程：． 题型六、配方法与代数式大小比较问题 16．（23-24九年级下·河北邯郸·期中）老师在黑板上给出一道题：“已知A为整式，且”． (1)求整式A； (2)嘉淇说：“整式A的值不可能是正数．”请结合（1）的结果分析嘉淇的说法是否正确． 17．（2024·河北石家庄·一模）（1）发现，比较4m与 的大小， 填“>” “<”或“=”： 当时， ； 当时， ； 当时， ； （2）论证，无论m取什么值，判断4m与有怎样的大小关系?试说明理由； （3）拓展，试通过计算比较．与的大小． 题型七 、配方法与最值问题 18．（23-24九年级上·山西吕梁·期末）阅读与思考 【阅读材料】配方法是数学中非常重要的一种思想方法，它是指将一个式子或其某一部分通过恒等变形，化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法，这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决问题． 【知识运用】 周末，明明同学在复习配方法后，他对代数式进行了配方，发现，明明发现是一个非负数，即，他继续探索，利用不等式的基本性质得到，即，所以，他得出结论是的最小值是2，即的最小值是2．明明同学又进行了尝试，发现求一个二次三项式的最值可以用配方法，他自己设计了两个题，请你解答． （1）求代数式的最小值； （2）求代数式的最值． 19．（23-24九年级上·广东佛山·阶段练习）阅读材料：我们都知道． 于是， ． 又因为，所以，，，． 所以，有最大值． 如图，某农户准备用长米的铁栅栏，一边利用墙，其余边用铁栅栏围成长方形羊圈和一个边长为1米的正方形狗屋．设米． (1)请用含x的代数式表示的长 （直接写出结果）； (2)设山羊活动范围即图中阴影部分的面积为S平方米，请用含x的代数式表示S；（写出过程） (3)求出山羊活动范围面积S的最大值． 题型八、利用配方法求三角形的周长 20．（23-24九年级上·江西九江·阶段练习）（1）用配方法解方程：； （2）已知、、是的三边长，且满足，求的周长． 21．（23-24九年级上·四川内江·阶段练习）先阅读，再解答：由阅读材料：利用公式法，可以将一些形如的多项式变形为的形式，我们把这样的变形方法叫做多项式的配方法，运用多项式的配方法可以解决一些数学问题．比如运用多项式的配方法及平方差公式能对一些多项式进行因式分解． 例： 根据以上材料，利用多项式的配方解答下列问题： (1)分解因式：； (2)求多项式的最小值； (3)已知是的三边长，且满足，求的周长． 题型九、配方法与三角形形状问题 22．（23-24九年级上·甘肃张掖·阶段练习）已知关于x的一元二次方程，其中a，b，c分别为三边的长． (1)如果 是方程的根，试判断的形状，并说明理由； (2)如果方程有两个相等的实数根，试判断的形状，并说明理由； (3)如果是等边三角形，试求这个一元二次方程的根． (4)试用配方法求出代数式的最小值． 题型十、配方法与几何面积问题 23．（23-24九年级上·福建泉州·阶段练习）阅读下面内容：我们已经学习了《二次根式》和《乘法公式》，聪明的你可以发现：当，时，∵，∴，当且仅当时取等号．请利用上述结论解决以下问题： (1)当时，则的最小值为______； (2)）若，求y的最小值． (3)如图，四边形的对角线相交于点O，、的面积分别为4和9，求四边形面积的最小值．    24．（23-24九年级上·广东佛山·阶段练习）如图1，四边形是证明勾股定理时用到的一个图形，a，b，c是和边长，易知，这时我们把关于x的形如的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”． 请解决下列问题：    (1)写出一个“勾系一元二次方程”； (2)求证：关于x的“勾系一元二次方程”必有实数根； (3)如图1，若是“勾系一元二次方程”的一个根，且四边形的周长是，求面积； 题型十一、配方法与新定义问题 25．（23-24九年级上·广东汕头·阶段练习）阅读材料：配方法是数学中一种重要的思想方法，它是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方公式的和的方法．这种方法被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题． 我们定义：一个整数能表示成（a，b是整数）的形式，则称这个数为“完美数”， 例如5是“完美数”，理由． 解决问题： (1)数53（    ）“完美数”（填是或不是） 问题探究： (2)已知，则（    ） (3)已知（x，y，k都是整数）要使得S为“完美数”试求出符合条件的k值． 题型十二、配方法与材料阅读综合问题 26．（23-24九年级上·福建泉州·阶段练习）已知，为两个正实数，，，即：，当且仅当“”时，等号成立．我们把叫做正数，的算术平均数，把叫做正数，的几何平均数，于是上述不等式可表述为：两个正数的算术平均数不小于（即大于或等于）它们的几何平均数．它在数学中有广泛的应用，是解决最值问题的有力工具．示例：当时，求的最小值； 解：，当，即时，的最小值为3． (1)探究：当时，求的最小值； (2)知识迁移：随着人们生活水平的提高，汽车已成为越来越多家庭的交通工具，假设某种汽车的购车费用为10万元，每年应缴保险费等各类费用共计0.4万元，年的保养，维修费用总和为万元，问这种汽车使用多少年报废最合算（即使用多少年的年平均费用最少，年平均费用所有费用：年数）？最少年平均费用为多少万元？ (3)创新应用：如图，在直角坐标系中，直线经点，与坐标轴正半轴相交于，两点，当的面积最小时，求直线的表达式．    27．（20-21九年级上·福建厦门·期中）古希腊数学家丢番图（公元250年前后）在《算术》中就提到了一元二次方程的问题，不过当时古希腊人还没有寻求到它的求根公式.只能用图解等方法来求解.在欧几里得的《几何原本》中，形如的方程的图解法是：如图，以和为两直角边作，再在斜边上截取，则AD的长就是所求方程的一个解．    (1)若，，求图中线段AD的长，并验证线段AD的长是方程的一个解． (2)现在我们知道一元二次方程若有实数解都有两个，若图中线段AD的长为m，那么方程的一个解记为，请探究该方程的另一个解是否也可用图中相关线段的长来表示?若可以，请用相关线段的长表示另一个解，若不可以，请说明理由． 1．（21-22九年级上·新疆乌鲁木齐·阶段练习）一元二次方程可以转化为两个一元一次方程，若其中一个一元一次方程为，则另一个一元一次方程为（   ） A． B． C． D． 2．（21-22九年级上·天津红桥·期末）若一元二次方程的较小根为，则下面对的值估计正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（21-22九年级上·河南南阳·期中）已知方程x2－6x＋q＝0配方后是（x－p）2＝7，那么方程x2＋6x＋q＝0配方后是（    ） A．（x＋p）2＝7 B．（x＋p）2＝5 C．（x－p）2＝7 D．（x－p）2＝5 4．（2016九年级·全国·竞赛）设实数，，满足，则的最大值为（    ） A． B． C． D．1 5．（20-21八年级下·浙江·期中）已知实数满足，且，则下列结论正确的是（    ）． A．或 B． C． D． 6．（20-21九年级上·湖南益阳·期末）将一元二次方程化成（、为常数）的形式，则、的值分别是 ． 7．（2021·江西南昌·一模）若实数a、b满足a2﹣8a+5＝0，b2﹣8b+5＝0，则a+b的值 ． 8．（20-21九年级上·全国·课后作业）关于x的一元二次方程（是常数，）配方后为（d是常数），则 ． 9．（18-19八年级·上海·课后作业）的三边分别为、、，若，，按边分类，则是 三角形 10．（19-20九年级上·湖南株洲·期中）对于任意实数a，b，定义a*b=a(a+b)+b，已知a*4=25，则实数a的值是 ． 11．（2024·江西景德镇·二模）小明在学习了用配方法解一元二次方程后，解方程的过程如下： (1)小明的解题过程从第__________步开始出现了错误； (2)请利用配方法正确地解方程． 12．（2024·湖南·模拟预测）已知整式． (1)将整式分解因式； (2)求证：若取整数，则能被整除． 13．（23-24九年级上·四川内江·阶段练习）已知对于任意实数a、b，都有，特别地，当a、b都为正数时，有． (1)已知，y的最小值为______； (2)已知，的最大值为______； (3)x，y都是正数，，求的最小值． 14．（23-24九年级上·湖北黄冈·阶段练习）阅读材料题：我们知道，所以代数式的最小值为．学习了多项式乘法中的完全平方公式，可以逆用公式，即来求一些多项式的最小值． 例如，求的最小值问题． 解：∵， 又∵， ∴， ∴的最小值为． 请应用上述思想方法，解决下列问题： (1)代数式有最大还是最小值呢？尝试求出这个最值； (2)应用：若与，试比较与的大小． 15．（22-23八年级下·浙江宁波·期中）我们已经学习了利用配方法解一元二次方程，其实配方法还有其他重要应用例如：已知可取任何实数，试求二次三项式的最小值． 解：； 无论取何实数，都有， ，即的最小值为． 【尝试应用】（1）请直接写出的最小值______ ； 【拓展应用】（2）试说明：无论取何实数，二次根式都有意义； 【创新应用】（3）如图，在四边形中，，若，求四边形的面积最大值．    ( 1 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 21.2.1解一元二次方程(2)配方法（十二大题型提分练） 题型一 、配方的过程及正确的结果 1．（23-24八年级下·山东淄博·期中）用配方法解下列方程，其中应在方程两边同时加上4的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程的问题，掌握配方法的应用是解题的关键． 【详解】解：A、应在方程左右两边同时加上1，故不符题意； B、应在方程左右两边同时加上4，故符题意； C、原方程移项得，应在方程左右两边同时加上1，故不符题意； D、应在方程左右两边同时加上1，故不符题意； 故答案为：B． 2．（23-24八年级下·山东济南·期中）用配方法解一元二次方程，配方正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法是解答本题的关键．根据配方法的步骤变形即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 故选C． 3．（23-24八年级下·广西百色·期中）用配方法解方程时，配方结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了配方法求解一元二次方程，解题的关键是掌握配方法求解一元二次方程的步骤．根据配方法的步骤，求解即可． 【详解】解： 移项得： 配方得： 即 故选：B 题型二、由配方的过程求参数的值 4．（2024九年级·全国·竞赛）将方程变形为后，下列结论正确的是（    ）． A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】本题考查了解一元二次方程配方法：熟练掌握用配方法解一元二次方程的步骤是解决问题的关键．先移项，然后把方程两边加上1，再把方程左边写成完全平方的形式，从而得到、的值． 【详解】解：， 移项得：， 配方得：， 即， ∴，． 故选：B． 5．（23-24九年级上·云南怒江·阶段练习）用配方法解一元二次方程，可将方程变形为的形式，则n的值是 【答案】6 【分析】本题考查配方法解一元二次方程．利用完全平方法则对等式左边进行配方即可得到本题答案． 【详解】解： 移项，可得 配方，可得，即 ∴n的值是6， 故答案为：6． 6．（23-24九年级上·北京密云·期末）用配方法解一元二次方程时，将原方程配方成的形式，则k的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查配方法解一元二次方程．利用完全平方法则对等式左边进行配方即可得到本题答案． 【详解】解：， 配方得：， 整理得：， ∵即为形式， ∴， 故答案为：． 题型三、由配方的过程求代数式的值 7．（2024·山东聊城·二模）用配方法解一元二次方程时，将它化为的形式，则的值为（    ） A．3 B．0 C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了配方法解一元二次方程，先把常数项移到方程右边，再把方程两边同时加上一次项系数一半的平方进行配方，据此求出m、n的值即可得到答案． 【详解】解： ， ∴， ∴， 故选：D． 8．（23-24九年级上·贵州贵阳·期中）已知一元二次方程转化成形式，则原方程可转化为 ． 【答案】 【分析】本题考查了解一元二次方程的应用，先移项，再配方，即可得出答案，解此题的关键是熟练掌握一元二次方程的解法． 【详解】解：， ， ， ， 故答案为：． 9．（23-24九年级上·四川成都·期中）把方程化成的形式，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了用配方法解一元二次方程，先把常数项移到方程右边，再把方程两边同时加上一次项系数一半的平方进行配方求出m、n的值，然后代值计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 10．（23-24九年级上·福建泉州·期中）已知实数满足，则 ． 【答案】2 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程．运用整体的思想是解题的关键． 由，整理得，即，然后求解作答即可． 【详解】解：∵， ∴，整理得， ∴， 解得，， 故答案为：2． 题型四、利用配方法解方程 11．（21-22九年级上·全国·课前预习）配方法解一元二次方程 【答案】原方程无实数根 【详解】移项，得：， 二次项系数化为1，得：， 配方，得：， 即， 原方程无实数根 12．（23-24九年级上·全国·课后作业）用配方法解下列方程： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)，； (2)，； (3)，． 【分析】（1）先将方程两边同时加上9，进而直接开平方即可求解； （2）先将常数项移到方程的右边，然后方程两边同时加上2，进而直接开平方即可求解； （3）把常数项移到右边，并将两边同除以4，得，然后配方，即可求解． 【详解】（1）（1）∵， ∴，即， 则． ∴， 即，； （2）∵， ∴， 即． 两边开平方，得， ∴，； （3）把常数项移到右边，并将两边同除以4，得， 配方，得， 即． 开平方得． 解得，． 【点睛】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握配方法解一元二次方程是解题的关键． 13．（23-24九年级上·全国·课后作业）用配方法解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)原方程无实数根 (2)， 【分析】（1）将常数项移到方程右边，左边化的形式，方程右边小于0，故无解； （2）将方程化为，开平方求解； 【详解】（1）原方程为， 则， ∴， ∴原方程无实数根； （2）原方程为， ∴， ∴， ∴， ∴，即，． 【点睛】本题考查配方法求解一元二次方程；根据等式性质，将方程化为是解题的关键． 题型五、配方法解方程的具体步骤出错问题 14．（22-23九年级上·全国·课后作业）下面是小明同学解一元二次方程的过程，请认真阅读并完成相应任务． 解： 第一步 第二步 第三步 第四步 第五步 所以， 第六步 任务一：填空：上述小明同学解此一元二次方程的方法是________，依据的一个数学公式是________；第________步开始出现错误； 任务二：请你直接写出该方程的正确解． 【答案】任务一：配方法；完全平方公式，二；任务二，， 【分析】任务一：根据题意∶ 小明同学解此一元二次方程的方法是配方法，依据的一个数学公式是完全平方公式，在第二步配方时，方程右边忘记加上； 任务二：根据配方法解一元二次方程的步骤进行判断和计算即可． 【详解】解：任务一：由题意可知，上述小明同学解此一元二次方程的方法是配方法，依据的一个数学公式是完全平方公式， 在第二步配方时，根据等式的基本性质，方程两边都应加上， ∴第二步开始出现错误， 故答案是：配方法，完全平方公式，二； 任务二：解：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，． 【点睛】本题主要考查了配方法解一元二次方程，熟练掌握运算法则和步骤是解题的关键． 15．（16-17九年级上·全国·课后作业）嘉淇同学用配方法推导一元二次方程的求根公式时，对于的情况，她是这样做的： 由于a≠0，方程变形为： ……第一步 ……第二步 ……第三步 ，……第四步 ……第五步 (1)嘉淇的解法从第______步开始出现错误；事实上，当时，方程的求根公式是______； (2)用配方法解方程：． 【答案】(1)四，； (2)． 【分析】（1）观察嘉淇同学解方程的步骤，找出出错的地方，写出正确的求根公式即可； （2）方程利用配方法求出解即可． 【详解】（1）由于a≠0，方程变形为： ……第一步 ……第二步 ……第三步 ，……第四步 ……第五步 ∴嘉淇的解法从第四步开始出现错误；当时，方程的求根公式是． 故答案为：四， （2）， 移项得：x2﹣2x＝24， 配方得：，即， 开方得：， 解得：． 【点睛】此题考查了解一元二次方程－配方法，熟练掌握配方法是解本题的关键． 题型六、配方法与代数式大小比较问题 16．（23-24九年级下·河北邯郸·期中）老师在黑板上给出一道题：“已知A为整式，且”． (1)求整式A； (2)嘉淇说：“整式A的值不可能是正数．”请结合（1）的结果分析嘉淇的说法是否正确． 【答案】(1)； (2)嘉淇的说法正确． 【分析】本题考查整式的加减，配方法的应用．解答本题的关键是明确去括号法则和合并同类项的方法． （1）根据，去括号，合并同类项即可求解； （2）利用完全平方公式把整式A配方成，据此求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ， ， ， 即整式A的值总小于或等于0，不可能是正数， 嘉淇的说法正确． 17．（2024·河北石家庄·一模）（1）发现，比较4m与 的大小， 填“>” “<”或“=”： 当时， ； 当时， ； 当时， ； （2）论证，无论m取什么值，判断4m与有怎样的大小关系?试说明理由； （3）拓展，试通过计算比较．与的大小． 【答案】（1），，；（2）总有，理由见解析；（3） 【分析】此题考查了配方法的应用，不等式的性质，用到的知识点是不等式的性质、完全平方公式、非负数的性质，关键是根据两个式子的差比较出数的大小． （1）当时，当时，当时，分别代入计算，再进行比较得出结论填空即可； （2）根据，即可得出无论取什么值，判断与有； （3）拓展：先求出，再判断的正负，即可做出判断． 【详解】解：（1）①当时，，，则， ②当时，，，则， ③当时，，，则． 故答案为：；；； （2）无论取什么值，判断与有， 理由如下： ， 无论取什么值，总有； （3）拓展： ， 故． 题型七 、配方法与最值问题 18．（23-24九年级上·山西吕梁·期末）阅读与思考 【阅读材料】配方法是数学中非常重要的一种思想方法，它是指将一个式子或其某一部分通过恒等变形，化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法，这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决问题． 【知识运用】 周末，明明同学在复习配方法后，他对代数式进行了配方，发现，明明发现是一个非负数，即，他继续探索，利用不等式的基本性质得到，即，所以，他得出结论是的最小值是2，即的最小值是2．明明同学又进行了尝试，发现求一个二次三项式的最值可以用配方法，他自己设计了两个题，请你解答． （1）求代数式的最小值； （2）求代数式的最值． 【答案】（1）1；（2）5． 【分析】本题考查配方法的应用以及非负数的性质，属于基础题，掌握方法是关键． （1）将变形为即可解决； （2）将变形为即可． 【详解】解：（1） ， 的最小值是1； （2）， 的最大值是5. 19．（23-24九年级上·广东佛山·阶段练习）阅读材料：我们都知道． 于是， ． 又因为，所以，，，． 所以，有最大值． 如图，某农户准备用长米的铁栅栏，一边利用墙，其余边用铁栅栏围成长方形羊圈和一个边长为1米的正方形狗屋．设米． (1)请用含x的代数式表示的长 （直接写出结果）； (2)设山羊活动范围即图中阴影部分的面积为S平方米，请用含x的代数式表示S；（写出过程） (3)求出山羊活动范围面积S的最大值． 【答案】(1) (2) (3)山羊活动范围面积S的最大值是平方米 【分析】此题考查了配方法的应用、列代数式等知识，数形结合是解题的关键． （1）根据得到，整理即可得到答案； （2）根据列出代数式即可； （3）先得到，再根据题中的方法即可得到答案． 【详解】（1）依题意得 ∵， ∴， ∴； 故答案为：； （2）依题意得：， ∴， ∴； （3） 又因为，， ∴， ∴， 所以，山羊活动范围面积S的最大值是平方米． 题型八、利用配方法求三角形的周长 20．（23-24九年级上·江西九江·阶段练习）（1）用配方法解方程：； （2）已知、、是的三边长，且满足，求的周长． 【答案】（1），；（2）． 【分析】（1）根据配方法解一元二次方程即可得到答案； （2）根据一次项的系数将原式中常数项50拆分，分别与二次项构成完全平方式，从而分别配成完全平方，结合非负性分别求解即可． 【详解】解：（1）， 移项得：， 配方得：，即， 直接开平方得：， ∴一元二次方程的解为，； （2）， ， 即：， ． ∴的周长为． 【点睛】本题考查利用配方法解一元二次方程，利用配方法配成完全平方以及非负数的性质，熟练掌握配方法解一元二次方程的方法是解题关键． 21．（23-24九年级上·四川内江·阶段练习）先阅读，再解答：由阅读材料：利用公式法，可以将一些形如的多项式变形为的形式，我们把这样的变形方法叫做多项式的配方法，运用多项式的配方法可以解决一些数学问题．比如运用多项式的配方法及平方差公式能对一些多项式进行因式分解． 例： 根据以上材料，利用多项式的配方解答下列问题： (1)分解因式：； (2)求多项式的最小值； (3)已知是的三边长，且满足，求的周长． 【答案】(1) (2)多项式的最小值为 (3)的周长为12 【分析】本题考查了因式分解的应用、非负数的性质，理解题意，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键． （1）根据阅读材料中的方法分解即可； （2）根据阅读材料中的方法将多项式变形，求出最小值即可； （3）原式配方后，利用非负数的性质求出、、的值，即可得出答案． 【详解】（1）解：； （2）解：， ， ， 的最小值为； （3）解：， ， ， ∴，，， 故的周长为． 题型九、配方法与三角形形状问题 22．（23-24九年级上·甘肃张掖·阶段练习）已知关于x的一元二次方程，其中a，b，c分别为三边的长． (1)如果 是方程的根，试判断的形状，并说明理由； (2)如果方程有两个相等的实数根，试判断的形状，并说明理由； (3)如果是等边三角形，试求这个一元二次方程的根． (4)试用配方法求出代数式的最小值． 【答案】(1)是等腰三角形； (2)是直角三角形； (3)，； (4)； 【分析】（1）将代入方程求解即可得到答案； （2）根据一元二次方程有两个相等的实数根判别式等于0列式求解即可得到答案； （3）根据等边三角形得到，代入求解即可得到答案； （4）配方，结合完全平方的非负性直接求解即可得到答案； 【详解】（1）解：∵是一元二次方程的根， ∴， 即：， 解得：， ∴是等腰三角形； （2）解：∵方程有两个相等的实数根， ∴， 即：， ∴， ∴是直角三角形； （3）解：∵三角形是等边三角形， ∴， ∴原方程变形得：， ∴， 解得：，； （4）解：由题意可得， 原式， ∵， ∴， ∴， 答：的最小值是； 【点睛】本题考查一元二次方程的解，一元二次方程的根与判别式的关机及配方法求代数式的最值问题，解题的关键是熟练掌握一元二次方程有两个相等实数根判别式等于0及代数式的配方． 题型十、配方法与几何面积问题 23．（23-24九年级上·福建泉州·阶段练习）阅读下面内容：我们已经学习了《二次根式》和《乘法公式》，聪明的你可以发现：当，时，∵，∴，当且仅当时取等号．请利用上述结论解决以下问题： (1)当时，则的最小值为______； (2)）若，求y的最小值． (3)如图，四边形的对角线相交于点O，、的面积分别为4和9，求四边形面积的最小值．    【答案】(1)2； (2)y最小值为4； (3)25． 【分析】（1）当时，按照公式（当且仅当时取等号）来计算即可； （2）将的分子分别除以分母，展开，将含的项用题中所给公式求得最小值，再加上常数即可； （3）设，已知，，则由等高三角形可知：，用含的式子表示出，四边形的面积用含的代数式表示出来，再按照题中所给公式求得最小值，加上常数即可． 【详解】（1）当时，，当且仅当时取等号， 当时，的最小值为2． 故答案为：2； （2）由， ， ， 当且仅当，即当时取等号， 当时，y最小值为4； （3）设，已知， 则由等高三角形可知： ， 四边形面积， 当且仅当时取等号，即四边形面积的最小值为25． 【点睛】本题考查了配方法在最值问题中的应用，同时本题还考查了分式化简和等高三角形的性质，本题难度中等略大，属于中档题． 24．（23-24九年级上·广东佛山·阶段练习）如图1，四边形是证明勾股定理时用到的一个图形，a，b，c是和边长，易知，这时我们把关于x的形如的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”． 请解决下列问题：    (1)写出一个“勾系一元二次方程”； (2)求证：关于x的“勾系一元二次方程”必有实数根； (3)如图1，若是“勾系一元二次方程”的一个根，且四边形的周长是，求面积； 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）直接找一组勾股数代入方程即可； （2）通过判断根的判别式的正负来证明结论； （3）利用根的意义和勾股定理作为相等关系先求得的值，再根据完全平方公式求得的值，从而可求得面积． （4）如图，由，，过作于，可得，，D在线段上，利用勾股定理可得，由，再证明即可． 【详解】（1）解：当，，时勾系一元二次方程为； （2）证明：， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴勾系一元二次方程必有实数根； （3）当时，有，即， ∵四边形的周长是， ∴，即， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴ ∴， ∴． 题型十一、配方法与新定义问题 25．（23-24九年级上·广东汕头·阶段练习）阅读材料：配方法是数学中一种重要的思想方法，它是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方公式的和的方法．这种方法被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题． 我们定义：一个整数能表示成（a，b是整数）的形式，则称这个数为“完美数”， 例如5是“完美数”，理由． 解决问题： (1)数53（    ）“完美数”（填是或不是） 问题探究： (2)已知，则（    ） (3)已知（x，y，k都是整数）要使得S为“完美数”试求出符合条件的k值． 【答案】(1)是 (2)1 (3)． 【分析】（1）把53分为两个整数的平方和，即可； （2）已知等式利用完全平方公式配方后，根据非负数的性质求出x与y的值，即可求出的值； （3）根据S为“完美数”，利用完全平方公式配方，确定出k的值即可． 【详解】（1）解：根据题意得：． 故答案为：是； （2）解：已知等式变形得：， 即， ∵， ∴， 解得：， 则：． 故答案为：1； （3）解：当时，S为“完美数”，理由如下： ， ∵S是完美数， ∴是完全平方式， ∴． 【点睛】本题考查了配方法的应用，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． 题型十二、配方法与材料阅读综合问题 26．（23-24九年级上·福建泉州·阶段练习）已知，为两个正实数，，，即：，当且仅当“”时，等号成立．我们把叫做正数，的算术平均数，把叫做正数，的几何平均数，于是上述不等式可表述为：两个正数的算术平均数不小于（即大于或等于）它们的几何平均数．它在数学中有广泛的应用，是解决最值问题的有力工具．示例：当时，求的最小值； 解：，当，即时，的最小值为3． (1)探究：当时，求的最小值； (2)知识迁移：随着人们生活水平的提高，汽车已成为越来越多家庭的交通工具，假设某种汽车的购车费用为10万元，每年应缴保险费等各类费用共计0.4万元，年的保养，维修费用总和为万元，问这种汽车使用多少年报废最合算（即使用多少年的年平均费用最少，年平均费用所有费用：年数）？最少年平均费用为多少万元？ (3)创新应用：如图，在直角坐标系中，直线经点，与坐标轴正半轴相交于，两点，当的面积最小时，求直线的表达式．    【答案】(1)5 (2)10年；2.5万元 (3) 【分析】（1）直接利用可得结论； （2）先求解年平均保养费用，利用可得结论； （3）设直线为：，用含的代数式表示的坐标，求解的面积，利用求解面积最小值时的值，据此求解即可． 【详解】（1）解：， ， 当，即时，的最小值为5； （2）解：由题意得：， 年平均费用． 当时， ， 即时，这种汽车使用10年报废最合算，最少年平均费用为2.5万元； （3）解：设直线为：， 把代入解析式得：， ， 直线为：， 令，， ， 令， ， ， ， 由题意知：， ， 由题意得：， ． 当时，即时，最小， 直线为：． 【点睛】本题考查的是自定义题，同时考查了求解代数式的最小值及其应用，考查了利用待定系数法求解一次函数的解析式，仔细弄懂题意是解题的关键． 27．（20-21九年级上·福建厦门·期中）古希腊数学家丢番图（公元250年前后）在《算术》中就提到了一元二次方程的问题，不过当时古希腊人还没有寻求到它的求根公式.只能用图解等方法来求解.在欧几里得的《几何原本》中，形如的方程的图解法是：如图，以和为两直角边作，再在斜边上截取，则AD的长就是所求方程的一个解．    (1)若，，求图中线段AD的长，并验证线段AD的长是方程的一个解． (2)现在我们知道一元二次方程若有实数解都有两个，若图中线段AD的长为m，那么方程的一个解记为，请探究该方程的另一个解是否也可用图中相关线段的长来表示?若可以，请用相关线段的长表示另一个解，若不可以，请说明理由． 【答案】(1)，验证见解析 (2)不可以表示，理由见解析 【分析】（1）根据题意进行计算求得，再将代入方程验证即可； （2）根据配方法进行求解，表示出两根，可得另一根为负数，线段的长不能表示负数，故不可以用图中相关线段的长来表示另一根． 【详解】（1）解：∵，， ∴，， ∴， 当， 则，， ∴是方程的一个解． （2）解：在中， ， ∵， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴， ∵是正根，是负根， ∴无法用图中线段的长来表示另一个解． 【点睛】本题考查配方法求解一元二次方程以及勾股定理，读懂题中的方法是解题的关键． 1．（21-22九年级上·新疆乌鲁木齐·阶段练习）一元二次方程可以转化为两个一元一次方程，若其中一个一元一次方程为，则另一个一元一次方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】运用配方法将原方程转化为，运用直接开平方法可以转化为两个一元一次方程即可． 【详解】解：∵， ∴，即 ∴， ∴或 ∴另一个一元一次方程为 故选：C 【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． 2．（21-22九年级上·天津红桥·期末）若一元二次方程的较小根为，则下面对的值估计正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出方程的解，求出方程的最小值，即可求出答案． 【详解】x2-2x-1=0， x2-2x+1=2，即（x-1）2=2， ∴x=1±， ∴方程的最小值是1-， ∵1＜＜2， ∴-2＜-＜-1， ∴1-2＜1-＜-1+1， ∴-1＜1-＜0， ∴-1＜x1＜0， 故选：A． 【点睛】本题考查了求一元二次方程的解和估算无理数的大小的应用，关键是求出方程的解和能估算无理数的大小． 3．（21-22九年级上·河南南阳·期中）已知方程x2－6x＋q＝0配方后是（x－p）2＝7，那么方程x2＋6x＋q＝0配方后是（    ） A．（x＋p）2＝7 B．（x＋p）2＝5 C．（x－p）2＝7 D．（x－p）2＝5 【答案】A 【分析】根据完全平方公式展开，求出p的值，再代入求出即可． 【详解】解：∵方程x26x+q=0配方后是（xp）2=7， ∴x22px+p2=7， ∴6=2p， 解得：p=3， 即（x3）2=7， ∴x26x+97=0， ∴q=2， 即（x+3）2=7， 即（x+p）2=7， 故选：A． 【点睛】本题考查了解一元二次方程，能够正确配方是解此题的关键． 4．（2016九年级·全国·竞赛）设实数，，满足，则的最大值为（    ） A． B． C． D．1 【答案】C 【详解】 ， 当且仅当，时，取等号，故． 故选：C． 5．（20-21八年级下·浙江·期中）已知实数满足，且，则下列结论正确的是（    ）． A．或 B． C． D． 【答案】D 【分析】根据，利用完全平方公式把式子变形，然后进行判断即可. 【详解】解：∵ ∴ ∴ ∴或（舍去） ∵， ∴ ∴ ∴ ∴ 故选D. 【点睛】本题主要考查了完全平方公式和平方的非负性，解题的关键在于会利用完全平方公式进行变形判断求解. 6．（20-21九年级上·湖南益阳·期末）将一元二次方程化成（、为常数）的形式，则、的值分别是 ． 【答案】-4，21 【分析】将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后即可得出答案． 【详解】解：∵x2-8x-5=0， ∴x2-8x=5， 则x2-8x+16=5+16，即（x-4）2=21， ∴a=-4，b=21， 故答案为：-4，21． 【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． 7．（2021·江西南昌·一模）若实数a、b满足a2﹣8a+5＝0，b2﹣8b+5＝0，则a+b的值 ． 【答案】8或 【分析】分类讨论：当a＝b，解方程易得原式＝8±2；当a≠b，可把a、b可看作方程x2﹣8x+5＝0的两根，然后根据根与系数的关系求解． 【详解】解：当a＝b时， 由a2﹣8a+5＝0解得a＝4±， ∴a+b＝8±2； 当a≠b时， a、b可看作方程x2﹣8x+5＝0的两根， ∴a+b＝8． 故答案为8或8±2． 【点睛】本题主要考查解一元二次方程以及根与系数的关系，能够对a、b进行分类讨论是解题关键． 8．（20-21九年级上·全国·课后作业）关于x的一元二次方程（是常数，）配方后为（d是常数），则 ． 【答案】 【分析】利用配方法得到，然后与比较可得的值． 【详解】解：配方后可得， ， ， 故答案为． 【点睛】本题考查了解一元二次方程-配方法：将一元二次方程配成（x+m）2=n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法． 9．（18-19八年级·上海·课后作业）的三边分别为、、，若，，按边分类，则是 三角形 【答案】等腰 【分析】将，代入中得到关系式，利用完全平方公式变形后，根据非负数的性质求出a与c的值，进而求出b的值，即可确定出三角形形状． 【详解】解：∵ ∴ ， ∴， ∴， 即， 整理得：， ∵，， ∴，即；，即， ∴， 则△ABC为等腰三角形． 故答案是：等腰． 【点睛】此题考查了配方法的应用，非负数的性质，以及等腰三角形的判定，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． 10．（19-20九年级上·湖南株洲·期中）对于任意实数a，b，定义a*b=a(a+b)+b，已知a*4=25，则实数a的值是 ． 【答案】3或-7 【分析】利用先定义得到a（a+4）+4=25，把方程左边展开，配方得到（a+2）2=25，然后利用直接开平方法解方程即可． 【详解】∵a*4=25, ∴a(a+4)+4=25, ∴a²+4a+4=25, ∴(a+2)²=25, ∴a+2=±5, ∴a₁=3,a₂=-7. 故答案为3或-7． 【点睛】本题考查了解一元二次方程-配方法：将一元二次方程配成（x+m）2=n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法． 11．（2024·江西景德镇·二模）小明在学习了用配方法解一元二次方程后，解方程的过程如下： (1)小明的解题过程从第__________步开始出现了错误； (2)请利用配方法正确地解方程． 【答案】(1)二 (2)， 【分析】本题考查了用配方法解一元二次方程． （1）根据等式的性质判断②错误； （2）移项，二次项系数化成1，配方，开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可． 【详解】（1）解：上述过程中，从第二步开始出现了错误， 故答案为：二； （2）解：， 移项，得， ， 配方，得，即， ∴， ∴，． 12．（2024·湖南·模拟预测）已知整式． (1)将整式分解因式； (2)求证：若取整数，则能被整除． 【答案】(1)； (2)证明见解析． 【分析】（）利用配方法把配成一个完全平方式，再利用平方差公式因式分解即可； （）利用（）的结果即可求证； 本题考查了因式分解及其应用，掌握因式分解的方法是解题的关键． 【详解】（1）解：       ， ， ； （2）证明：取整数， 和均为整数， 又由（）可知，， 能被整除． 13．（23-24九年级上·四川内江·阶段练习）已知对于任意实数a、b，都有，特别地，当a、b都为正数时，有． (1)已知，y的最小值为______； (2)已知，的最大值为______； (3)x，y都是正数，，求的最小值． 【答案】(1)7 (2)3 (3)的最小值为11 【分析】（1）把原式变形为，再利用题干所给不等式变形即可； （2）由得，代入，利用配方法求解即可； （3）设，则，代入并整理得：，利用根的判别式得，然后转化为一元一次不等式组求解即可． 【详解】（1）， ∵，则， ∴， 故答案为：7； （2）∵，则， 则， 故答案为：3； （3）设，则， 将y的表达式代入并整理得：， 则， 整理得，， ∴， ∴或， 解得：（舍去）或， 故的最小值为11． 【点睛】本题考查了不等式的性质，配方法的应用，一元二次方程根的判别式，以及求不等式组的解集，熟练掌握根的判别式是解答本题的关键． 14．（23-24九年级上·湖北黄冈·阶段练习）阅读材料题：我们知道，所以代数式的最小值为．学习了多项式乘法中的完全平方公式，可以逆用公式，即来求一些多项式的最小值． 例如，求的最小值问题． 解：∵， 又∵， ∴， ∴的最小值为． 请应用上述思想方法，解决下列问题： (1)代数式有最大还是最小值呢？尝试求出这个最值； (2)应用：若与，试比较与的大小． 【答案】(1)有最小值，这个最值为 (2) 【分析】（1）根据配方法，对式子进行配方，求解即可； （2）用作差法求得的范围，然后判断即可． 【详解】（1）解： 又∵， ∴， ∴的最小值为 （2）解：∵， ∵， ∴， ∴ ∴ 【点睛】此题考查了配方法的应用，解题的关键是掌握完全平方公式进行配方求解． 15．（22-23八年级下·浙江宁波·期中）我们已经学习了利用配方法解一元二次方程，其实配方法还有其他重要应用例如：已知可取任何实数，试求二次三项式的最小值． 解：； 无论取何实数，都有， ，即的最小值为． 【尝试应用】（1）请直接写出的最小值______ ； 【拓展应用】（2）试说明：无论取何实数，二次根式都有意义； 【创新应用】（3）如图，在四边形中，，若，求四边形的面积最大值．    【答案】（1）；（2）见解析；（3） 【分析】（1）利用配方法把变形为，然后根据非负数的性质可确定代数式的最小值； （2）利用配方法得到，则可判断，然后根据二次根式有意义的条件可判断无论取何实数，二次根式都有意义； （3）利用三角形面积公式得到四边形的面积，由于，则四边形的面积，利用配方法得到四边形的面积，然后根据非负数的性质解决问题． 【详解】解：（1） ， 无论取何实数，都有， ，即的最小值为； 故答案为：； （2）， ， ， 无论取何实数，二次根式都有意义； （3）， 四边形的面积， ， ， 四边形的面积 ， 当，四边形的面积最大，最大值为． 【点睛】本题考查了配方法的应用：利用配方法把二次式变形为一个完全平方式和常数的和，然后利用非负数的性质确定代数式的最值． ( 35 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$