第2讲 数列通项和求和归纳（十大题型）-2023-2024学年高二数学下学期《考点•题型•密卷》期末精讲与精练（人教A版2019）

第2讲 数列通项和求和归纳 【复习目录】 一、Sn和关系法求数列通项 二、累加法求数列通项 三、累乘法求数列通项 四、构造法求数列通项 五、证明等差数列 六、证明等比数列 七、裂项相消法 八、错位相减法 九、分组（并项）求和法 十、含绝对值的等差数列的前n项和 【题型归纳】 题型一、Sn和关系法求数列通项 1．（20-21高二下·山西吕梁·期中）已知数列的前项和为，且，则数列的通项公式为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·吉林长春·期末）已知数列的前项和,则数列的通项公式为 . 3．（21-22高二上·江苏盐城·期中）等差数列的前项和，等比数列的前项和，（其中、为实数）则的值为 . 题型二、累加法求数列通项 4．（23-24高二上·福建漳州·期末）数列满足，且，则数列的通项公式 ． 5．（23-24高二上·山东滨州·期末）已知数列中，，则 . 6．（23-24高二上·上海·期末）若数列满足，则的通项公式是 ． 题型三、累乘法求数列通项 7．（23-24高二上·广东河源·期末）已知正项数列满足，则 . 8．（23-24高二上·黑龙江牡丹江·期末）已知数列满足，，，则 ． 9．（22-23高二上·黑龙江哈尔滨·期中）数列满足，，则 ． 题型四、构造法求数列通项 10．（23-24高三下·四川·期末）若数列的前n项和为，，，则数列的通项公式为 ． 11．（23-24高二上·湖南长沙·期末）在数列中，，则 . 12．（22-23高二上·上海杨浦·期末）数列的首项，且（为正整数），令，则 . 题型五、证明等差数列 13．（2023·广东广州·二模）在数列中，，，若，则正整数 ． 14．（22-23高三上·江苏南通·期中）记为数列的前项和，已知对任意的，，且存在，，则的取值集合为 （用列举法表示） 15．（2023·河南新乡·模拟预测）已知数列的前项和为，（），且，.若恒成立，则实数的取值范围为 . 题型六、证明等比数列 16．（19-20高二下·广西玉林·期末）等差数列的公差为d，前n项和为Sn，对于常数m∈N*，则数列 为等差数列，公差为m2d.类似地，等比数列的公比为q，前n项积为Tn，则数列为等比数列，公比为 . 17．（19-20高三上·江苏泰州·期末）已知数列满足，则＝ . 18．（22-23高二上·江苏盐城·期末）对于数列，若集合为有限集，则称数列为“好数列”.若“好数列”满足，则 ． 题型七、裂项相消法 19．（23-24高二下·内蒙古·期末）在数列中，，，且. (1)证明：是等差数列. (2)求的通项公式. (3)求数列的前项和. 20．（23-24高二上·河南洛阳·期末）已知数列的前项和为，，，． (1)求数列的通项公式； (2)令，求数列的前项和． 题型八、错位相减法 21．（23-24高二上·河北石家庄·期末）已知数列满足. (1)证明：数列为等差数列，并求数列的通项公式； (2)记数列的前n项和为，求． 22．（23-24高二上·湖南长沙·期末）在数列中，. (1)证明：数列为常数列. (2)若，求数列的前项和，并证. 题型九、分组（并项）求和法 23．（23-24高二上·河北衡水·期末）在数列中，，且. (1)若，证明：数列是等比数列； (2)求数列的前项和． 24．（23-24高二上·河北石家庄·期末）已知正项数列前n项和为，且满足. (1)求数列的通项公式； (2)若数列满足，求数列的前项和. 题型十、含绝对值的等差数列的前n项和 25．（23-24高二上·江苏镇江·期末）记数列的前n项和为，对任意满足：，且． (1)求数列的通项公式； (2)若，，求的值． 26．（21-22高二上·天津东丽·期末）已知为等差数列的前项和，已知. (1)求数列的通项公式； (2)令.求 (3)令，前项和为，求 【专题强化】 一、单选题 27．（23-24高二上·四川成都·期末）若数列满足，，则的值为（    ） A． B． C． D． 28．（23-24高二上·河北石家庄·期末）设数列满足，则（    ） A． B． C． D． 29．（23-24高二上·福建福州·期末）数列的一个通项公式为（    ） A． B． C． D． 30．（23-24高二上·湖北武汉·期末）已知数列的前项和为，且，设，若数列是递增数列，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 31．（23-24高二上·福建三明·期末）已知数列，的前n项和分别为，若，，，则（    ） A．150 B．100 C．200 D．5050 32．（23-24高二上·山东济南·期末）2023年10月29日，“济南泉城马拉松”在济南大明湖路拉开序幕，约3万名选手共聚一堂，在金秋十月享受了一场酣畅淋漓的马拉松盛会．某赞助商在沿途设置了10个饮水补给站，第一个补给站准备了1千瓶饮用水，第二站比第一站多2千瓶，第三站比第二站多3千瓶，以此类推，第n站比第站多n千瓶（且），第10站准备的饮用水的数量为（    ） A．45千瓶 B．50千瓶 C．55千瓶 D．60千瓶 33．（23-24高二上·北京海淀·期末）已知数列的前项和为，满足，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C．数列的前项和为 D．数列是递增数列 34．（23-24高二上·河北邯郸·期末）已知数列中，且，则数列的前项和（    ） A． B． C． D． 35．（23-24高二上·广东深圳·期末）符号表示不超过实数的最大整数，如，．数列满足，，．若，为数列的前项和，则（    ） A． B． C． D． 二、多选题 36．（23-24高二上·安徽宣城·期末）已知等差数列满足，前3项和，则（    ） A．数列的通项公式为 B．数列的公差为 C．数列的前项和为 D．数列的前20项和为56 37．（23-24高二上·江苏连云港·期末）已知数列的前项和为，且，，，则（    ） A． B． C． D．为奇数时， 38．（23-24高二下·全国·期末）已知数列的首项为4，且满足，则（    ） A．为等差数列 B．为递增数列 C．的前项和 D．的前项和 39．（23-24高二上·福建泉州·期末）已知分别是数列的前项和，，，则（    ） A． B． C． D． 40．（23-24高二上·河南洛阳·期末）数列满足，，数列的前项和为，且，则下列正确的是（    ） A．是数列中的项 B．数列是首项为，公比为的等比数列 C．数列的前项和 D．数列的前项和 三、填空题 41．（23-24高二上·河南洛阳·期末）已知数列的前项的积为，且，则满足的最小正整数的值为 ． 42．（23-24高二上·江苏常州·期末）已知等差数列的公差不为，其前项和为，且、、成等比数列，则 ． 43．（23-24高二上·福建泉州·期末）已知是数列的前项和，，且，，，则 . 44．（23-24高二上·福建福州·期末）已知数列的前项和为，且满足，若数列的前项和满足恒成立，则实数的取值范围为 ． 45．（23-24高二上·福建福州·期末）若数列的前项和为，，则称数列是数列的“均值数列”．已知数列是数列的“均值数列”且，设数列的前项和为，若对恒成立，则实数的取值范围为 ． 四、解答题 46．（2024·安徽合肥·三模）设数列的前项和为，已知，是公差为2的等差数列． (1)求的通项公式； (2)若，设数列的前项和，求证：． 47．（2024·天津·一模）已知数列的前项和为，，，数列为正项等比数列，，是与的等差中项. (1)求和的通项公式： (2)若，求数列的前项和； (3)设，求数列的前项和. 48．（23-24高二上·浙江杭州·期末）已知数列满足，． (1)证明：对任意的成立． (2)记，求数列的前项和． (3)证明：． 49．（23-24高三上·江西·期末）已知等比数列的首项，公比为，的项和为且，，成等差数列. (1)求的通项： (2)若，，求的前项和. 50．（23-24高二上·山西运城·期末）已知数列的前n项和为，，其中． (1)求数列的通项公式； (2)设，数列的前n项和，若对任意且，恒成立，求实数的取值范围． 51．（23-24高二上·浙江杭州·期末）已知数列的前项和为，满足，数列满足，． (1)求数列、的通项公式； (2)，求数列的前项和； 52．（23-24高二上·河北邢台·期末）已知等差数列满足. (1)求的通项公式； (2)设，数列的前项和为，证明：. 53．（23-24高三上·安徽池州·期末）已知正项数列的前n项和为． (1)求数列的前n项和； (2)令，求数列的前9项之和． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第2讲 数列大题 【复习目录】 一、Sn和关系法求数列通项 二、累加法求数列通项 三、累乘法求数列通项 四、构造法求数列通项 五、证明等差数列 六、证明等比数列 七、裂项相消法 八、错位相减法 九、分组（并项）求和法 十、含绝对值的等差数列的前n项和 【题型归纳】 题型一、Sn和关系法求数列通项 1．（20-21高二下·山西吕梁·期中）已知数列的前项和为，且，则数列的通项公式为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将，相减得出，再由的关系得出通项公式. 【详解】当时， 当时，① ② 由①②得，即 （经验证时也成立） 故 故选：D 2．（23-24高二上·吉林长春·期末）已知数列的前项和,则数列的通项公式为 . 【答案】 【分析】根据前项和表达式，通过分类讨论，当时，当时，利用，即可求出数列的通项公式. 【详解】在数列中，， 当时，， 当时，， ∵， ∴， 故答案为：. 3．（21-22高二上·江苏盐城·期中）等差数列的前项和，等比数列的前项和，（其中、为实数）则的值为 . 【答案】 【分析】根据前项和与通项的关系求出数列、的通项公式，可求得、的值，即可得解. 【详解】当时，，. 当时，， ， 因为数列为等差数列，则，可得， 因为数列为等比数列，则，可得. 因此，. 故答案为：. 题型二、累加法求数列通项 4．（23-24高二上·福建漳州·期末）数列满足，且，则数列的通项公式 ． 【答案】 【分析】累加法求数列通项公式. 【详解】 ，该通式对也适用， 所以答案为：. 5．（23-24高二上·山东滨州·期末）已知数列中，，则 . 【答案】 【分析】利用累加法计算出数列的通项公式，等式右边求和为裂项相消. 【详解】由题意可知：，，，， 将上述个式子相加可得：，则，所以 故答案为： 6．（23-24高二上·上海·期末）若数列满足，则的通项公式是 ． 【答案】 【分析】利用累加法，结合等差数列的求和公式即可得解. 【详解】因为， 所以，，…，，， 所以 ，， 又也满足上式，所以. 故答案为：. 题型三、累乘法求数列通项 7．（23-24高二上·广东河源·期末）已知正项数列满足，则 . 【答案】 【分析】由递推公式可得，再由累乘法即可求得结果. 【详解】由可得， 由累乘可得. 故答案为： 8．（23-24高二上·黑龙江牡丹江·期末）已知数列满足，，，则 ． 【答案】128 【分析】由题意，根据等比数列的定义可知数列是首项为，公比为4的等比数列，由等比数列的通项公式可得，利用累乘法求得，令，计算即可求解. 【详解】由题意知，，即，又， 所以数列是首项为，公比为4的等比数列， 所以， 当时，， 所以. 故答案为：128 9．（22-23高二上·黑龙江哈尔滨·期中）数列满足，，则 ． 【答案】 【分析】利用累乘法求得正确答案. 【详解】 ， 也符合上式， 所以. 故答案为： 题型四、构造法求数列通项 10．（23-24高三下·四川·期末）若数列的前n项和为，，，则数列的通项公式为 ． 【答案】 【分析】根据给定条件，结合变形等式，再构造常数列求出通项. 【详解】数列中，，当时，， 两式相减得，即，则有， 因此数列是常数列，则， 所以数列的通项公式为. 故答案为： 11．（23-24高二上·湖南长沙·期末）在数列中，，则 . 【答案】 【分析】根据等差数列的定义可知数列为首项为1公差为1的等差数列，结合通项公式求出，进而利用裂项相消法求和即可. 【详解】由得，又， 则数列为首项为1，公差为1的等差数列，所以，得， 所以， 所以. 故答案为： 12．（22-23高二上·上海杨浦·期末）数列的首项，且（为正整数），令，则 . 【答案】 【分析】由已知变形可得，可知数列是首项为，公比也为的等比数列，可求出的通项公式，进而可得出数列的通项公式，利用等差数列的求和公式可求得所求代数式的值. 【详解】因为数列的首项，且（为正整数），则， 且，所以数列是首项为，公比也为的等比数列，故， 所以，，则， 所以，数列为等差数列，故. 故答案为：. 题型五、证明等差数列 13．（2023·广东广州·二模）在数列中，，，若，则正整数 ． 【答案】10 【分析】根据题意，令，判断数列是等差数列，从而求得通项公式，进而代入求解即可． 【详解】由，，令，则， 所以数列是以2为首项，2为公差的等差数列，即， 又为正整数，所以，即，解得或（舍去）． 故答案为：10． 14．（22-23高三上·江苏南通·期中）记为数列的前项和，已知对任意的，，且存在，，则的取值集合为 （用列举法表示） 【答案】 【分析】先计算得到，再根据等差数列的求和公式计算求解即可． 【详解】解：为偶数时， ， ∴， 或19， 当时， ， ∴； 当时，， ∴． 综上：的取值集合． 故答案为：． 【点睛】本题的关键是理解：如果一个数列成等差，则相同间隔构造的新数列也成等差数列．譬如成等差，则也成等差数列． 15．（2023·河南新乡·模拟预测）已知数列的前项和为，（），且，.若恒成立，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】由得，两式相减可证明数列为等差数列，继而可求出，令，通过可知，当时，数列单调递减，故可求出最大值，进而可求 的取值范围. 【详解】由，可得. 两式相减，可得，所以数列为等差数列. 因为，，所以，所以，， 则.令，则. 当时，，数列单调递减， 而，，， 所以数列中的最大项为1，故， 即实数的取值范围为. 故答案为: . 题型六、证明等比数列 16．（19-20高二下·广西玉林·期末）等差数列的公差为d，前n项和为Sn，对于常数m∈N*，则数列 为等差数列，公差为m2d.类似地，等比数列的公比为q，前n项积为Tn，则数列为等比数列，公比为 . 【答案】 【分析】根据等比数列的公比为q，前n项积为Tn，得到,，进而得到，再利用等比数列的定义求解. 【详解】因为等比数列的公比为q，前n项积为Tn， 所以, 所以 所以=·=·, ÷=. 故答案为： 【点睛】本题主要考查类比推理以及等比数列的定义以及等差数列的前n项和公式，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 17．（19-20高三上·江苏泰州·期末）已知数列满足，则＝ . 【答案】4 【解析】根据对数的运算性质得，可得，即数列是以2为公比的等比数列，代入等比数列的通项公式化简可得值. 【详解】因为，所以，即数列是以2为公比的等比数列，所以. 故答案为：4. 【点睛】本题考查等比数列的定义和通项公式以及对数的运算性质，熟练运用相应的公式即可，属于基础题. 18．（22-23高二上·江苏盐城·期末）对于数列，若集合为有限集，则称数列为“好数列”.若“好数列”满足，则 ． 【答案】0,1,2 【分析】 由题意可得，分，和三种情况进行分类讨论，检验是否满足“好数列”即可 【详解】由可得， 当即时，所以，，， 此时，满足，故此时数列为“好数列”； 当即，则，，， 由可得， 当时，有， 而， 若即即或，此时， 故即，此时数列为“好数列”； 若，此时，故， 故，因且， 故诸均相异，故此时数列不为“好数列”； 综上所述，， 故答案为：0,1,2. 题型七、裂项相消法 19．（23-24高二下·内蒙古·期末）在数列中，，，且. (1)证明：是等差数列. (2)求的通项公式. (3)求数列的前项和. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据等差数列的定义结合已知条件证明即可； （2）由（1）可得，再利用累加法可求得结果； （3）由（2）得，利用裂项相消法可求得结果. 【详解】（1）因为在数列中，，，且， 所以， 所以是首项为，公差为2的等差数列. （2）由（1）得， 则， 得，即． 又符合， 所以（或）． （3）由（2）知， 所以. 20．（23-24高二上·河南洛阳·期末）已知数列的前项和为，，，． (1)求数列的通项公式； (2)令，求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由得，，即，进而证得数列是首项为，公比为的等比数列，再利用等比数列的通项公式求解； （2）由（1）知，，则，再利用裂项相消法求和即可． 【详解】（1）由得，，即， 又，，， 即数列是首项为，公比为的等比数列， ； （2）由（1）知，，， 则， ， 数列的前项和． 题型八、错位相减法 21．（23-24高二上·河北石家庄·期末）已知数列满足. (1)证明：数列为等差数列，并求数列的通项公式； (2)记数列的前n项和为，求． 【答案】(1)证明见解析， (2) 【分析】（1）由已知等式变形可得出，利用等差中项法可证得结论成立，确定数列的首项和公差，可求得数列的通项公式，进而可求得数列的通项公式； （2）利用错位相减法可求得. 【详解】（1）因为，，则， 等式两边同时乘以可得， 即，所以，数列是等差数列. 且，，等差数列公差为， 所以，，故. （2）数列的前项和为，且， 则， 所以，， 两式相减可得 ， 所以. 22．（23-24高二上·湖南长沙·期末）在数列中，. (1)证明：数列为常数列. (2)若，求数列的前项和，并证. 【答案】(1)证明见解析 (2)，证明见解析 【分析】（1）根据条件得到，又，即可证明结果； （2）根据（1）得到，从而有，利用错位相减法，即可得到，再利用，即可证明结果. 【详解】（1）令，得，则， 因为①，所以②. ①②得，即. 又，得到，所以数列为常数列. （2）由（1）可得，所以是公差为1的等差数列， 所以. 因为，所以③， ④， ③④得， 所以， 又因为，所以，得证. 题型九、分组（并项）求和法 23．（23-24高二上·河北衡水·期末）在数列中，，且. (1)若，证明：数列是等比数列； (2)求数列的前项和． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）利用等比数列的定义判断可得答案； （2）由（1）求出得，再利用并组求和、等比数列求和可得答案. 【详解】（1）， 因为，所以是以为首项，为公比的等比数列； （2）由（1）可知，所以， 所以 ． 24．（23-24高二上·河北石家庄·期末）已知正项数列前n项和为，且满足. (1)求数列的通项公式； (2)若数列满足，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据与之间的关系分析可知数列是等差数列，结合等差数列通项公式运算求解； （2）由（1）可得，利用分组求和以及裂项相消法运算求解. 【详解】（1）因为，则， 两式相减得：， 整理得， 且为正项数列，可知， 可得，即， 可知数列是以首项，公差的等差数列， 所以. （2）由（1）可得， 当为奇数，则， 可得 ， 所以. 题型十、含绝对值的等差数列的前n项和 25．（23-24高二上·江苏镇江·期末）记数列的前n项和为，对任意满足：，且． (1)求数列的通项公式； (2)若，，求的值． 【答案】(1)， (2). 【分析】（1）利用时，及等差数列的通项公式即可求解； （2）去绝对值后，利用等差数列的前项和公式即可求解. 【详解】（1）因为， 所以当时，，即， 因为，所以， 当时，，又， 所以， 化简得， 即，即， 所以， 因为，所以，即， 所以是首项，公差的等差数列， 所以，故数列的通项公式； （2）因为，，所以， 因为， 所以， 所以， 所以， 故. 26．（21-22高二上·天津东丽·期末）已知为等差数列的前项和，已知. (1)求数列的通项公式； (2)令.求 (3)令，前项和为，求 【答案】(1)； (2)； (3). 【分析】（1）设公差为d，后由题目条件结合等差数列通项公式及等差数列前n项和公式可得答案； （2）由（1）可得，后分，两种情况求和即可得答案； （3）注意到，据此可得答案. 【详解】（1）设公差为d，因， 则，则； （2）由（1）可得. 则当时，； 当时，. 故； （3）由（1）可得，. 则 【专题强化】 一、单选题 27．（23-24高二上·四川成都·期末）若数列满足，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由与的关系求得，从而为常数列， 得到，即可求的值. 【详解】由及得， 即， 即， 所以，即为常数列， 又，所以，即， 所以， 所以. 故选：B 28．（23-24高二上·河北石家庄·期末）设数列满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用构造法求出数列的通项即可得解. 【详解】数列中，由，得，而， 因此数列是首项为1，公比为的等比数列，，即， 所以. 故选：D 29．（23-24高二上·福建福州·期末）数列的一个通项公式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，化简数列为，根据运算规律，即可求解. 【详解】由数列，可得化为， 可得数列的一个通项公式为. 故选：C. 30．（23-24高二上·湖北武汉·期末）已知数列的前项和为，且，设，若数列是递增数列，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先利用求出数列的通项公式，再通过恒成立求的取值范围. 【详解】由得， 两式相减得，即， 又，得， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列， 所以， 所以， 若数列是递增数列 则恒成立， 即恒成立， 即恒成立，又， 所以. 故选：B. 31．（23-24高二上·福建三明·期末）已知数列，的前n项和分别为，若，，，则（    ） A．150 B．100 C．200 D．5050 【答案】C 【分析】利用之间得关系，结合累乘法求出，再表示出，利用，再求和即可. 【详解】结合题意可得：当时，， 因为，所以当时，有， 由可得，即，易知， 所以， 又满足，故. 所以， 易知， 所以. 故选：C. 32．（23-24高二上·山东济南·期末）2023年10月29日，“济南泉城马拉松”在济南大明湖路拉开序幕，约3万名选手共聚一堂，在金秋十月享受了一场酣畅淋漓的马拉松盛会．某赞助商在沿途设置了10个饮水补给站，第一个补给站准备了1千瓶饮用水，第二站比第一站多2千瓶，第三站比第二站多3千瓶，以此类推，第n站比第站多n千瓶（且），第10站准备的饮用水的数量为（    ） A．45千瓶 B．50千瓶 C．55千瓶 D．60千瓶 【答案】C 【分析】设第站的饮用水的数量为，由题意得：，，，，，然后利用累加法即可求解. 【详解】设第站的饮用水的数量为，由题意得：，，，，，以上等式相加得：，， 即. 故选：C 33．（23-24高二上·北京海淀·期末）已知数列的前项和为，满足，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C．数列的前项和为 D．数列是递增数列 【答案】D 【分析】先利用求出数列的通项公式，再依次判断各选项即可. 【详解】由题意可知，当时，，解得， 当时，，则，即， 显然，，所以是以为首项，为公比的等比数列， 所以，当时仍成立，，AB说法错误； 令，则，， 所以数列是以为首项，为公差的等差数列，其前项和为，C说法错误； 令，则， 又由可得，所以数列是递增数列，D说法正确； 故选：D 34．（23-24高二上·河北邯郸·期末）已知数列中，且，则数列的前项和（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用构造法、等比数列的定义和通项公式，结合数列求和中的分组求和法及等比数列的前项和公式即可求解. 【详解】由得， 所以数列是首项为，公比为2的等比数列， 所以，所以， 所以， 故选：D. 35．（23-24高二上·广东深圳·期末）符号表示不超过实数的最大整数，如，．数列满足，，．若，为数列的前项和，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定的递推公式，利用构造法求出的通项公式，并确定其取值范围求出，再利用裂项相消法求和即可得解. 【详解】由，得，而， 则数列是首项为，公比也为的等比数列，即， 当时，， 显然满足上式，因此， 而， ，则， 显然， 于是，则， 因此， 所以. 故选：B 【点睛】易错点睛：裂项求和，使用裂项法求和时，要注意正负项相消时消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点，实质上造成正负相消是此法的根源与目的． 二、多选题 36．（23-24高二上·安徽宣城·期末）已知等差数列满足，前3项和，则（    ） A．数列的通项公式为 B．数列的公差为 C．数列的前项和为 D．数列的前20项和为56 【答案】BCD 【分析】首先由条件，建立关于首项和公差的方程组，即可求解首项和公差，再代入求通项公式和前项和公式，即可判断ABC，再去绝对值，求数列的前20项和，即可判断D. 【详解】设等差数列的首项为，公差为， 则，解得：，， 所以，故A错误，B正确； ，故C正确； 当时，，当时，， 所以， ， ， ，故D正确. 故选：BCD 37．（23-24高二上·江苏连云港·期末）已知数列的前项和为，且，，，则（    ） A． B． C． D．为奇数时， 【答案】ABD 【分析】由题设有，讨论的奇偶性，结合等差数列定义、前n项和公式判断各项正误. 【详解】由，则，两式作差，得， ，当为奇数，是首项为1，公差为3的等差数列，即； ，当为偶数，是首项为2，公差为3的等差数列，即； 所以，A对， ，B对； ，C错； 为奇数时， ，D对. 故选：ABD 38．（23-24高二下·全国·期末）已知数列的首项为4，且满足，则（    ） A．为等差数列 B．为递增数列 C．的前项和 D．的前项和 【答案】BCD 【分析】由得，所以可知数列是以首项为4，公比为2的等比数列，从而可求出，可得数列为递增数列，利用错位相减法可求得的前项和，由于，从而利用等差数列的求和公式可求出数列的前项和． 【详解】由，得， 所以是以为首项，2为公比的等比数列，故A错误； 因为， 所以，显然递增，故B正确； 因为， ， 所以， 故，故C正确； 因为， 所以的前项和，故D正确． 故选：BCD． 39．（23-24高二上·福建泉州·期末）已知分别是数列的前项和，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】根据与的关系推得，从第2项开始，是等比数列，结合的值求得，即可得出的通项公式，进而判断A、B；代入已知得出的通项公式，裂项求和判断C项；放缩法，即可得出D项. 【详解】对于A项，因为，则，所以.故A正确. 对于B项，当时，有，， 两式作差可得，，所以，. 所以，从第2项开始，是以2为公比的等比数列， 所以，. 检验，时，， 所以，.故B错误； 对于C项，因为， 所以， 所以，.故C正确； 对于D项，因为，当时恒成立， 所以，，当时恒成立. 又时，满足， 所以，.故D正确. 故选：ACD. 40．（23-24高二上·河南洛阳·期末）数列满足，，数列的前项和为，且，则下列正确的是（    ） A．是数列中的项 B．数列是首项为，公比为的等比数列 C．数列的前项和 D．数列的前项和 【答案】BCD 【分析】由等差数列的定义和通项公式求得，由数列的通项与前项和的关系，求得，结合数列的裂项相消求和、错位相减法求和，可得结论． 【详解】解：数列满足，， 可得，即有，即， 由，可得，解得， 当时，由，可得， 两式相减可得， 即为，即数列是首项为，公比为的等比数列，则，故B正确； 令，解得，不为整数，故A错误； ，则，故C正确； ，，， 两式相减可得， 化为，故D正确． 故选：BCD． 三、填空题 41．（23-24高二上·河南洛阳·期末）已知数列的前项的积为，且，则满足的最小正整数的值为 ． 【答案】 【分析】利用，结合等差数列的定义与通项公式，可得，再根据等差数列的求和公式，利用结果求解即可． 【详解】当时，有，所以； 当时，由，得，即， 则有数列是等差数列，其中公差为，首项为， 可得，即， 所以， 若，则，即， 因为数列是单调递增数列，且当时，；当时，， 所以满足的最小正整数的值为． 故答案为：． 42．（23-24高二上·江苏常州·期末）已知等差数列的公差不为，其前项和为，且、、成等比数列，则 ． 【答案】 【分析】设等差数列的公差为，求出、，根据题意可得出，可得出、的等量关系，进而可求得的值. 【详解】设等差数列的公差为，则， ， 因为、、成等比数列，则，则， 所以，，可得， 又因为，则，则，则， 所以，. 故答案为：. 43．（23-24高二上·福建泉州·期末）已知是数列的前项和，，且，，，则 . 【答案】582 【分析】根据题意整理该数列中奇数项的递推公式，利用迭代法可得其通项公式，代入题目中递推公式，结合等比数列的求和公式，可得答案. 【详解】由已知可得 所以， 于是． 故，即， 所以， 所以 故答案为：． 44．（23-24高二上·福建福州·期末）已知数列的前项和为，且满足，若数列的前项和满足恒成立，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】由的关系仿写作差得到，再由错位相减法得到，最后由不等式恒成立问题和解一元二次不等式求出即可. 【详解】由，当时，； 当时，；作差可得， 则数列是首项和公比都为的等比数列，所以. ，， 以上两式相减可得， 则， 因为恒成立，所以，解得或， 故答案为：. 45．（23-24高二上·福建福州·期末）若数列的前项和为，，则称数列是数列的“均值数列”．已知数列是数列的“均值数列”且，设数列的前项和为，若对恒成立，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】先求得，然后求得，进而求得，求得的最小值，由此解不等式求得的取值范围. 【详解】依题意， 当时，，当时，， 也符合上式，所以. 则， 所以， 是单调递增数列，最小值为， 所以， ，解得. 故答案为： 【点睛】已知的表达式，求的通项公式，可以利用来进行求解，在求解的最后，要注意验证首项.形如的数列求和，可以考虑利用裂项求和法来进行求解，实际上是分母实数化的进一步运用. 四、解答题 46．（2024·安徽合肥·三模）设数列的前项和为，已知，是公差为2的等差数列． (1)求的通项公式； (2)若，设数列的前项和，求证：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）由是公差为2的等差数列，求得，结合和的关系，即可求解； （2）由（1）知，求得，结合关于单调递增，以及，即可求解． 【详解】（1）解：因为，所以， 又因为是公差为2的等差数列，所以，即， 当时，， 又由，适合上式，所以数列的通项公式为． （2）证明：由（1）知， 所以， 又由， 所以关于单调递增，所以， 又因为，所以，所以． 47．（2024·天津·一模）已知数列的前项和为，，，数列为正项等比数列，，是与的等差中项. (1)求和的通项公式： (2)若，求数列的前项和； (3)设，求数列的前项和. 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）根据得到是以为首项，为公差的等差数列，即可求出的通项，设正项等比数列的公比为，由等比中项的性质求出，再由等差中项的性质求出，即可求出的通项； （2）由（1）可得，利用错位相减法计算可得； （3）由（1）可得，利用裂项相消法及分组求和法计算可得. 【详解】（1）因为， 所以，即，所以， 所以是以为首项，为公差的等差数列，所以， 设正项等比数列的公比为，由，解得或（舍去）， 又是与的等差中项，所以 ，即， 即，解得（负值舍去）， 所以. （2）由（1）可得， 所以， 所以， 所以 ， 所以. （3）由（1）可得 ， 所以 当为偶数时 ， 当为奇数时 ， 综上可得. 48．（23-24高二上·浙江杭州·期末）已知数列满足，． (1)证明：对任意的成立． (2)记，求数列的前项和． (3)证明：． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)证明见解析 【分析】 （1）将条件变形，可得构造数列为常数数列，据此可求出数列的通项公式，根据其为等差数列可得结论； （2）利用等比数列求和公式计算即可； （3）利用裂项相消法可求和并证明不等式. 【详解】（1）由得， 即， 即， 故数列为常数数列， 所以， 整理得，即数列为等差数列， 所以； （2）由（1）得， 故数列是以为首项，为公比的等比数列， 所以； （3）由（1）， 所以 因为， 所以. 49．（23-24高三上·江西·期末）已知等比数列的首项，公比为，的项和为且，，成等差数列. (1)求的通项： (2)若，，求的前项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，先验证不符合要求，然后再由列出方程，即可求得，从而得到通项公式； （2）根据题意，可得，其奇数次项依次构成一个首项为1，公比为4的等比数列，而偶数次项依次构成一个首项为，公差为的等差数列，然后结合数列求和的公式，代入计算即可得到结果． 【详解】（1）由题意，若， 由首项，可知，， 此时，不符合题意，故， 则由， 可得 化简整理，得， 解得（舍去），或， ，． （2）由（1），可得， 故数列的奇数项是以1为首项，4为公比的等比数列，偶数项是以为首项，为公差的等差数列， ． 50．（23-24高二上·山西运城·期末）已知数列的前n项和为，，其中． (1)求数列的通项公式； (2)设，数列的前n项和，若对任意且，恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）首先得，由之间的关系得数列为等比数列，由此即可得解. （2）由等比数列求和公式、错位相减法结合数列单调性即可得解. 【详解】（1）当时，， 当时，， 两式相减，得，又， 所以数列为等比数列，首项为2，公比为3， 所以数列的通项公式是. （2）由（1）知，， ， 则有， 两式相减得： ， 于是得， 因为且，， 当时，数列是递增数列，所以的最小值为18， 因此. 51．（23-24高二上·浙江杭州·期末）已知数列的前项和为，满足，数列满足，． (1)求数列、的通项公式； (2)，求数列的前项和； 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）利用可得，从而可得为等比数列，故可得其通项公式，利用累加法可求的通项公式； （2）利用分组求和法可求，注意就的奇偶性分类讨论. 【详解】（1）在数列中，当时，解得； 当时，由，则，即， 因为，故， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列即. 在数列中，，即， 则当时，，，，， 由累加法得， 所以， 当时，也符合上式，所以. （2）由（1）可得， 当为偶数时， = ； 当为奇数时， = ， 综上可得. 52．（23-24高二上·河北邢台·期末）已知等差数列满足. (1)求的通项公式； (2)设，数列的前项和为，证明：. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）设等差数列的公差为，由已知条件可得出关于、的方程组，解出这两个量的值，结合等差数列的通项公式可得出数列的通项公式； （2）由已知可得，利用裂项相消法可求出，即可证得结论成立. 【详解】（1）解：由已知可得， 设等差数列的公差为，则，解得， 所以，. （2）证明：， 所以， . 故对任意的，. 53．（23-24高三上·安徽池州·期末）已知正项数列的前n项和为． (1)求数列的前n项和； (2)令，求数列的前9项之和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由，得到，两式相减，整理得到，得到数列是等差数列，结合等差数列的通项公式和求和公式，即可求解； （2）由（1）得到，结合裂项相消法，即可求解. 【详解】（1）解：正项数列的前n项和为，满足， 可得， 两式相减可得， 所以， 因为，所以， 又因为，解得， 所以数列是以首项为1，公差为2的等差数列， 则数列的通项公式为，可得. （2）解：由（1）知， 可得， 所以 ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$