21.2.1配方法（第1课时 直接开平方法，八大题型提分练）-【上好课】2024-2025学年九年级数学上册同步精品课堂（人教版）

21.2.1解一元二次方程(1)直接开平方法（八大题型提分练） 题型一 用直接开平方法解方程 1．（22-23九年级上·湖北恩施·期末）一元二次方程的根是（    ） A． B． C． D． 2．（21-22九年级上·吉林长春·期中）一元二次方程可转化为两个一元一次方程，其中一个一元一次方程是，则另一个一元一次方程是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24八年级下·北京通州·期末）如果一元二次方程x2﹣9＝0的两根分别是a，b，且a＞b，那么a的值是 ． 4．（23-24九年级上·全国·课后作业）用直接开平方法解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 5．（23-24九年级上·全国·课后作业）用直接开平方法解下列方程： (1)； (2)． 题型二用直接开平方法解复合型方程 6．（23-24九年级上·全国·课后作业）方程的根是（　　） A． B．4 C．或4 D．无解 7．（20-21九年级上·全国·课后作业）方程的解为（    ） A． B． C． D． 8．（22-23九年级上·全国·课后作业）若，则 ． 9．（23-24九年级上·全国·课后作业）用直接开平方法解方程：． 10．（21-22九年级·全国·假期作业）解方程： (1)4（2x﹣1）2﹣36＝0 (2)（y＋2）2＝（3y﹣1）2 题型三 直接开平方法解方程的过程出错问题 11．（21-22九年级上·全国·课后作业）阅读下列解答过程，在横线上填入恰当内容． 解方程： 解：∵，     ① ∴，      ② ∴．     ③ 上述过程中有没有错误？若有，错在步骤 （填序号）；原因是 ，正确的解是 ． 12．（20-21九年级上·全国·课后作业）李老师在课上布置了一个如下的练习题： 若，求的值． 看到此题后，晓梅立马写出了如图所示的解题过程： 解：，① ，② ．③ 晓梅上述的解题步骤哪一步出错了？请写出正确的解题步骤． 13．（22-23九年级上·全国·课后作业）下面是小明同学的错题本的一部分，请你仔细阅读，帮助他补充完整． 解方程： 解： …第一步 第二步 第三步 (1)分析：第 步开始出现错误； (2)改正： 14．（23-24九年级上·北京·课后作业）用直接开平方法解一元二次方程4（2x﹣1）2﹣25（x+1）2=0． 解：移项得4（2x﹣1）2=25（x+1）2，① 直接开平方得2（2x﹣1）=5（x+1），② ∴x=﹣7．                             ③ 上述解题过程，有无错误如有，错在第_____步，原因是_____，请写出正确的解答过程． 题型四 直接开平方法解方程的使用条件 15．（21-22八年级下·江苏苏州·期中）如果关于x的方程有实数根，那么m的取值范围是（　　） A．m>3 B．m≥3 C．m>-4 D．m≥-4 16．（23-24九年级上·山西吕梁·期中）若关于x的方程（x﹣2）2＝a﹣5有解．则a的取值范围是（　　） A．a＝5 B．a＞5 C．a≥5 D．a≠5 17．（19-20九年级上·山东·课后作业）已知方程有实数根，则与的关系是（    ）. A． B．或、异号 C．或、同号 D．是的整数倍 18．（22-23九年级上·全国·课后作业）关于的方程． （1）当时，方程有 的实数根； （2）当时，方程有 的实数根； （3）当时，方程 ． 题型五 直接开平方法与含参数方程的解问题 19．（23-24九年级上·全国·课后作业）若关于的一元二次方程的两个根分别是与，则 ． 20．（21-22九年级·全国·假期作业）若方程的两个根分别是与，则 ． 21．（23-24九年级·江苏泰州·阶段练习）已知关于x的方程a（x+m）2+b=0（a，b，m均为常数，且a≠0）的两个解是x1=3，x2=7，则方程的解是 ． 题型六 、直接开平方法与整体问题 22．（23-24八年级下·全国·课后作业）若(x2＋y2－1)2＝4，则x2＋y2＝ ． 23．（23-24九年级上·全国·课后作业）若（x2+ y2-5）2=4，则x2+ y2= 题型七、直接开平方法与换元法 24．（四川南充·一模）若实数满足，则 ． 题型八、直接开平方法与新定义问题 25．（21-22九年级上·云南昆明·期末）对于实数a、b，定义新运算“&”如下：．例如：，若，则x的值为（　　） A．， B． C．， D．， 26．（23-24八年级下·浙江杭州·期中）给出一种运算：对于函数，规定．例如：若函数，则有．已知函数，则方程的解是（　　） A． B． C． D． 27．（21-22九年级上·广西河池·期末）在实数范围内定义一种运算“*”，其规则为a*b＝a2﹣b2，根据这个规则，解方程（x+2）*5＝0，其中最大的解为 ． 1．（23-24九年级上·四川达州·期中）已知一元二次方程，若方程有解，则必须（ ） A． B． 同号 C． 的整数倍 D． 异号 2．（23-24九年级上·江西新余·阶段练习）若，则的值为（    ）． A．7 B．－1 C．19 D．－1或7 3．（23-24九年级上·广东汕头·阶段练习）已知三角形的两边长分别是5和7，第三边的长是方程的根，则此三角形的周长为（    ） A．14 B．16 C．18 D．14或18 4．（22-23八年级下·安徽·阶段练习）若一元二次方程的两根分别是和，则的值为（    ） A．16 B． C．25 D．或25 5．（2023·江苏扬州·三模）表示不大于的最大整数，如，，如果，，则符合条件的的值有(　　) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．（22-23九年级上·福建龙岩·期中）已知是一元二次方程的一个根，则另一根是 ． 7．（23-24九年级上·甘肃天水·阶段练习）若，则 ，若，则 ． 8．（23-24九年级上·河南南阳·阶段练习）关于x的方程的解是（m，h，k均为常数，），则方程的解是 9．（23-24九年级上·江苏·期中）对于实数，，新定义一种运算“※”：※．若※，则的值为 ． 10．（22-23九年级上·江苏盐城·阶段练习）已知关于的一元二次方程的两个实数根分别为3和5，则关于的方程 的解是 ． ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 21.2.1解一元二次方程(1)直接开平方法（八大题型提分练） 题型一 用直接开平方法解方程 1．（23-24九年级上·湖北恩施·期末）一元二次方程的根是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据直接开平方法求出方程的解即可． 【详解】解： ， ， 故选：C． 【点睛】本题考查了根的判别式和解一元二次方程，能选择适当的方法解方程是解题的关键． 2．（21-22九年级上·吉林长春·期中）一元二次方程可转化为两个一元一次方程，其中一个一元一次方程是，则另一个一元一次方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据直接开平方法可以解答本题． 【详解】解：∵（x+1）2=16， ∴x+1=±4， ∴x+1=4或x+1=-4， 故选：D． 【点睛】本题考查解一元二次方程，解答本题的关键是明确解方程的方法． 3．（23-24八年级下·北京通州·期末）如果一元二次方程x2﹣9＝0的两根分别是a，b，且a＞b，那么a的值是 ． 【答案】3 【分析】用直接开平方法解方程即可． 【详解】解：解方程， 移项得：， 解得：， 因为a＞b， 所以a＝3， 故答案为：3． 【点睛】本题主要考查了用直接开平方法解一元二次方程，熟练掌握开方的法则是解题的关键． 4．（23-24九年级上·全国·课后作业）用直接开平方法解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)， (2)， (3)， (4)， 【分析】（1）根据等式性质，将方程变形为形式，开平方，转化为一元一次方程求解； （2）根据等式性质，将方程变形为形式，开平方，转化为一元一次方程求解； （3）根据等式性质，将方程变形为形式，开平方，转化为一元一次方程求解； （4）根据等式性质，将方程变形为形式，开平方，转化为一元一次方程求解； 【详解】（1）， 方程两边同时除以9得，， 开平方得，， ∴，； （2），移项得，， 开平方得，， ∴，； （3）， 移项得，， 开平方得，， ∴，； （4）， ， ， ∴，． 【点睛】本题考查直接开平方法求解一元二次方程；运用等式性质将方程变形为形式是解题的关键． 5．（23-24九年级上·全国·课后作业）用直接开平方法解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）将方程变形为，开平方求解，转化为一元一次方程，求解； （2）将方程变形为，开平方求解，转化为一元一次方程，求解； 【详解】（1）解：， ， ， ，． （2）解：， ， ， ，． 【点睛】本题考查开平方法求解一元二次方程；掌握求平方根的方法是解题的关键． 题型二用直接开平方法解复合型方程 6．（23-24九年级上·全国·课后作业）方程的根是（　　） A． B．4 C．或4 D．无解 【答案】C 【分析】利用直接开方法求解即可． 【详解】解：， 开方得：， 即或， 解得：，. 故选C． 【点睛】本题考查直接开方法，掌握直接开方法是解题的关键． 7．（20-21九年级上·全国·课后作业）方程的解为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】移项后利用直接开平方法解答即可． 【详解】解：移项，得， 两边直接开平方，得， 即或， 解得：，． 故选：B． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，属于基本题型，熟练掌握直接开平方法是解题的关键． 8．（22-23九年级上·全国·课后作业）若，则 ． 【答案】4 【分析】直接开平方求出的值，即可得到的值，舍去负数解即可． 【详解】解：， ∴或者， ∴，或者， ∵， ∴， 故答案为：4． 【点睛】本题考查开平方的运算，一个正数的有两个平方根，互为相反数，零的平方根是零，负数没有平方根，解题的关键是注意，舍去负数解． 9．（23-24九年级上·全国·课后作业）用直接开平方法解方程：． 【答案】， 【分析】将方程的两边同时开方即可求解． 【详解】解：两边直接开平方，得， 即或， 解得，． 【点睛】本题考查了解一元二次方程，掌握一元二次方程的解法是解题关键． 10．（21-22九年级·全国·假期作业）解方程： (1)4（2x﹣1）2﹣36＝0 (2)（y＋2）2＝（3y﹣1）2 【答案】(1)x＝2或﹣1 (2)y1，y2． 【分析】（1）先对原方程进行整理，再利用直接开平方法求解； （2）对方程两边分别开平方，得到y+2＝±（3y﹣1），解一元一次方程即可． 【详解】（1）解：4（2x﹣1）2﹣36＝0， 4（2x﹣1）2＝36， （2x﹣1）2＝9， 2x﹣1＝±3， x＝2或﹣1 （2）解：直接开平方，得y+2＝±（3y﹣1） 即y+2＝3y﹣1或y+2＝﹣（3y﹣1）， 解得：y1＝，y2＝． 【点睛】本题考查了解一元二次方程﹣直接开平方法．解这类问题要移项，把所含未知数的项移到等号的左边，把常数项移项等号的右边，化成x2＝a（a≥0）的形式，利用数的开方直接求解．（1）用直接开方法求一元二次方程的解的类型有：x2＝a（a≥0）；ax2＝b（a，b同号且a≠0）；（x+a）2＝b（b≥0）；a（x+b）2＝c（a，c同号且a≠0）．法则：要把方程化为“左平方，右常数，先把系数化为1，再开平方取正负，分开求得方程解”．（2）运用整体思想，会把被开方数看成整体．（3）用直接开方法求一元二次方程的解，要仔细观察方程的特点． 题型三 直接开平方法解方程的过程出错问题 11．（21-22九年级上·全国·课后作业）阅读下列解答过程，在横线上填入恰当内容． 解方程： 解：∵，     ① ∴，      ② ∴．     ③ 上述过程中有没有错误？若有，错在步骤 （填序号）；原因是 ，正确的解是 ． 【答案】 ② 正数的平方根有两个，它们互为相反数 ， 【分析】根据平方根的性质可判断第②步有错误，由此即可求解． 【详解】解：上述过程中有错误，错在步骤②， 原因是正数的平方根有两个，它们互为相反数， 正确的解答过程为：， ， ，． 故答案为：②；正数的平方根有两个，它们互为相反数；，． 【点睛】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握平方根的性质是解此题的关键． 12．（20-21九年级上·全国·课后作业）李老师在课上布置了一个如下的练习题： 若，求的值． 看到此题后，晓梅立马写出了如图所示的解题过程： 解：，① ，② ．③ 晓梅上述的解题步骤哪一步出错了？请写出正确的解题步骤． 【答案】晓梅的解题步骤在第③步出错了，正确解题步骤详见解析． 【分析】根据的值非负即可判断出错的解题步骤，根据直接开平方法和的非负性解答即可． 【详解】解：晓梅的解题步骤在第③步出错了．正确解题步骤如下： ， ， ． 不论为何值都不等于， ． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解法和代数式求值，解决此类问题时，我们需要注意所求代数式的范围，本题容易忽略的值是非负的，所以要找出题干所隐含的条件再解题． 13．（22-23九年级上·全国·课后作业）下面是小明同学的错题本的一部分，请你仔细阅读，帮助他补充完整． 解方程： 解： …第一步 第二步 第三步 (1)分析：第 步开始出现错误； (2)改正： 【答案】(1)一； (2)改正见解析 【分析】（1）开方时忽略一种情况，第一步出现错误； （2）先开方，分两种情况再移项，合并同类项，求出解即可． 【详解】（1）两边同时开方，得或，所以第一步错误． 故答案为：一； （2） ，   开方，得 或 ， 或 或 所以 ， . 【点睛】本题主要考查了用直接开方法求一元二次方程的解，掌握直接开方法解一元二次方程的步骤时解题的关键． 14．（23-24九年级上·北京·课后作业）用直接开平方法解一元二次方程4（2x﹣1）2﹣25（x+1）2=0． 解：移项得4（2x﹣1）2=25（x+1）2，① 直接开平方得2（2x﹣1）=5（x+1），② ∴x=﹣7．                             ③ 上述解题过程，有无错误如有，错在第_____步，原因是_____，请写出正确的解答过程． 【答案】 ② 漏掉了2（2x-1）=-5(x+1) 见解析． 【分析】先将方程化成ax2=b的形式，再根据一个正数的平方根有两个，它们互为相反数，从而得出两个关于x的一元一次方程． 【详解】第②步错了，直接开方应等于2（2x-1）=±5（x+1），漏掉了2（2x-1）=-5(x+1) 正确的解答过程如下： 移项得4（2x-1）2=25（x+1）2， 直接开平方得2（2x-1）=±5（x+1）， 即2（2x-1）=5（x+1）或2（2x-1）=-5（x+1）． ∴x1=-7，x2=-. 【点睛】考查了用直接开平方法解一元二次方程，特别注意：一个正数的平方根有两个，它们互为相反数． 题型四 直接开平方法解方程的使用条件 15．（21-22八年级下·江苏苏州·期中）如果关于x的方程有实数根，那么m的取值范围是（　　） A．m>3 B．m≥3 C．m>-4 D．m≥-4 【答案】D 【分析】根据解一元二次方程的直接开平方法满足的条件，进行计算即可． 【详解】解：关于x的方程有实数根， ， ． 故选D． 【点睛】此题考查了一元二次方程的解法：直接开平方法，熟练掌握“只有非负数才会有平方根，才可以开平方”是解此题的关键． 16．（23-24九年级上·山西吕梁·期中）若关于x的方程（x﹣2）2＝a﹣5有解．则a的取值范围是（　　） A．a＝5 B．a＞5 C．a≥5 D．a≠5 【答案】C 【分析】根据直接开方法的条件即可求出答案． 【详解】由题意可知：a﹣5≥0， ∴a≥5， 故选C． 【点睛】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用直接开方法，本题属于基础题型． 17．（19-20九年级上·山东·课后作业）已知方程有实数根，则与的关系是（    ）. A． B．或、异号 C．或、同号 D．是的整数倍 【答案】B 【分析】将原方程化为的形式，根据可判断出正确答案． 【详解】原方程可化为，∵，∴时方程才有实数解．当c=0时，有实数根；当a、c异号时， ，方程有实数解．故选B． 【点睛】形如的一元二次方程当a≥0时方程有实数解． 18．（22-23九年级上·全国·课后作业）关于的方程． （1）当时，方程有 的实数根； （2）当时，方程有 的实数根； （3）当时，方程 ． 【答案】 两个不相等 两个相等 无实数根 【分析】（1）两边开方，即可求出答案； （2）把p=0代入，再两边开方，即可求出答案； （3）根据任何数的平方都是非负数得出方程无解． 【详解】解：（1）当p＞0时，x2=p的解为x1= ，x2= ，即方程有两个不相等的实数根； 故答案为：两个不相等； （2）当p=0时，x2=p的解为x1=x2=0，即方程有两个相等的实数根； 故答案为：两个相等； （3）当p＜0时，方程x2=p没有意义，即方程无实数根． 故答案为：无实数根． 【点睛】本题考查解一元二次方程，根的判别式，一元二次方程的根与系数的关系等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 题型五 直接开平方法与含参数方程的解问题 19．（23-24九年级上·全国·课后作业）若关于的一元二次方程的两个根分别是与，则 ． 【答案】/0.25 【分析】根据直接开平方法解方程的两个根互为相反数，得到，求得方程的根，利用根的定义，确定a，b的关系，计算即可． 【详解】解：∵一元二次方程 ∴， ∴， ∴方程的两个根互为相反数， ∵一元二次方程的两个根分别是与， ∴， 解得， ∴一元二次方程的两个根分别是与， ∴ ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了直接法解方程，方程根互为相反数，相反数的性质，根的定义，熟练掌握方程根互为相反数，相反数的性质是解题的关键． 20．（21-22九年级·全国·假期作业）若方程的两个根分别是与，则 ． 【答案】 【分析】利用直接开平方法得到，得到方程的两个根互为相反数，所以，解得，则方程的两个根分别是与，则有，然后两边平方得到的值． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴方程的两个根互为相反数， ∵方程的两个根分别是与， ∴， 解得， ∴，， ∴一元二次方程ax2＝b的两个根分别是与， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了解一元二次方程﹣直接开平方法：形如或的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程．如果方程化成的形式，那么可得；如果方程能化成的形式，那么． 21．（23-24九年级·江苏泰州·阶段练习）已知关于x的方程a（x+m）2+b=0（a，b，m均为常数，且a≠0）的两个解是x1=3，x2=7，则方程的解是 ． 【答案】或 【分析】首先根据一元二次方程解的定义求出和的值，然后代入所求方程整理求解即可． 【详解】解：∵方程的解为：x1=3，x2=7， ∴， 解得：， ∵，， ∴， ∴， ∴或， 故答案为：或． 【点睛】本题考查解一元二次方程的拓展应用，掌握解一元二次方程的基本方法是解题关键． 题型六 、直接开平方法与整体问题 22．（23-24八年级下·全国·课后作业）若(x2＋y2－1)2＝4，则x2＋y2＝ ． 【答案】3 【分析】把x2+y2看作一个整体，根据直接开平方法解方程即可. 【详解】（x2+y2-1）2=4， x2+y2-1=2，x2+y2-1=-2， 则x2+y2=3或x2+y2=-1（舍去） 故x2+y2=3. 【点睛】本题考查的是解一元二次方程，解答本题的关键把x2+y2看作一个整体，同时注意x2+y2的值是一个非负数. 23．（23-24九年级上·全国·课后作业）若（x2+ y2-5）2=4，则x2+ y2= 【答案】3或7 【详解】解：（x2+ y2-5）2=4，∴x2+ y2-5=±2，∴x2+ y2-5=2或x2+ y2-5=－2，∴x2+ y2=7或x2+ y2=3．故答案为3或7． 题型七、直接开平方法与换元法 24．（四川南充·一模）若实数满足，则 ． 【答案】或 【分析】根据题意设a+b=x，根据，得出x（2x-1）=1，解方程即可． 【详解】解：设a+b=x，则x（2x-1）=1， 则有（x-1）（2x+1）=0，解得x=或，即或. 故答案为： 或. 【点睛】本题考查解一元二次方程，熟练掌握换元法解一元二次方程即把某个式子看作一个整体，用一个字母去代替它，实行等量替换是解题的关键． 题型八、直接开平方法与新定义问题 25．（21-22九年级上·云南昆明·期末）对于实数a、b，定义新运算“&”如下：．例如：，若，则x的值为（　　） A．， B． C．， D．， 【答案】A 【分析】根据题意列出方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：， 由题意得：， 整理得：， 解得：，． 故选：A． 【点睛】本题是一道基于一元二次方程的新定义题，主要考查一元二次方程的解法，根据题意正确得到方程是解题的关键． 26．（23-24八年级下·浙江杭州·期中）给出一种运算：对于函数，规定．例如：若函数，则有．已知函数，则方程的解是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据新定义得出，利用直接开平方法求解可得． 【详解】解：由题意可知，即， 解得：， 故选：B． 【点睛】本题考查了解一元二次方程、新定义的理解，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． 27．（21-22九年级上·广西河池·期末）在实数范围内定义一种运算“*”，其规则为a*b＝a2﹣b2，根据这个规则，解方程（x+2）*5＝0，其中最大的解为 ． 【答案】x＝3 【分析】先根据这个规则化简方程，然后再运用直接开平方法解方程即可． 【详解】解：（x+2）*5＝0 （x+2）2-52＝0 x+2=±5 x1=3或x2=-7 ∴方程的最大的解为3． 故答案为3． 【点睛】本题主要考查了新运算规则、解一元二次方程，根据运算法则化简方程成为解答本题的关键． 1．（23-24九年级上·四川达州·期中）已知一元二次方程，若方程有解，则必须（ ） A． B． 同号 C． 的整数倍 D． 异号 【答案】D 【分析】此题主要考查了直接开平方法解一元二次方程，由移项得，再两边同时除以，可得，再根据偶次幂的非负性可得异号，解题的关键是把所含未知数的项移到等号的左边，把常数项移项等号的右边，化成的形式，利用数的开方直接求解． 【详解】解：， 则， ∵， ∴， ∵，， ∴为异号， 故选：． 2．（23-24九年级上·江西新余·阶段练习）若，则的值为（    ）． A．7 B．－1 C．19 D．－1或7 【答案】A 【分析】运用换元法和直接开平方法解答即可． 【详解】解：设,则有：, ∴， ∴， ∴或（舍去）． 故选A． 【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，掌握换元法和直接开平方法是解答本题的关键． 3．（23-24九年级上·广东汕头·阶段练习）已知三角形的两边长分别是5和7，第三边的长是方程的根，则此三角形的周长为（    ） A．14 B．16 C．18 D．14或18 【答案】C 【分析】先解一元二次方程，得到第三边长为2、6，再根据三角形三边关系进行判断，选择满足题意的第三边，即可求出三角形的周长． 【详解】解：， 或， 解得：或， 当时，三角形的三边长分别为5、6、7，且，满足三角形三边关系，此时三角形的周长， 当时，三角形的三边长分别为2、5、7，且，不满足三角形三边关系，不符合题意， 综上所述，三角形的周长为18， 故选：C． 【点睛】本题考查了三角形三边关系，解一元二次方程，熟练掌握三角形三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，是解题的关键． 4．（22-23八年级下·安徽·阶段练习）若一元二次方程的两根分别是和，则的值为（    ） A．16 B． C．25 D．或25 【答案】B 【分析】直接开平方得到：，得到方程的两个根互为相反数，所以，解得，则方程的两个根分别是，，则有，然后两边平方即可得出答案． 【详解】解：∵一元二次方程的两个根分别是与， 且， ∴， 解得：， 即方程的根是：，， ∴， 故选：B． 【点睛】题目主要考查了解一元二次方程及一元一次方程，灵活运用一元二次方程的两根互为相反数是解题关键． 5．（2023·江苏扬州·三模）表示不大于的最大整数，如，，如果，，则符合条件的的值有(　　) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】当时，先确定的取值，然后再依次验证是否满足． 【详解】解：当时，，，，， ∵ ∴ 当时，，得：，无解 当时，，得：，解得：(舍去)或 当时，，得：，解得：(舍去) 当时，，得：，解得：(舍去) 当时，，得：，解得：(舍去)或 ∴或 符合条件的的值有2个． 故选：B． 【点睛】本题考查了新定义，解一元二次方程，要理解新定义定义，注意分类讨论． 6．（22-23九年级上·福建龙岩·期中）已知是一元二次方程的一个根，则另一根是 ． 【答案】 【分析】将代入方程求得，然后利用根与系数的关系求得另一根． 【详解】解：把代入，得， 则原方程为，即， 设方程的另一个根为，则， ， 故答案为：． 【点睛】考查了根与系数的关系，解一元二次方程，熟知一元二次方程的根与系数的关系为，是解答本题的关键． 7．（23-24九年级上·甘肃天水·阶段练习）若，则 ，若，则 ． 【答案】 7 【分析】把看作一个整体，利用直接开平方法求解，注意舍去负值；把原式化为，再利用非负数的性质求出x、y即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴或（舍去）； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：7，． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解法—直接开平方法和配方法的应用，掌握解答的方法是关键． 8．（23-24九年级上·河南南阳·阶段练习）关于x的方程的解是（m，h，k均为常数，），则方程的解是 【答案】 【分析】设，则变形为，结合x的方程的解是，得到解是， 故，求解即可． 【详解】设，则变形为， ∵ x的方程的解是， ∴解是， 故， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了方程的根，正确理解根的定义是解题的关键． 9．（23-24九年级上·江苏·期中）对于实数，，新定义一种运算“※”：※．若※，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了实数新运算及解一元二次方程一直接开平方法，分两种情况：和时分别进行计算即可解答，应用分类思想分两种情况讨论是解题的关键． 【详解】分两种情况： 当时， ∵， ∴， ∴， ∴(不合，舍去)，； 当时， ∵， ∴， 解得(不合，舍去)； 综上所述：的值为， 故答案为：． 10．（22-23九年级上·江苏盐城·阶段练习）已知关于的一元二次方程的两个实数根分别为3和5，则关于的方程 的解是 ． 【答案】 【分析】令，将方程化为已知根的方程；从而得到两个关于的一元二次方程，然后分别求解即可； 【详解】解：令 则关于的方程 可化为：； 根据题意可知 或 解方程得： 而方程无实数根； 故答案为： 【点睛】本题考查了用换元法解方程；熟练运用换元法将复杂的方程简单化是解题的关键． ( 1 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$