12.2 探索三角形全等的条件（知识解读+达标检测）-2024-2025学年八年级数学上册《知识解读•题型专练》（人教版）

12.2 探索三角形全等的条件 【考点1 判定全等角形（SSS）】 【考点2判定全等角形（SAS）】 【考点3判定全等角形（ASA）】 【考点4 判定全等角形（AAS）】 【考点5 判定全等角形（HL）】 知识点1 判定全等三角形（边边边） 1、三边分别相等的两个三角形全等（可以简写成“边边边”或“SSS”）。 【考点1 判定全等角形（SSS）】 【典例1】（2023秋•香洲区期末）如图，AC＝BD，CE＝DE，AD与BC相交于点E，∠EAB＝∠EBA．求证：△ACB≌△BDA． 【变式1-1】（2023秋•赣县区期末）如图，点A，B，C，D在同一直线上，AE＝BF，EC＝FD，AB＝CD． 求证：△EAC≌△FBD． 【变式1-2】（2023八上·杭州期末）已知：如图，点在同一条直线上，.求证：. 【变式1-3】（2023八上·京山期中）如图，B，E，C，F在一条直线上，，，，求证：. 知识点2 判定全等三角形（边角边） 1、用直尺和圆规作一个角等于已知角(已知角∠AOB，求作∠AOB=∠A'O'B') ①以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA，OB于点C、D。 ②画一条射线O'A'，以点O'为圆心，OC长为半径画弧，交O'A'于点C'。 ③以点C'为圆心，CD长为半径画弧，与第2步中所画的弧相交于点D'; ④过点D'画射线O'B'，则∠A'O'B'=∠AOB。 2、两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或“SAS”）。 【考点2判定全等角形（SAS）】 【典例2】（2023秋•郴州期末）如图，已知EC＝BF，AC＝DF，∠C＝∠F，求证：△CBA≌△FED． 【变式2-1】（2023秋•鲤城区校级期末）如图，点A、B、C、D在同一直线上，AF＝DE，AF∥DE，AC＝DB．求证：△ABF≌△DCE． 【变式2-2】（2023秋•黄埔区期末）如图，已知点B，E，C，F在一条直线上，AB＝DE，BF＝CE，∠B＝∠E．求证：△ABC≌△DEF． 【变式2-3】（2023八上·安顺期末）如图，、、、四点在一条直线上，，，，垂足分别为点、点，． （1）求证：≌． （2）连结、，求证：． 知识点3 判定全等三角形（角边角） 两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA”）。 【考点3判定全等角形（ASA）】 【典例3】（2023秋•泉州期末）如图，∠A＝∠B，AE＝BE，点D在AC边上，∠1＝∠2．求证：△AEC≌△BED． 【变式3-1】（2023秋•叙州区期末）如图，点B、E、C、F在一条直线上，AC∥DF，AC＝DF．请你添加一个适当的条件：　 　，使得△ABC≌△DEF．结合所添加的条件证明△ABC≌△DEF． 【变式3-2】（2023八上·甘井子期末）如图：点B，E，C，F在一条直线上，，，求证：，． 【变式3-3】（2024•西安二模）已知，点C、F、B、E在同一直线上，AC∥DF，AB∥DE，CF＝BE．求证：△ABC≌△DEF． 知识点4 判定全等三角形（角角边） 两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等（可以简写成"角角边"或"AAS"）。 【考点4 判定全等角形（AAS）】 【典例4】（2023秋•新昌县期末）已知：如图，AC与DB相交于点O，∠1＝∠2，∠A＝∠D．求证：△AOB≌△DOC． 【变式4-1】（2023八上·宁波期末）如图，点B、E、C、F是同一直线上顺次四点，，，，求证：. 【变式4-2】（2023八上·临湘期末）已知，如图，，，，求证：. 【变式4-3】（2023八上·西城期末）如图，A，D两点在所在直线同侧，，垂足分别为A，D．的交点为E，．求证：． 知识点5 判定全等三角形（直角边、斜边） 斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等（简写成"斜边、直角边"或"HL"）。 注意：用“HL”证明两个直角三角形全等，书写时两个三角形符号前面要加上“Rt”。 【典例5】（2023秋•宿豫区期末）如图，ED⊥AB，FC⊥AB，垂足分别为D、C，AC＝BD，AE＝BF．求证：△AED≌△BFC． 【变得5-1】（2023春•桂林期末）如图，AD，BC相交于点O，BC＝AD，∠C＝∠D＝90°，求证：△ACB≌△BDA． 【变式5-2】（2023秋•洪泽区校级月考）已知：AB⊥AC，CD⊥AC，AD＝CB，问△ABC与△CDA全等吗？为什么？ 【变式5-3】（2023秋•定陶区期末）如图，AB＝BC，∠BAD＝∠BCD＝90°，点D是EF上一点，AE⊥EF于E，CF⊥EF于F，AE＝CF，求证：Rt△ADE≌Rt△CDF． 一．选择题（共4小题） 1．（2024春•沈阳月考）如图，△ABC沿边BC所在直线向右平移得到△DEF，则下列结论不一定正确的是（　　） A．△ABC≌△DEF B．∠A＝∠D C．AB∥DE D．EC＝FC 2．（2024•田阳区一模）如图，已知AB∥CD，AB＝CD，添加条件（　　）能使△ABE≌△CDF． A．AF＝EF B．∠B＝∠C C．EF＝CE D．AF＝CE 3．（2022秋•忻府区期末）根据下列已知条件，不能画出唯一△ABC的是（　　） A．∠A＝60°，∠B＝45°，AB＝4 B．∠A＝30°，AB＝5，BC＝3 C．∠B＝60°，AB＝6，BC＝10 D．∠C＝90°，AB＝5，BC＝3 4．（2024•张家口二模）△ABC如图所示，甲、乙两个三角形中和△ABC全等的是（　　） A．只有甲 B．只有乙 C．甲和乙 D．都不是 二．填空题（共2小题） 5．（2024•铁锋区二模）如图，点B、F、C、E在同一条直线上，点A、D在直线BE的两侧，AB∥DE，BF＝CE，请添加一个适当的条件 　 　，使得△ABC≌△DEF． 6．（2024•黑龙江三模）如图，∠B＝∠D，请添加一个条件 　 　，使△ABC≌△ADC（填一个即可）． 三．解答题（共10小题） 7．（2024春•天河区校级月考）如图，点C，D在线段BF上，AB＝DF，∠A＝∠F，AB∥DE，证明：BC＝DE． 8．（2024•张家港市模拟）如图，已知A，D，C，E在同一直线上，BC和DF相交于点O，AD＝CE，AB∥DF，AB＝DF． （1）求证：△ABC≌△DFE； （2）连接CF，若∠BCF＝54°，∠DFC＝20°，求∠DFE的度数． 9．（2024春•秦都区校级月考）如图，在△ABE与△CBD中，AE⊥BD于点E，CD⊥BD于点D，AB＝BC，BE＝CD．证明：Rt△ABE≌Rt△BCD． 10．（2024•新城区校级模拟）如图，点F在AB上，BC∥AD，AD＝AC，∠AED＝∠B．求证：△ABC≌△DEA． 11．（2024•永寿县一模）如图，已知CB＝DE，∠C＝∠E，∠BAD＝∠CAE，AC与DE交于点F．求证：AD平分∠BDE． 12．（2024•南安市模拟）如图，已知AB＝DC，∠ABC＝∠DCB，求证：AC＝BD． 13．（2024•高青县校级一模）如图，点E在CD上，BC与AE交于点F，AB＝CB，BE＝BD，∠1＝∠2． （1）求证：△ABE≌△CBD； （2）证明：∠1＝∠3． 14．（2024•西安模拟）如图，B，E，C，D四点在同一直线上，AC，EF相交于点G，AB∥EF，AB＝DE，∠D+∠CGF＝180°，求证：AC＝DF． 15．（2024•西山区校级模拟）如图，在△ABC中，AB＝AC．点D、E分别是BC、AC上的点，且BD＝CE，若∠ADE＝∠B，求证：AD＝DE． 16．（2024•西安校级二模）如图，点A，D，B，E在一条直线上，AD＝BE，AC＝DF，AC∥DF．求证：BC＝EF． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 12.2 探索三角形全等的条件 【考点1 判定全等角形（SSS）】 【考点2判定全等角形（SAS）】 【考点3判定全等角形（ASA）】 【考点4 判定全等角形（AAS）】 【考点5 判定全等角形（HL）】 知识点1 判定全等三角形（边边边） 1、三边分别相等的两个三角形全等（可以简写成“边边边”或“SSS”）。 【考点1 判定全等角形（SSS）】 【典例1】（2023秋•香洲区期末）如图，AC＝BD，CE＝DE，AD与BC相交于点E，∠EAB＝∠EBA．求证：△ACB≌△BDA． 【解答】证明：∵∠EAB＝∠EBA， ∴EA＝EB， ∵DE＝CE， ∴EA+DE＝EB+CE， ∴AD＝BC， 在△ACB和△BDA中， ， ∴△ACB≌△BDA（SSS）． 【变式1-1】（2023秋•赣县区期末）如图，点A，B，C，D在同一直线上，AE＝BF，EC＝FD，AB＝CD． 求证：△EAC≌△FBD． 【解答】证明：∵AB＝CD， ∴AB+BC＝CD+BC， 即AC＝BD， 在△EAC和△FBD中， ， ∴△EAC≌△FBD（SSS）． 【变式1-2】（2023八上·杭州期末）已知：如图，点在同一条直线上，.求证：. 【答案】证明：∵， ∴，即， 在与中， ， ∴， ∴. 【解析】根据已知条件可知AD=BE，结合线段的和差关系可得AB=DE，利用SSS证明△ABC≌△EDF，据此可得结论. 【变式1-3】（2023八上·京山期中）如图，B，E，C，F在一条直线上，，，，求证：. 【答案】证明：∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴（）， ∴. 【解析】根据BE=CF易得BC=EF，从而利用SSS判断出△ABC≌△DEF，进而根据全等三角形对应角相等即可得出答案. 知识点2 判定全等三角形（边角边） 1、用直尺和圆规作一个角等于已知角(已知角∠AOB，求作∠AOB=∠A'O'B') ①以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA，OB于点C、D。 ②画一条射线O'A'，以点O'为圆心，OC长为半径画弧，交O'A'于点C'。 ③以点C'为圆心，CD长为半径画弧，与第2步中所画的弧相交于点D'; ④过点D'画射线O'B'，则∠A'O'B'=∠AOB。 2、两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或“SAS”）。 【考点2判定全等角形（SAS）】 【典例2】（2023秋•郴州期末）如图，已知EC＝BF，AC＝DF，∠C＝∠F，求证：△CBA≌△FED． 【解答】证明：∵EC＝BF， ∴EC+BE＝BF+BE，即CB＝FE， 在△CBA和△FED中， ， ∴△CBA≌△FED（ SAS）． 【变式2-1】（2023秋•鲤城区校级期末）如图，点A、B、C、D在同一直线上，AF＝DE，AF∥DE，AC＝DB．求证：△ABF≌△DCE． 【解答】证明：∵AF∥DE， ∴∠A＝∠D， ∵AC＝DB， ∴AC﹣DB＝DB﹣BC即AB＝DC， 在△ABF和△DCE中， ∵， ∴△ABF≌△DCE（SAS）． 【变式2-2】（2023秋•黄埔区期末）如图，已知点B，E，C，F在一条直线上，AB＝DE，BF＝CE，∠B＝∠E．求证：△ABC≌△DEF． 【解答】解：∵BF＝CE， ∴BF+FC＝CE+FC， 即：BC＝EF， 在△ABC和△DEF中， ， ∴△ABC≌△DEF（SAS）． 【变式2-3】（2023八上·安顺期末）如图，、、、四点在一条直线上，，，，垂足分别为点、点，． （1）求证：≌． （2）连结、，求证：． 【答案】（1）证明：∵AC⊥BD，EF⊥BD ∴△ABC和△DEF是直角三角形 又∵CD＝BF ∴CD+CF＝BF+CF， ∴DF＝BC， 又∵AB=DE， ∴Rt△ABC≌Rt△EDF（HL）． （2）证明：∵△ABC≌△EDF， ∴AC＝EF， ∵AC⊥BD，EF⊥BD ∴∠ACD＝∠EFB， 又∵CD=BF， ∴△ACD≌△EFB（SAS） ∴AD＝BE． 【解析】【分析】（1）由题意易得△ABC和△DEF是直角三角形，由CD+CF＝BF+CF，可得DF＝BC，再根据HL证明三角形全等即可； （2）由△ABC≌△EDF，可得AC＝EF，再由AC⊥BD，EF⊥BD可得∠ACD＝∠EFB，进而用“SAS”定理证明△ACD≌△EFB，即可得出结论． 知识点3 判定全等三角形（角边角） 两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA”）。 【考点3判定全等角形（ASA）】 【典例3】（2023秋•泉州期末）如图，∠A＝∠B，AE＝BE，点D在AC边上，∠1＝∠2．求证：△AEC≌△BED． 【解答】证明：∵AE和BD相交于点O， ∴∠AOD＝∠BOE． 在△AOD和△BOE中， ∠A＝∠B， ∴∠BEO＝∠2． 又∵∠1＝∠2， ∴∠1＝∠BEO， ∴∠AEC＝∠BED． 在△AEC和△BED中， ， ∴△AEC≌△BED（ASA）． 【变式3-1】（2023秋•叙州区期末）如图，点B、E、C、F在一条直线上，AC∥DF，AC＝DF．请你添加一个适当的条件：　∠A＝∠D（答案不唯一）　，使得△ABC≌△DEF．结合所添加的条件证明△ABC≌△DEF． 【解答】解：添加∠A＝∠D， ∵AC∥DF， ∴∠ACB＝∠F， 在△ABC和△DEF中， ， ∴△ABC≌△DEF（ASA）， 故答案为：∠A＝∠D（答案不唯一）． 【变式3-2】（2023八上·甘井子期末）如图：点B，E，C，F在一条直线上，，，求证：，． 【答案】证明：， ， ， ，， 在与中， ≌， ，． 【解析】【分析】先利用“ASA”证明 ≌，再利用全等三角形的性质可得， 【变式3-3】（2024•西安二模）已知，点C、F、B、E在同一直线上，AC∥DF，AB∥DE，CF＝BE．求证：△ABC≌△DEF． 【答案】证明过程见解答． 【解答】证明：∵AC∥DF，AB∥DE， ∴∠C＝∠DFE，∠E＝∠ABC， ∵CF＝BE， ∴CF+BF＝BE+BF， 即BC＝EF， 在△ABC和△DEF中， ， ∴△ABC≌△DEF（ASA）． 知识点4 判定全等三角形（角角边） 两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等（可以简写成"角角边"或"AAS"）。 【考点4 判定全等角形（AAS）】 【典例4】（2023秋•新昌县期末）已知：如图，AC与DB相交于点O，∠1＝∠2，∠A＝∠D． 求证：△AOB≌△DOC． 【解答】证明：∵∠1＝∠2， ∴BO＝CO， 在△AOB和△DOC中， ， ∴△AOB△DOC（AAS） 【变式4-1】（2023八上·宁波期末）如图，点B、E、C、F是同一直线上顺次四点，，，，求证：. 【答案】证明：∵， ∴. 在和中， ， ∴（）. ∴， ∴，即. 【解析】由平行线的性质可得∠B=∠DEF，根据已知条件可知∠ACB=∠F，AB=DE，利用AAS证明△ABC≌△DCE，得到BC=EF，然后根据线段的和差关系进行证明. 【变式4-2】（2023八上·临湘期末）已知，如图，，，，求证：. 【答案】证明：∵， ∴， 在和中，， ∴. 【解析】根据平行线的性质可得∠CAB=∠E，由已知条件可知∠ACB=∠D，AB=AE，然后根据全等三角形的判定定理进行证明. 【变式4-3】（2023八上·西城期末）如图，A，D两点在所在直线同侧，，垂足分别为A，D．的交点为E，．求证：． 【答案】证明：∵，垂足分别为A，D， ∴． ∴． 在和中， ∴． ∴． 【解析】先利用“AAS”证明，再利用全等三角形的性质可得。 AOB≌△DOC（AAS）． 知识点5 判定全等三角形（直角边、斜边） 斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等（简写成"斜边、直角边"或"HL"）。 注意：用“HL”证明两个直角三角形全等，书写时两个三角形符号前面要加上“Rt”。 【典例5】（2023秋•宿豫区期末）如图，ED⊥AB，FC⊥AB，垂足分别为D、C，AC＝BD，AE＝BF．求证：△AED≌△BFC． 【解答】证明：∵ED⊥AB，FC⊥AB， ∴∠ADE＝∠BCF＝90°， ∵AC＝BD， ∴AC+CD＝BD+CD， 即AD＝BC， 在Rt△ADE与Rt△BCF中， ， ∴Rt△ADE≌Rt△BCF（HL）． 【变得5-1】（2023春•桂林期末）如图，AD，BC相交于点O，BC＝AD，∠C＝∠D＝90°，求证：△ACB≌△BDA． 【解答】证明：在Rt△ABC和Rt△BAD中， ， ∴Rt△ABC≌△Rt△BAD（HL）． 【变式5-2】（2023秋•洪泽区校级月考）已知：AB⊥AC，CD⊥AC，AD＝CB，问△ABC与△CDA全等吗？为什么？ 【解答】解：△ABC与△CDA全等， 理由：∵AB⊥AC，CD⊥AC， ∴∠BAC＝∠DCA＝90°， ∵AD＝CB，AC＝AC， ∴Rt△ABC≌Rt△CDA（HL）． 【变式5-3】（2023秋•定陶区期末）如图，AB＝BC，∠BAD＝∠BCD＝90°，点D是EF上一点，AE⊥EF于E，CF⊥EF于F，AE＝CF，求证：Rt△ADE≌Rt△CDF． 【答案】见解析． 【解答】解：连接BD， ∵∠BAD＝∠BCD＝90°， 在Rt△ABD和Rt△CBD中， ， ∴Rt△ABD≌Rt△CBD（HL）， ∴AD＝CD， ∵AE⊥EF于E，CF⊥EF于F， ∴∠E＝∠F＝90°， 在Rt△ADE和Rt△CDF中， ， ∴Rt△ADE≌Rt△CDF（HL）． 一．选择题（共4小题） 1．（2024春•沈阳月考）如图，△ABC沿边BC所在直线向右平移得到△DEF，则下列结论不一定正确的是（　　） A．△ABC≌△DEF B．∠A＝∠D C．AB∥DE D．EC＝FC 【答案】D 【解答】解：由平移的性质得到：△ABC≌△DEF，∠A＝∠D，AB∥DE，故A、B、C不符合题意； 由平移的性质得到：CF＝BE，但FC和EC不一定相等，故D符合题意． 故选：D． 2．（2024•田阳区一模）如图，已知AB∥CD，AB＝CD，添加条件（　　）能使△ABE≌△CDF． A．AF＝EF B．∠B＝∠C C．EF＝CE D．AF＝CE 【答案】D 【解答】解：选项A、B、C都错误，只有选项D正确； 理由是：∵AF＝CE， ∴AF+EF＝CE+EF， ∴AE＝CF， ∵AB∥CD， ∴∠A＝∠C， 在△ABE和△CDF中， ∴△ABE≌△CDF（SAS）， 故选：D． 3．（2022秋•忻府区期末）根据下列已知条件，不能画出唯一△ABC的是（　　） A．∠A＝60°，∠B＝45°，AB＝4 B．∠A＝30°，AB＝5，BC＝3 C．∠B＝60°，AB＝6，BC＝10 D．∠C＝90°，AB＝5，BC＝3 【答案】B 【解答】解：A．∠A＝60°，∠B＝45°，AB＝4，符合全等三角形的判定定理ASA，能画出唯一的△ABC，故本选项不符合题意； B．∠A＝30°，AB＝5，BC＝3，不符合全等三角形的判定定理，不能画出唯一的△ABC，故本选项符合题意； C．∠B＝60°，AB＝6，BC＝10，符合全等三角形的判定定理SAS，能画出唯一的△ABC，故本选项不符合题意； D．∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，符合全等直角三角形的判定定理HL，能画出唯一的△ABC，故本选项不符合题意； 故选：B． 4．（2024•张家口二模）△ABC如图所示，甲、乙两个三角形中和△ABC全等的是（　　） A．只有甲 B．只有乙 C．甲和乙 D．都不是 【答案】B 【解答】解：甲的边a，c的夹角和△ABC的边a，c的夹角不对应，故甲三角形与△ABC不全等； 乙的角50°，70°和边b与△ABC的角50°，70°和边b对应，故可利用“角边角”证明乙三角形与△ABC全等， 故选：B． 二．填空题（共2小题） 5．（2024•铁锋区二模）如图，点B、F、C、E在同一条直线上，点A、D在直线BE的两侧，AB∥DE，BF＝CE，请添加一个适当的条件 　AB＝DE（答案不唯一）　，使得△ABC≌△DEF． 【答案】AB＝DE（答案不唯一）． 【解答】解：∵AB∥DE，BF＝CE， ∴∠B＝∠E，BC＝EF， 要使△ABC≌△DEF， 添加AB＝DE即可利用SAS判定△ABC≌△DEF； 添加∠A＝∠E即可利用AAS判定△ABC≌△DEF； 添加∠ACB＝∠DFE即可利用ASA判定△ABC≌△DEF． 故答案为：AB＝DE（答案不唯一）． 6．（2024•黑龙江三模）如图，∠B＝∠D，请添加一个条件 　∠BAC＝∠DAC（答案不唯一）　，使△ABC≌△ADC（填一个即可）． 【答案】∠BAC＝∠DAC（答案不唯一）． 【解答】解：在△ABC和△ADC中， ， ∴△ABC≌△ADC（AAS）， ∴添加一个条件∠BAC＝∠DAC（答案不唯一），判定△ABC≌△ADC． 故答案为：∠BAC＝∠DAC（答案不唯一）． 三．解答题（共10小题） 7．（2024春•天河区校级月考）如图，点C，D在线段BF上，AB＝DF，∠A＝∠F，AB∥DE，证明：BC＝DE． 【答案】证明见解答过程． 【解答】证明：点C，D在线段BF上，AB∥DE， ∴∠B＝∠EDF， 在△FDE和△ABC中， ， ∴△FDE≌△ABC（ASA）， ∴BC＝DE． 8．（2024•张家港市模拟）如图，已知A，D，C，E在同一直线上，BC和DF相交于点O，AD＝CE，AB∥DF，AB＝DF． （1）求证：△ABC≌△DFE； （2）连接CF，若∠BCF＝54°，∠DFC＝20°，求∠DFE的度数． 【答案】（1）证明见解析； （2）74°． 【解答】（1）证明：∵AB∥DF， ∴∠A＝∠EDF， ∵AD＝CE， ∴AD+CD＝CE+CD， 即AC＝DE， 在△ABC和△DFE中， ， ∴△ABC≌△DFE（SAS）； （2）解：∵∠BCF＝54°，∠DFC＝20°， ∴∠DOC＝∠BCF+∠DFC＝54°+20°＝74°， ∵AB∥DF， ∴∠B＝∠DOC＝74°， ∵△ABC≌△DFE， ∴∠DFE＝∠B＝74°． 9．（2024春•秦都区校级月考）如图，在△ABE与△CBD中，AE⊥BD于点E，CD⊥BD于点D，AB＝BC，BE＝CD．证明：Rt△ABE≌Rt△BCD． 【答案】见解析． 【解答】证明：∵AE⊥BD，CD⊥BD， ∴∠AEB＝∠BDC＝90°， 在Rt△ABE和Rt△BCD中， ， ∴Rt△ABE≌Rt△BCD（HL）． 10．（2024•新城区校级模拟）如图，点F在AB上，BC∥AD，AD＝AC，∠AED＝∠B．求证：△ABC≌△DEA． 【答案】见解答． 【解答】解：∵BC∥AD， ∴∠C＝∠DAE， 在△ABC和△DEA中， ， ∴△ABC≌△DEA（AAS）． 11．（2024•永寿县一模）如图，已知CB＝DE，∠C＝∠E，∠BAD＝∠CAE，AC与DE交于点F．求证：AD平分∠BDE． 【答案】证明过程见解答． 【解答】证明：∵∠BAD＝∠CAE， ∴∠BAD+∠CAD＝∠CAE+∠CAD， 即∠BAC＝∠DAE， 在△BAC和△DAE中， ， ∴△BAC≌△DAE（AAS）， ∴∠B＝∠ADE，AB＝AD， ∴∠B＝∠ADB＝∠ADE， ∴AD平分∠BDE． 12．（2024•南安市模拟）如图，已知AB＝DC，∠ABC＝∠DCB，求证：AC＝BD． 【答案】证明见解析． 【解答】证明：在△ABC与△DCB中， ， ∴△ABC≌△DCB（SAS）， ∴AC＝BD． 13．（2024•高青县校级一模）如图，点E在CD上，BC与AE交于点F，AB＝CB，BE＝BD，∠1＝∠2． （1）求证：△ABE≌△CBD； （2）证明：∠1＝∠3． 【答案】（1）见解答； （2）见解答． 【解答】证明：（1）∵∠1＝∠2． ∴∠ABE＝∠CBD， 在△ABE和△CBD中， ， ∴△ABE≌△CBD（SAS）； （2）由第一小问得△ABE≌△CBD， ∴∠A＝∠C， ∵∠AFB＝∠CFE， ∴∠1＝∠3． 14．（2024•西安模拟）如图，B，E，C，D四点在同一直线上，AC，EF相交于点G，AB∥EF，AB＝DE，∠D+∠CGF＝180°，求证：AC＝DF． 【答案】证明见解答过程． 【解答】证明：∵∠D+∠CGF＝180°，∠CGF+∠CGE＝180°， ∴∠D＝∠CGE， ∵AB∥EF， ∴∠B＝∠DEF，∠CGE＝∠A， ∴∠A＝∠D， 在△ABC和△DEF中， ， ∴△ABC≌△DEF（ASA）， ∴AC＝DF． 15．（2024•西山区校级模拟）如图，在△ABC中，AB＝AC．点D、E分别是BC、AC上的点，且BD＝CE，若∠ADE＝∠B，求证：AD＝DE． 【答案】证明见解答． 【解答】证明：∵AB＝AC， ∴∠B＝∠C， ∵∠ADE＝∠B， ∴180°﹣∠B﹣∠ADB＝180°﹣∠ADE﹣∠ADB， ∵∠BAD＝180°﹣∠B﹣∠ADB，∠CDE＝180°﹣∠ADE﹣∠ADB， ∴∠BAD＝∠CDE， 在△ABD和△DCE中， ， ∴△ABD≌△DCE（AAS）， ∴AD＝DE． 16．（2024•西安校级二模）如图，点A，D，B，E在一条直线上，AD＝BE，AC＝DF，AC∥DF．求证：BC＝EF． 【答案】证明见解析． 【解答】证明：∵AD＝BE， ∴AD+BD＝BE+BD， 即AB＝DE， ∵AC∥DF， ∴∠A＝∠EDF， 在△ABC与△DEF中， ， ∴△ABC≌△DEF（SAS）， ∴BC＝EF． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$