精品解析：2024年广西壮族自治区玉林市容县中考一模数学试题

2024年春季期中考模拟考试 数 学 （全卷满分 120分， 考试时间 120分钟） 注意事项： 1．答题前，考生务必将姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上． 2．考生作答时，请在答题卡上作答（答题注意事项见答题卡），在本试卷、草稿纸上作答无效． 3．不能使用计算器． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（本大题共 12 小题，每小题3分，共 36分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．） 1. 的绝对值是（ ） A. B. C. D. 3 2. 蹄形磁铁是磁铁的一种，其形状类似于马蹄形，因而称之为蹄形磁铁，它的形状也像英文字母U，又叫U形磁铁．下图是物理学中经常使用的U型磁铁示意图，其左视图是（ ） A. B. C. D. 3. 下列各点中，在函数图象上的点是（ ） A. B. C. D. 4. 空中飘雪前往往先下霰，霰是一种球形小冰晶，其半径到毫米，毫米米．数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 5. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 下列调查中，最适合采用全面调查的是（ ） A. 了解玉林市老年人健康状况 B. 调查全国中小学生的视力情况 C. 旅客进动车站前的安检 D. 了解一批圆珠笔芯的使用寿命 7. 杆秤是中国古老的称量工具，在我国已经使用了数千年．如图，是杆秤在称物时的状态，其中秤纽和拴秤砣的细线都是铅垂线．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 若方程没有实数根，则k值可以是（ ） A. B. C. D. 9. 绍兴市著名的桥乡，如图，石拱桥的桥顶到水面的距离为，桥拱半径为，则水面宽为（ ） A B. C. D. 10. 《九章算术》中的问题：“五只雀，六只燕，共重1斤（古代1斤=16两），雀重燕轻，互换其中一只，恰好一样重，问：每只雀，燕的重量各为多少两？现有列方程求解，设未知数后，小明列出其中一个方程为，则另一个方程应为（ ） A. B. C. D. 11. 某路灯示意图如图所示，它是轴对称图形，若，，与地面垂直且，则灯顶A到地面的高度为（ ） A. B. C D. 12. 小军借助反比例函数图象设计“鱼形”图案，如图，在平面直角坐标系中，以反比例函数 图象上的点和点B为顶点， 分别作菱形和菱形， 点D，E在x轴上，以点 O为圆心，长为半径作，连接，图中阴影部分面积之和为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．把答案填写在答题卡的横线上．） 13. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是_____． 14. 因式分解：_________． 15. 二次函数的图象的对称轴是直线________． 16. 某校调查了200名学生的出行方式，并制作了如图所示的扇形统计图．这200名学生中，骑车出行的人数为______． 17. 如图，已知，是角平分线且，作的垂直平分线交于点F，作，则的周长为 ______． 18. 如图，把一张矩形纸片按如下方法进行两次折叠：第一次将边折叠到边上得到， 折痕为， 连接，， 第二次将沿着折叠，恰好落在边上． 则该矩形纸片的长宽比的值为________． 三、解答题（本大题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．把答案填写在答题卡相应位置上．） 19. 计算：. 20. 解不等式组： 21. 如图，在平面直角坐标系内三顶点的坐标分别为，，． （1）画出关于y轴对称的； （2）以点B为位似中心，在点B下方画出，使与位似，且位似比为； （3）直接写出点，的坐标． 22. 美育是审美教育、情操教育、心灵教育，也是丰富想象力和培养创新意识的教育．某校为践行美育教育，组织全校师生开展中国名画鉴赏活动． （1）若该校美术老师想了解哪幅中国名画最受学生喜爱，根据调查数据分析，你认为最具有参考意义的统计量是______；（填“平均数”、“中位数”、“众数”、“方差”中的一项） （2）通过调查，有3幅名画较能激发出学生参与鉴赏活动的热情，供师生选择： A．《千里江山图》； B．《清明上河图》； C．《韩熙载夜宴图》． 小彩和小云参加了本次活动，按活动规则分别从A，B，C三幅名画中随机选择一幅进行鉴赏．请用列表法或画树状图法中的一种方法，求小彩和小云恰好选择到同一幅名画进行鉴赏的概率． 23. 如图，内接于，是的直径，与相切于点，交的延长线于点，为的中点，连接、． （1）求证：是的切线； （2）已知，，求． 24. 螺蛳粉入选国家级非物质文化遗产名录，为满足广大消费者需求，某超市购进A、B两种品牌螺蛳粉，已知A品牌螺蛳粉比B品牌螺蛳粉每袋进价少2元，用3500元购进A品牌螺蛳粉与用4500元购进B品牌螺蛳粉的数量相同． （1）A，B两种品牌螺蛳粉每袋的进价分别是多少元？ （2）本次购进A、B品牌螺蛳粉共900袋，每袋均按12元出售，且购进A品牌螺蛳粉的数量不超过B品牌螺蛳粉数量的2倍，若该批螺蛳粉全部售完，则该超市应购进A、B两种品牌螺蛳粉各多少袋才能获得最大利润？最大利润是多少元？ 25. 【问题情境】 如图1，点为正方形内一点，，将绕点按顺时针方向旋转，得到（点的对应点为点），延长交于点，连接． （1）四边形的形状是_________； 【解决问题】 （2）若，，则正方形的面积为_________； 【猜想证明】 （3）如图2，若，请猜想线段与的数量关系并加以证明． 26. 综合与实践 优化洒水车为公路两侧绿化带浇水效率 信息1 如图1，洒水车沿着平行于公路路牙方向行驶，喷水口H离地竖直高度为． 信息2 如图2，可以把洒水车喷出水内、外边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象；把绿化带横截面抽象为矩形，其水平宽度，竖直高度．内边缘抛物线是由外边缘抛物线向左平移得到，外边抛物线最高点A离喷水口的水平距离为，高出喷水口． 问题解决 任务1 确定浇灌方式 （1）求外边缘抛物线的函数解析式，并求喷出水的最大射程； （2）直接写出内边缘抛物线与x轴的正半轴交点B的坐标； 任务2 提倡有效浇灌 （3）要使洒水车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024年春季期中考模拟考试 数 学 （全卷满分 120分， 考试时间 120分钟） 注意事项： 1．答题前，考生务必将姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上． 2．考生作答时，请在答题卡上作答（答题注意事项见答题卡），在本试卷、草稿纸上作答无效． 3．不能使用计算器． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（本大题共 12 小题，每小题3分，共 36分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．） 1. 的绝对值是（ ） A. B. C. D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查绝对值，属于简单基础题，根据绝对值的意义求解即可． 【详解】解：的绝对值是3， 故选：D． 2. 蹄形磁铁是磁铁的一种，其形状类似于马蹄形，因而称之为蹄形磁铁，它的形状也像英文字母U，又叫U形磁铁．下图是物理学中经常使用的U型磁铁示意图，其左视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据左视图的意义，画图解答即可． 本题考查了几何体的三视图，熟练掌握三视图的画法是解题的关键． 【详解】根据题意，得其左视图为， 故选B． 3. 下列各点中，在函数的图象上的点是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了正比例函数图象上点的坐标特征，牢记“直线上任意一点的坐标都满足函数关系式”是解题的关键． 代入各选项中点的横坐标，求出值，对照后即可得出结论． 【详解】解：A．当时，，点在函数的图象上，故此选项符合题意； B．当时，，点不在函数的图象上，故此选项不符合题意； ．当时，，点不在函数图象上，故此选项不符合题意； ．当时，， 点不在正比例函数的图象上，故此选项不符合题意． 故选：A． 4. 空中飘雪前往往先下霰，霰是一种球形小冰晶，其半径到毫米，毫米米．数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法，根据科学记数法的表示形式即可求解，熟练掌握科学记数法的表示形式：“，其中，为整数”是解题的关键． 【详解】解：， 故选A． 5. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查合并同类项、立方根、算术平方根、幂的乘方，根据相关运算法则逐项计算，即可得出答案． 【详解】解：A，，计算错误，不合题意； B，，计算正确，符合题意； C，，计算错误，不合题意； D，，计算错误，不合题意； 故选：B． 6. 下列调查中，最适合采用全面调查的是（ ） A. 了解玉林市老年人健康状况 B. 调查全国中小学生的视力情况 C. 旅客进动车站前的安检 D. 了解一批圆珠笔芯的使用寿命 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大时，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查． 根据普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似，逐项判定即可求解． 【详解】解：A、了解玉林市老年人健康状况，人数太多，不适合全面调查，故本选项不符合题意； B、调查全国中小学生的视力情况，人数太多，不适合全面调查，故本选项不符合题意； C、旅客进动车站前的安检，适宜全面调查，故本选项符合题意； D、了解一批圆珠笔芯的使用寿命，具有破坏性的调查，不适合全面调查，故本选项不符合题意． 故选：C． 7. 杆秤是中国古老的称量工具，在我国已经使用了数千年．如图，是杆秤在称物时的状态，其中秤纽和拴秤砣的细线都是铅垂线．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查平行线的性质，关键是由平行线的性质推出． 由邻补角的性质求出，由平行线的性质推出． 【详解】解：， ， ， ． 故选：C． 8. 若方程没有实数根，则k值可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用一元二次方程根的判别式，即可求解． 【详解】解：∵方程没有实数根， ∴， 解得：， ∵ ∴值可以是． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程根判别式，熟练掌握一元二次方程，当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根是解题的关键． 9. 绍兴市著名的桥乡，如图，石拱桥的桥顶到水面的距离为，桥拱半径为，则水面宽为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查垂径定理、勾股定理，熟练掌握垂径定理以及勾股定理解题的关键．连接，根据勾股定理求出，再由垂径定理求出即可． 【详解】解：如图，连接， ， ， ，， ， 在中，由勾股定理得， ， 故选：D． 10. 《九章算术》中的问题：“五只雀，六只燕，共重1斤（古代1斤=16两），雀重燕轻，互换其中一只，恰好一样重，问：每只雀，燕的重量各为多少两？现有列方程求解，设未知数后，小明列出其中一个方程为，则另一个方程应为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据“五只雀，六只燕，共重1斤（古代1斤=16两）”即可列出另外一个方程． 【详解】解：由可知，雀有x两，燕有y两， 则， 故选：B． 【点睛】本题考查了有实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是读懂题意，找出合适的等量关系，列方程组． 11. 某路灯示意图如图所示，它是轴对称图形，若，，与地面垂直且，则灯顶A到地面的高度为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是正确理解锐角三角函数的定义，本题属于基础题型． 连接，延长交于点，由题意可知：，则，然后利用锐角三角函数的定义可求出的长度，即可由求解． 【详解】解：连接，延长交于点， 由题意可知：， ∴， ∴ 在中， ， ， 点到地面的高度为：， ∴灯顶A到地面的高度为． 故选：A． 12. 小军借助反比例函数图象设计“鱼形”图案，如图，在平面直角坐标系中，以反比例函数 图象上的点和点B为顶点， 分别作菱形和菱形， 点D，E在x轴上，以点 O为圆心，长为半径作，连接，图中阴影部分面积之和为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】将点代入反比例之中即可求出的值；连接交于，根据菱形性质得与互相垂直平分，则，，，，进而得，在中由勾股定理得，从而得为等边三角形，由此得，从而得，然后根据反比例函数比例系数的几何意义得，则，由此可得图形阴影部分面积之和． 【详解】解点在反比例的图象上， ； 连接交于点，设与交于点，如图所示： 四边形为菱形， 与互相垂直平分，， 点的纵坐标为， ，， ，， ， 在中，，， 由勾股定理得：， ， 为等边三角形， ， ， ， 四边形为菱形， 和互相垂直平分， 根据反比例函数比例系数的几何意义得：， ， 图形阴影部分面积之和为：． 故选：B． 二、填空题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．把答案填写在答题卡的横线上．） 13. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【详解】根据二次根式被开方数必须是非负数条件， 要使在实数范围内有意义，必须， ∴． 故答案为： 14. 因式分解：_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分解因式．根据式子的特点将公因数提取出来即可． 【详解】解：式子中含有公因数， ∴， 故答案为：． 15. 二次函数的图象的对称轴是直线________． 【答案】 【解析】 【分析】直接由顶点式可以得到对称轴． 【详解】解：由得，二次函数图象的对称轴为直线， 故答案为：． 【点睛】本题考查了学生对于二次函数顶点式的应用，学会通过顶点式得到对称轴是本题的关键，属于基础题型． 16. 某校调查了200名学生的出行方式，并制作了如图所示的扇形统计图．这200名学生中，骑车出行的人数为______． 【答案】60人 【解析】 【分析】本题考查了扇形统计图，解题关键是根据图中数据准确进行计算；求出骑车出行的百分比，再乘以200即可． 【详解】解：骑车出行的人所占百分比为， 骑车出行的人数为（人） 故答案为：60人． 17. 如图，已知，是角平分线且，作的垂直平分线交于点F，作，则的周长为 ______． 【答案】 【解析】 【分析】根据含30°角的直角三角形的性质求出、根据勾股定理求出，根据线段垂直平分线的性质、三角形的周长公式计算，得到答案． 【详解】解：∵，是角平分线， ∴， 在中，， ∴， 由勾股定理得：， ∵的垂直平分线交于点F， ∴， ∴的垂直， 故答案为：． 【点睛】本题考查的是直角三角形的性质、勾股定理、线段垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键． 18. 如图，把一张矩形纸片按如下方法进行两次折叠：第一次将边折叠到边上得到， 折痕为， 连接，， 第二次将沿着折叠，恰好落在边上． 则该矩形纸片的长宽比的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了正方形中的翻折，熟练掌握翻折的性质和正方形的性质是解题的关键．先利用第一次翻折确定四边为正方形，得出，再利用第二次翻折得出，即可求解． 【详解】解：∵四边形为矩形， ∴，，，， 由第一次折叠可知，，， ∴四边为正方形， ∴， ∴， 由第二次折叠可知，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 三、解答题（本大题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．把答案填写在答题卡相应位置上．） 19. 计算：. 【答案】1 【解析】 【分析】本题主要考查实数的混合运算，原式先计算括号，以及零指数幂，再计算乘法和除法，最后计算加减法即可． 【详解】解：原式 ． 20. 解不等式组： 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握不等式组的解法是解题关键，先分别求出两个不等式的解集，再利用口诀求出这些解集的公共部分：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小解不了（无解）．即可求得不等式组的解集． 【详解】解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， 则不等式组的解集为． 21. 如图，在平面直角坐标系内三顶点的坐标分别为，，． （1）画出关于y轴对称的； （2）以点B为位似中心，在点B的下方画出，使与位似，且位似比为； （3）直接写出点，的坐标． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）， 【解析】 【分析】（1）根据轴对称变换：关于y轴对称的点纵坐标不变，横坐标是原来相反数的性质找出对应点，再一次连接即可； （2）根据位似变换的性质：位似图形的对应点到位似中心的距离之比为相似比，找出对应点即可，再一次连接即可； （3）根据关于y轴对称的点的特征，即可写出的坐标，根据位似图形的性质，即可写出的坐标． 【小问1详解】 解：如图所示，即为所求； 【小问2详解】 如图所示，即为所求； 【小问3详解】 由图可知： ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵与位似，且位似比为 ∴， ∴． 综上：，． 【点睛】本题考查了利用轴对称变换作图，利用位似变换作图，根据网络结构的特点，准确找出对应点的位置是解题的关键． 22. 美育是审美教育、情操教育、心灵教育，也是丰富想象力和培养创新意识的教育．某校为践行美育教育，组织全校师生开展中国名画鉴赏活动． （1）若该校美术老师想了解哪幅中国名画最受学生喜爱，根据调查数据分析，你认为最具有参考意义的统计量是______；（填“平均数”、“中位数”、“众数”、“方差”中的一项） （2）通过调查，有3幅名画较能激发出学生参与鉴赏活动的热情，供师生选择： A．《千里江山图》； B．《清明上河图》； C．《韩熙载夜宴图》． 小彩和小云参加了本次活动，按活动规则分别从A，B，C三幅名画中随机选择一幅进行鉴赏．请用列表法或画树状图法中的一种方法，求小彩和小云恰好选择到同一幅名画进行鉴赏的概率． 【答案】（1）众数 （2） 【解析】 【分析】本题考查了统计分析中的统计量的定义和意义，以及画树状图或列表法求概率，熟练掌握各个统计量的定义和意义，画树状图或列表法求概率是解题的关键． （1）根据众数的定义：一组数据中出现次数最多的数据称为这组数据的众数，即可得解； （2）列表求出一共有9种等可能结果，其中“抽到同一幅名画”有3种结果，利用概率公式即可求解； 【小问1详解】 根据众数的定义：一组数据中出现次数最多的数据称为这组数据的众数，可知想了解哪幅中国名画最受学生喜爱，最具有参考意义的统计量是众数； 【小问2详解】 列表如下： A B C A B C 由上表可知，共有9种等可能结果，其中“抽到同一幅名画”有3种结果，分别为 ，，， 所以“抽到同一幅名画”的概率为， 即：P（抽到同一幅名画）． 23. 如图，内接于，是的直径，与相切于点，交的延长线于点，为的中点，连接、． （1）求证：是的切线； （2）已知，，求． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由等腰三角形的性质可得，由圆周角定理可得，由直角三角形的性质可得，可得，由切线的性质可得可证即可证明结论； （2）通过证明，可得，可求的帐，由三角形中位线定理可求解． 【小问1详解】 证明：如图，连接． ， ． 直径， ， ， 为的中点， ， ， 与相切于点， ， ， ， ， ， 又为半径， 是的切线 【小问2详解】 解：，， ， ， ， ， ． 为的中点，为中点， ， 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质、圆的有关知识、等腰三角形的性质、直角三角形的性质等知点，利用相似三角形的性质求出的长是本题的关键． 24. 螺蛳粉入选国家级非物质文化遗产名录，为满足广大消费者需求，某超市购进A、B两种品牌螺蛳粉，已知A品牌螺蛳粉比B品牌螺蛳粉每袋进价少2元，用3500元购进A品牌螺蛳粉与用4500元购进B品牌螺蛳粉的数量相同． （1）A，B两种品牌螺蛳粉每袋的进价分别是多少元？ （2）本次购进A、B品牌螺蛳粉共900袋，每袋均按12元出售，且购进A品牌螺蛳粉的数量不超过B品牌螺蛳粉数量的2倍，若该批螺蛳粉全部售完，则该超市应购进A、B两种品牌螺蛳粉各多少袋才能获得最大利润？最大利润是多少元？ 【答案】（1）种品牌螺蛳粉每袋的进价为元，则B品牌螺蛳粉每袋进价为元 （2）该超市应购进A、B两种品牌螺蛳粉分别为袋和袋才能获得最大利润，最大利润是元 【解析】 【分析】（1）设种品牌螺蛳粉每袋的进价为元，根据A品牌螺蛳粉比B品牌螺蛳粉每袋进价少2元，用3500元购进A品牌螺蛳粉与用4500元购进B品牌螺蛳粉的数量相同，列出方程进行求解即可； （2）设购进种品牌螺蛳粉的数量为袋，设利润为，根据题意，列出一次函数解析式，利用一次函数的性质进行求解即可． 【小问1详解】 解：设种品牌螺蛳粉每袋的进价为元，则B品牌螺蛳粉每袋进价为元，由题意，得：， 解得：； 经检验，是原方程的解， ∴， 答：种品牌螺蛳粉每袋的进价为元，则B品牌螺蛳粉每袋进价为元； 【小问2详解】 设购进种品牌螺蛳粉的数量为袋，则：购进B品牌螺蛳粉袋，由题意，得：，解得：； 设利润为元，则：， 整理，得：， ∵， ∴当时，，的值最大为； 答：该超市应购进A、B两种品牌螺蛳粉分别为袋和袋才能获得最大利润，最大利润是元． 【点睛】本题考查分式方程的实际应用，一次函数的实际应用．找准等量关系，正确的列出方程和一次函数解析式，是解题的关键． 25. 【问题情境】 如图1，点为正方形内一点，，将绕点按顺时针方向旋转，得到（点的对应点为点），延长交于点，连接． （1）四边形的形状是_________； 【解决问题】 （2）若，，则正方形的面积为_________； 【猜想证明】 （3）如图2，若，请猜想线段与的数量关系并加以证明． 【答案】（1）正方形；（2）225；（3），证明见解析 【解析】 【分析】（1）首先证明四边形是矩形，再根据“邻边相等的矩形”是正方形证明即可； （2）由勾股定理可求的值，即可求解； （3）过点作于点H，则，，由“”可证，可得，即可求解． 【详解】解：（1）结论：四边形正方形． 理由如下： ∵是由绕点按顺时针方向旋转得到的， ∴，， 又∵， ∴四边形是矩形， 由旋转可知：， ∴四边形是正方形． 故答案为：正方形； （2）∵，， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴正方形的面积． 故答案为：225； （3）结论：， 理由如下：如下图，过点作于点， 则，， ∵， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 由旋转可知，， 由（1）可知，四边形是正方形， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了正方形的判定与性质、全等三角形的判定和性质、旋转的性质、勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题． 26. 综合与实践 优化洒水车为公路两侧绿化带浇水效率 信息1 如图1，洒水车沿着平行于公路路牙方向行驶，喷水口H离地竖直高度为． 信息2 如图2，可以把洒水车喷出水的内、外边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象；把绿化带横截面抽象为矩形，其水平宽度，竖直高度．内边缘抛物线是由外边缘抛物线向左平移得到，外边抛物线最高点A离喷水口的水平距离为，高出喷水口． 问题解决 任务1 确定浇灌方式 （1）求外边缘抛物线的函数解析式，并求喷出水的最大射程； （2）直接写出内边缘抛物线与x轴的正半轴交点B的坐标； 任务2 提倡有效浇灌 （3）要使洒水车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，求的取值范围． 【答案】（1），最大射程为 （2）点的坐标为 （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数是实际应用，解题的关键是熟练掌握待定系数法求二次函数解析式，二次函数的平移，二次函数与坐标轴的交点等知识，读懂题意，建立二次函数模型． （1）根据题意可得是外边缘抛物线的顶点，抛物线过点，用顶点式即可求解函数解析式，求出函数值为时的的值即可求喷出水的最大射程； （2）根据对称轴为直线可得点的对称点为,则是由向左平移得到的，即可求出点的坐标； （3）根据，求出点F的坐标，利用增减性可得的最大值和最小值，从而得出答案． 【详解】解：（1）如图, 由题意得是外边缘抛物线的顶点， 设， 又∵抛物线过点， ， ， ∴外边缘抛物线的函数解析式为， 当时, ，解得(舍去)， ∴喷出水的最大射程为； 对称轴为直线 ∴点的对称点为， 是由向左平移得到的， 由（1）可得， ∴点的坐标为； （3）∵， ∴点的纵坐标为， ， 解得 ， ∵， ， 当时， 随的增大而减小， ∴当时, 要使， 则， ∵当时, 随的增大而增大，且时， ， ∴当时，要使，则， ∵，灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带， ∴的最大值为，再看下边缘抛物线，喷出的水能浇灌到绿化带底部的条件是， ∴的最小值为， 综上所述，的取值范围是． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$