重难点提优01 根的判别式5大题型提升练-【帮课堂】2024-2025学年九年级数学上册同步学与练（苏科版）

专题提优1 一元二次方程根的判别式 题型01 利用根的判别式判断一元二次方程根的情况 1．一元二次方程2x2﹣4x+3＝0根的情况是（　　） A．有一个实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．没有实数根 【分析】根据根的判别式计算判断即可． 【解答】解：∵2x2﹣4x+3＝0， ∴Δ＝（﹣4）2﹣4×2×3＜0， 故方程没有实数根， 故选：D． 【点评】本题考查了一元二次方程的根的判别式，熟练掌握判别式是解题的关键． 2．在平面直角坐标系中，若直线y＝2x﹣m不经过第四象限，则关于x的方程mx2﹣2x+1＝0的实数根的个数为（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．1或2个 【分析】根据直线y＝2x﹣m不经过第四象限，可得m≤0，分情况讨论：当m＝0时，方程变为一元一次方程，有1个实数根；当m＜0时，Δ＝4﹣4m＞0，方程有两个不相等的实数根，即可进行选择． 【解答】解：∵直线y＝2x﹣m不经过第四象限， ∴﹣m≥0， 解得m≤0， 当m＝0时， 关于x的方程mx2﹣2x+1＝0化为﹣2x+1＝0， ∴方程有1个实数根； 当m＜0时， Δ＝4﹣4m＞0， ∴方程有两个不相等的实数根， 综上所述，方程mx2﹣2x+1＝0的实数根为1或2个， 故选：D． 【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式，一次函数的图象，熟练掌握一元二次方程根的情况与判别式的关系是解题的关键． 3．已知关于x的一元二次方程2x2﹣（m+n）x+mn＝0，其中m，n在数轴上的对应点如图所示，则这个方程的根的情况是（　　） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 【分析】根据数轴上表示的点的值和根的判别式Δ＝（m+n）2﹣8mn，判定根的情况有两个不相等实数根． 【解答】解：由数轴看出m＞0，n＜0， ∵2x2﹣（m+n）x+mn＝0是关于x的一元二次方程， ∴Δ＝（m+n）2﹣8mn， ∵m＞0，n＜0， ∴﹣8mn＞0， ∴Δ＝（m+n）2﹣8mn＞0， ∴原方程有两个不相等的实数根． 故选：A． 【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解决此类问题的关键． 题型02 利用根的判别式确定一元二次方程中参数的值 1．关于x的一元二次方程x2﹣2x+a＝0有两个相等的实数根，则a的值是（　　） A．4 B．﹣4 C．1 D．﹣1 【分析】由一元二次方程根的判别式，解出即可． 【解答】解：∵一元二次方程有两个相等的实数根， ∴Δ＝0， ∴（﹣2）2﹣4×1×a＝0， 解得，a＝1； 故选：C． 【点评】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，①当Δ＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；②当Δ＝0时，方程有两个相等的两个实数根；③当Δ＜0时，方程无实数根． 2．等腰三角形三边长分别为a、b、4，且a、b是关于x的一元二次方程x2﹣12x+k+2＝0的两根，则k的值为（　　） A．30 B．34或30 C．36或30 D．34 【分析】由等腰三角形的性质可知“a＝b，或a、b中有一个数为4”，当a＝b时，由根的判别式b2﹣4ac＝0即可得出关于k的一元一次方程，解方程可求出此时k的值；a、b中有一个数为4时，将x＝4代入到原方程可得出关于k的一元一次方程，解方程即可求出此时的k值，将k值代入原方程得出a、b的值，结合三角形的三边关系即可得出k＝30不合适，综上即可得出结论． 【解答】解：∵等腰三角形三边长分别为a、b、4， ∴a＝b，或a、b中有一个数为4． 当a＝b时，有b2﹣4ac＝（﹣12）2﹣4（k+2）＝0， 解得：k＝34； 当a、b中有一个数为4时，有42﹣12×4+k+2＝0， 解得：k＝30， 当k＝30时，原方程为x2﹣12x+32＝0， 解得：x1＝4，x2＝8， ∵4+4＝8， ∴k＝30不合适． 故选：D． 【点评】本题考查了根的判别式、解一元一次方程以及三角形三边关系，解题的关键是分两种情况考虑k值．本题属于基础题，难度不大，解决该类型题目时，根据根的个数结合根的判别式得出关于未知数k的方程（或不等式）是关键． 3．关于x的一元二次方程（m﹣4）x2+2mx+m+3＝0有实根，则m取值范围是 　 　． 【分析】直接利用一元二次方程根的判别式、一元二次方程的定义求解即可得． 【解答】解：∵关于x的一元二次方程（m﹣4）x2+2mx+m+3＝0有实数根， ∴， 解得m≥﹣12且m≠4． 故答案为：m≥﹣12且m≠4． 【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式和一元二次方程的定义，熟练掌握根的判别式和根的关系是解答本题的关键． 4．当a，b为何值时，方程x2+2（1+a）x+3a2+4ab+4b2+2＝0有实数根？ 【分析】由方程有实数根，得到△≥0，即∵Δ＝4（1+a）2﹣4（3a2+4ab+4b2+2）＝﹣8a2﹣16ab﹣16b2+8a﹣4≥0，再经过变形得，（a﹣1）2+（a+2b）2≤0，所以有a﹣1＝0且a+2b＝0，由此可求出a，b的值． 【解答】解：若方程x2+2（1+a）x+3a2+4ab+4b2+2＝0有实数根，则△≥0， ∵Δ＝4（1+a）2﹣4（3a2+4ab+4b2+2）， ＝4a2+8a+4﹣12a2﹣16ab﹣16b2﹣8， ＝﹣8a2﹣16ab﹣16b2+8a﹣4， ∴﹣8a2﹣16ab﹣16b2+8a﹣4≥0， 即﹣2a2﹣4ab﹣4b2+2a﹣1≥0， ﹣a2+2a﹣1﹣a2﹣4ab﹣4b2≥0， （a﹣1）2+（a+2b）2≤0． 因为（a﹣1）2+（a+2b）2≥0， ∴（a﹣1）2+（a+2b）2＝0， ∴a﹣1＝0且a+2b＝0， 所以a＝1，b． 所以当a＝1，b时，方程x2+2（1+a）x+3a2+4ab+4b2+2＝0有实数根． 【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0，a，b，c为常数）根的判别式．当Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0，方程没有实数根．也考查了几个非负数的和为0的性质以及代数式变形的能力． 题型03 利用根的判别式确定一元二次方程中参数的取值范围 1．如果关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是（　　） A． B．k＜1且k≠0 C． D．且k≠0 【分析】根据方程有两个不相等的实数根，则Δ＞0，以及二次根式有意义的条件，由此建立关于k的不等式，然后就可以求出k的取值范围． 【解答】解：由题意知：2k+1≥0，k≠0，Δ＝2k+1﹣4k＞0， ∴k，且k≠0． 故选：D． 【点评】此题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程根的判别式Δ＝b2﹣4ac．当Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0，方程没有实数根．同时考查了一元一次不等式的解法二次根式有意义的条件． 2．若关于x的一元二次方程x2﹣2x+a﹣1＝0没有实数根，则a的取值范围是（　　） A．a＜2 B．a＞2 C．a＜﹣2 D．a＞﹣2 【分析】根据根的判别式即可求出答案． 【解答】解：由题意可知：Δ＝4﹣4（a﹣1）＜0， ∴a＞2， 故选：B． 【点评】本题考查一元二次方程的根的判别式，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，本题属于基础题型． 3．若|b﹣1|0，且一元二次方程kx2+ax+b＝0有实数根，则k的取值范围是　 　． 【分析】根据非负数的性质求出a、b的值，转化成关于k的不等式即可解答． 【解答】解：∵|b﹣1|0， ∴b＝1，a＝4， ∴原方程为kx2+4x+1＝0， ∵该一元二次方程有实数根， ∴Δ＝16﹣4k≥0， 解得：k≤4， ∵方程kx2+ax+b＝0是一元二次方程， ∴k≠0， k的取值范围是：k≤4且k≠0， 故答案为：k≤4且k≠0． 【点评】本题考查了根的判别式，利用判别式得到关于k的不等式是解题的关键． 4．已知关于x的方程3x2+2x﹣m＝0有两个不相等的实数根，求实数m的取值范围． 【分析】利用判别式的意义得到Δ＝22﹣4×3×（﹣m）＞0，然后解不等式即可． 【解答】解：根据题意得Δ＝22﹣4×3×（﹣m）＞0， 解得m， 即实数m的取值范围为m． 【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根． 题型04 利用根的判别式求最值 1．关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+2x﹣2＝0有两个不相等的实数根，则整数k的最小值是（　　） A．1 B．0 C．2 D．3 【分析】若一元二次方程有两不相等实数根，则根的判别式Δ＝b2﹣4ac＞0，建立关于k的不等式，求出k的取值范围，并结合二次项系数不为0求出k的最小值． 【解答】解：∵关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+2x﹣2＝0有两个不相等的实数根， ∴Δ＝4﹣4（k﹣1）×（﹣2）＞0，且k﹣1≠0， 解得k，且k≠1， 则k的最小整数值是2． 故选：C． 【点评】本题主要考查了根的判别式的知识，解答本题的关键是根据Δ＞0⇔方程有两个不相等的实数根列出k的不等式，此题难度不大． 2．关于x的方程（m﹣2）x2+2x+1＝0有实数根，则偶数m的最大值为　　． 【分析】由方程有实数根，可得出b2﹣4ac≥0，代入数据即可得出关于m的一元一次不等式，解不等式即可得m的取值范围，再找出其内的最大偶数即可． 【解答】解：当m﹣2＝0时，原方程为2x+1＝0， 解得：x， ∴m＝2符合题意； 当m﹣2≠0时，Δ＝b2﹣4ac＝22﹣4（m﹣2）≥0， 即12﹣4m≥0， 解得：m≤3且m≠2． 综上所述：m≤3， ∴偶数m的最大值为2． 故答案为：2． 【点评】本题考查了根的判别式以及解一元一次方程，分方程为一元一次或一元二次方程两种情况找出m的取值范围是解题的关键． 3．若关于x的一元二次方程mx2+（m+2）x+2＝0的根都是整数，则整数m的最大值是 　　． 【分析】先利用因式分解法解方程得出含m的根，再由根是整数求出m的值即可． 【解答】解：把原方程利用因式分解法分解因式可得：（mx+2）（x+1）＝0， ∴mx+2＝0或x+1＝0， 解得：或x＝﹣1， ∵方程两个实数根都是整数且整数m≠0， ∴m为±1，±2． ∴最大值为2． 故答案为：2． 【点评】本题主要考查因式分解法解一元二次方程，熟练掌握十字相乘法进行因式分解是关键． 4．已知关于x的方程x2﹣4x+k＝0有两个不相等的实数根． （1）求k的取值范围； （2）若k在它的取值范围内取最大整数值，求出此时方程的解． 【分析】（1）根据一元二次方程的根的判别式，建立关于k的不等式，求出k的取值范围； （2）从上题中找到k的最大整数，代入方程后求解即可． 【解答】解：（1）∵一元二次方程x2﹣4x+k＝0有两个不相等的实数根， ∴Δ＝（﹣4）2﹣4k＝16﹣4k＞0， ∴k＜4； （2）∵k是符合条件的最大整数， ∴k＝3， ∴原方程为：x2﹣4x+3＝0， ∴（x﹣1）（x﹣3）＝0， ∴x1＝1，x2＝3． 【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式和因式分解法解方程，熟知一元二次方程的根的判别式与方程解根的关系是解题的关键． 题型05 证明一元二次方程必有实数根问题 1．已知关于x的一元二次方程x2﹣2mx+2m﹣2＝0． （1）若该方程有一个根是x＝2，求m的值； （2）求证：无论m取什么值，该方程总有两个实数根． 【分析】（1）根据一元二次方程解的定义把x＝2代入原方程求出m的值即可； （2）求出Δ＝4（m﹣1）2≥0即可证明结论． 【解答】（1）解：把x＝2代入x2﹣2mx+2m﹣2＝0中得：22﹣4m+2m﹣2＝0， 解得m＝1； （2）证明：由题意得，Δ＝（﹣2m）2﹣4（2m﹣2） ＝4m2﹣8m+8＝4（m﹣1）2≥0， ∴无论m取什么值，该方程总有两个实数根． 【点评】本题主要考查了一元二次方程解的定义，根的判别式，熟练掌握根的判别式与根的关系是解答本题的关键． 2．已知：关于x的方程x2+2kx+k2﹣1＝0． （1）试说明无论k取何值时，方程总有两个不相等的实数根； （2）如果方程有一个根为3，试求2k2+12k+2018的值． 【分析】（1）由Δ＝（2k）2﹣4×1×（k2﹣1）＝4＞0可得答案； （2）将x＝3代入方程得k2+6k＝﹣8，代入原式计算可得． 【解答】解：（1）∵Δ＝（2k）2﹣4×1×（k2﹣1）＝4k2﹣4k2+4＝4＞0， ∴无论k取何值时，方程总有两个不相等的实数根； （2）因为方程有一个根为3， 所以9+6k+k2﹣1＝0，即k2+6k＝﹣8 所以2k2+12k+2018＝2（k2+6k）+2018＝﹣16+2018＝2002． 【点评】本题考查根的判别式，解题的关键是记住判别式，Δ＞0有两个不相等实数根，Δ＝0有两个相等实数根，Δ＜0没有实数根，属于中考常考题型． 3．已知关于x的一元二次方程x2﹣（k+5）x+6+2k＝0． （1）求证：此方程总有两个实数根； （2）若此方程恰有一个根小于﹣1，求k的取值范围． 【分析】（1）计算根的判别式得到Δ＝（k+1）2≥0，然后根据根的判别式的意义得到结论； （2）解方程得到x1＝2，x2＝k+3，则k+3＜﹣1，然后解不等式即可． 【解答】（1）证明：∵Δ＝（k+5）2﹣4（6+2k） ＝k2+2k+1 ＝（k+1）2≥0， ∴此方程总有两个实数根； （2）∵x， ∴x1＝2，x2＝k+3， ∵此方程恰有一个根小于﹣1， ∴k+3＜﹣1， 解得k＜﹣4， 即k的取值范围为k＜﹣4． 【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根． 4．已知一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+k＝0． （1）求证：方程有两个不相等的实数根； （2）若△ABC的两边AB、AC的长是这个方程的两个实数根，第三边BC的长为5．当△ABC是等腰三角形时，求k的值． 【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式，可得出Δ＝1＞0，由此可证出：无论k为何值，方程总有两个不相等的实数根； （2）由Δ＝1＞0可知AB≠AC，代入x＝5可求出k的值，将k值代入原方程，解方程可得出AB、AC的长度，由三角形的三边关系可确定两个k值均符合题意，此题得解． 【解答】（1）证明：∵Δ＝[﹣（2k+1）]2﹣4（k2+k）＝1＞0， ∴无论k为何值，方程总有两个不相等的实数根； （2）解：∵Δ＝1＞0， ∴AB≠AC， ∴AB、AC中有一个数为5． 将x＝5代入原方程，得：25﹣5（2k+1）+k2+k＝0，即k2﹣9k+20＝0， 解得：k1＝4，k2＝5． 当k＝4时，原方程为x2﹣9x+20＝0， ∴x1＝4，x2＝5． ∵4、5、5能围成等腰三角形， ∴k＝4符合题意； 当k＝5时，原方程为x2﹣11x+30＝0， 解得：x1＝5，x2＝6． ∵5、5、6能围成等腰三角形， ∴k＝5符合题意． 综上所述：k的值为4或5． 【点评】本题考查了根的判别式、一元二次方程的解、等腰三角形的性质以及三角形三边关系，解题的关键是：（1）牢记“当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根”；（2）代入x＝5求出k值． 提优练习 1．已知一次函数y＝kx+b的大致图象如图所示，则关于x的一元二次方程x2﹣2x+kb+1＝0的根的情况是（　　） A．有两个不相等的实数根 B．没有实数根 C．有两个相等的实数根 D．有一个根是0 【分析】先利用一次函数的性质得k＞0，b＜0，再计算判别式的值得到Δ＝﹣4kb，于是可判断Δ＞0，然后根据判别式的意义判断方程根的情况． 【解答】解：根据图象可得k＞0，b＜0， 所以kb＜0， 因为Δ＝（﹣2）2﹣4（kb+1）＝4﹣4kb﹣4＝﹣4kb， 所以Δ＞0， 所以方程有两个不相等的实数根． 故选：A． 【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．也考查了一次函数图象． 2．已知关于x的一元二次方程（a+1）x2+2bx+（a+1）＝0有两个相等的实数根，下列判断正确的是（　　） A．1一定不是关于x的方程x2+bx+a＝0的根 B．0一定不是关于x的方程x2+bx+a＝0的根 C．1和﹣1都是关于x的方程x2+bx+a＝0的根 D．1和﹣1不都是关于x的方程x2+bx+a＝0的根 【分析】根据方程有两个相等的实数根可得出b＝a+1或b＝﹣（a+1），当b＝a+1时，﹣1是方程x2+bx+a＝0的根；当b＝﹣（a+1）时，1是方程x2+bx+a＝0的根．再结合a+1≠﹣（a+1），可得出1和﹣1不都是关于x的方程x2+bx+a＝0的根． 【解答】解：∵关于x的一元二次方程（a+1）x2+2bx+（a+1）＝0有两个相等的实数根， ∴， ∴b＝a+1或b＝﹣（a+1）． 当b＝a+1时，有a﹣b+1＝0，此时﹣1是方程x2+bx+a＝0的根； 当b＝﹣（a+1）时，有a+b+1＝0，此时1是方程x2+bx+a＝0的根． ∵a+1≠0， ∴a+1≠﹣（a+1）， ∴1和﹣1不都是关于x的方程x2+bx+a＝0的根． 故选：D． 【点评】本题考查了根的判别式以及一元二次方程的定义，牢记“当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根”是解题的关键． 3．关于x的一元二次方程（m﹣5）x2+2x+2＝0有实数根，则m的最大整数值是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】根据方程有实数根得出△≥0且m﹣5≠0，求出不等式的解集即可． 【解答】解：∵关于x的一元二次方程（m﹣5）x2+2x+2＝0有实根， ∴Δ＝22﹣4（m﹣5）×2≥0且m﹣5≠0， 解得：m≤5.5且m≠5， m的最大整数解为4． 故选：D． 【点评】本题考查了根的判别式和解一元一次不等式，能得出关于m的不等式是解此题的关键． 4．若关于x的一元二次方程kx2﹣x+1＝0有实数根，则k的取值范围是（　　） A．k且k≠0 B．k且k≠0 C．k且k≠0 D．k 【分析】根据二次项系数非零及根的判别式△≥0，即可得出关于k的一元一次不等式组，解之即可得出结论． 【解答】解：∵关于x的一元二次方程kx2﹣x+1＝0有实数根， ∴k≠0且Δ＝（﹣1）2﹣4k≥0， 解得：k且k≠0． 故选：C． 【点评】本题考查了一元二次方程的定义以及根的判别式，根据二次项系数非零结合根的判别式△≥0，找出关于k的一元一次不等式组是解题的关键． 5．在△ABC中BC＝2，AB＝2，AC＝b，且关于x的方程x2﹣2bx+4b＝0有两个相等的实数根，则AC边上的中线长为　2　． 【分析】由根的判别式求出AC＝b＝4，由勾股定理的逆定理证出△ABC是直角三角形，再由直角三角形斜边上的中线性质即可得出结论． 【解答】解：∵关于x的方程x2﹣2bx+4b＝0有两个相等的实数根， ∴Δ＝4b2﹣16b＝0， 解得b1＝4，b2＝0（舍去） ∴AC＝b＝4， ∵BC＝2，AB＝2， ∴BC2+AB2＝AC2， ∴△ABC是直角三角形，AC是斜边， ∴AC边上的中线长AC＝2； 故答案为：2． 【点评】本题考查了根的判别式，勾股定理的逆定理，直角三角形斜边上的中线性质；证明△ABC是直角三角形是解决问题的关键． 6．关于x的一元二次方程x2+bx+c＝0有两个相等的实数根，则b2﹣2（1+2c）＝　﹣2　； 【分析】由一元二次方程有有两个相等的实数根得Δ＝b2﹣4ac＝0，得到b2﹣4c＝0，再将其代入所求式子中计算即可求解． 【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2+bx+c＝0有两个相等的实数根， ∴Δ＝b2﹣4c＝0， ∴b2＝4c， ∴b2﹣2（1+2c） ＝b2﹣4c﹣2 ＝0﹣2 ＝﹣2． 故答案为：﹣2． 【点评】本题主要考查一元二次方程根的判别式． 7．已知关于x的一元二次方程ax2+bx+2＝0有两个相等的实数根，则　　． 【分析】由方程有两个不相等的实数根，得到根的判别式等于0，列出关系式，求得b2＝8a，代入计算即可求出值． 【解答】解：∵关于x的一元二次方程ax2+bx+2＝0有两个相等的实数根， ∴a≠0，Δ＝b2﹣8a＝0， ∴b2＝8a， 则， 故答案为：． 【点评】此题考查了根的判别式，熟练掌握根的判别式与方程解的关系是解本题的关键． 8．若关于x的方程（3+a）x2﹣5x+1＝0有实数根，则整数a的最大值　3　． 【分析】由于关于x的方程（3+a）x2﹣5x+1＝0有实数根，分情况讨论： ①当3+a＝0即a＝﹣3时，此时方程为一元一次方程，方程一定有实数根； ②当3+a≠0即a≠﹣3时，此时方程为一元二次方程，如果方程有实数根，那么其判别式是一个非负数，由此可以确定整数a的最大值． 【解答】解：当a＝﹣3时，原方程可化为﹣5x+1＝0，解得：x，此时方程有实数根； 当a≠﹣3时，∵关于x的方程（3+a）x2﹣5x+1＝0有实数根， ∴Δ＝（﹣5）2﹣4×（3+a）×1≥0，即13﹣4a≥0， 解得：a， 则整数a的最大值为3， 故答案为：3． 【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式的应用．一元二次方程根的情况与判别式△的关系： （1）Δ＞0⇔方程有两个不相等的实数根； （2）Δ＝0⇔方程有两个相等的实数根； （3）Δ＜0⇔方程没有实数根． 注意此方程应分是一元二次方程与不是一元二次方程两种情况进行讨论． 9．如果恰好只有一个实数a是方程（k2﹣9）x2﹣2（k+1）x+1＝0的根，则k的值为 　±3或﹣5　． 【分析】分原方程是一元一次方程和一元二次方程两种情况讨论即可得到答案． 【解答】解：①当原方程是一个一元一次方程时，方程只有一个实数根， 则k2﹣9＝0， 解得k＝±3， ②如果方程是一元二次方程时，则方程有两个相等的实数根， 即Δ＝b2﹣4ac＝0， 即：4（k+1）2﹣4（k2﹣9）＝0 解得：k＝﹣5． 故答案为±3或﹣5． 【点评】本题考查了根的判别式，同时还考查了分类讨论思想，是一道好题． 10．关于x的一元二次方程x2﹣3x+k＝0有实数根． （1）求k的取值范围； （2）如果k是符合条件的最大整数，且一元二次方程（m﹣1）x2+x+m﹣3＝0与方程x2﹣3x+k＝0有一个相同的根，求此时m的值． 【分析】（1）利用根的判别式的意义得到Δ＝（﹣3）2﹣4k≥0，然后解不等式即可； （2）先求出k的值，再代入方程x2﹣3x+k＝0，求出x＝2或x＝1，把x＝2或x＝1代入方程求出m的值即可． 【解答】解：（1）根据题意得Δ＝（﹣3）2﹣4k≥0， 解得k； （2）∵k是符合条件的最大整数， ∴当k时的最大整数值是2， 则关于x的方程x2﹣3x+k＝0是x2﹣3x+2＝0， 解得：x1＝1，x2＝2， ∵一元二次方程（m﹣1）x2+x+m﹣3＝0与方程x2﹣3x+k＝0有一个相同的根， ∴当x＝2时，4（m﹣1）+2+m﹣3＝0， 解得m＝1； 而m﹣1≠0，所以m＝1舍去， 当x＝1时，（m﹣1）+1+m﹣3＝0， 解得m， ∴m的值为． 【点评】本题考查了根的判别式以及一元二次方程的解等知识，熟练掌握根的判别式是解题的关键． 11．已知关于x的一元二次方程ax2+（3a+1）x+2（a+1）＝0（a≠0） （1）求证：无论a为任何非零实数，方程总有两个实数根； （2）当a取何整数时，关于x的方程ax2+（3a+1）x+2（a+1）＝0（a≠0）的两个实数根均为负整数． 【分析】（1）先根据题意求出△的值，再根据一元二次方程根的情况与判别式△的关系即可得出答案； （2）先利用因式分解法求出方程的两根为x1＝﹣2，x2，再根据两个实数根均为负整数，得出必须为正整数，那么整数a＝1． 【解答】（1）证明：∵Δ＝（3a+1）2﹣4a•2（a+1）＝a2﹣2a+1＝（a﹣1）2≥0， ∴无论a为任何非零实数，方程总有两个实数根； （2）解：∵ax2+（3a+1）x+2（a+1）＝0（a≠0）， ∴（x+2）[ax+a+1]＝0， ∴x+2＝0，或ax+a+1＝0， 解得x1＝﹣2，x2． 要使两个实数根均为负整数，则必须为正整数， ∴整数a＝1． 【点评】本题考查了根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式△的关系： （1）Δ＞0⇔方程有两个不相等的实数根； （2）Δ＝0⇔方程有两个相等的实数根； （3）Δ＜0⇔方程没有实数根． 12．已知关于x的方程x2﹣（3k+1）x+2k2+2k＝0． （1）求证：无论k取何实数值，方程总有实数根； （2）若等腰三角形ABC的一边长a＝6，另两边长b，c恰好是这个方程的两个根，求此三角形的周长． 【分析】（1）计算方程的根的判别式，若Δ＝b2﹣4ac≥0，则证明方程总有实数根； （2）已知a＝6，则a可能是底，也可能是腰，分两种情况求得b，c的值后，再求出△ABC的周长．注意两种情况都要用三角形三边关系定理进行检验． 【解答】（1）证明：∵Δ＝b2﹣4ac＝（3k+1）2﹣4（2k2+2k）＝9k2+6k+1﹣8k2﹣8k＝k2﹣2k+1＝（k﹣1）2≥0 ∴无论k取何值，方程总有实数根． （2）解：①若a＝6为底边，则b，c为腰长，则b＝c，则Δ＝0． ∴（k﹣1）2＝0，解得：k＝1． 此时原方程化为x2﹣4x+4＝0 ∴x1＝x2＝2，即b＝c＝2． 此时△ABC三边为6，2，2不能构成三角形，故舍去； ②若a＝6为腰，则b，c中一边为腰，不妨设b＝a＝6 代入方程：62﹣6（3k+1）+2k2+2k＝0 解得k＝3或5， 则原方程化为x2﹣10x+24＝0或x2﹣16x+60＝0 解得x1＝4，x2＝6或x1＝6，x2＝10 即b＝6，c＝4，或b＝6，c＝10 此时△ABC三边为6，6，4或6，6，10能构成三角形， 周长为6+6+4＝16或6+6+10＝22． 【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0，a，b，c为常数）的根的判别式Δ＝b2﹣4ac．当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程没有实数根． 13．已知关于x的一元二次方程x2﹣2x+m﹣1＝0有两个实数根． （1）求m的取值范围； （2）设p是方程的一个实数根，且满足（p2﹣2p+3）（m+4）＝7，求m的值． 【分析】（1）由方程根的情况，根据判别式可得到关于m的不等式，则可求得m的取值范围； （2）由方程根的定义，可用m表示出p，代入已知等式可得到关于m的方程，则可求得m的取值范围． 【解答】解： （1）∵关于x的一元二次方程x2﹣2x+m﹣1＝0有两个实数根， ∴△≥0，即（﹣2）2﹣4（m﹣1）≥0， 解得m≤2； （2）∵p是方程的一个实数根， ∴p2﹣2p+m﹣1＝0， ∴p2﹣2p＝1﹣m， ∵（p2﹣2p+3）（m+4）＝7， ∴（1﹣m+3）（m+4）＝7，即m2＝9， 解得m＝3或m＝﹣3， 又由（1）可知m≤2， ∴m＝﹣3． 【点评】本题主要考查根的判别式，掌握方程根的情况与根的判别式的关系是解题的关键． 14．已知关于x的一元二次方程（a+c）x2+2bx+（a﹣c）＝0，其中a，b，c分别为△ABC三边的长． （1）如果x＝﹣1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由； （2）如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由； （3）如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根． 【分析】（1）把x＝﹣1代入方程得a+c﹣2b+a﹣c＝0，整理得a＝b，从而可判断三角形的形状； （2）根据判别式的意义得Δ＝（2b）2﹣4（a+c）（a﹣c）＝0，即b2+c2＝a2，然后根据勾股定理可判断三角形的形状； （3）利用等边三角形的性质得a＝b＝c，方程化为x2+x＝0，然后利用因式分解法解方程． 【解答】解：（1）△ABC是等腰三角形； 理由：把x＝﹣1代入方程得a+c﹣2b+a﹣c＝0，则a＝b，所以△ABC为等腰三角形； （2）△ABC为直角三角形； 理由：根据题意得Δ＝（2b）2﹣4（a+c）（a﹣c）＝0，即b2+c2＝a2，所以△ABC为直角三角形； （3）∵△ABC为等边三角形， ∴a＝b＝c， ∴方程化为x2+x＝0，解得x1＝0，x2＝﹣1． 【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根． 15．若方程（a2+c2）x2+2（b2﹣c2）x+c2﹣b2＝0有两个相等的实数根，且a、b、c是△ABC的三条边，求证：△ABC是等腰三角形． 【分析】先根据方程有两个相等的实数根得出Δ＝0，再得出b、c的关系即可． 【解答】证明：∵方程（a2+c2）x2+2（b2﹣c2）x+c2﹣b2＝0有两个相等的实数根， ∴Δ＝0，即[2（b2﹣c2）]2﹣4（a2+c2）（c2﹣b2）＝0，即（b2﹣c2）（b2﹣c2+a2+c2）＝0 ∴（b2﹣c2）（b2+a2）＝0 ∵b2+a2＞0 ∴b2﹣c2＝0，即b＝c， ∴△ABC是等腰三角形． 【点评】本题考查的是根的判别式，熟知一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△的关系是解答此题的关键． 16．已知关于x的一元二次方程（a+c）x2﹣2bx+（a﹣c）＝0，其中a、b、c分别为△ABC三边的长． （1）如果x＝1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由； （2）如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由； （3）如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根． 【分析】（1）把x＝1代入方程得a+c﹣2b+a﹣c＝0，整理得a＝b，从而可判断三角形的形状； （2）根据判别式的意义得Δ＝（﹣2b）2﹣4（a+c）（a﹣c）＝0，即b2+c2＝a2，然后根据勾股定理可判断三角形的形状； （3）利用等边三角形的性质得a＝b＝c，方程化为x2﹣x＝0，然后利用因式分解法解方程． 【解答】解：（1）△ABC为等腰三角形，理由如下： 把x＝1代入方程得a+c﹣2b+a﹣c＝0，则a＝b，所以△ABC为等腰三角形； （2）△ABC为直角三角形，理由如下： 根据题意得Δ＝（﹣2b）2﹣4（a+c）（a﹣c）＝0，即b2+c2＝a2，所以△ABC为直角三角形； （3）∵△ABC为等边三角形， ∴a＝b＝c， ∴方程化为x2﹣x＝0，解得x1＝0，x2＝1． 【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题提优1 一元二次方程根的判别式 题型01 利用根的判别式判断一元二次方程根的情况 1．一元二次方程2x2﹣4x+3＝0根的情况是（　　） A．有一个实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．没有实数根 2．在平面直角坐标系中，若直线y＝2x﹣m不经过第四象限，则关于x的方程mx2﹣2x+1＝0的实数根的个数为（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．1或2个 3．已知关于x的一元二次方程2x2﹣（m+n）x+mn＝0，其中m，n在数轴上的对应点如图所示，则这个方程的根的情况是（　　） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 题型02 利用根的判别式确定一元二次方程中参数的值 1．关于x的一元二次方程x2﹣2x+a＝0有两个相等的实数根，则a的值是（　　） A．4 B．﹣4 C．1 D．﹣1 2．等腰三角形三边长分别为a、b、4，且a、b是关于x的一元二次方程x2﹣12x+k+2＝0的两根，则k的值为（　　） A．30 B．34或30 C．36或30 D．34 3．关于x的一元二次方程（m﹣4）x2+2mx+m+3＝0有实根，则m取值范围是 　 　． 4．当a，b为何值时，方程x2+2（1+a）x+3a2+4ab+4b2+2＝0有实数根？ 题型03 利用根的判别式确定一元二次方程中参数的取值范围 1．如果关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是（　　） A． B．k＜1且k≠0 C． D．且k≠0 2．若关于x的一元二次方程x2﹣2x+a﹣1＝0没有实数根，则a的取值范围是（　　） A．a＜2 B．a＞2 C．a＜﹣2 D．a＞﹣2 3．若|b﹣1|0，且一元二次方程kx2+ax+b＝0有实数根，则k的取值范围是　 　． 4．已知关于x的方程3x2+2x﹣m＝0有两个不相等的实数根，求实数m的取值范围． 题型04 利用根的判别式求最值 1．关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+2x﹣2＝0有两个不相等的实数根，则整数k的最小值是（　　） A．1 B．0 C．2 D．3 2．关于x的方程（m﹣2）x2+2x+1＝0有实数根，则偶数m的最大值为　　． 3．若关于x的一元二次方程mx2+（m+2）x+2＝0的根都是整数，则整数m的最大值是 　　． 4．已知关于x的方程x2﹣4x+k＝0有两个不相等的实数根． （1）求k的取值范围； （2）若k在它的取值范围内取最大整数值，求出此时方程的解． 题型05 证明一元二次方程必有实数根问题 1．已知关于x的一元二次方程x2﹣2mx+2m﹣2＝0． （1）若该方程有一个根是x＝2，求m的值； （2）求证：无论m取什么值，该方程总有两个实数根． 2．已知：关于x的方程x2+2kx+k2﹣1＝0． （1）试说明无论k取何值时，方程总有两个不相等的实数根； （2）如果方程有一个根为3，试求2k2+12k+2018的值． 3．已知关于x的一元二次方程x2﹣（k+5）x+6+2k＝0． （1）求证：此方程总有两个实数根； （2）若此方程恰有一个根小于﹣1，求k的取值范围． 4．已知一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+k＝0． （1）求证：方程有两个不相等的实数根； （2）若△ABC的两边AB、AC的长是这个方程的两个实数根，第三边BC的长为5．当△ABC是等腰三角形时，求k的值． 提优练习 1．已知一次函数y＝kx+b的大致图象如图所示，则关于x的一元二次方程x2﹣2x+kb+1＝0的根的情况是（　　） A．有两个不相等的实数根 B．没有实数根 C．有两个相等的实数根 D．有一个根是0 2．已知关于x的一元二次方程（a+1）x2+2bx+（a+1）＝0有两个相等的实数根，下列判断正确的是（　　） A．1一定不是关于x的方程x2+bx+a＝0的根 B．0一定不是关于x的方程x2+bx+a＝0的根 C．1和﹣1都是关于x的方程x2+bx+a＝0的根 D．1和﹣1不都是关于x的方程x2+bx+a＝0的根 3．关于x的一元二次方程（m﹣5）x2+2x+2＝0有实数根，则m的最大整数值是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 4．若关于x的一元二次方程kx2﹣x+1＝0有实数根，则k的取值范围是（　　） A．k且k≠0 B．k且k≠0 C．k且k≠0 D．k 5．在△ABC中BC＝2，AB＝2，AC＝b，且关于x的方程x2﹣2bx+4b＝0有两个相等的实数根，则AC边上的中线长为　 　． 6．关于x的一元二次方程x2+bx+c＝0有两个相等的实数根，则b2﹣2（1+2c）＝　 　； 7．已知关于x的一元二次方程ax2+bx+2＝0有两个相等的实数根，则　 　． 8．若关于x的方程（3+a）x2﹣5x+1＝0有实数根，则整数a的最大值　 　． 9．如果恰好只有一个实数a是方程（k2﹣9）x2﹣2（k+1）x+1＝0的根，则k的值为 　 　． 10．关于x的一元二次方程x2﹣3x+k＝0有实数根． （1）求k的取值范围； （2）如果k是符合条件的最大整数，且一元二次方程（m﹣1）x2+x+m﹣3＝0与方程x2﹣3x+k＝0有一个相同的根，求此时m的值． 11．已知关于x的一元二次方程ax2+（3a+1）x+2（a+1）＝0（a≠0） （1）求证：无论a为任何非零实数，方程总有两个实数根； （2）当a取何整数时，关于x的方程ax2+（3a+1）x+2（a+1）＝0（a≠0）的两个实数根均为负整数． 12．已知关于x的方程x2﹣（3k+1）x+2k2+2k＝0． （1）求证：无论k取何实数值，方程总有实数根； （2）若等腰三角形ABC的一边长a＝6，另两边长b，c恰好是这个方程的两个根，求此三角形的周长． 13．已知关于x的一元二次方程x2﹣2x+m﹣1＝0有两个实数根． （1）求m的取值范围； （2）设p是方程的一个实数根，且满足（p2﹣2p+3）（m+4）＝7，求m的值． 14．已知关于x的一元二次方程（a+c）x2+2bx+（a﹣c）＝0，其中a，b，c分别为△ABC三边的长． （1）如果x＝﹣1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由； （2）如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由； （3）如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根． 15．若方程（a2+c2）x2+2（b2﹣c2）x+c2﹣b2＝0有两个相等的实数根，且a、b、c是△ABC的三条边，求证：△ABC是等腰三角形． 16．已知关于x的一元二次方程（a+c）x2﹣2bx+（a﹣c）＝0，其中a、b、c分别为△ABC三边的长． （1）如果x＝1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由； （2）如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由； （3）如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$