第21章 一元二次方程复习讲义-2024-2025学年九年级数学上学期考点考向及考法同步教学+复习讲义（人教版）

第21章 一元二次方程复习讲义（原卷版） 知识点1：一元二次方程的定义 1．（2011秋•安宁区月考）下列方程中，关于x的一元二次方程有（　　） ①x2＝0，②ax2+bx+c＝0，③x2﹣3x，④a3+a﹣x＝0，⑤（m﹣1）x2+4x0，⑥1，⑦2，⑧（x+1）2＝x2﹣9． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 2．（2022•汉川市模拟）若方程（m﹣1）x（m+1）x﹣2＝0是一元二次方程，m的值为（　　） A．1 B．± C．±1 D．﹣1 3．若关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+2x+|m|﹣1＝0的常数项为0，求m的值． 知识点2 ：解一元二次方程 4．（2024春•泰山区期中）解方程： （1）用配方法：3x2﹣4x﹣1＝0； （2）用公式法：2x2﹣5＝4（x+1）． 5．（2024春•肇源县期中）用适当的方法解下列方程． （1）2x＝x2； （2）x2﹣3x﹣1＝0； （3）x2+5＝2x； （4）（2x+3）2＝4． 知识点3：一元二次方程的解的意义 6．（2023秋•濠江区月考）方程（k+2）x|k|+3kx+1＝0是关于x的一元二次方程，则k的值为（　　） A．±2 B．﹣2 C．2 D．k的值无法确定 7．（2023春•邛崃市期中）已知x、y为实数，且方程为（x2+y2）（x2﹣2+y2）＝15，则x2+y2＝　 　． 8．（2023秋•新市区期中）若实数x满足方程（x2+2x）•（x2+2x﹣2）﹣8＝0，那么x2+2x的值为 　 　． 9．（2023春•西湖区期中）若关于x的一元二次方程ax2+bx+3＝0（a≠0）有一根为x＝2023，则一元二次方程a（x﹣1）2+b（x﹣1）+3＝0必有一根为（　　） A．2023 B．2023 C．2023 D．2023 知识点4：根的判别式，根与系数关系 10．（2023秋•江门月考）若关于x的方程（k﹣1）x2+kx+1＝0有实数根，则k的取值范围是（　　） A．全体实数 B．k＞2 C．k＜2且k≠1 D．k≠1的全体实数 11．（2023•谷城县模拟）若关于x的方程2（k+1）x2x0有实数根，则k的取值范围是（　　） A．k≤0 B．k≥﹣2或k≠﹣1 C．0≥k≥﹣2且k≠﹣1 D．﹣2≤k≤0 12．（2024•常德一模）关于x的一元二次方程kx2﹣（2k﹣1）x+k＝0有实数根，则k的取值范围为 　 　． 13．（2023秋•东莞市月考）若x1，x2是一元二次方程2x2﹣3x+5＝0的两根，则x1•x2的值是（　　） A． B． C． D． 14．（2023秋•杭锦后旗期末）设a、b是方程x2+x﹣2024＝0 的两个实数根，则a2+2a+b的值为（　　） A．2023 B．2022 C．2023 D．2024 15．（2023秋•冷水滩区月考）已知关于x的一元二次方程：x2﹣2x﹣a＝0，有下列结论： ①当a＞﹣1时，方程有两个不相等的实根； ②当a＞0时，方程不可能有两个异号的实根； ③当a＞﹣1时，方程的两个实根不可能都小于1； ④当a＞3时，方程的两个实根一个大于3，另一个小于3． 以上4个结论中，正确的有：　 　． 16．已知实数a，b分别满足a2﹣6a+4＝0，b2﹣6b+4＝0，且a≠b，则的值是（ㅤㅤ） A．7 B．﹣7 C．11 D．﹣11 17．（2023秋•冷水滩区期中）阅读下列材料：已知实数p、q满足p2﹣p﹣1＝0，1﹣q﹣q2＝0，且p•q≠1，求的值． 解：∵1﹣q﹣q2＝0，q≠0，∴每一项都除以q2得， 又∵p2﹣p﹣1＝0且，∴p、是方程x2﹣x﹣1＝0的两实根，由根与系数关系得， ∴． 根据材料中所提供的方法，解答下列问题： （1）已知实数a、b满足a2﹣15a﹣5＝0，b2﹣15b﹣5＝0，求的值； （2）已知实数p、q满足p2﹣2p﹣1＝0，1﹣2q﹣q2＝0且p•q≠1，求的值． 18．（2023秋•乾安县期末）已知关于x的一元二次方程x2﹣（m+3）x+m+2＝0． （1）求证：方程总有两个实数根； （2）若方程两个根的绝对值相等，求此时m的值． 19．（2024•津市市一模）已知关于x的一元二次方程（m﹣1）x2﹣2mx+m+2＝0． （1）若方程有实数根，求m的取值范围； （2）在等腰△ABC中，一腰长为3，其余两边长为方程的两个根，求m的值． 20．（2023秋•安溪县月考）已知方程：x2﹣4x+a＝0的一个根大于3，另一个根小于3，求a的取值范围 ． 知识点5：一元二次方程的应用 21．（2023•环江县一模）某班一物理科代表在老师的培训后学会了某个物理实验操作，回到班上后第一节课教会了若干名同学，第二节课会做该实验的同学又教会了同样多的同学，这样全班共有36人会做这个实验；若设1人每次都能教会x名同学，则可列方程为（　　） A．x+（x+1）x＝36 B．1+x+（1+x）x＝36 C．1+x+x2＝36 D．x+（x+1）2＝36 22．（2023秋•惠城区期末）如图，幼儿园计划用30m的围栏靠墙围成一个面积为100m2的矩形小花园（墙长为15m），则与墙垂直的边x为（　　） A．10m或5m B．5m或8m C．10m D．5m 23．（2023•湘西州）某口罩生产厂生产的口罩1月份平均日产量为20000个，1月底因突然暴发新冠肺炎疫情，市场对口罩需求量大增，为满足市场需求，工厂决定从2月份起扩大产能，3月份平均日产量达到24200个． （1）求口罩日产量的月平均增长率； （2）按照这个增长率，预计4月份平均日产量为多少？ 24．（2022秋•南岸区月考）“阳光玫瑰”葡萄品种是广受各地消费者的青睐的优质新品种，在我国西部区域广泛种植，重庆市某葡萄种植基地2023年种植“阳光玫瑰”100亩，到2023年“阳光玫瑰”的种植面积达到196亩． （1）求该基地这两年“阳光玫瑰”种植面积的平均增长率； （2）市场调查发现，当“阳光玫瑰”的售价为20元/千克时，每天能售出200千克，售价每降价1元，每天可多售出50千克，为了推广宣传，基地决定降价促销，同时尽量减少库存，已知该基地“阳光玫瑰”的平均成本价为12元/千克，若使销售“阳光玫瑰”每天获利1750元，则售价应降低多少元？ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第21章 一元二次方程复习讲义（解析版） 知识点1：一元二次方程的定义 1．（2011秋•安宁区校级月考）下列方程中，关于x的一元二次方程有（　　） ①x2＝0，②ax2+bx+c＝0，③x2﹣3x，④a3+a﹣x＝0，⑤（m﹣1）x2+4x0，⑥1，⑦2，⑧（x+1）2＝x2﹣9． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【思路引领】根据一元二次方程的定义，一元二次方程有三个特点： （1）只含有一个未知数； （2）未知数的最高次数是2； （3）是整式方程． 要判断一个方程是否为一元二次方程，先看它是否为整式方程，若是，再对它进行整理．如果能整理为ax2+bx+c＝0（a≠0）的形式，则这个方程就为一元二次方程． 【解答】解：①x2＝0，③x2﹣3x符合一元二次方程的定义； ②ax2+bx+c＝0中，当a＝0时，不是一元二次方程； ④a3+a﹣x＝0是关于x的一元一次方程； ⑤（m﹣1）x2+4x0当m＝1时为关于x的一元一次方程； ⑥1分母中含有字母，是分式方程； ⑦2是无理方程； ⑧（x+1）2＝x2﹣9展开后为x2+2x+1＝x2﹣9，即2x+1＝﹣9是一元一次方程． 共2个一元二次方程，故选A． 【总结提升】判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2，这是一个需要识记的内容． 2．（2022•汉川市模拟）若方程（m﹣1）x（m+1）x﹣2＝0是一元二次方程，m的值为（　　） A．1 B．± C．±1 D．﹣1 【思路引领】利用一元二次方程的定义：含有一个未知数，未知数最高项次数为2次，这样的整式方程叫一元二次方程，判断即可． 【解答】解：∵方程（m﹣1）x（m+1）x﹣2＝0是一元二次方程， ∴m2+1＝2且m﹣1≠0， 解得：m＝﹣1． 故选：D． 【总结提升】此题考查了一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解本题的关键． 3．若关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+2x+|m|﹣1＝0的常数项为0，求m的值． 【思路引领】根据一元二次方程定义二次项系数不为0及常数为0列式即可得到答案． 【解答】解：由题意可得，， 解得：m＝﹣1． 【总结提升】本题考查一元二次方程的定义及绝对值方程，解题关键是根据题意得到二次项系数不为0． 知识点2 ：解一元二次方程 4．（2024春•泰山区期中）解方程： （1）用配方法：3x2﹣4x﹣1＝0； （2）用公式法：2x2﹣5＝4（x+1）． 【思路引领】（1）利用配方法解方程即可； （2）利用公式法解方程即可． 【解答】解：（1）原方程整理得：x2x， 配方得：x2x， 即（x）2， 直接开平方得：x±， 解得：x1，x2； （2）原方程整理得：2x2﹣4x﹣9＝0， ∵a＝2，b＝﹣4，c＝﹣9， ∴Δ＝（﹣4）2﹣4×2×（﹣9）＝88＞0， 则x， 即x1，x2． 【总结提升】本题考查解一元二次方程，熟练掌握解方程的方法是解题的关键． 5．（2024春•肇源县期中）用适当的方法解下列方程． （1）2x＝x2； （2）x2﹣3x﹣1＝0； （3）x2+5＝2x； （4）（2x+3）2＝4． 【思路引领】（1）利用提公因式法解出方程； （2）利用配方法解出方程； （3）利用完全平方公式、直接开平方法解出方程； （4）利用直接开平方法解出方程． 【解答】解：（1）2x＝x2， 则x2﹣2x＝0， ∴x（x﹣2）＝0， ∴x＝0或x﹣2＝0， ∴x1＝0；x2＝2； （2）x2﹣3x﹣1＝0， 则x2﹣3x＝1， ∴x2﹣3x+（）2＝1+（）2， ∴（x）2， ∴x±， ∴x1，x2； （3）x2+5＝2， 则x2﹣2x+5＝0， ∴（x）2＝0， ∴x1＝x2； （4）（2x+3）2＝4， ∴2x+3＝±2， ∴x1；x2． 【总结提升】本题考查的是一元二次方程的解法，掌握因式分解法、配方法、直接开平方法解一元二次方程的一般步骤是解题的关键． 知识点3：一元二次方程的解的意义 6．（2023秋•濠江区校级月考）方程（k+2）x|k|+3kx+1＝0是关于x的一元二次方程，则k的值为（　　） A．±2 B．﹣2 C．2 D．k的值无法确定 【思路引领】本题根据一元二次方程的定义求解． 一元二次方程必须满足两个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0．由这两个条件得到相应的关系式，再求解即可． 【解答】解：由题意得，，由（2）得，k＝±2，当k＝﹣2时，不合（1）的要求，故k＝2，故选C． 【总结提升】一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c＝0（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点． 7．（2023春•邛崃市期中）已知x、y为实数，且方程为（x2+y2）（x2﹣2+y2）＝15，则x2+y2＝　5　． 【思路引领】根据换元法，可得一元二次方程，根据解一元二次方程，可得答案． 【解答】解：设x2+y2＝u，原方程等价于u2﹣2u﹣15＝0． 解得u＝5，u＝﹣3（不符合题意，舍）， x2+y2＝5， 故答案为：5． 【总结提升】本题考查了换元法解一元一次方程，利用x2+y2＝u得出关于u的一元二次方程是解题关键，注意平方都是非负数． 8．（2023秋•新市区校级期中）若实数x满足方程（x2+2x）•（x2+2x﹣2）﹣8＝0，那么x2+2x的值为 　4　． 【思路引领】设x2+2x＝y，则原方程化为y（y﹣2）﹣8＝0，求出y即可． 【解答】解：设x2+2x＝y，则原方程化为y（y﹣2）﹣8＝0， 解得：y＝4或﹣2， 当y＝4时，x2+2x＝4，此时方程有解， 当y＝﹣2时，x2+2x＝﹣2，此时方程没有实数根，舍去， 所以x2+2x＝4． 故答案为：4． 【总结提升】本题主要考查了运用换元法解一元二次方程，解方程时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法． 9．（2023春•西湖区校级期中）若关于x的一元二次方程ax2+bx+3＝0（a≠0）有一根为x＝2023，则一元二次方程a（x﹣1）2+b（x﹣1）+3＝0必有一根为（　　） A．2023 B．2023 C．2023 D．2023 【思路引领】对于一元二次方程a（x﹣1）2+b（x﹣1）＝0，设t＝x﹣1得到at2+bt＝0，利用at2+bt+3＝0有一个根为t＝2023得到x﹣1＝2023，从而可判断一元二次方程a（x﹣1）2+b（x﹣1）+3＝0必有一根为x＝2023． 【解答】解：对于一元二次方程a（x﹣1）2+b（x﹣1）+3＝0， 设t＝x﹣1， 所以at2+bt+3＝0， 而关于x的一元二次方程ax2+bx+3＝0（a≠0）有一根为x＝2023， 所以at2+bt+3＝0有一个根为t＝2023， 则x﹣1＝2023， 解得x＝2023， 所以a（x﹣1）2+b（x﹣1）+3＝0必有一根为x＝2023． 故选：A． 【总结提升】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解． 知识点4：根的判别式，根与系数关系 10．（2023秋•江门校级月考）若关于x的方程（k﹣1）x2+kx+1＝0有实数根，则k的取值范围是（　　） A．全体实数 B．k＞2 C．k＜2且k≠1 D．k≠1的全体实数 【思路引领】讨论：当k﹣1＝0时，即k＝1，方程为一元一次方程，一定有一个解；当k﹣1≠0时，由于Δ＝（k﹣2）2≥0，此时方程总有2个实数解，然后综合两种情况得到k的取值范围． 【解答】解：当k﹣1＝0时，即，k＝1，方程化为x+1＝0，解得x＝﹣1； 当k﹣1≠0时，Δ＝k2﹣4（k﹣1）＝（k﹣2）2≥0，此时方程总有2个实数解， 综上所述，k的取值范围为全体实数． 故选：A． 【总结提升】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根． 11．（2023•谷城县模拟）若关于x的方程2（k+1）x2x0有实数根，则k的取值范围是（　　） A．k≤0 B．k≥﹣2或k≠﹣1 C．0≥k≥﹣2且k≠﹣1 D．﹣2≤k≤0 【思路引领】根据根的判别式得出b2﹣4ac≥0，代入求出不等式的解集即可得到答案． 【解答】解：∵方程2（k+1）x2x0有实数根， ∴b2﹣4ac＝（）2﹣4×2（k+1） ＝﹣k≥0， ∴k≤0 且k+2≥0，k+1≠0 k≥﹣2， ∴﹣2≤k≤0． 故选：D． 【总结提升】此题考查了一元二次方程根的情况与判别式△的关系： （1）Δ＞0⇔方程有两个不相等的实数根； （2）Δ＝0⇔方程有两个相等的实数根； （3）Δ＜0⇔方程没有实数根． 12．（2024•常德一模）关于x的一元二次方程kx2﹣（2k﹣1）x+k＝0有实数根，则k的取值范围为 　k且k≠0　． 【思路引领】根据一元二次方程的定义、根的判别式列出k的不等式组，求出k的取值范围即可． 【解答】解：∵一元二次方程kx2﹣（2k﹣1）x+k＝0有实数根，则： ， 解得k且k≠0， 故答案为：k且k≠0． 【总结提升】本题主要考查了根的判别式的知识，解题的关键是掌握根据题意得出k≠0和△≥0，解题还要注意二次根式有意义的条件． 13．（2023秋•东莞市校级月考）若x1，x2是一元二次方程2x2﹣3x+5＝0的两根，则x1•x2的值是（　　） A． B． C． D． 【思路引领】由一元二次方程的根与系数的关系即可求解． 【解答】解：∵x1，x2是一元二次方程2x2﹣3x+5＝0的两根， ∴， 故选：B． 【总结提升】本题考查一元二次方程的根与系数的关系，熟练掌握若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），则，是解题的关键． 14．（2023秋•杭锦后旗期末）设a、b是方程x2+x﹣2024＝0 的两个实数根，则a2+2a+b的值为（　　） A．2023 B．2022 C．2023 D．2024 【思路引领】先根据一元二次方程的解的定义得到a2＝﹣a+2023，则a2+2a+b可化为2023+a+b，再根据根与系数的关系得到a+b＝﹣1，然后利用整体代入的方法计算． 【解答】解：∵a是方程x2+x﹣2024＝0的实数根， ∴a2+a﹣2024＝0， ∴a2＝﹣a+2024， ∴a2+2a+b＝﹣a+2024+2a+b＝2024+a+b， ∵a，b是方程x2+x﹣2024＝0的两个实数根， ∴a+b＝﹣1， ∴a2+2a+b＝2024+（﹣1）＝2023． 故选：C． 【总结提升】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2，x1x2．也考查了一元二次方程的解． 15．（2023秋•冷水滩区校级月考）已知关于x的一元二次方程：x2﹣2x﹣a＝0，有下列结论： ①当a＞﹣1时，方程有两个不相等的实根； ②当a＞0时，方程不可能有两个异号的实根； ③当a＞﹣1时，方程的两个实根不可能都小于1； ④当a＞3时，方程的两个实根一个大于3，另一个小于3． 以上4个结论中，正确的有：　①③④　． 【思路引领】根据一元二次方程根的判别式，一元二次方程根与系数的关系，二次函数的性质对每个选项进行一一判断即可． 【解答】解：∵x2﹣2x﹣a＝0， ∴Δ＝4+4a，x1+x2＝2，x1x2＝﹣a， ∵当a＞﹣1时，a+1＞0， ∴4a+4＞0，即Δ＞0， ∴方程有两个不相等的实根， 故①正确； 当a＞0时，﹣a＜0， ∴两根之积小于0， ∴方程的两根异号， 故②错误； 方程的根为：， ∵a＞﹣1， ∴a+1＞0， ∴0， ∴方程的两个实根一个大于1，一个小于1，不可能都小于1， 故③正确； ④若方程的两个实根一个大于3，另一个小于3． 则当x＝3时，x2﹣2x﹣a＜0， 故有32﹣6﹣a＜0， ∴a＞3， 故④正确． 综上，结论正确的有：①③④． 故答案为：①③④． 【总结提升】本题主要考查了抛物线与x轴的交点，一元二次方程根与系数的关系，根的判别式，熟练掌握一元二次方程的相关性质是解题的关键． 16．已知实数a，b分别满足a2﹣6a+4＝0，b2﹣6b+4＝0，且a≠b，则的值是（ㅤㅤ） A．7 B．﹣7 C．11 D．﹣11 【思路引领】1由实数a，b分别满足a2﹣6a+4＝0，b2﹣6b+4＝0，且a≠b，得到a与b为方程x2﹣6x+4＝0的两根，根据根与系数的关系得到a+b＝6，ab＝4；把化成，然后代入计算得到答案． 【解答】解：由题意可知：a+b＝6，ab＝4， 原式 故选：A． 【总结提升】本题考查了根与系数的关系，熟练掌握根与系数的关系是解决本题的关键． 17．（2023秋•冷水滩区期中）阅读下列材料：已知实数p、q满足p2﹣p﹣1＝0，1﹣q﹣q2＝0，且p•q≠1，求的值． 解：∵1﹣q﹣q2＝0，q≠0，∴每一项都除以q2得， 又∵p2﹣p﹣1＝0且，∴p、是方程x2﹣x﹣1＝0的两实根，由根与系数关系得， ∴． 根据材料中所提供的方法，解答下列问题： （1）已知实数a、b满足a2﹣15a﹣5＝0，b2﹣15b﹣5＝0，求的值； （2）已知实数p、q满足p2﹣2p﹣1＝0，1﹣2q﹣q2＝0且p•q≠1，求的值． 【思路引领】（1）讨论：当a＝b时，易得原式＝2；当a≠b时，a、b可看作是方程x2﹣x﹣1＝0的根，利用根与系数关系得a+b＝15，ab＝﹣5，通分得到原式，然后利用整体代入的方法计算； （2）把1﹣2q﹣q2＝0变形为，则p、是方程x2﹣2x﹣1＝0的两实根，由根与系数关系得p2，p•1，再把变形（p）2﹣2p•，然后利用整体代入的方法计算． 【解答】解：（1）∵a2﹣15a﹣5＝0，b2﹣15b﹣5＝0， ∴当a＝b时，原式＝1+1＝2； 当a≠b时，a、b可看作是方程x2﹣x﹣1＝0的根， 由根与系数关系得a+b＝15，ab＝﹣5， ∴； 故值为﹣47或2． （2）∵1﹣2q﹣q2＝0，q≠0， ∴每一项都除以q2得， 又p2﹣2p﹣1＝0，且， ∴p、是方程x2﹣2x﹣1＝0的两实根， 由根与系数关系得p2，p•1， ∴（p）2﹣2p•22﹣2×（﹣1）＝6． 【总结提升】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根，则x1+x2，x1x2． 18．（2023秋•乾安县期末）已知关于x的一元二次方程x2﹣（m+3）x+m+2＝0． （1）求证：方程总有两个实数根； （2）若方程两个根的绝对值相等，求此时m的值． 【思路引领】（1）先根据题意求出Δ的值，再根据一元二次方程根的情况与根的判别式Δ的关系即可得出结论； （2）利用因式分解法求得方程的解，然后根据题意列出关于m的方程，解方程即可得到结论． 【解答】（1）证明：∵Δ＝（m+3）﹣4（m+2）＝（m+1）2≥0， ∴方程总有两个实数根； （2）解：∵x2﹣（m+3）x+m+2＝0， ∴（x﹣m﹣2）（x﹣1）＝0， ∴x1＝m+2，x2＝1． ∵方程两个根的绝对值相等， ∴m+2＝±1． ∴m＝﹣3或﹣1． 【总结提升】本题考查了根的判别式，一元二次方程的解法，掌握判别式Δ与0的关系判定方程根的情况是解决本题的关键． 19．（2024•津市市一模）已知关于x的一元二次方程（m﹣1）x2﹣2mx+m+2＝0． （1）若方程有实数根，求m的取值范围； （2）在等腰△ABC中，一腰长为3，其余两边长为方程的两个根，求m的值． 【思路引领】（1）由方程无实数根得Δ＝b2﹣4ac＜0，可得关于m的不等式，解之可得m的范围； （2）由Δ≥0，求出m的取值范围，分两种情况：①当3是腰时，3是方程的一个根，把x＝3代入方程可求得m；②两腰都是方程的根时，即方程有两个相等根，由Δ＝0可求出m，两种情况都根据三角形的三边关系检验． 【解答】解：（1）Δ＝b2﹣4ac＝4m2﹣4（m﹣1）（m+2）＝﹣4m+8， ∵方程有实数根， ∴Δ＝b2﹣4ac≥0且m﹣1≠0， ∴﹣4m+8≥0且m≠1， 解得m≤2且m≠1； （2）根据题意得Δ＝﹣4m+8≥0且m≠1， 解得m≤2且m≠1， 当△＞0时，方程的一根是3，把x＝3代入方程得9（m﹣1）﹣6m+m+2＝0， 解得m， 此时方程的另一根为， ∵33， ∴三角形存在； ∴m， 当Δ＝﹣4m+8＝0， ∴m＝2， ∴方程为x2﹣4x+4＝0． 解得x＝2， ∵一腰长为3， ∴m＝2不合题意， ∴m， 【总结提升】本题考查了一元二次方程的解和一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0，a，b，c为常数）的根的判别式Δ＝b2﹣4ac．掌握当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程没有实数根是解决问题的关键． 20．（2023秋•安溪县校级月考）已知方程：x2﹣4x+a＝0的一个根大于3，另一个根小于3，则a的取值范围 　a＜3　． 【思路引领】令方程的两根为x1，x2，则x1+x2＝4，x1⋅x2＝a，根据题意，知（x1﹣3）（x2﹣3）＜0，于是a﹣3×4+9＜0，解得a＜3． 【解答】解：令方程的两根为x1，x2，则x1+x2＝4，x1⋅x2＝a， 根据题意，若x1＜3，x2＞3，则x1﹣3＜0，x2﹣3＞0， ∴（x1﹣3）（x2﹣3）＜0． ∴x1⋅x2﹣3（x1+x2）+9＜0， a﹣3×4+9＜0， 解得a＜3， 故答案为：a＜3． 【总结提升】本题考查一元二次方程根与系数关系，不等式的求解；根据题意构建不等式是解题的关键． 知识点5：一元二次方程的应用 21．（2023•环江县一模）某班一物理科代表在老师的培训后学会了某个物理实验操作，回到班上后第一节课教会了若干名同学，第二节课会做该实验的同学又教会了同样多的同学，这样全班共有36人会做这个实验；若设1人每次都能教会x名同学，则可列方程为（　　） A．x+（x+1）x＝36 B．1+x+（1+x）x＝36 C．1+x+x2＝36 D．x+（x+1）2＝36 【思路引领】设1人每次都能教会x名同学，根据两节课后全班共有36人会做这个实验，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解． 【解答】解：设1人每次都能教会x名同学， 根据题意得：1+x+（x+1）x＝36． 故选：B． 【总结提升】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 22．（2023秋•惠城区期末）如图，幼儿园计划用30m的围栏靠墙围成一个面积为100m2的矩形小花园（墙长为15m），则与墙垂直的边x为（　　） A．10m或5m B．5m或8m C．10m D．5m 【思路引领】设与墙垂直的边长x米，则与墙平行的边长为（30﹣2x）米，根据矩形的面积公式结合矩形小花园的面积为100m2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较大值即可得出结论． 【解答】解：设与墙垂直的边长x米，则与墙平行的边长为（30﹣2x）米， 根据题意得：（30﹣2x）x＝100， 整理得：x2﹣15x+50＝0， 解得：x1＝5，x2＝10． 当x＝5时，30﹣2x＝20＞15， ∴x＝5舍去． 故选：C． 【总结提升】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 23．（2023•湘西州）某口罩生产厂生产的口罩1月份平均日产量为20000个，1月底因突然暴发新冠肺炎疫情，市场对口罩需求量大增，为满足市场需求，工厂决定从2月份起扩大产能，3月份平均日产量达到24200个． （1）求口罩日产量的月平均增长率； （2）按照这个增长率，预计4月份平均日产量为多少？ 【思路引领】（1）根据题意设口罩日产量的月平均增长率为x，根据题意列出方程即可求解； （2）结合（1）按照这个增长率，根据3月份平均日产量为24200个，即可预计4月份平均日产量． 【解答】解：（1）设口罩日产量的月平均增长率为x，根据题意，得 20000（1+x）2＝24200 解得x1＝﹣2.1（舍去），x2＝0.1＝10%， 答：口罩日产量的月平均增长率为10%． （2）24200（1+0.1）＝26620（个）． 答：预计4月份平均日产量为26620个． 【总结提升】本题考查了一元二次方程的应用，解决本题的关键是掌握增长率问题应用题的等量关系． 24．（2022秋•南岸区校级月考）“阳光玫瑰”葡萄品种是广受各地消费者的青睐的优质新品种，在我国西部区域广泛种植，重庆市某葡萄种植基地2023年种植“阳光玫瑰”100亩，到2023年“阳光玫瑰”的种植面积达到196亩． （1）求该基地这两年“阳光玫瑰”种植面积的平均增长率； （2）市场调查发现，当“阳光玫瑰”的售价为20元/千克时，每天能售出200千克，售价每降价1元，每天可多售出50千克，为了推广宣传，基地决定降价促销，同时尽量减少库存，已知该基地“阳光玫瑰”的平均成本价为12元/千克，若使销售“阳光玫瑰”每天获利1750元，则售价应降低多少元？ 【思路引领】（1）设该基地这两年“阳光玫瑰”种植面积的平均增长率为x，根据该基地2023年及2023年“阳光玫瑰”的种植面积，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； （2）设售价应降低y元，则每天可售出（200+50y）千克，根据总利润＝每千克的利润×销售数量，即可得出关于y的一元二次方程，解之取其较大值即可得出结论． 【解答】解：（1）设该基地这两年“阳光玫瑰”种植面积的平均增长率为x， 依题意，得：100（1+x）2＝196， 解得：x1＝0.4＝40%，x2＝﹣2.4（不合题意，舍去）． 答：该基地这两年“阳光玫瑰”种植面积的平均增长率为40%． （2）设售价应降低y元，则每天可售出（200+50y）千克， 依题意，得：（20﹣12﹣y）（200+50y）＝1750， 整理，得：y2﹣4y+3＝0， 解得：y1＝1，y2＝3． ∵要尽量减少库存， ∴y＝3． 答：售价应降低3元． 【总结提升】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$