22.1.1 二次函数-2024-2025学年九年级数学上学期考点考向及考法同步教学+复习讲义（人教版）

22.1 二次函数的图象和性质 22.1.1 二次函数（原卷版） 第一部分 夯实双基 知识点1 二次函数的定义 考向：利用二次函数的定义识别二次函数 【典例1】（2022秋•淮滨县期中）下列函数解析式中，一定为二次函数的是（　　） A．y＝3x﹣1 B．y＝ax2+bx+c C．s＝2t2﹣2t﹣1 D．y＝x2 【变式训练】 1．（2023秋•漳州期中）二次函数y＝x2﹣4x+5的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（　　） A．1，4，5 B．﹣1，4，5 C．1，﹣4，5 D．﹣1，﹣4，5 2．（2023秋•普陀区期末）在函数①y＝ax2+bx+c，②y＝（x﹣1）2﹣x2，③y＝5x2，④y＝﹣x2+2中，y关于x的二次函数是　 　．（填写序号） 知识点2 建立二次函数模型表示变量间的关系 考向：利用实际问题中的数量关系，建立二次函数模型 【典例2】某网店销售某款童装，每件售价60元，每星期可卖300件，为了促销，该网店决定降价销售．市场调查反映，每降价1元，每星期可多卖30件．已知该款童装每件的成本价为40元，设该款童装每件的售价为x元，每星期的销售量为y件． （1）求y与x之间的函数解析式，并写出自变量的取值范围； （2）设每星期的销售利润为W元，求W与x之间的函数解析式． 【变式训练】 1．如图，有长为24m的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为10m），围成中间隔有一道篱笆的矩形花圃，设花圃的边AB为x m，面积为Sm2，求S与x的函数解析式，并写出自变量的取值范围． 第二部分 敲重点、破难点、清易错点 方法1 利用定义法解有关二次函数定义的问题 【典例3】若y＝（m+1）xm2﹣2+2x2+3（x≠0）是y关于x的二次函数，求m的值． 方法2 利用静态法建立涉及几何动态问题的二次函数模型 【典例4】（2016秋•萧山区月考）如图，已知等腰直角三角形ABC的直角边长与正方形MNPQ的边长均为20cm，AC与MN在同一条直线上，开始时点A与点N重合，让△ABC以2cm/s的速度向左运动，最终点A与点M重合．求： （1）重叠部分的面积y（cm2）与时间t（s）之间的函数表达式和自变量的取值范围； （2）当t＝1，t＝2时，求重叠部分的面积． 清易错 易错点：忽视二次项系数不为0而出错 【典例5】当m取何值时，函数y＝（m2+m）（m﹣5）．x+m2是关于x的二次函数？并求出这时二次函数的表达式． 第3部分 备考训练场 一、备考策略 考法1：在实际问题中建立二次函数模型 【典例6】（2023秋•仪征市期末）超市销售某种儿童玩具，如果每件利润为40元（市场管理部门规定，该种玩具每件利润不能超过60元），每天可售出50件．根据市场调查发现，销售单价每增加2元，每天销售量会减少1件．设销售单价增加x元，每天售出y件． （1）请写出y与x之间的函数表达式； （2）当x为多少时，超市每天销售这种玩具可获利润2250元？ 【考法2】利用割补法建立几何问题的二次函数模型 【典例7】（2023•南山区三模）如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠ACB＝90°，AB＝AD，AC＝4BC，设CD的长为x，四边形ABCD的面积为y，则y与x之间的函数关系式是（　　） A．y B．y C．y D．y 二、备考演练 1．（2023秋•梁园区期末）下列各式中，y是x的二次函数的是（　　） A． B． C．y＝2x2﹣1 D． 2．（2023秋•市中区校级期中）小兵在暑假调查了某工厂得知，该工厂2023年全年某产品的产量为234万吨，经该厂的技术人员预计2022年全年该产品的产量为345万吨，设2023年至2022年该产品的预计年平均增长率为x，根据题意列出方程得（　　） A．234（1+x）2＝345 B．234（1﹣2x）＝345 C．234（1+2x）＝345 D．234（1﹣x）2＝345 3．（2023秋•江阳区期末）某商品现在的售价为每件50元，每星期可卖出200件．市场调查反映，如果调整商品售价，每降价1元，每星期可多卖出20件．设每件商品降价x元后，每星期售出商品的总销售额为y元，则y与x的关系式为（　　） A．y＝50（200+20x） B．y＝200（50﹣20x） C．y＝（50﹣x）（200+20x） D．y＝（50﹣x）（200﹣20x） 4．（2023•常德）如图，正方形EFGH的顶点在边长为2的正方形的边上．若设AE＝x，正方形EFGH的面积为y，则y与x的函数关系为　 　． 5．（2023春•恩阳区 期中）在“母亲节”期间，某校部分团员参加社会公益活动，准备购进一批许愿瓶进行销售，并将所得利润捐给慈善机构．根据市场调查．这种许愿瓶一段时间内的销售量y（个）与销售单价x（元/个）之间的对应关系如图所示： （1）试求出y与x之间的函数关系； （2）若许原瓶的进价为6元/个，按照上述市场调查的销售规律，求销售利润w（元）与销售单价x（元/个）之间的函数关系式． 6．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6mm，BC＝12mm，动点P从点A开始沿边AC向C以1mm/s的速度移动，动点Q从点C开始沿边CB向B以2mm/s的速度移动． （1）如果P，Q两点同时出发，求出△PCQ的面积S1（mm2）关于运动时间t（s）的函数表达式及t的取值范围； （2）在（1）的条件下，请求出四边形APQB的面积S2（mm2）关于运动时间t（s）的函数表达式． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 22.1 二次函数的图象和性质 22.1.1 二次函数（解析版） 第一部分 夯实双基 知识点1 二次函数的定义 考向：利用二次函数的定义识别二次函数 【典例1】（2022秋•淮滨县期中）下列函数解析式中，一定为二次函数的是（　　） A．y＝3x﹣1 B．y＝ax2+bx+c C．s＝2t2﹣2t﹣1 D．y＝x2 【思路引领】根据二次函数的定义，可得答案． 【解答】解：A、y＝3x﹣1是一次函数，不是二次函数，故此选项不符合题意； B、y＝ax2+bx+c当a＝0时，不是二次函数，故此选项不符合题意； C、s＝2t2﹣2t+1是二次函数，故此选项符合题意； D、y＝x2分母含有自变量，不是二次函数，故此选项不符合题意． 故选：C． 【总结提升】本题考查了二次函数的定义．解题的关键是掌握二次函数的定义：一般地，形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．其中x、y是变量，a、b、c是常量，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）也叫做二次函数的一般形式． 【变式训练】 1．（2023秋•漳州期中）二次函数y＝x2﹣4x+5的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（　　） A．1，4，5 B．﹣1，4，5 C．1，﹣4，5 D．﹣1，﹣4，5 【思路引领】可根据二次函数的一般形式“形如y＝ax2+bx+c，且a≠0”进行求解即可． 【解答】解：二次函数y＝x2﹣4x+5的二次项系数、一次项系数和常数项分别是1，﹣4，5； 故选：C． 【总结提升】本题主要考查二次函数的定义，关键是知道二次函数的一般形式． 2．（2023秋•普陀区期末）在函数①y＝ax2+bx+c，②y＝（x﹣1）2﹣x2，③y＝5x2，④y＝﹣x2+2中，y关于x的二次函数是　④　．（填写序号） 【思路引领】根据形如y＝ax2+bx+c（a≠0）是二次函数，可得答案． 【解答】解：①a＝0时y＝ax2+bx+c是一次函数， ②y＝（x﹣1）2﹣x2是一次函数； ③y＝5x2不是整式，不是二次函数； ④y＝﹣x2+2是二次函数， 故答案为：④． 【总结提升】本题考查了二次函数，形如y＝ax2+bx+c（a≠0）是二次函数，注意二次项的系数不能为零． 知识点2 建立二次函数模型表示变量间的关系 考向：利用实际问题中的数量关系，建立二次函数模型 【典例2】某网店销售某款童装，每件售价60元，每星期可卖300件，为了促销，该网店决定降价销售．市场调查反映，每降价1元，每星期可多卖30件．已知该款童装每件的成本价为40元，设该款童装每件的售价为x元，每星期的销售量为y件． （1）求y与x之间的函数解析式，并写出自变量的取值范围； （2）设每星期的销售利润为W元，求W与x之间的函数解析式． 【思路引领】（1）根据售量y（件）与售价x（元/件）之间的函数关系即可得到结论； （2）设每星期利润为y元，构建二次函数利用二次函数性质解决问题． 【解答】解：（1）根据题意可得： y＝300+30（60﹣x） ＝﹣30x+2100； （2）设每星期利润为W元，根据题意可得： W＝（x﹣40）（﹣30x+2100） ＝﹣30（x﹣55）2+6750． 则x＝55时，W最大值＝6750． 故每件售价定为55元时，每星期的销售利润最大，最大利润6750元． 【总结提升】本题考查二次函数的应用，解题的关键是构建二次函数解决最值问题． 【变式训练】 1．如图，有长为24m的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为10m），围成中间隔有一道篱笆的矩形花圃，设花圃的边AB为x m，面积为Sm2，求S与x的函数解析式，并写出自变量的取值范围． 【思路引领】可先用篱笆的长表示出BC的长，然后根据矩形的面积＝长×宽，得出S与x的函数关系式． 【解答】解：由题可知，花圃的宽AB为x米，则BC为（24﹣3x）米． 这时面积S＝x（24﹣3x）＝﹣3x2+24x． ∵0＜24﹣3x≤10得x＜8， 故答案为：S＝﹣3x2+24x，x＜8． 【总结提升】本题考查了二次函数的综合应用，根据已知条件列出二次函数式是解题的关键．要注意题中自变量的取值范围不要丢掉． 第二部分 敲重点、破难点、清易错点 方法1 利用定义法解有关二次函数定义的问题 【典例3】若y＝（m+1）xm2﹣2+2x2+3（x≠0）是y关于x的二次函数，求m的值． 【思路引领】函数解析式有2x2，（m+1）xm2﹣2可能为0、二次项、一次项或常数项． 【解答】解：当m+1＝0，即m＝﹣1时，y＝（m+1）xm2﹣2+2x2+3（x≠0）是二次函数． 当，即m＝±2时，y＝（m+1）xm2﹣2+2x2+3（x≠0）是二次函数． 当m2﹣2＝1，即m＝±时，y＝（m+1）xm2﹣2+2x2+3（x≠0）是二次函数． 当m2﹣2＝0，即m＝±时，y＝（m+1）xm2﹣2+2x2+3（x≠0）是二次函数． 综上，当m＝﹣1，±2，±，±时，y＝（m+1）xm2﹣2+2x2+3（x≠0）是二次函数． 【总结提升】本题考查二次函数的定义，正确理解二次函数的解析式的含义是本题关键． 方法2 利用静态法建立涉及几何动态问题的二次函数模型 【典例4】（2016秋•萧山区月考）如图，已知等腰直角三角形ABC的直角边长与正方形MNPQ的边长均为20cm，AC与MN在同一条直线上，开始时点A与点N重合，让△ABC以2cm/s的速度向左运动，最终点A与点M重合．求： （1）重叠部分的面积y（cm2）与时间t（s）之间的函数表达式和自变量的取值范围； （2）当t＝1，t＝2时，求重叠部分的面积． 【思路引领】（1）由题意可知：重叠部分也是等腰直角三角形，又因为AN＝2t，所以AM＝MN﹣AN＝20﹣2t，MH＝AM＝20﹣2t，利用三角形面积公式即可表示出重叠部分的面积． （2）分别令t＝1和t＝2代入（1）中的函数表达式即可求出答案． 【解答】解：（1）∵△ABC是等腰直角三角形， ∴重叠部分也是等腰直角三角形． 又∵AN＝2t，∴AM＝MN﹣AN＝20﹣2t， ∴MH＝AM＝20﹣2t， ∴重叠部分的面积为y（20﹣2t）2＝2t2﹣40t+200． 自变量的取值范围是0≤t≤10； （2）当t＝1时，y＝162（cm2）， 当t＝2时，y＝128（cm2）． 【总结提升】本题考查二次函数的应用，涉及代入求值问题，等腰三角形性质与判定，三角形面积公式等知识． 清易错 易错点：忽视二次项系数不为0而出错 【典例5】当m取何值时，函数y＝（m2+m）（m﹣5）．x+m2是关于x的二次函数？并求出这时二次函数的表达式． 【思路引领】二次函数的定义，列式求出m的值，即可求得答案． 【解答】解：根据题意得：， 解m2﹣2m﹣1＝2得m＝3或m＝﹣1， 由m2+m≠0得m≠0且m≠﹣1， ∴m＝3， 此时二次函数的表达式为y＝12x2﹣2x+9． 【总结提升】本题考查二次函数的定义及求解析式，解题的关键是掌握二次函数的定义，列式求出m的值． 第3部分 备考训练场 一、备考策略 考法1：在实际问题中建立二次函数模型 【典例6】（2023秋•仪征市期末）超市销售某种儿童玩具，如果每件利润为40元（市场管理部门规定，该种玩具每件利润不能超过60元），每天可售出50件．根据市场调查发现，销售单价每增加2元，每天销售量会减少1件．设销售单价增加x元，每天售出y件． （1）请写出y与x之间的函数表达式； （2）当x为多少时，超市每天销售这种玩具可获利润2250元？ 【思路引领】（1）根据题意销售单价每增加2元，每天销售量会减少1件列函数关系式即可； （2）根据题意代入数据，列方程，，求解即可得到结论． 【解答】解：（1）根据题意得， y＝50x， j即； （2）根据题意得，， 解得：x1＝50，x2＝10，， ∵每件利润不能超过60元， ∴x＝10， 答：当x为10时，超市每天销售这种玩具可获利润2250元． 【总结提升】本题考查了一次函数和一元二次方程的应用，弄清题目中包含的数量关系是解题关键． 【考法2】利用割补法建立几何问题的二次函数模型 【典例7】（2023•南山区三模）如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠ACB＝90°，AB＝AD，AC＝4BC，设CD的长为x，四边形ABCD的面积为y，则y与x之间的函数关系式是（　　） A．y B．y C．y D．y 【思路引领】过D作DE⊥AC与E点，设BC＝a，则AC＝4a，根据等角的余角相等得到∠1＝∠3，易证得△ABC≌△DAE，所以AE＝BC＝a，DE＝AC＝4a，得到EC＝AC﹣AE＝4a﹣a＝3a，在Rt△DEC中，根据勾股定理得到DC＝5a，所以有x＝5a，即ax；根据四边形ABCD的面积y＝三角形ABC的面积+三角形ACD的面积，即可得到ya×4a4a×4a＝10a2x2． 【解答】解：过D作DE⊥AC于E点，如图， 设BC＝a，则AC＝4a， ∵∠BAD＝90°，∠AED＝90°， ∴∠1＝∠3， 而∠ACB＝90°，AB＝AD， ∴△ABC≌△DAE， ∴AE＝BC＝a，DE＝AC＝4a， ∴EC＝AC﹣AE＝4a﹣a＝3a， 在Rt△DEC中，DC＝5a， ∴x＝5a，即ax， 又∵四边形ABCD的面积y＝三角形ABC的面积+三角形ACD的面积， ∴ya×4a4a×4a＝10a2x2． 故选：C． 【总结提升】本题考查了三角形全等的判定与性质．也考查了勾股定理以及三角形的面积公式． 二、备考演练 1．（2023秋•梁园区期末）下列各式中，y是x的二次函数的是（　　） A． B． C．y＝2x2﹣1 D． 【思路引领】根据二次函数的定义对各选项进行判断即可． 【解答】解：y是x的二次函数的是y＝2x2﹣1． 故选：C． 【总结提升】本题考查了二次函数的定义：一般地，形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．其中x、y是变量，a、b、c是常量． 2．（2023秋•市中区校级期中）小兵在暑假调查了某工厂得知，该工厂2023年全年某产品的产量为234万吨，经该厂的技术人员预计2022年全年该产品的产量为345万吨，设2023年至2022年该产品的预计年平均增长率为x，根据题意列出方程得（　　） A．234（1+x）2＝345 B．234（1﹣2x）＝345 C．234（1+2x）＝345 D．234（1﹣x）2＝345 【思路引领】根据该工厂2023年全年某产品的产量为234万吨，经该厂的技术人员预计2022年全年该产品的产量为345万吨，列方程即可． 【解答】解：根据题意，得234（1+x）2＝345， 故选：A． 【总结提升】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意并根据题意建立等量关系是解题的关键． 3．（2023秋•江阳区期末）某商品现在的售价为每件50元，每星期可卖出200件．市场调查反映，如果调整商品售价，每降价1元，每星期可多卖出20件．设每件商品降价x元后，每星期售出商品的总销售额为y元，则y与x的关系式为（　　） A．y＝50（200+20x） B．y＝200（50﹣20x） C．y＝（50﹣x）（200+20x） D．y＝（50﹣x）（200﹣20x） 【思路引领】根据降价x元，则售价为（50﹣x）元，销售量为（200+20x）件，由题意可得等量关系：总销售额为y＝销量×售价，根据等量关系列出函数解析式即可． 【解答】解：降价x元，则售价为（50﹣x）元，销售量为（200+20x）件， 由题意可得y＝（50﹣x）（200+20x）， 故选：C． 【总结提升】此题主要考查了根据实际问题列二次函数解析式，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，再列函数解析式． 4．（2023•常德）如图，正方形EFGH的顶点在边长为2的正方形的边上．若设AE＝x，正方形EFGH的面积为y，则y与x的函数关系为　y＝2x2﹣4x+4　． 【思路引领】由AAS证明△AHE≌△BEF，得出AE＝BF＝x，AH＝BE＝2﹣x，再根据勾股定理，求出EH2，即可得到y与x之间的函数关系式． 【解答】解：如图所示： ∵四边形ABCD是边长为2的正方形， ∴∠A＝∠B＝90°，AB＝2． ∴∠1+∠2＝90°， ∵四边形EFGH为正方形， ∴∠HEF＝90°，EH＝EF． ∴∠1+∠3＝90°， ∴∠2＝∠3， 在△AHE与△BEF中， ∵， ∴△AHE≌△BEF（AAS）， ∴AE＝BF＝x，AH＝BE＝2﹣x， 在Rt△AHE中，由勾股定理得： EH2＝AE2+AH2＝x2+（2﹣x）2＝2x2﹣4x+4； 即y＝2x2﹣4x+4（0＜x＜2）， 故答案为：y＝2x2﹣4x+4． 【总结提升】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理，本题难度适中，求出y与x之间的函数关系式是解题的关键． 5．（2023春•恩阳区 期中）在“母亲节”期间，某校部分团员参加社会公益活动，准备购进一批许愿瓶进行销售，并将所得利润捐给慈善机构．根据市场调查．这种许愿瓶一段时间内的销售量y（个）与销售单价x（元/个）之间的对应关系如图所示： （1）试求出y与x之间的函数关系； （2）若许原瓶的进价为6元/个，按照上述市场调查的销售规律，求销售利润w（元）与销售单价x（元/个）之间的函数关系式． 【思路引领】（1）观察可得该函数图象是一次函数，设出一次函数解析式，把其中两点代入即可求得该函数解析式，进而把其余两点的横坐标代入看纵坐标是否与点的纵坐标相同； （2）销售利润＝每个许愿瓶的利润×销售量； 【解答】解：（1）从图象看，y是x的一次函数，设y＝kx+b， 图象过点（10，300），（12，240），则，解得：， ∴y＝﹣30x+600， 当x＝14时，y＝180；当x＝16时，y＝120， 即点（14，180），（16，120）均在函数y＝﹣30x+600图象上． ∴y与x之间的函数关系式为y＝﹣30x+600； （2）由题意得：w＝（x﹣6）（﹣30x+600）＝﹣30x2+780x﹣3600， 即w与x之间的函数关系式为w＝﹣30x2+780x﹣3600． 【总结提升】此题主要考查了二次函数的应用，注意要吃透题意，确定变量，建立相应的函数模型，进而求解． 6．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6mm，BC＝12mm，动点P从点A开始沿边AC向C以1mm/s的速度移动，动点Q从点C开始沿边CB向B以2mm/s的速度移动． （1）如果P，Q两点同时出发，求出△PCQ的面积S1（mm2）关于运动时间t（s）的函数表达式及t的取值范围； （2）在（1）的条件下，请求出四边形APQB的面积S2（mm2）关于运动时间t（s）的函数表达式． 【思路引领】（1）设出发时间为t s，点P 的速度为1mm/s，点Q的速度为2 mm/s，表示出PC和CQ的值根据面积公式求解即可； （2）根据）S2＝S △ABC﹣S1代入数据求解即可． 【解答】解：（1）设出发时间为t s，点P 的速度为1mm/s，点Q的速度为2 mm/s， ∴PC＝（6﹣t ） mm，CQ＝2t mm． ∴S1x （6﹣t ）×2t＝﹣t2+6t， 即S1＝﹣t2+6t． ∵t＞0，6﹣t＞0， ∴0＜t＜6． （2）S2＝S △ABC﹣S112×6﹣（﹣t2+6t）＝﹣6t+36， 即S2＝t2﹣6t+36（0＜t＜6）． 【总结提升】本题考查函数关系式，正确分析运动的变化规律是解题关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$