21.3 实际问题与一元二次方程-2024-2025学年九年级数学上学期考点考向及考法同步教学+复习讲义（人教版）

21.3 实际问题与一元二次方程（原卷版） 第一部分 夯实双基 知识点：建立一元二次方程的模型解应用题 类型一 传播问题 【典例1】（中考•襄阳）有一人患了流感，经过两轮传染后共有64人患了流感． （1）求每轮传染中平均一个人传染了几个人？ （2）如果不及时控制，第三轮将又有多少人被传染？ 【变式训练】 1．（2022春•启东市期末）某校“研学”活动小组在一次野外实践时，发现一种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是57，则这种植物每个支干长出的小分支个数是（　　） A．8 B．7 C．6 D．5 类型二 增长率问题 【典例2】（中考•邵阳）2023年1月14日，国新办举行新闻发布会，海关总署新闻发言人李魁文在会上指出：在2023年，我国进出口规模创历史新高，全年外贸进出口总值为30万亿元人民币．有望继续保持全球货物贸易第一大国地位．预计2023年我国外贸进出口总值将达36.3万亿元人民币．求这两年我国外贸进出口总值的年平均增长率． 【变式训练】 1．（2022春•南关区校级月考）某服装店原计划按每套200元的价格销售一批保暖内衣，但上市后销售不佳，为减少库存积压，连续两次降价打折处理，最后价格调整为每套128元．若两次降价折扣率相同，则每次降价率为　 ． 类型三 图形面积问题 【典例3】（2023秋•曲靖期末）我市在创建全国文明城市期间，对一个矩形广场进行扩建改造．如图，原广场长为30m、宽为20m，要求扩充后的矩形广场长与宽的比为4：3．扩充区域的扩建费用每平方米30元，扩建后在原广场和扩充区域都铺设地砖，铺设地砖费用每平方米100元．如果计划总费用606000元，扩充后广场的长和宽应分别是多少米？ 【变式训练】 1．（2022春•长丰县期末）如图，用长为22米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为14米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，为了方便出入，在建造篱笆花圃时，在BC上用其他材料做了宽为1米的两扇小门． （1）设花圃的一边AB长为x米，请你用含x的代数式表示另一边AD的长为　 　米； （2）若此时花圃的面积刚好为45m2，求此时花圃的长与宽． 类型四 商品利润问题 【典例4】（2023秋•梁山县期末）商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出40件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出4件． （1）若商场平均每天要盈利2400元，每件衬衫应降价多少元？ （2）若该商场要每天盈利最大，每件衬衫应降价多少元？盈利最大是多少元？ 【变式训练】 1．（2023春•威海期中）某青年旅社有60间客房供游客居住，在旅游旺季，当客房的定价为每天200元时，所有客房都可以住满．客房定价每提高10元，就会有1个客房空闲，对有游客入住的客房，旅社还需要对每个房间支出20元/每天的维护费用，设每间客房的定价提高了x元． （1）填表（不需化简） 入住的房间数量 房间价格 总维护费用 提价前 60 200 60×20 提价后 　 　 　 　 　 　 （2）若该青年旅社希望每天纯收入为14000元且能吸引更多的游客，则每间客房的定价应为多少元？（纯收入＝总收入﹣维护费用） 第二部分 敲重点、破难点、清易错点 题型一 建立一元二次方程模型解决实际问题 【典例5】（2023秋•郸城县月考）有一个两位数，它们的十位数字与个位数字之和为8，如果把十位数字与个位数字调换后，所得的两位数乘以原来的两位数就得1855，求这个两位数． 题型二 建立一元二次方程模型解决不规则几何图形问题 【典例6】（2023秋•朝阳区校级月考）今年朝阳区在老旧小区改造方面取得了巨大成就，人居环境得到了很大改善．某小区规划在如图宽为20m，长为32m的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下的部分种上草坪．要使草坪的面积为540m2，求道路的宽． 题型三 建立一元二次方程模型解决动态图形问题 【典例7】（2023秋•阿荣旗期末）如图所示，A、B、C、D是矩形的四个顶点，AB＝16cm，AD＝6cm，动点P，Q分别从点A，C同时出发，点P以3cm/s的速度向点B移动，一直到达点B为止，点Q以2cm/s的速度向点D移动 （1）P，Q两点从出发开始到几秒时，四边形PBCQ的面积为33cm2？ （2）P，Q两点从出发开始到几秒时，点P和点Q的距离第一次是10cm？ 题型四 建立一元二次方程模型解决一次函数应用问题 【典例8】上海世博会区间，某博物馆每周都吸引大量中外游客前来参观，如果游客过多，对馆中的珍贵文物会产生不利影响，但同时考虑到文物的修缮和保存费用问题，还要保证一定的门票收入．因此，博物馆采取了涨浮门票价格的方法来控制参观人数，在该方法实施过程中发现：每周参观人数与票价之间存在着如图所示的一次函数关系，在这样的情况下． （1）如果确保每周4万元的门票收入，那么每周应限定参观人数是多少？门票价格应是多少元？ （2）门票价格应该是多少元时门票收入最大，这样每周应有多少人参观？ 清易错 易错点：忽视限制条件进行根的取舍 【典例9】（2022秋•武功县期中）如图，一农户要建一个矩形猪舍，猪舍的一边利用长为12m的住房墙，另外三边用25m长的建筑材料围成，为方便进出，在垂直于住房墙的一边留一个1m宽的门，所围矩形猪舍的长、宽分别为多少时，猪舍面积为72m2． 第3部分 备考训练场 一、备考策略 考法1 利用一元二次方程解决增降率问题 【典例10】（2023秋•资中县期中）随着粤港澳大湾区建设的加速推进，广东省正加速布局以5G等为代表的战略性新兴产业，计划到2023年底，全省5G基站数量将达到6万座，到2022年底，全省5G基站数量将达到17.34万座． （1）按照计划，求2023年底到2022年底，全省5G基站数量的年平均增长率； （2）若2023年保持前两年5G基站数量的年平均增长率不变，到2023年底，全省5G基站数量能否超过25万座？ 考法2 利用一元二次方程解决商品销售问题 16．（2023•碑林区校级自主招生）为积极响应新旧动能转换，提高公司经济效益，某科技公司近期研发出一种新型高科技设备，每台设备成本价为30万元，经过市场调研发现，每台售价为40万元时，年销售量为600台；每台售价为45万元时，年售量为550台，假定该设备的年销售量y（单位：台）和销售单价x（单位：万元）成一次函数关系． （1）求年销售量y与销售单价x的函数关系式； （2）根据相关规定，此设备的销售单价不得高于70万元，如果该公司想获得10000万元的年利润，则该设备的销售单价应是多少万元？ 考法3 利用一元二次方程解决图形面积问题 17．（2022秋•綦江区校级期中）如图，有一矩形的硬纸板，长为30cm，宽为20cm，在其四个角各剪去一个相同的小正方形，然后把四周的矩形折起，可做成一个无盖的长方体盒子，当剪去的正方形的边长为何值时，所得长方体盒子的底面积为200cm2？ 二、备考演练 1．（2023•迁安市一模）小明在解决一个关于计算机病毒传播的问题时，设计算机有x台，列方程3+x+x（x+3）＝48，则方程的解中一定不合题意的是（　　） A．5 B．9 C．﹣5 D．﹣9 2．（2022春•裕华区校级期末）如图是一张长12cm，宽10cm的矩形铁皮，将其剪去两个全等的正方形和两个全等的矩形，剩余部分（阴影部分）可制成底面积是24cm2的有盖的长方体铁盒，则剪去的正方形的边长为 　cm，此盒子体积是 　cm3． 3．（2023•上海）去年某商店“十一黄金周”进行促销活动期间，前六天的总营业额为450万元，第七天的营业额是前六天总营业额的12%． （1）求该商店去年“十一黄金周”这七天的总营业额； （2）去年，该商店7月份的营业额为350万元，8、9月份营业额的月增长率相同，“十一黄金周”这七天的总营业额与9月份的营业额相等．求该商店去年8、9月份营业额的月增长率． 4．（2023春•青浦区期末）小张经营一家水果店，某日到水果批发市场批发一种水果，经了解，一次性批发这种水果不得少于100千克，超过250千克时，所有这种水果的批发单价均为3.5元/千克，图中折线表示批发单价y（元/千克）与质量x（千克）的函数关系． （1）求线段AB所在直线的函数解析式； （2）小张用800元一次可以批发这种水果的质量是多少千克？ 5．（2023秋•鼓楼区期中）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，点P从点B开始沿BC向点C以1cm/s的速度运动，点Q从点C开始沿CA向点A以2cm/s的速度运动，P，Q同时出发，各自到达终点后停止运动．在整个运动过程中，设它们的运动时间为t s． （1）下列说法正确的是 　 　．（填写所有正确结论的序号） ①PQ可以平分△ABC的周长； ②PQ可以平分△ABC的面积． （2）当t为何值时，△PCQ的面积等于7cm2？ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 21.3 实际问题与一元二次方程（解析版） 第一部分 夯实双基 知识点：建立一元二次方程的模型解应用题 类型一 传播问题 【典例1】（中考•襄阳）有一人患了流感，经过两轮传染后共有64人患了流感． （1）求每轮传染中平均一个人传染了几个人？ （2）如果不及时控制，第三轮将又有多少人被传染？ 【思路引领】（1）设每轮传染中平均每人传染了x人，根据经过两轮传染后共有64人患了流感，可求出x， （2）进而求出第三轮过后，又被感染的人数． 【解答】解：（1）设每轮传染中平均每人传染了x人， 1+x+x（x+1）＝64 x＝7或x＝﹣9（舍去）． 答：每轮传染中平均一个人传染了7个人； （2）64×7＝448（人）． 答：第三轮将又有448人被传染． 【总结提升】本题考查了一元二次方程的应用，先求出每轮传染中平均每人传染了多少人数是解题关键． 【变式训练】 1．（2022春•启东市期末）某校“研学”活动小组在一次野外实践时，发现一种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是57，则这种植物每个支干长出的小分支个数是（　　） A．8 B．7 C．6 D．5 【思路引领】设这种植物每个支干长出的小分支个数是x，根据主干、支干和小分支的总数是57，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论． 【解答】解：设这种植物每个支干长出的小分支个数是x， 依题意得：1+x+x2＝57， 整理得：x2+x﹣56＝0， 解得：x1＝7，x2＝﹣8（不合题意，舍去）， ∴这种植物每个支干长出的小分支个数是7． 故选：B． 【总结提升】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 类型二 增长率问题 【典例2】（中考•邵阳）2023年1月14日，国新办举行新闻发布会，海关总署新闻发言人李魁文在会上指出：在2023年，我国进出口规模创历史新高，全年外贸进出口总值为30万亿元人民币．有望继续保持全球货物贸易第一大国地位．预计2023年我国外贸进出口总值将达36.3万亿元人民币．求这两年我国外贸进出口总值的年平均增长率． 【思路引领】根据a（1+x）2＝b增长率公式建立方程30（1+x）2＝36.3，解方程即可． 【解答】解：设平均增长率为x，根据题意列方程得 30（1+x）2＝36.3 解得x1＝0.1，x2＝﹣2.1（舍） 答：我国外贸进出口总值的年平均增长率为10%． 【总结提升】本题考查了一元二次方程应用问题关于增长率类型，利用公式建立方程即可，记忆公式并运用公式是本题的关键． 【变式训练】 1．（2022春•南关区校级月考）某服装店原计划按每套200元的价格销售一批保暖内衣，但上市后销售不佳，为减少库存积压，连续两次降价打折处理，最后价格调整为每套128元．若两次降价折扣率相同，则每次降价率为　20%　． 【思路引领】设每次降价率为x，根据原价及警告过两次降价后的价格，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其小于1的值即可得出结论． 【解答】解：设每次降价率为x， 根据题意得：200（1﹣x）2＝128， 解得：x1＝0.2＝20%，x2＝1.8（不合题意，舍去）． 故答案为：20%． 【总结提升】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 类型三 图形面积问题 【典例3】（2023秋•曲靖期末）我市在创建全国文明城市期间，对一个矩形广场进行扩建改造．如图，原广场长为30m、宽为20m，要求扩充后的矩形广场长与宽的比为4：3．扩充区域的扩建费用每平方米30元，扩建后在原广场和扩充区域都铺设地砖，铺设地砖费用每平方米100元．如果计划总费用606000元，扩充后广场的长和宽应分别是多少米？ 【思路引领】设扩充后广场的长为4x m，宽为3x m，根据矩形的面积公式和总价＝单价×数量列出方程并解答． 【解答】解：设扩充后广场的长为4x m，宽为3x m， 依题意得：4x•3x•100+30（4x•3x﹣30×20）＝606000． 解得x1＝20，x2＝﹣20（舍去）． 所以4x＝80，3x＝60， 答：扩充后广场的长为80m，宽为60m． 【总结提升】本题考查了列一元二次方程解实际问题的运用，总价＝单价×数量的运用，解答时找准题目中的数量关系是关键． 【变式训练】 1．（2022春•长丰县期末）如图，用长为22米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为14米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，为了方便出入，在建造篱笆花圃时，在BC上用其他材料做了宽为1米的两扇小门． （1）设花圃的一边AB长为x米，请你用含x的代数式表示另一边AD的长为　24﹣3x　米； （2）若此时花圃的面积刚好为45m2，求此时花圃的长与宽． 【思路引领】（1）用绳子的总长减去三个AB的长，然后加上两个门的长即可表示出AD的长； （2）由在BC上用其他材料造了宽为1米的两个小门，故长边为22﹣3x+2，令面积为45，解得x． 【解答】解：（1）设宽AB为x， 则长AD＝BC＝22﹣3x+2＝（24﹣3x）米； （2）由题意可得：（22﹣3x+2）x＝45， 解得：x1＝3；x2＝5， ∴当AB＝3时，BC＝15＞14，不符合题意舍去， 当AB＝5时，BC＝9，满足题意． 答：花圃的长为9米，宽为5米． 【总结提升】本题主要考查一元二次方程的应用，用未知数表示出线段的长是解题的关键． 类型四 商品利润问题 【典例4】（2023秋•梁山县期末）商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出40件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出4件． （1）若商场平均每天要盈利2400元，每件衬衫应降价多少元？ （2）若该商场要每天盈利最大，每件衬衫应降价多少元？盈利最大是多少元？ 【思路引领】（1）先设未知数：设每件衬衫应降价x元，每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出4件，根据利润＝销售的数量×每件的盈利，列方程可求得； （2）设利润为w元，w＝（40﹣x）（20+2x），化成一般式，配方成顶点式，求最值即可． 【解答】解：（1）设每件衬衫应降价x元， 根据题意得：（40﹣x）（40+4x）＝2400， x2﹣30x+200＝0， （x﹣10）（x﹣20）＝0， x＝10或20， ∵扩大销售，增加盈利，尽快减少库存， ∴x＝20， 答：每件衬衫应降价20元； （2）设每件衬衫应降价x元时，利润为w元， w＝（40﹣x）（40+4x）＝﹣4x2+120x+1600＝﹣4（x﹣15）2+1700， ∵﹣4＜0， ∴w有最大值， 即当x＝15时，w有最大值为1700元， 答：每件衬衫应降价15元时，商场平均每天盈利最多，每天最多盈利1700元． 【总结提升】本题是二次函数的应用，属于销售利润问题，明确总利润＝销售的数量×每件的利润，将一元二次方程与二次函数结合，将最大利润问题转化为二次函数的最值问题来求． 【变式训练】 1．（2023春•威海期中）某青年旅社有60间客房供游客居住，在旅游旺季，当客房的定价为每天200元时，所有客房都可以住满．客房定价每提高10元，就会有1个客房空闲，对有游客入住的客房，旅社还需要对每个房间支出20元/每天的维护费用，设每间客房的定价提高了x元． （1）填表（不需化简） 入住的房间数量 房间价格 总维护费用 提价前 60 200 60×20 提价后 　 　 　 　 　 　 （2）若该青年旅社希望每天纯收入为14000元且能吸引更多的游客，则每间客房的定价应为多少元？（纯收入＝总收入﹣维护费用） 【思路引领】（1）住满为60间，x表示每个房间每天的定价增加量；定价每增加10元时，就会有一个房间空闲，房间空闲个数为，入住量＝60﹣房间空闲个数，列出代数式； （2）用：每天的房间收费＝每间房实际定价×入住量，每间房实际定价＝200+x，列出方程． 【解答】解：（1）∵增加10元，就有一个房间空闲，增加20元就有两个房间空闲，以此类推，空闲的房间为， ∴入住的房间数量＝60，房间价格是（200+x）元，总维护费用是（60）×20． 故答案为：60；200+x；（60）×20； （2）依题意得：（200+x）（60）﹣（60）×20＝14000， 整理，得 x2﹣420x+32000＝0， 解得x1＝320，x2＝100． 当x＝320时，有游客居住的客房数量是：6028（间）． 当x＝100时，有游客居住的客房数量是：6050（间）． 所以当x＝100时，能吸引更多的游客，则每个房间的定价为200+100＝300（元）． 答：每间客房的定价应为300元． 【总结提升】本题考查了一元二次方程的应用．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解． 第二部分 敲重点、破难点、清易错点 题型一 建立一元二次方程模型解决实际问题 【典例5】（2023秋•郸城县月考）有一个两位数，它们的十位数字与个位数字之和为8，如果把十位数字与个位数字调换后，所得的两位数乘以原来的两位数就得1855，求这个两位数． 【思路引领】设个位为x，则十位上的数字为8﹣x，根据如果十位上的数字与个位上的数字对调，则所得两位数乘以原来的两位数就得1855，求解即可． 【解答】解：设原来个位为x，则十位上的数字为8﹣x， 由题意得，[10×（8﹣x）+x][10x+8﹣x]＝1855 解得：x1＝3，x2＝5， 原来十位上的数字为5或3， 答：原来这个两位数53或35． 【总结提升】本题考查了一元二次次方程的应用，解答本题的关键是表示出对调前后两位数的表示方法． 题型二 建立一元二次方程模型解决不规则几何图形问题 【典例6】（2023秋•朝阳区校级月考）今年朝阳区在老旧小区改造方面取得了巨大成就，人居环境得到了很大改善．某小区规划在如图宽为20m，长为32m的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下的部分种上草坪．要使草坪的面积为540m2，求道路的宽． 【思路引领】设道路宽为x米，利用平移把不规则的图形变为规则图形，如此一来，所有草坪面积之和就变为了（32﹣x）（20﹣x）米2，进而即可列出方程，求出答案． 【解答】解：设道路的宽x米， 则（32﹣x）（20﹣x）＝540， 解得：x＝2，x＝50（舍去）， 答：道路的宽是2米． 【总结提升】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，这类题目体现了数形结合的思想，需利用平移把不规则的图形变为规则图形，进而即可列出方程，求出答案，另外还要注意解的合理性，从而确定取舍． 题型三 建立一元二次方程模型解决动态图形问题 【典例7】（2023秋•阿荣旗期末）如图所示，A、B、C、D是矩形的四个顶点，AB＝16cm，AD＝6cm，动点P，Q分别从点A，C同时出发，点P以3cm/s的速度向点B移动，一直到达点B为止，点Q以2cm/s的速度向点D移动 （1）P，Q两点从出发开始到几秒时，四边形PBCQ的面积为33cm2？ （2）P，Q两点从出发开始到几秒时，点P和点Q的距离第一次是10cm？ 【思路引领】当运动时间为t秒时，PB＝（16﹣3t）cm，CQ＝2tcm． （1）利用梯形的面积公式结合四边形PBCQ的面积为33cm2，即可得出关于t的一元一次方程，解之即可得出结论； （2）过点Q作QM⊥AB于点M，则PM＝|16﹣5t|cm，QM＝6cm，利用勾股定理结合PQ＝10cm，即可得出关于t的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论． 【解答】解：当运动时间为t秒时，PB＝（16﹣3t）cm，CQ＝2tcm． （1）依题意，得：（16﹣3t+2t）×6＝33， 解得：t＝5． 答：P，Q两点从出发开始到5秒时，四边形PBCQ的面积为33cm2． （2）过点Q作QM⊥AB于点M，如图所示． ∵PM＝PB﹣CQ＝|16﹣5t|cm，QM＝6cm， ∴PQ2＝PM2+QM2，即102＝（16﹣5t）2+62， 解得：t1，t2（不合题意，舍去）． 答：P，Q两点从出发开始到秒时，点P和点Q的距离第一次是10cm． 【总结提升】本题考查了一元一次方程的应用以及一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）根据梯形的面积公式，找出关于t的一元一次方程；（2）利用勾股定理，找出关于t的一元二次方程． 题型四 建立一元二次方程模型解决一次函数应用问题 【典例8】上海世博会区间，某博物馆每周都吸引大量中外游客前来参观，如果游客过多，对馆中的珍贵文物会产生不利影响，但同时考虑到文物的修缮和保存费用问题，还要保证一定的门票收入．因此，博物馆采取了涨浮门票价格的方法来控制参观人数，在该方法实施过程中发现：每周参观人数与票价之间存在着如图所示的一次函数关系，在这样的情况下． （1）如果确保每周4万元的门票收入，那么每周应限定参观人数是多少？门票价格应是多少元？ （2）门票价格应该是多少元时门票收入最大，这样每周应有多少人参观？ 【思路引领】（1）本题可先用待定系数法求出参观人数和票价的函数关系式，然后根据参观人数×票价＝40000元，来求出自变量的值； （2）先得到二次函数，再配方法即可求解． 【解答】解：（1）设每周参观人数与票价之间的一次函数关系式为y＝kx+b， 把（10，7000）（15，4500）代入y＝kx+b中得， 解得， ∴y＝﹣500x+12000， 根据确保每周4万元的门票收入，得xy＝40000 即x（﹣500x+12000）＝40000 x2﹣24x+80＝0 解得x1＝20 x2＝4 把x1＝20，x2＝4分别代入y＝﹣500x+12000中 得y1＝2000，y2＝10000 因为控制参观人数，所以取x＝20，y＝2000 答：每周应限定参观人数是2000人，门票价格应是20元/人． （2）依题意有 x（﹣500x+12000）＝﹣500（x2﹣24）＝﹣500（x﹣12）2+72000， y＝﹣500×12+12000＝6000． 故门票价格应该是12元时门票收入最大，这样每周应有6000人参观． 【总结提升】此题考查了二次函数的应用，解答二次函数、一次函数的应用问题中，要注意自变量的取值还必须使实际问题有意义． 清易错 易错点：忽视限制条件进行根的取舍 【典例9】（2022秋•武功县期中）如图，一农户要建一个矩形猪舍，猪舍的一边利用长为12m的住房墙，另外三边用25m长的建筑材料围成，为方便进出，在垂直于住房墙的一边留一个1m宽的门，所围矩形猪舍的长、宽分别为多少时，猪舍面积为72m2． 【思路引领】设矩形猪舍平行于墙的一边长为x m，根据猪舍面积为72m2．列一元二次方程，求解即可． 【解答】解：设矩形猪舍平行于墙的一边长为x m， 根据题意，得（25+1﹣x）＝72， 解得x1＝18（不合题意，舍去），x2＝8， ∴垂直于墙的一边长为9（m）， ∴矩形猪舍的长为9m，宽为8m时，猪舍面积为72m2． 【总结提升】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意建立等量关系是解题的关键． 第3部分 备考训练场 一、备考策略 考法1 利用一元二次方程解决增降率问题 【典例10】（2023秋•资中县期中）随着粤港澳大湾区建设的加速推进，广东省正加速布局以5G等为代表的战略性新兴产业，计划到2023年底，全省5G基站数量将达到6万座，到2022年底，全省5G基站数量将达到17.34万座． （1）按照计划，求2023年底到2022年底，全省5G基站数量的年平均增长率； （2）若2023年保持前两年5G基站数量的年平均增长率不变，到2023年底，全省5G基站数量能否超过25万座？ 【思路引领】（1）设2023年底到2022年底，全省5G基站数量的年平均增长率为x，根据2023年及2022年底全省5G基站的数量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； （2）根据2023年底全省5G基站的数量＝2022年底全省5G基站的数量×（1+增长率），即可求出2023年底全省5G基站的数量，再与29万座比较后即可得出结论． 【解答】解：（1）设2023年底到2022年底，全省5G基站数量的年平均增长率为x， 依题意，得：6×（1+x）2＝17.34， 解得：x1＝0.7＝70%，x2＝﹣2.7（不合题意，舍去）． 答：2023年底到2022年底，全省5G基站数量的年平均增长率为70%． （2）17.34×（1+70%）＝29.478（万座）， ∵29.478＞25， ∴到2023年底，全省5G基站数量能超过25万座． 【总结提升】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 考法2 利用一元二次方程解决商品销售问题 16．（2023•碑林区校级自主招生）为积极响应新旧动能转换，提高公司经济效益，某科技公司近期研发出一种新型高科技设备，每台设备成本价为30万元，经过市场调研发现，每台售价为40万元时，年销售量为600台；每台售价为45万元时，年售量为550台，假定该设备的年销售量y（单位：台）和销售单价x（单位：万元）成一次函数关系． （1）求年销售量y与销售单价x的函数关系式； （2）根据相关规定，此设备的销售单价不得高于70万元，如果该公司想获得10000万元的年利润，则该设备的销售单价应是多少万元？ 【思路引领】（1）根据给定数据，利用待定系数法即可求出年销售量y与销售单价x的函数关系式； （2）利用总利润＝每台的销售利润×年销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再结合该公司想获得10000万元的年利润，即可得出结论． 【解答】解：（1）设年销售量y与销售单价x的函数关系式为y＝kx+b（k≠0）， 将（40，600），（45，550）代入y＝kx+b得：， 解得：， ∴年销售量y与销售单价x的函数关系式为y＝﹣10x+1000． （2）依题意得：（x﹣30）（﹣10x+1000）＝10000， 整理得：x2﹣130x+4000＝0， 解得：x1＝50，x2＝80， 又∵此设备的销售单价不得高于70万元， ∴x＝50． 答：该设备的销售单价应是50万元． 【总结提升】本题考查了一次函数的应用以及一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，找出年销售量y与销售单价x的函数关系式；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程． 考法3 利用一元二次方程解决图形面积问题 17．（2022秋•綦江区校级期中）如图，有一矩形的硬纸板，长为30cm，宽为20cm，在其四个角各剪去一个相同的小正方形，然后把四周的矩形折起，可做成一个无盖的长方体盒子，当剪去的正方形的边长为何值时，所得长方体盒子的底面积为200cm2？ 【思路引领】设剪去的正方形边长为x cm，那么长方体纸盒的底面的长为（30﹣2x）cm，宽为（20﹣2x）cm，然后根据底面积是264cm2即可列出方程求出即可． 【解答】解：设剪掉的正方形纸片的边长为x cm． 由题意，得 （30﹣2x）（20﹣2x）＝200． 解方程，得 x1＝5，x2＝20（不符合题意，舍去）． 答：剪掉的正方形的边长为5cm． 【总结提升】此题主要考查了一元二次方程的应用，首先要注意读懂题意，正确理解题意，然后才能利用题目的数量关系列出方程． 二、备考演练 1．（2023•迁安市一模）小明在解决一个关于计算机病毒传播的问题时，设计算机有x台，列方程3+x+x（x+3）＝48，则方程的解中一定不合题意的是（　　） A．5 B．9 C．﹣5 D．﹣9 【思路引领】解方程后，因为计算机的台数不能为负数，进行取舍． 【解答】解：3+x+x（x+3）＝48， x2+4x﹣45＝0， （x﹣5）（x+9）＝0， x1＝5，x2＝﹣9（不符合题意，舍去）， 故选：D． 【总结提升】本题考查了一元二次方程的应用，熟练掌握解一元二次方程的方法是关键，注意检验所求出的根是否符合所列方程和实际问题． 2．（2022春•裕华区校级期末）如图是一张长12cm，宽10cm的矩形铁皮，将其剪去两个全等的正方形和两个全等的矩形，剩余部分（阴影部分）可制成底面积是24cm2的有盖的长方体铁盒，则剪去的正方形的边长为 　2　cm，此盒子体积是 　48　cm3． 【思路引领】设剪去的正方形的边长为x cm，则制成有盖的长方体铁盒的底面长为（10﹣2x）cm，宽为（6﹣x）cm，根据长方体铁盒的底面积是24cm2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论． 【解答】解：设剪去的正方形的边长为x cm，则制成有盖的长方体铁盒的底面长为（10﹣2x）cm，宽为（6﹣x）cm， 依题意得：（10﹣2x）（6﹣x）＝24， 整理得：x2﹣11x+18＝0， 解得：x1＝2，x2＝9（不合题意，舍去）． ∴该纸盒的体积为2×4×6＝48（cm3）； 故答案为2，48． 【总结提升】本题考查了一元二次方程的应用以及全等图形，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 3．（2023•上海）去年某商店“十一黄金周”进行促销活动期间，前六天的总营业额为450万元，第七天的营业额是前六天总营业额的12%． （1）求该商店去年“十一黄金周”这七天的总营业额； （2）去年，该商店7月份的营业额为350万元，8、9月份营业额的月增长率相同，“十一黄金周”这七天的总营业额与9月份的营业额相等．求该商店去年8、9月份营业额的月增长率． 【思路引领】（1）根据该商店去年“十一黄金周”这七天的总营业额＝前六天的总营业额+第七天的营业额，即可求出结论； （2）设该商店去年8、9月份营业额的月增长率为x，根据该商店去年7月份及9月份的营业额，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论． 【解答】解：（1）450+450×12%＝504（万元）． 答：该商店去年“十一黄金周”这七天的总营业额为504万元． （2）设该商店去年8、9月份营业额的月增长率为x， 依题意，得：350（1+x）2＝504， 解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不合题意，舍去）． 答：该商店去年8、9月份营业额的月增长率为20%． 【总结提升】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 4．（2023春•青浦区期末）小张经营一家水果店，某日到水果批发市场批发一种水果，经了解，一次性批发这种水果不得少于100千克，超过250千克时，所有这种水果的批发单价均为3.5元/千克，图中折线表示批发单价y（元/千克）与质量x（千克）的函数关系． （1）求线段AB所在直线的函数解析式； （2）小张用800元一次可以批发这种水果的质量是多少千克？ 【思路引领】（1）设线段AB所在直线的函数表达式为y＝kx+b，运用待定系数法即可求解； （2）先判断出小张用800元一次可以批发这种水果的质量范围在100千克到250千克之间，再根据（1）的结论列方程解答即可． 【解答】解：（1）设线段AB所在直线的函数表达式为y＝kx+b（k≠0），根据题意得： ， 解得， ∴y6； （2）∵当x＝250，y＝3.5时，总共花费875＞800元， ∴小张用800元一次可以批发这种水果的质量范围在100千克到250千克之间， 由题意，得， 解得x1＝200或x2＝400（不合题意，舍去）， 答：小张用800元一次可以批发这种水果的质量是200千克． 【总结提升】本题主要考查了一次函数的应用，熟练掌握待定系数法是解答本题的关键． 5．（2023秋•鼓楼区期中）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，点P从点B开始沿BC向点C以1cm/s的速度运动，点Q从点C开始沿CA向点A以2cm/s的速度运动，P，Q同时出发，各自到达终点后停止运动．在整个运动过程中，设它们的运动时间为t s． （1）下列说法正确的是 　②　．（填写所有正确结论的序号） ①PQ可以平分△ABC的周长； ②PQ可以平分△ABC的面积． （2）当t为何值时，△PCQ的面积等于7cm2？ 【思路引领】（1）由勾股定理得AB＝10cm，当PQ平分△ABC的周长时，8﹣t+2t＝12，得t＝4＞2（舍），当（8﹣t）×2t＝12时，可知t＝2时，PQ可以平分△ABC的面积； （2）由题意知S7，当点Q停止时，7，即可解决问题． 【解答】解：（1）∵∠C＝90°， 由勾股定理得：AB， 当8﹣t+2t＝12时， ∴t＝4＞2（舍）， 当（8﹣t）×2t＝12时， 解得t＝2或t＝6（舍）， ∴t＝2时，PQ可以平分△ABC的面积， 故答案为：②； （2）①由题意知：CP＝（8﹣t）cm，CQ＝2t cm， ∴S7， 解得：t＝1或7（舍去）， ∴当t＝1时，△PCQ的面积等于7cm2． 当点Q停止时，7， ∴t， 综上：t＝1或． 【总结提升】本题主要考查了勾股定理，三角形的周长和面积，将动点问题转化为线段的长是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$