21.2.4一元二次方程的跟与系数关系-2024-2025学年九年级数学上学期考点考向及考法同步教学+复习讲义（人教版）

21.2.4一元二次方程的跟与系数关系（原卷版） 第一部分 夯实双基 知识点1 一元二次方程跟与系数的关系 考向：根与系数的关系应用类型 类型1：求两根的和与积 【典例1】不解方程，求下列方程的两根x1，x2的和与积． （1）x2﹣3x﹣5＝0；（2）2x2+5x﹣9＝0；（3）4x﹣2＝x2． 【变式训练】 1．（2023秋•金山区期中）若关于x的方程2x2+bx+c＝0的两根为2、﹣1，则多项式2x2+bx+c可因式分解为（　　） A．2x2+bx+c＝（x﹣2）（x+1） B．2x2+bx+c＝2（x+2）（x﹣1） C．2x2+bx+c＝（x+2）（x﹣1） D．2x2+bx+c＝2（x﹣2）（x+1） 类型2：已知方程的一个根，求方程的另一个根与待定字母的值 【典例2】（2023秋•藁城区月考）关于x的方程2x2+mx+n＝0的两个根是﹣2和1，则nm的值为（　　） A．16 B．﹣16 C．8 D．﹣8 【变式训练】 1．已知一元二次方程x2﹣6x+q＝0有一个根为2，求方程的另一个根和q的值． 知识点2 二次项系数为1的一元二次方程的性质 考向：利用根与系数的关系构造方程 【典例3】若x1+x2，x1x2，x1，x2为根的一元二次方程是（　　） A．﹣7x2+x﹣13＝0 B．x2﹣7x﹣13＝0 C．7x2﹣x﹣13＝0 D．x2+7x+13＝0 【变式训练】 1．（2023春•招远市期末）若两个数的和为6，积为5，则以这两个数为根的一元二次方程是（　　） A．x2﹣12x+5＝0 B．x2﹣5x﹣6＝0 C．x2﹣6x﹣5＝0 D．x2﹣6x+5＝0 2．（2023•景德镇模拟）若x1+x2＝3，x12+x22＝5，则以x1，x2为根的一元二次方程是 　 　． 第2部分 敲重点、破难点、清易错点 方法1 利用根与系数的关系求涉根代数式的值（整体代入法） 【典例4】已知x1，x2是一元二次方程x2﹣3x﹣1＝0的两根，不解方程求下列各式的值： （1）x1+x2；（2）x1x2；（3）x12+x22；（4）；（5）（x1﹣1）（x2﹣1）；（6）． 方法2 利用分类讨论思想探究涉根的字母系数值的存在性 【典例5】（2023春•蚌山区期中）已知关于x的方程（a﹣5）x2﹣4x﹣1＝0， （1）若方程有实数根，求a的取值范围； （2）是否存在这样的实数a，使方程的两根x1，x2满足x1+x2+x1x2＝3，若存在，求出实数a的值；若不存在，请说明理由． 方法3 利用逆向思维构造一元二次方程 【典例6】已知x1，x2是一元二次方程x2+3x﹣5＝0的两根，求以x1+2和x2+2为根的一个一元二次方程． 清易错 易错点：忽视“根与系数关系”的前提 【典例7】（2023•河北区一模）关于x的一元二次方程x2+（a2﹣2a）x+a﹣1＝0的两个实数根互为相反数，则a的值为　 　． 第三部分 备考训练场 一、备考策略 考法1：利用跟与系数的关系求涉根的非对称式的值 【典例8】若x1，x2是方程x2﹣4x﹣2024＝0的两个实数根，求代数式的值． 考法2：利用涉根的式子的值求字母的值 【典例9】（2023•黄石）已知：关于x的一元二次方程x2x﹣2＝0有两个实数根． （1）求m的取值范围； （2）设方程的两根为x1、x2，且满足（x1﹣x2）2﹣17＝0，求m的值． 二、备考演练 1．（2023秋•黄陂区月考）已知x1，x2是一元二次方程x2+3x﹣3＝0的两根，那么x1+x2+x1x2的值是（　　） A．0 B．6 C．﹣6 D．9 2．（2023秋•卫辉市期中）若关于x的一元二次方程x2+2x+1﹣2m＝0的两个实数根之积为负数，则实数m的取值范围是（　　） A．m＞0 B．m C．m D．m＜0 3．（1）已知关于x的方程x2+3x+k＝0的一个根是﹣1，则k＝　 　； （2）三角形的两边长分别为3和6，第三边的长是方程x2﹣6x+8＝0的一个根，则这个三角形的周长是　 　． 4．（2023•江宁区二模）已知关于x的方程x2﹣mx﹣3x+m﹣4＝0（m为常数）． （1）求证：方程有两个不相等的实数根； （2）设x1，x2是方程的两个实数根，求（x1﹣1）（x2﹣1）的值． 5．（2022秋•万柏林区月考）已知关于x的一元二次方程x2+2x﹣k＝0有两个不相等的实数根． （1）求k的取值范围； （2）若方程的两个不相等的实数根是a，b，求的值． 6．（2023秋•浦东新区月考）阅读理解：法国数学家韦达在研究一元二次方程时有一项重大发现：如果一元二次方程5x2+3x﹣2＝0的两个根分别是x1，x2，那么x1+x2，x1x2，以上定理称为韦达定理． 例如：已知方程5x2+3x﹣2＝0的两根分别为x1，x2， 则：x1+x2，x1x2 请阅读后，运用韦达定理完成以下问题： （1）已知方程4x2﹣3x﹣6＝0的两根分别为x1，x2，求x1+x2和x1x2的值． （2）已知方程x2+3x﹣5＝0的两根分别为x1，x2，求的值． （3）当k取何值时，关于x的一元二次方程3x2﹣2（3k+1）x+3k2﹣1＝0的两个实数根互为倒数？ 7．（2023秋•鹿寨县期中）已知关于x的一元二次方程x2﹣2mx+（m2+m）＝0有两个实数根． （1）求m的取值范围； （2）如果方程的两个实数根为x1，x2，且x1+x2+x1•x2＝10，求m的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 21.2.4一元二次方程的跟与系数关系（解析版） 第一部分 夯实双基 知识点1 一元二次方程跟与系数的关系 考向：根与系数的关系应用类型 类型1：求两根的和与积 【典例1】不解方程，求下列方程的两根x1，x2的和与积． （1）x2﹣3x﹣5＝0； （2）2x2+5x﹣9＝0； （3）4x﹣2＝x2． 【思路引领】（1）（2）直接根据根与系数的关系求解； （3）先把方程化为一般式，然后根据根与系数的关系求解． 【解答】解：（1）依题意有：x1+x2＝3，x1•x2＝﹣5； （2）依题意有：x1+x2，x1•x2； （3）4x﹣2＝x2， x2﹣4x+2＝0， ∴x1+x2＝4，x1•x2＝2． 【总结提升】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2，x1•x2． 【变式训练】 1．（2023秋•金山区期中）若关于x的方程2x2+bx+c＝0的两根为2、﹣1，则多项式2x2+bx+c可因式分解为（　　） A．2x2+bx+c＝（x﹣2）（x+1） B．2x2+bx+c＝2（x+2）（x﹣1） C．2x2+bx+c＝（x+2）（x﹣1） D．2x2+bx+c＝2（x﹣2）（x+1） 【思路引领】由于关于x的方程2x2+bx+c＝0的两根为2、﹣1，则方程左边分解后一定有x﹣2和x+1两个因式，加上二次系数为2，即可得到2x2+bx+c可分解为2（x﹣2）（x+1）． 【解答】解：∵关于x的方程2x2+bx+c＝0的两根为2、﹣1， ∴方程左边分解后一定有x﹣2和x+1两个因式， 而二次项系数为2， ∴2x2+bx+c可分解为2（x﹣2）（x+1）． 故选：D． 【总结提升】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：先把方程右边变形为0，然后把方程左边进行因式分解，这样把一元二次方程转化为两个一元一次方程，再解一次方程可得到一元二次方程的解． 类型2：已知方程的一个根，求方程的另一个根与待定字母的值 【典例2】（2023秋•藁城区月考）关于x的方程2x2+mx+n＝0的两个根是﹣2和1，则nm的值为（　　） A．16 B．﹣16 C．8 D．﹣8 【思路引领】由方程的两根结合根与系数的关系可求出m、n的值，将其代入nm中即可求出结论． 【解答】解：∵关于x的方程2x2+mx+n＝0的两个根是﹣2和1， ∴1，2， ∴m＝2，n＝﹣4， ∴nm＝（﹣4）2＝16． 故选：A． 【总结提升】本题考查了根与系数的关系，根据方程的两根结合根与系数的关系求出m、n的值是解题的关键． 【变式训练】 1．已知一元二次方程x2﹣6x+q＝0有一个根为2，求方程的另一个根和q的值． 【思路引领】设方程的另一个根为m，根据根与系数的关系即可得出结论． 【解答】解：设方程的另一个根为m， ∵一元二次方程x2﹣6x+q＝0有一个根为2， ∴m+2＝6，2m＝q， ∴m＝4，q＝8， ∴方程的另一个根为4，q的值为8． 【总结提升】本题考查的是一元二次方程根与系数的关系，熟知x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2，x1x2是解题的关键． 知识点2 二次项系数为1的一元二次方程的性质 考向：利用根与系数的关系构造方程 【典例3】若x1+x2，x1x2，x1，x2为根的一元二次方程是（　　） A．﹣7x2+x﹣13＝0 B．x2﹣7x﹣13＝0 C．7x2﹣x﹣13＝0 D．x2+7x+13＝0 【思路引领】应用根于系数的关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2，x1x2，进行求解是解决本题的关键． 【解答】解：A．∵a＝﹣7，b＝1，c＝﹣13，x1+x2，x1x2，∴A选项不符合题意； B．∵a＝1，b＝﹣7，c＝﹣13，x1+x27，x1x213，∴B选项不符合题意； C．∵a＝7，b＝﹣1，c＝﹣13，x1+x2，x1x2，∴C选项符合题意； D．∵a＝1，b＝7，c＝13，x1+x27，x1x213，∴D选项不符合题意． 故选：C． 【总结提升】本题主要考查了根与系数的关系，熟练掌握根与系数的关系进行求解是解决本题的关键． 【变式训练】 1．（2023春•招远市期末）若两个数的和为6，积为5，则以这两个数为根的一元二次方程是（　　） A．x2﹣12x+5＝0 B．x2﹣5x﹣6＝0 C．x2﹣6x﹣5＝0 D．x2﹣6x+5＝0 【思路引领】以x1，x2为根的一元二次方程的形式是x2﹣（x1+x2）x+x1x2＝0，根据这个公式直接代入即可得到所求方程． 【解答】解：A、x2﹣12x+5＝0中，x1+x2＝﹣12，x1x2＝5，不符合题意； B、x2﹣5x﹣6＝0中，x1+x2＝5，x1x2＝﹣6，不符合题意； C、x2﹣6x﹣5＝0中，x1+x2＝6，x1x2＝﹣5，不符合题意； D、x2﹣6x+5＝0中，x1+x2＝6，x1x2＝5，符合题意． 故选：D． 【总结提升】本题考查一元二次方程根与系数的关系，ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根分别为x1，x2，则，x1•x2． 2．（2023•景德镇模拟）若x1+x2＝3，x12+x22＝5，则以x1，x2为根的一元二次方程是 　x2﹣3x+2＝0　． 【思路引领】利用完全平方公式计算出x1x2＝2，然后根据根与系数的关系写出以x1，x2为根的一元二次方程． 【解答】解：∵x12+x22＝5， ∴（x1+x2）2﹣2x1x2＝5， 而x1+x2＝3， ∴9﹣2x1x2＝5， ∴x1x2＝2， ∴以x1，x2为根的一元二次方程为x2﹣3x+2＝0． 故答案为：x2﹣3x+2＝0． 【总结提升】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2，x1•x2． 第2部分 敲重点、破难点、清易错点 方法1 利用根与系数的关系求涉根代数式的值（整体代入法） 【典例4】已知x1，x2是一元二次方程x2﹣3x﹣1＝0的两根，不解方程求下列各式的值： （1）x1+x2； （2）x1x2； （3）x12+x22； （4）； （5）（x1﹣1）（x2﹣1）； （6）． 【思路引领】（1）直接利用一元二次方程的根与系数x的关系“x1+x2”计算即可； （2）直接利用一元二次方程的根与系数x的关系“x1x2”计算即可； （3）先利用完全平方公式将x12+x22变形为（x1+x2）2﹣x1x2，然后将（x1+x2）、x1x2的值整体代入计算即可； （4）先利用异分母分式加减法法则将化简为，然后将（x1+x2）、x1x2的值整体代入计算即可； （5）先利用多项式乘以多项式法则计算（x1﹣1）（x2﹣1），进而变形为x1x2﹣（x1+x2）+1，然后将（x1+x2）、x1x2的值整体代入计算即可； （6）先利用异分母分式加减法法则计算，然后将（x12+x22）、x1x2的值整体代入计算即可． 【解答】解：（1）x1，x2是一元二次方程x2﹣3x﹣1＝0的解， ∵a＝1，b＝﹣3， ∴x1+x23． （2）∵a＝1，c＝﹣1， ∴x1x21． （3）原式＝（x1+x2）2﹣2x1x2 ＝32﹣2×（﹣1） ＝11． （4）原式 ＝﹣3． （5）原式＝x1x2﹣（x1+x2）+1 ＝﹣1﹣3+1 ＝﹣3． （6）原式 ＝﹣11． 【总结提升】本题考查根与系数的关系，正确记忆根与系数的关系是解题关键． 方法2 利用分类讨论思想探究涉根的字母系数值的存在性 【典例5】（2023春•蚌山区期中）已知关于x的方程（a﹣5）x2﹣4x﹣1＝0， （1）若方程有实数根，求a的取值范围； （2）是否存在这样的实数a，使方程的两根x1，x2满足x1+x2+x1x2＝3，若存在，求出实数a的值；若不存在，请说明理由． 【思路引领】（1）根据方程有实数根，分为两种情况：a＝5和a≠5，利用△≥0，即可得到答案； （2）根据题意分别得到x1+x2和x1x2的值，进而代入x1+x2+x1x2＝3中建立关于a的方程，求得a的值并检验即可得到答案． 【解答】解：（1）当a＝5时，方程为﹣4x﹣1＝0，方程有实数根； 当a≠5时，方程为一元二次方程， Δ＝16+4（a﹣5）＝4a﹣4≥0， 解得：a≥1． 所以a的取值范围是：a≥1． （2）根据题意得： x1+x2，x1x2， 因为x1+x2+x1x2＝3， 所以3， 解这个方程得：a＝6． 经检验：a＝6是方程的解， 又因为a≥1， 所以存在实数a，使方程的两根x1、x2满足x1+x2+x1x2＝3，此时a＝6． 【总结提升】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式Δ＝b2﹣4ac：当Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0，方程没有实数根．也考查了一元二次方程的根与系数的关系． 方法3 利用逆向思维构造一元二次方程 【典例6】已知x1，x2是一元二次方程x2+3x﹣5＝0的两根，求以x1+2和x2+2为根的一个一元二次方程． 【思路引领】先根据根与系数的关系得到x1+x2＝﹣3，x1x2＝﹣5，再分别计算出x1+1+x2+1＝﹣1，（x1+1）（x2+1）＝﹣7，然后根据根与系数的关系写出满足条件的一元二次方程． 【解答】解：根据题意得x1+x2＝﹣3，x1x2＝﹣5， 所以x1+2+x2+2＝1，（x1+2）（x2+2）＝x1x2+2（x1+x2）+4＝﹣7， 所以x1+2和x2+2为根的一个一元二次方程可为x2﹣x﹣7＝0（答案不唯一）． 【总结提升】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2，x1x2． 清易错 易错点：忽视“根与系数关系”的前提 【典例7】（2023•河北区一模）关于x的一元二次方程x2+（a2﹣2a）x+a﹣1＝0的两个实数根互为相反数，则a的值为　0　． 【思路引领】由两根互为相反数可知两根之和为0，再由根与系数的关系可得到关于a的方程，即可求得a的值． 【解答】解：∵方程x2+（a2﹣2a）x+a﹣1＝0的两个实数根互为相反数， ∴x1+x2＝﹣（a2﹣2a）＝0，解得a＝0或a＝2， 当a＝2时，方程为x2+1＝0，该方程无实数根，舍去， ∴a＝0， 故答案为：0． 【总结提升】本题主要考查根与系数的关系，由条件得出两根和为0是解题的关键． 第三部分 备考训练场 一、备考策略 考法1：利用跟与系数的关系求涉根的非对称式的值 【典例8】若x1，x2是方程x2﹣4x﹣2024＝0的两个实数根，求代数式的值． 【思路引领】先根据一元二次方程解的定义得到4x1+2024，则可化为2（x1+x2）+2024，再根据根与系数的关系得到x1+x2＝4，然后利用整体代入的方法计算． 【解答】解：∵x1是方程x2﹣4x﹣2024＝0的实数根， ∴4x1﹣2024＝0， ∴4x1+2024， ∴4x1+2024﹣2x1+2x2＝2（x1+x2）+2024， ∵x1，x2是方程x2﹣4x﹣2024＝0的两个实数根， ∴x1+x2＝4， ∴2×4+2024＝2032． 【总结提升】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2，x1x2．也考查了一元二次方程的解． 考法2：利用涉根的式子的值求字母的值 【典例9】（2023•黄石）已知：关于x的一元二次方程x2x﹣2＝0有两个实数根． （1）求m的取值范围； （2）设方程的两根为x1、x2，且满足（x1﹣x2）2﹣17＝0，求m的值． 【思路引领】（1）根据方程的系数结合根的判别式，即可得出Δ＝m+8≥0，根据二次根式的意义即可得出m≥0，从而得出m的取值范围； （2）根据根与系数的关系可得x1+x2，x1•x2＝﹣2，结合（x1﹣x2）2﹣17＝0即可得出关于m的一元一次方程，解之即可得出结论． 【解答】解：（1）∵关于x的一元二次方程x2x﹣2＝0有两个实数根， ∴Δ＝（）2﹣4×1×（﹣2）＝m+8≥0，且m≥0， 解得：m≥0． （2）∵关于x的一元二次方程x2x﹣2＝0有两个实数根x1、x2， ∴x1+x2，x1•x2＝﹣2， ∴（x1﹣x2）2﹣17＝（x1+x2）2﹣4x1•x2﹣17＝0，即m+8﹣17＝0， 解得：m＝9． 【总结提升】本题考查了根与系数的关系、根的判别式以及解一元一次方程，解题的关键是：（1）牢记“当△≥0时，方程有两个实数根”；（2）根据根与系数的关系结合（x1﹣x2）2﹣17＝0找出关于m的一元一次方程． 二、备考演练 1．（2023秋•黄陂区月考）已知x1，x2是一元二次方程x2+3x﹣3＝0的两根，那么x1+x2+x1x2的值是（　　） A．0 B．6 C．﹣6 D．9 【思路引领】利用根与系数的关系得到x1+x2＝﹣3，x1x2＝﹣3，然后利用整体代入的方法计算x1+x2+x1x2的值． 【解答】解：根据题意得x1+x2＝﹣3，x1x2＝﹣3， 所以x1+x2+x1x2＝﹣3﹣3＝﹣6． 故选：C． 【总结提升】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2，x1x2． 2．（2023秋•卫辉市期中）若关于x的一元二次方程x2+2x+1﹣2m＝0的两个实数根之积为负数，则实数m的取值范围是（　　） A．m＞0 B．m C．m D．m＜0 【思路引领】利用根的判别式Δ＞0及两根之积为负数，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出实数m的取值范围． 【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2+2x+1﹣2m＝0的两个实数根之积为负数， ∴， 解得：m， ∴实数m的取值范围是m． 故选：B． 【总结提升】本题考查了根与系数的关系以及根的判别式，牢记“当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根”及“两根之积等于”是解题的关键． 3．（1）已知关于x的方程x2+3x+k＝0的一个根是﹣1，则k＝　2　； （2）三角形的两边长分别为3和6，第三边的长是方程x2﹣6x+8＝0的一个根，则这个三角形的周长是　13　． 【思路引领】（1）根据一元二次方程的解的定义把x＝﹣1代入方程x2+3x+k＝0得（﹣1）2+3×（﹣1）+k＝0，然后解关于k的一次方程即可； （2）先用因式分解法解方程x2﹣6x+8＝0得到x1＝4，x2＝2，再根据三角形三边的关系得到第三边为4，然后利用三角形周长的定义求解． 【解答】解：（1）把x＝﹣1代入方程x2+3x+k＝0得（﹣1）2+3×（﹣1）+k＝0， 解得k＝2； （2）x2﹣6x+8＝0， ∵（x﹣4）（x﹣2）＝0， ∴x1＝4，x2＝2， 当x＝4时，三角形的周长＝3+6+4＝13， 当x＝2时，3+2＜6，不符合三角形三边的关系，所以舍去， ∴这个三角形的周长是13． 故答案为2；13． 【总结提升】本题考查了一元二次方程的解：满足一元二次方程的未知数的值叫一元二次方程的解．也考查了因式分解法解一元二次方程以及三角形三边的关系． 4．（2023•江宁区二模）已知关于x的方程x2﹣mx﹣3x+m﹣4＝0（m为常数）． （1）求证：方程有两个不相等的实数根； （2）设x1，x2是方程的两个实数根，求（x1﹣1）（x2﹣1）的值． 【思路引领】（1）将原方程变形为一般式，代入系数求出Δ＝（m+1）2+24＞0，由此即可证出结论； （2）由根与系数的关系得出“x1+x2＝m+3，x1•x2＝m﹣4”，再将（x1﹣1）（x2﹣1）变形成含x1+x2和x1•x2的形式，代入数据即可得出结论． 【解答】（1）证明：∵关于x的方程x2﹣mx﹣3x+m﹣4＝0， ∴此方程为x2﹣（m+3）x+m﹣4＝0， ∴Δ＝[﹣（m+3）]2﹣4（m﹣4）＝m2+2m+25＝（m+1）2+24， ∴Δ＞0， ∴关于x的方程x2﹣mx﹣3x+m﹣4＝0有两个不相等的实数根． （2）解：∵x1，x2是方程的两个实数根， ∴x1+x2m+3，x1•x2m﹣4， ∴（x1﹣1）（x2﹣1）＝x1•x2﹣（x1+x2）+1＝（m﹣4）﹣（m+3）+1＝﹣6． 【总结提升】本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，解题的关键是：（1）找出Δ＝（m+1）2+24＞0；（2）结合根与系数的关系找出x1+x2＝m+3，x1•x2＝m﹣4．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，由根的判别式的符号来判断方程根的个数是关键． 5．（2022秋•万柏林区月考）已知关于x的一元二次方程x2+2x﹣k＝0有两个不相等的实数根． （1）求k的取值范围； （2）若方程的两个不相等的实数根是a，b，求的值． 【思路引领】（1）根据根的判别式的意义得到Δ＝22﹣4×（﹣k）＞0，然后解不等式即可； （2）根据根与系数的关系得到a+b＝﹣2，ab＝﹣k，再利用通分和同分母的减法运算得到原式，然后利用整体代入的方法计算，最后约分即可． 【解答】解：（1）根据题意得Δ＝22﹣4×（﹣k）＞0， 解得k＞﹣1； （2）根据题意得a+b＝﹣2，ab＝﹣k， ∴原式 ＝1． 【总结提升】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根，则x1+x2，x1x2．也考查了根的判别式． 6．（2023秋•浦东新区月考）阅读理解：法国数学家韦达在研究一元二次方程时有一项重大发现：如果一元二次方程5x2+3x﹣2＝0的两个根分别是x1，x2，那么x1+x2，x1x2，以上定理称为韦达定理． 例如：已知方程5x2+3x﹣2＝0的两根分别为x1，x2， 则：x1+x2，x1x2 请阅读后，运用韦达定理完成以下问题： （1）已知方程4x2﹣3x﹣6＝0的两根分别为x1，x2，求x1+x2和x1x2的值． （2）已知方程x2+3x﹣5＝0的两根分别为x1，x2，求的值． （3）当k取何值时，关于x的一元二次方程3x2﹣2（3k+1）x+3k2﹣1＝0的两个实数根互为倒数？ 【思路引领】（1）分别利用一元二次方程根与系数的关系求解即可． （2）先把所求的代数式变形为含有x1+x2和x1x2的形式，然后利用根与系数的关系进行解答． （3）依据题意可得x1x2，解关于k的一元二次方程即可． 【解答】解：（1）x1+x2，x1x2； （2）∵x1+x2＝﹣3，x1x2＝﹣5， ∴； （3）∵关于x的一元二次方程3x2﹣2（3k+1）x+3k2﹣1＝0的两个实数根互为倒数， ∴Δ＝b2﹣4ac＝4（3k+1）2﹣4×3×（3k2﹣1）＝24k+16＞0， ∴k， 又∵关于x的一元二次方程3x2﹣2（3k+1）x+3k2﹣1＝0的两个实数根互为倒数， ， ∴3k2﹣1＝3， 解得k或（不合题意）． 【总结提升】本题主要考查了根与系数的关系及根的判别式．熟练掌握x1+x2，x1x2中a、b、c所表示的意义是解题的关键． 7．（2023秋•鹿寨县期中）已知关于x的一元二次方程x2﹣2mx+（m2+m）＝0有两个实数根． （1）求m的取值范围； （2）如果方程的两个实数根为x1，x2，且x1+x2+x1•x2＝10，求m的值． 【思路引领】（1）根据一元二次方程根的情况得Δ＝﹣4m≥0，即可求出m的取值范围； （2）根据根与系数的关系，可得x1+x2＝2m，x1x2＝m2+m，根据x1+x2+x1•x2＝10列方程，即可求出m的值． 【解答】解：（1）∵关于x的一元二次方程x2﹣2mx+（m2+m）＝0有两个实数根， ∴Δ＝（﹣2m）2﹣4（m2+m）＝﹣4m≥0， 解得m≤0； （2）∵x1+x2＝2m，x1x2＝m2+m， 又∵x1+x2+x1•x2＝10， ∴2m+m2+m＝10， 整理，得m2+3m﹣10＝0， 解得m1＝2，m2＝﹣5， ∵m≤0， ∴m＝﹣5． 【总结提升】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，根的判别式等，熟练掌握根与系数的关系是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$