21.2.3 因式分解法解一元二次方程-2024-2025学年九年级数学上学期考点考向及考法同步教学+复习讲义（人教版）

21.2.3 因式分解法解一元二次方程（原卷版） 第一部分 夯实双基 知识点1 因式分解法 考向1 利用因式分解法解一元二次方程 【典例1】用因式分解法解下列方程： （1）x2+22＝0； （2）3（x﹣5）2＝2（5﹣x）； （3）2（x﹣3）2＝9﹣x2 （4）9（2x+3）2＝4（2x﹣5）2． 【变式训练】 1．（2023•信阳二模）方程（x﹣2）（x+1）＝x﹣2的解是（　　） A．x＝0 B．x＝2 C．x＝2或x＝﹣1 D．x＝2或x＝0 2．（2023•新区一模）如果一个等腰三角形的两边长分别为方程x2﹣5x+4＝0的两根，则这个等腰三角形的周长为（　　） A．6 B．9 C．6或9 D．以上都不正确 知识点2 一元二次方程的解法 考向2 利用适当的方法解一元二次方程 【典例2】（2021秋•凉州区校级月考）用适当的方法解下列一元二次方程 （1）（3x+2）2＝25； （2）4x2﹣12x+9＝0； （3）（2x+1）2＝3（2x+1）； （4）2x2﹣5x+3＝0． 【变式训练】 1．解下列方程：①（x﹣2）2＝5，②x2﹣2x+1＝0，③x2x﹣3＝0，较适当的方法为（　　） A．①直接开平方法，②因式分解法，③公式法 B．①因式分解法，②公式法，③配方法 C．①公式法，②配方法，③因式分解法 D．①直接开平方法，②公式法，③因式分解法 3．（2023秋•庆云县校级月考）用合适的方法解下列方程： （1）x（x﹣3）＝5（x﹣3）； （2）3x2+10x+3＝0； （3）x2﹣2x﹣3＝0； （4）4（2x+3）2﹣64＝0． 第二部分 敲重点、破难点、清易错点 方法1 利用待定系数法解错解方程问题 【典例3】甲、乙两学生解同一个关于x的一元二次方程（二次项系数为1）时，甲将一次项系数看错，解得两根为﹣4与8；乙将常数项看错，解得两根为4与10，试求出正确的方程． 方法2 用含绝对值的一元二次方程（分类讨论） 【典例4】阅读下面的例题， 解方程x2﹣|x|﹣2＝0， 解：（1）当x≥0时，原方程化为x2﹣x﹣2＝0，解得：x1＝2，x2＝﹣1（不合题意，舍去）． （2）当x＜0时，原方程化为x2+x﹣2＝0，解得：x1＝1（不合题意，舍去），x2＝﹣2． ∴原方程的根是x1＝2，x2＝﹣2． （1）已知方程x2﹣2|x|﹣15＝0，则此方程的所有实数根的和为 　 　． A．0 B．﹣2 C．2 D．8 （2）解方程x2﹣|x﹣3|﹣3＝0． 方法3 利用换元法求方程中的代数式的值 【典例5】已知实数x满足x22（x）＝1，求x的值． 清易错 易错点：无用等式的性质解一元二次方程，造成漏解 【典例6】（2023秋•锦江区校级期中）解方程：x（x﹣3）＝（2x﹣6）． 第三部分 备考训练场 考法1 用因式分解法解一元二次方程 【典例7】（2023秋•东兰县期中）一元二次方程x（x﹣2）＝x﹣2的根是（　　） A．0 B．2 C．0，2 D．1，2 考法2 选择合适的方法解一元二次方程的解 【典例8】（2023•广州）解方程：x2﹣6x+5＝0． 考法3 利用因式分解法解与三角形有关的应用问题 【典例9】（中考•荆门）已知3是关于x的方程x2﹣（m+1）x+2m＝0的一个实数根，并且这个方程的两个实数根恰好是等腰△ABC的两条边的边长，则△ABC的周长为（　　） A．7 B．10 C．11 D．10或11 二、备考演练 1．（2023•宁化县模拟）一元二次方程（x+3）（x﹣2）＝0的根是 　 ． 2．先阅读下列材料，然后解决后面的问题． 材料：因为二次三项式x2+（a+b）x+ab＝（x+a）（x+b），所以方程x2+（a+b）x+ab＝0可以这样解： ∵（x+a）（x+b）＝0， ∴x+a＝0或x+b＝0， ∴x1＝﹣a，x2＝﹣b． 问题： （1）用因式分解法解方程x2﹣kx﹣16＝0时，得到的两根均为整数，则k的值可以为　 　； （2）已知实数x满足（x2﹣x）2﹣4（x2﹣x）﹣12＝0，则代数式x2﹣x+1的值为　 　． 3．（2015春•邛崃市期中）已知x、y为实数，且方程为（x2+y2）（x2﹣2+y2）＝15，则x2+y2＝　 　． 4．（2023秋•昭阳区校级期末）设a，b是一个直角三角形两条直角边的长，且（a2+b2）（a2+b2﹣1）＝12，则这个直角三角形的斜边长为　 　． 5．（2016•资中县模拟）如果三角形的两边长分别是方程x2﹣8x+15＝0的两个根，那么连接这个三角形三边的中点，得到的三角形的周长可能是（　　） A．4 B．4.5 C．5 D．5.5 6．（2023春•舒城县校级月考）对于实数a，b，先定义一种新运算“★”如下：a★b （1）计算：　 ； （2）若2★m＝36，则实数m等于 　 　． 7．（2023秋•白云区校级期中）x为何值时，两个代数式x2+1，4x+1的值相等？ 8．（2021春•平阴县期末）请阅读下面解方程（x2+1）2﹣2（x2+1）﹣3＝0的过程． 解：设x2+1＝y，则原方程可变形为y2﹣2y﹣3＝0． 解得y1＝3，y2＝﹣1． 当y＝3时，x2+1＝3， ∴x＝±． 当y＝﹣1时，x2+1＝﹣1，x2＝﹣2，此方程无实数解． ∴原方程的解为：x1，x2． 我们将上述解方程的方法叫做换元法， 请用换元法解方程：（）2﹣2（）﹣8＝0． 9．（2023秋•防城港期中）阅读下面的材料，回答问题： 解方程x4﹣5x2+4＝0，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是： 设x2＝y，那么x4＝y2，于是原方程可变为y2﹣5y+4＝0 ①，解得y1＝1，y2＝4． 当y＝1时，x2＝1，∴x＝±1； 当y＝4时，x2＝4，∴x＝±2； ∴原方程有四个根：x1＝1，x2＝﹣1，x3＝2，x4＝﹣2． 请你按照上述解题思想解方程（x2+x）2﹣4（x2+x）﹣12＝0． 10．（2023春•龙泉驿区期中）阅读下列材料： 在因式分解中，把多项式中某些部分看作一个整体，用一个新的字母代替（即换元），不仅可以简化要分解的多项式的结构，而且能使式子的特点更加明显，便于观察如何进行因式分解，我们把这种因式分解的方法称为“换元法”． 例：用换元法分解因式（x2﹣4x+1）（x2﹣4x+2）﹣12． 解：设x2﹣4x＝y 原式＝（y+1）（y+2）﹣12 ＝y2+3y﹣10 ＝（y+5）（y﹣2） ＝（x2﹣4x+5）（x2﹣4x﹣2） （1）请你用换元法对多项式（x2﹣3x+2）（x2﹣3x﹣5）﹣8进行因式分解； （2）凭你的数感，大胆尝试解方程：（x2﹣2x+1）（x2﹣2x﹣3）＝0． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 21.2.3 因式分解法解一元二次方程（解析版） 第一部分 夯实双基 知识点1 因式分解法 考向1 利用因式分解法解一元二次方程 【典例1】用因式分解法解下列方程： （1）x2+22＝0； （2）3（x﹣5）2＝2（5﹣x）； （3）2（x﹣3）2＝9﹣x2 （4）9（2x+3）2＝4（2x﹣5）2． 【思路引领】（1）根据完全平方公式可以解答此方程； （2）根据提公因式法可以解答此方程； （3）根据平方差公式和提公因式法可以解答此方程； （4）根据平方差公式可以解答此方程． 【解答】解：（1）∵x2+22＝0， ∴0， ∴； （2）∵3（x﹣5）2＝2（5﹣x）， ∴3（5﹣x）2﹣2（5﹣x）＝0， ∴（5﹣x）[3（5﹣x）﹣2]＝0， ∴（5﹣x）（13﹣3x）＝0， ∴5﹣x＝0或13﹣3x＝0， 解得，x1＝5，x2； （3）∵2（x﹣3）2＝9﹣x2， ∴2（x﹣3）2﹣（3+x）（3﹣x）＝0， ∴（3﹣x）[2（3﹣x）﹣（3+x）]＝0， ∴（3﹣x）（3﹣3x）＝0， ∴3﹣x＝0或3﹣3x＝0， 解得，x1＝3，x2＝1； （4）∵9（2x+3）2＝4（2x﹣5）2， ∴9（2x+3）2﹣4（2x﹣5）2＝0， ∴[3（2x+3）+2（2x﹣5）][3（2x+3）﹣2（2x﹣5）]＝0， ∴（10x﹣1）（2x+19）＝0， ∴10x﹣1＝0或2x+19＝0， 解得，x1＝0.1，x2＝﹣9.5． 【总结提升】本题考查解一元二次方程﹣因式分解法，解答本题的关键是会用因式分解法解方程． 【变式训练】 1．（2023•信阳二模）方程（x﹣2）（x+1）＝x﹣2的解是（　　） A．x＝0 B．x＝2 C．x＝2或x＝﹣1 D．x＝2或x＝0 【思路引领】因式分解法求解可得． 【解答】解：∵（x﹣2）（x+1）﹣（x﹣2）＝0， ∴（x﹣2）（x+1﹣1）＝0，即x（x﹣2）＝0， 则x＝0或x﹣2＝0， 解得：x＝0或x＝2， 故选：D． 【总结提升】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． 2．（2023•新区一模）如果一个等腰三角形的两边长分别为方程x2﹣5x+4＝0的两根，则这个等腰三角形的周长为（　　） A．6 B．9 C．6或9 D．以上都不正确 【思路引领】求出方程的解，根据三角形的三边关系定理等腰三角形的三边只能是4、4、1，求出周长即可． 【解答】解：解方程x2﹣5x+4＝0得： x1＝4，x2＝1， 根据三角形的三边关系定理等腰三角形的三边只能为4、4、1， ∴等腰三角形的周长是4+4+1＝9， 即等腰三角形的周长是9， 故选：B． 【总结提升】本题主要考查对解一元二次方程﹣因式分解法，三角形的三边关系定理，等腰三角形的性质等知识点的理解和掌握，能求出符合条件的所有情况是解此题的关键． 知识点2 一元二次方程的解法 考向2 利用适当的方法解一元二次方程 【典例2】（2021秋•凉州区校级月考）用适当的方法解下列一元二次方程 （1）（3x+2）2＝25； （2）4x2﹣12x+9＝0； （3）（2x+1）2＝3（2x+1）； （4）2x2﹣5x+3＝0． 【思路引领】（1）利用解一元二次方程﹣直接开平方法，进行计算即可解答； （2）利用解一元二次方程﹣因式分解法，进行计算即可解答． 【解答】解：（1）（3x+2）2＝25， 3x+2＝±5， 3x+2＝5或3x+2＝﹣5， x1＝1，x2； （2）4x2﹣12x+9＝0， （2x﹣3）2＝0， 2x﹣3＝0， x1＝x2； （3）（2x+1）2＝3（2x+1）， （2x+1）2﹣3（2x+1）＝0， （2x+1）（2x+1﹣3）＝0， （2x+1）（2x﹣2）＝0， （2x+1）（x﹣1）＝0， 2x+1＝0或x﹣1＝0， x1，x2＝1； （4）2x2﹣5x+3＝0， （x﹣1）（2x﹣3）＝0， x﹣1＝0或2x﹣3＝0， x1＝1，x2． 【总结提升】本题考查了解一元二次方程﹣直接开平方法，因式分解法，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． 【变式训练】 1．解下列方程：①（x﹣2）2＝5，②x2﹣2x+1＝0，③x2x﹣3＝0，较适当的方法为（　　） A．①直接开平方法，②因式分解法，③公式法 B．①因式分解法，②公式法，③配方法 C．①公式法，②配方法，③因式分解法 D．①直接开平方法，②公式法，③因式分解法 【思路引领】根据各个方程的特点可以选择合适的方法，从而可以解答本题． 【解答】解：①（x﹣2）2＝5用直接开平方法解答比较简便； ②x2﹣2x+1＝0用因式分解法解答比较简便； ③x2x﹣3＝0用公式法解答比较简便； 故选：A． 【总结提升】本题考查解一元二次方程，解答本题的关键是根据方程的特点，选择合适的解答方法． 3．（2023秋•庆云县校级月考）用合适的方法解下列方程： （1）x（x﹣3）＝5（x﹣3）； （2）3x2+10x+3＝0； （3）x2﹣2x﹣3＝0； （4）4（2x+3）2﹣64＝0． 【思路引领】（1）利用因式分解法求解即可； （2）利用因式分解法求解即可； （3）利用因式分解法求解即可； （4）利用直接开平方法求解即可． 【解答】解：（1）x（x﹣3）＝5（x﹣3）， x（x﹣3）﹣5（x﹣3）＝0， （x﹣3）（x﹣5）＝0， ∴x﹣3＝0或x﹣5＝0， ∴x1＝3，x2＝5； （2）3x2+10x+3＝0， （3x+1）（x+3）＝0， ∴3x+1＝0或x+3＝0， ∴x1，x2＝﹣5； （3）x2﹣2x﹣3＝0， （x﹣3）（x+1）＝0， ∴x﹣3＝0或x+1＝0， ∴x1＝3，x2＝﹣1； （4）4（2x+3）2﹣64＝0， （2x+3）2＝16， ∴2x+3＝±4， ∴x1，x2． 【总结提升】本题主要考查解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接开平方法、因式分解法、公式法及配方法，解题的关键是根据方程的特点选择简便的方法． 第二部分 敲重点、破难点、清易错点 方法1 利用待定系数法解错解方程问题 【典例3】甲、乙两学生解同一个关于x的一元二次方程（二次项系数为1）时，甲将一次项系数看错，解得两根为﹣4与8；乙将常数项看错，解得两根为4与10，试求出正确的方程． 【思路引领】利用甲没有看错常数项，根据根与系数的关系得到常数项为﹣4×8，乙没看错一次项系数，则一次项系数为﹣（4+10），从而得到原方程． 【解答】解：∵甲没有看错常数项，根据根与系数的关系得到常数项为﹣4×8＝﹣32， 乙没看错一次项系数，则一次项系数为﹣（4+10）＝﹣14， ∴正确的方程x2﹣14x﹣32＝0． 【总结提升】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2，x1x2． 方法2 用含绝对值的一元二次方程（分类讨论） 【典例4】阅读下面的例题， 解方程x2﹣|x|﹣2＝0， 解：（1）当x≥0时，原方程化为x2﹣x﹣2＝0，解得：x1＝2，x2＝﹣1（不合题意，舍去）． （2）当x＜0时，原方程化为x2+x﹣2＝0，解得：x1＝1（不合题意，舍去），x2＝﹣2． ∴原方程的根是x1＝2，x2＝﹣2． （1）已知方程x2﹣2|x|﹣15＝0，则此方程的所有实数根的和为 　A　． A．0 B．﹣2 C．2 D．8 （2）解方程x2﹣|x﹣3|﹣3＝0． 【思路引领】（1）分x≥0及x＜0两种情况解方程，将其符合题意的根相加即可得出结论； （2）x≥3及x＜3两种情况解方程，取其符合题意的根即可得出原方程的解． 【解答】解：（1）当x≥0时，原方程化为x2﹣2x﹣15＝0， 即（x﹣5）（x+3）＝0， 解得：x1＝5，x2＝﹣3（不符合题意，舍去）； 当x＜0时，原方程化为x2+2x﹣15＝0， 即（x﹣3）（x+5）＝0， 解得：x1＝3（不合题意，舍去），x2＝﹣5． ∴原方程的根是x1＝5，x2＝﹣5， ∴5+（﹣5）＝0， ∴方程x2﹣2|x|﹣15＝0的所有实数根的和为0． 故答案为：A． （2）当x≥3时，原方程化为x2﹣x＝0， 即x（x﹣1）＝0， 解得：x1＝0（不符合题意，舍去），x2＝1（不符合题意，舍去）； 当x＜3时，原方程化为x2+x﹣6＝0， 即（x+3）（x﹣2）＝0， 解得：x1＝﹣3，x2＝2， ∴原方程的根为x1＝﹣3，x2＝2． 【总结提升】本题考查了因式分解法解一元二次方程以及绝对值，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． 方法3 利用换元法求方程中的代数式的值 【典例5】已知实数x满足x22（x）＝1，求x的值． 【思路引领】将原等式化简为（x3）（x1）＝0，则（x3）与（x1）至少有一个为0，解方程即可． 【解答】解：将原式子整理，得x22+2（x）﹣3＝0， 配方，得（x）2+2（x）﹣3＝0， 因式分解，得（x3）（x1）＝0， ∴x3或x1． ∵当x1时，方程没有实数根，这与x为实数相矛盾，舍去． ∴x3． 【总结提升】本题考查了分式的化简求值，因式分解法解方程，掌握整体思想的运用是解本题的关键． 清易错 易错点：无用等式的性质解一元二次方程，造成漏解 【典例6】（2023秋•锦江区校级期中）解方程：x（x﹣3）＝（2x﹣6）． 【思路引领】利用因式分解法求解即可． 【解答】解：x（x﹣3）＝（2x﹣6） x（x﹣3）﹣（2x﹣6）＝0， x（x﹣3）﹣2（x﹣3）＝0， （x﹣3）（x﹣2）＝0， ∴x﹣3＝0或x﹣2＝0， ∴x1＝3，x2＝2． 【总结提升】本题主要考查解一元二次方程的能力及实数的运算，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． 第三部分 备考训练场 考法1 用因式分解法解一元二次方程 【典例7】（2023秋•东兰县期中）一元二次方程x（x﹣2）＝x﹣2的根是（　　） A．0 B．2 C．0，2 D．1，2 【思路引领】先移项，再提取公因式，求出x的值即可． 【解答】解：x（x﹣2）﹣（x﹣2）＝0， （x﹣2）（x﹣1）＝0， x﹣2＝0或x﹣1＝0， 解得x1＝2，x2＝1． 故选：D． 【总结提升】本题考查的是解一元二次方程，熟知解一元二次方程的因式分解法是解题的关键． 考法2 选择合适的方法解一元二次方程的解 【典例8】（2023•广州）解方程：x2﹣6x+5＝0． 【思路引领】先分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可． 【解答】解：分解因式得：（x﹣1）（x﹣5）＝0， x﹣1＝0，x﹣5＝0， x1＝1，x2＝5． 【总结提升】本题考查了解一元二次方程的应用，解此题的关键是能把一元二次方程转化成一元一次方程． 考法3 利用因式分解法解与三角形有关的应用问题 【典例9】（中考•荆门）已知3是关于x的方程x2﹣（m+1）x+2m＝0的一个实数根，并且这个方程的两个实数根恰好是等腰△ABC的两条边的边长，则△ABC的周长为（　　） A．7 B．10 C．11 D．10或11 【思路引领】把x＝3代入已知方程求得m的值；然后通过解方程求得该方程的两根，即等腰△ABC的两条边长，由三角形三边关系和三角形的周长公式进行解答即可． 【解答】解：把x＝3代入方程得9﹣3（m+1）+2m＝0， 解得m＝6， 则原方程为x2﹣7x+12＝0， 解得x1＝3，x2＝4， 因为这个方程的两个根恰好是等腰△ABC的两条边长， ①当△ABC的腰为4，底边为3时，则△ABC的周长为4+4+3＝11； ②当△ABC的腰为3，底边为4时，则△ABC的周长为3+3+4＝10． 综上所述，该△ABC的周长为10或11． 故选：D． 【总结提升】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．也考查了三角形三边的关系． 二、备考演练 1．（2023•宁化县模拟）一元二次方程（x+3）（x﹣2）＝0的根是 　x1＝﹣3，x2＝2　． 【思路引领】先利用因式分解法把方程转化为x+3＝0或x﹣2＝0，然后解一次方程即可． 【解答】解：（x+3）（x﹣2）＝0， x+3＝0或x﹣2＝0， 所以x1＝﹣3，x2＝2． 故答案为：x1＝﹣3，x2＝2． 【总结提升】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法． 2．先阅读下列材料，然后解决后面的问题． 材料：因为二次三项式x2+（a+b）x+ab＝（x+a）（x+b），所以方程x2+（a+b）x+ab＝0可以这样解： ∵（x+a）（x+b）＝0， ∴x+a＝0或x+b＝0， ∴x1＝﹣a，x2＝﹣b． 问题： （1）用因式分解法解方程x2﹣kx﹣16＝0时，得到的两根均为整数，则k的值可以为　±15或±6或0　； （2）已知实数x满足（x2﹣x）2﹣4（x2﹣x）﹣12＝0，则代数式x2﹣x+1的值为　7　． 【思路引领】（1）设方程的两根为a、b，利用根与系数的关系得到a+b＝k，ab＝﹣16，利用有理数的整除性求出a、b，从而得到k的值； （2）解关于x2﹣x的一元二次方程得到x2﹣x﹣6＝0或x2﹣x+2＝0，再利用判别式的意义判断x2﹣x+2＝0没有实数解，则x2﹣x＝6，然后利用整体代入的方法计算． 【解答】解：（1）设方程的两根为a、b， 根据题意得a+b＝k，ab＝﹣16， ∵a、b为整数， ∴当a＝﹣1时，b＝16，则k＝﹣1+16＝15； 当a＝1时，b＝﹣16，则k＝1﹣16＝﹣15； 当a＝2时，b＝﹣8，则k＝2﹣8＝﹣6； 当a＝﹣2时，b＝8，则k＝﹣2+8＝6； 当a＝4时，b＝﹣4，则k＝4﹣4＝0； 即k的值可以为±15或±6或0； 故答案为±15或±6或0； （2）∵（x2﹣x）2﹣4（x2﹣x）﹣12＝0， ∴（x2﹣x﹣6）（x2﹣x+2）＝0， ∴x2﹣x﹣6＝0或x2﹣x+2＝0， 解方程x2﹣x﹣6＝0得x1＝﹣2，x2＝3； 对于方程，x2﹣x+2＝0，Δ＝（﹣1）2﹣4×2＝﹣7＜0，方程没有实数解， ∴x2﹣x＝6， ∴x2﹣x+1＝6+1＝7． 故答案为7． 【总结提升】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2，x1x2．也考查了因式分解法解一元二次方程和根的判别式． 3．（2015春•邛崃市期中）已知x、y为实数，且方程为（x2+y2）（x2﹣2+y2）＝15，则x2+y2＝　5　． 【思路引领】根据换元法，可得一元二次方程，根据解一元二次方程，可得答案． 【解答】解：设x2+y2＝u，原方程等价于u2﹣2u﹣15＝0． 解得u＝5，u＝﹣3（不符合题意，舍）， x2+y2＝5， 故答案为：5． 【总结提升】本题考查了换元法解一元一次方程，利用x2+y2＝u得出关于u的一元二次方程是解题关键，注意平方都是非负数． 4．（2023秋•昭阳区校级期末）设a，b是一个直角三角形两条直角边的长，且（a2+b2）（a2+b2﹣1）＝12，则这个直角三角形的斜边长为　2　． 【思路引领】此题实际上求的值．设t＝a2+b2，将原方程转化为关于t的一元二次方程t（t﹣1）＝12，通过解方程求得t的值即可． 【解答】解：设t＝a2+b2，则由原方程，得 t（t﹣1）＝12， 整理，得 （t﹣4）（t+3）＝0， 解得t＝4或t＝﹣3（舍去）． 则a2+b2＝4， ∵a，b是一个直角三角形两条直角边的长， ∴这个直角三角形的斜边长为2． 故答案为：2． 【总结提升】此题考查了换元法解一元二次方程，以及勾股定理，熟练运用勾股定理是解本题的关键． 5．（2016•资中县模拟）如果三角形的两边长分别是方程x2﹣8x+15＝0的两个根，那么连接这个三角形三边的中点，得到的三角形的周长可能是（　　） A．4 B．4.5 C．5 D．5.5 【思路引领】解一元二次方程求出三角形的两边，根据三角形的三边关系求出第三边的范围，根据三角形的中位线定理解答． 【解答】解：x2﹣8x+15＝0 （x﹣3）（x﹣5）＝0 x1＝3，x2＝5， ∴三角形的第三边x的范围是2＜x＜8， 三角形的周长c的范围是10＜c＜16， 则连接这个三角形三边的中点，得到的三角形的周长a的范围是5＜a＜8， ∴三角形的周长可能是5.5， 故选：D． 【总结提升】本题考查的是三角形的中位线定理、三角形的三边关系以及一元二次方程的解法，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键． 6．（2023春•舒城县校级月考）对于实数a，b，先定义一种新运算“★”如下：a★b （1）计算：　　； （2）若2★m＝36，则实数m等于 　4　． 【思路引领】（1）利用新定义的规定和二次根式的性质化简运算即可； （2）利用分类讨论的方法和新定义的规定化简运算即可． 【解答】解：∵3★2＝32×2+3＝9×2+2＝18+3＝21， 1★2＝1×22+2＝1×4+2＝4+2＝6， ∴原式 ， 故答案为：； （2）①当2≥m时，2★m＝22m+2＝4m+2， ∵2★m＝36， ∴4m+2＝36， ∴m（不合题意，舍去）． ②当2＜m时，2★m＝2m2+m， ∵2★m＝36， ∴2m2+m＝36， 解得：m＝4或m（不合题意，舍去）． 综上，实数m等于4， 故答案为：4． 【总结提升】本题主要考查了实数的运算，二次根式的性质，本题是新定义型，理解新定义的规定并熟练运用是解题的关键． 7．（2023秋•白云区校级期中）x为何值时，两个代数式x2+1，4x+1的值相等？ 【思路引领】根据题意列出方程，利用因式分解法求解可得． 【解答】解：由题意知x2+1＝4x+1， 整理，得：x2﹣4x＝0， ∵x（x﹣4）＝0， ∴x＝0或x﹣4＝0， 解得x＝0或x＝4． 答：当x＝0或x＝4时，两个代数式x2+1，4x+1的值相等． 【总结提升】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． 8．（2021春•平阴县期末）请阅读下面解方程（x2+1）2﹣2（x2+1）﹣3＝0的过程． 解：设x2+1＝y，则原方程可变形为y2﹣2y﹣3＝0． 解得y1＝3，y2＝﹣1． 当y＝3时，x2+1＝3， ∴x＝±． 当y＝﹣1时，x2+1＝﹣1，x2＝﹣2，此方程无实数解． ∴原方程的解为：x1，x2． 我们将上述解方程的方法叫做换元法， 请用换元法解方程：（）2﹣2（）﹣8＝0． 【思路引领】根据材料的提示，可以利用换元法解答分式方程，设a，把分式方程化为整式方程，解出并验根即可． 【解答】解：（）2﹣2（）﹣8＝0， 设a， 则a2﹣2a﹣8＝0， 解得a＝﹣2或a＝4， 当a＝﹣2时，2，解得x，经检验x是分式方程的解， 当a＝4时，4，解得x，经检验x是分式方程的解， ∴原分式方程的解是x1，x2． 【总结提升】本题考查换元法解分式方程和解一元二次方程，解题的关键是设a，将分式方程化为整式方程． 9．（2023秋•防城港期中）阅读下面的材料，回答问题： 解方程x4﹣5x2+4＝0，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是： 设x2＝y，那么x4＝y2，于是原方程可变为y2﹣5y+4＝0 ①，解得y1＝1，y2＝4． 当y＝1时，x2＝1，∴x＝±1； 当y＝4时，x2＝4，∴x＝±2； ∴原方程有四个根：x1＝1，x2＝﹣1，x3＝2，x4＝﹣2． 请你按照上述解题思想解方程（x2+x）2﹣4（x2+x）﹣12＝0． 【思路引领】设y＝x2+x，将原方程转化为关于y的一元二次方程，通过解方程求得y即x2+x的值，然后再来解关于x的一元二次方程． 【解答】解：y＝x2+x，则由原方程，得 y2﹣4y﹣12＝0， 整理，得 （y﹣6）（y+2）＝0， 解得y＝6或y＝﹣2， 当y＝6时，x2+x＝6，即（x+3）（x﹣2）＝0， 解得x1＝﹣3，x2＝2． 当y＝﹣2时，x2+x＝﹣2，即x2+x+2＝0，该方程无解． 综上所述，该方程的解为：x1＝﹣3，x2＝2． 【总结提升】本题主要考查了换元法，即把某个式子看作一个整体，用一个字母去代替它，实行等量替换． 10．（2023春•龙泉驿区期中）阅读下列材料： 在因式分解中，把多项式中某些部分看作一个整体，用一个新的字母代替（即换元），不仅可以简化要分解的多项式的结构，而且能使式子的特点更加明显，便于观察如何进行因式分解，我们把这种因式分解的方法称为“换元法”． 例：用换元法分解因式（x2﹣4x+1）（x2﹣4x+2）﹣12． 解：设x2﹣4x＝y 原式＝（y+1）（y+2）﹣12 ＝y2+3y﹣10 ＝（y+5）（y﹣2） ＝（x2﹣4x+5）（x2﹣4x﹣2） （1）请你用换元法对多项式（x2﹣3x+2）（x2﹣3x﹣5）﹣8进行因式分解； （2）凭你的数感，大胆尝试解方程：（x2﹣2x+1）（x2﹣2x﹣3）＝0． 【思路引领】（1）根据材料，用换元法进行分解因式； （2）设t＝x2﹣2x．将已知方程转化为关于t的一元二次方程，通过解方程求得t的值；然后解关于x的一元二次方程即可． 【解答】解：（1）设x2﹣3x＝y， 原式＝（y+2）（y﹣5）﹣8 ＝y2﹣3y﹣18 ＝（y﹣6）（y+3） ＝（x2﹣3x﹣6）（x2﹣3x+3）； （2）设t＝x2﹣2x．则（t+1）（t﹣3）＝0． 解得t＝﹣1或t＝3． 当t＝﹣1时，x2﹣2x＝﹣1，即（x﹣1）2＝0． 解得x1＝x2＝1． 当t＝3时，x2﹣2x＝3，即（x﹣3）（x+1）＝0． 解得x3＝3，x4＝﹣1． 综上所述，原方程的解为x1＝x2＝1，x3＝3，x4＝﹣1． 【总结提升】本题主要考查了换元法和因式分解法解一元二次方程，换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$