21.2.2 公式法解一元二次方程-2024-2025学年九年级数学上学期考点考向及考法同步教学+复习讲义（人教版）

21.2.2 公式法解一元二次方程（原卷版） 第一部分 夯实双基 知识点1 一元二次方程根的判别式 考向1 一元二次方程根的判别式的应用 【典例1】（2013•滨州）对于任意实数k，关于x的方程x2﹣2（k+1）x﹣k2+2k﹣1＝0的根的情况为（　　） A．有两个相等的实数根 B．没有实数根 C．有两个不相等的实数根 D．无法确定 【变式训练】 1．（2023•伊川县一模）一元二次方程（x+1）（x﹣1）＝2x+3的根的情况是（　　） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 2．（2023春•泰山区期中）关于x的一元二次方程x2+2kx﹣1＝0（k为实数）根的情况是（　　） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．不能确定 知识点2 公式法 考向2 利用公式法解一元二次方程 【典例2】用公式法解下列方程： （1）3x2+4＝7x； （2）2x2x＝1； （3）5x2﹣13x﹣5＝0； （4）3x2+4x﹣7＝0；（5）x2﹣4x﹣20；（6）x2﹣（1+2）x3＝0． 【变式训练】 1．（2023春•昭平县期中）若方程x2﹣3x+2＝0较小的根为p，方程3x2﹣2x﹣1＝0较大的根为q，则p+q等于（　　） A． B．3 C．2 D．1 2．用公式法解下列方程： （1）y2﹣2y﹣2＝0； （2）3x2﹣2x＝4； （3）x2+6＝2（x+1）； （4）5x2﹣2x+1＝0． 第二部分 敲重点、破难点、清易错点 方法1 一元二次方程根的情况的证明（定义法） 【典例3】（2023秋•南安市期中）已知：关于x的一元二次方程mx2﹣（3m+2）x+2m0（m≠0），求证：方程有两个不相等的实数根． 方法2 利用根的情况确定字母的取值范围（逆向思维法） 【典例4】（2023春•乳山市期末）已知关于x的一元二次方程x2+2x+k﹣2＝0有两个不相等的实数根． （1）求k的取值范围； （2）若k为非负整数，且该方程的根都是整数，求k的值． 方法3 利用数形结合法求一元二次方程的待定字母的值 9．（2023秋•蔡甸区期中）等腰三角形边长分别为a、b、2，且a，b是关于x的一元二次方程x2﹣6x+n﹣1＝0的两根，求n的值． 清易错 易错点1 忽视应用根的判别式的前提 【典例6】（2022•泸县校级一模）若关于x的一元二次方程（m﹣2）x2+2x﹣1＝0有实数根，则m的取值范围是（　　） A．m≠2 B．m≥1且m≠2 C．m≤3且m≠2 D．m≥1 【典例7】（2012秋•下关区校级月考）（1）若关于x的一元二次方程x2﹣3x+k＝0有两个相等的实数根，求k的值； （2）若关于x的一元二次方程m2x2+（2m+1）x+1＝0有实数根，求m的取值范围． 第三部分 备考训练场 一、备考策略 考法1 利用根的判别式求字母的取值范围 【典例8】（2023•农安县模拟）已知关于x的一元二次方程x2+3x+m＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是　 ． 考法2 利用根的判别式求方程的整数解的问题 【典例9】已知关于x的一元二次方程x2+2x+m﹣2＝0有两个实数根，m为正整数，且该方程的根都是整数，则符合条件的所有正整数m的和为（　　） A．6 B．5 C．4 D．3 考法3 用公式法解一元二次方程 【典例10】用公式法解一元二次方程： （1）解方程：x2﹣4x﹣7＝0； （2）x2﹣x﹣3＝0； （3）x2＝﹣3x﹣1； （4）2x2﹣2＝3x； （5）x2+10x； （6）（x﹣5）（x+3）＝1． 二、备考演练 1．（2022•周口二模）已知关于x的一元二次方程x2+mx﹣4＝0，则下列关于该方程根的判断，正确的是（　　） A．有两个不相等的实数根 B．实数根的个数与实数m的取值有关 C．有两个相等的实数根 D．没有实数根 2．（2023•宁陵县模拟）若关于x的一元二次方程（a﹣1）x2+3x﹣2＝0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是（　　） A．a B．a C．a且a≠1 D．a且a≠1 3．（2024•温州二模）若一元二次方程x2﹣6x+c＝0有两个相等的实数根，则c的值为 　 　． 4．用公式法解下列方程： （1）x2+6x+9＝7； （2）x2+2x﹣2＝0； （3）3x2+4x﹣7＝0； （4）（x）2+4x＝0． 5．（2023秋•南江县校级月考）已知关于x的一元二次方程x2+2x+2k﹣4＝0有两个实数根． （1）求k的取值范围． （2）若k为正整数，且该方程的根都是整数，求k的值及方程的根． 6．（2022春•花山区校级期中）已知关于x的一元二次方程（a+c）x2﹣4bx﹣4（a﹣c）＝0，其中a，b，c分别为△ABC三边的长． （1）如果x＝2是方程的根，则△ABC的形状为 　 　； （2）如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由； （3）如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根． 7．（2022秋•溆浦县校级期中）已知：平行四边形ABCD的两边AB，AD的长是关于x的方程x2﹣mx0的两个实数根． （1）求证：无论m取何值，方程总有两个实数根； （2）当m为何值时，四边形ABCD是菱形？求出这时菱形的边长； （3）如果AB的长为2，那么平行四边形ABCD的周长是多少？ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 21.2.2 公式法解一元二次方程（解析版） 第一部分 夯实双基 知识点1 一元二次方程根的判别式 考向1 一元二次方程根的判别式的应用 【典例1】（2013•滨州）对于任意实数k，关于x的方程x2﹣2（k+1）x﹣k2+2k﹣1＝0的根的情况为（　　） A．有两个相等的实数根 B．没有实数根 C．有两个不相等的实数根 D．无法确定 【思路引领】判断上述方程的根的情况，只要看根的判别式Δ＝b2﹣4ac的值的符号就可以了． 【解答】解：∵a＝1，b＝﹣2（k+1），c＝﹣k2+2k﹣1， ∴Δ＝b2﹣4ac＝[﹣2（k+1）]2﹣4×1×（﹣k2+2k﹣1）＝8+8k2＞0 ∴此方程有两个不相等的实数根， 故选：C． 【总结提升】此题主要考查了根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）Δ＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）Δ＝0⇔方程有两个相等的实数根；（3）Δ＜0⇔方程没有实数根． 【变式训练】 1．（2023•伊川县一模）一元二次方程（x+1）（x﹣1）＝2x+3的根的情况是（　　） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 【思路引领】先把方程化为一般式，再计算根的判别式的值，从而可判断根的情况． 【解答】解：方程化为一般式为x2﹣2x﹣4＝0， ∵Δ＝（﹣2）2﹣4×（﹣4）＝20＞0， ∴方程有两个不相等的实数根． 故选：A． 【总结提升】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根． 2．（2023春•泰山区期中）关于x的一元二次方程x2+2kx﹣1＝0（k为实数）根的情况是（　　） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．不能确定 【思路引领】利用一元二次方程的根的判别式即可求． 【解答】解： 由根的判别式得，Δ＝b2﹣4ac＝4k2+4＞0， 故有两个不相等的实数根． 故选：A． 【总结提升】此题主要考查一元二次方程的根的判别式，利用一元二次方程根的判别式（Δ＝b2﹣4ac）可以判断方程的根的情况：一元二次方程的根与根的判别式 有如下关系：①当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；②当Δ＝0 时，方程有两个相等的实数根；③当Δ＜0 时，方程无实数根，但有2个共轭复根．上述结论反过来也成立． 知识点2 公式法 考向2 利用公式法解一元二次方程 【典例2】用公式法解下列方程： （1）3x2+4＝7x； （2）2x2x＝1； （3）5x2﹣13x﹣5＝0； （4）3x2+4x﹣7＝0； （5）x2﹣4x﹣20； （6）x2﹣（1+2）x3＝0． 【思路引领】（1）化成一般式，然后找出方程中a，b，c的值，计算出根的判别式，代入求根公式即可求出解． （2）化成一般式，然后找出方程中a，b，c的值，计算出根的判别式，代入求根公式即可求出解． （3）找出方程中a，b，c的值，计算出根的判别式，代入求根公式即可求出解． （4）找出方程中a，b，c的值，计算出根的判别式，代入求根公式即可求出解． （5）找出方程中a，b，c的值，计算出根的判别式，代入求根公式即可求出解． （6）找出方程中a，b，c的值，计算出根的判别式，代入求根公式即可求出解． 【解答】解：（1）3x2+4＝7x； 3x2﹣7x+4＝0， ∵a＝3，b＝﹣7，c＝4，b2﹣4ac＝49﹣48＝1， ∴x， ∴x1，x2＝1； （2）2x2x＝1； 6x2+7x﹣3＝0， ∵a＝6，b＝7，c＝﹣3，b2﹣4ac＝49+72＝121， ∴x， ∴x1，x2； （3）5x2﹣13x﹣5＝0； ∵a＝5，b＝﹣13，c＝﹣5，b﹣4ac＝169+100＝269， ∴x， ∴x1，x2； （4）3x2+4x﹣7＝0； ∵a＝3，b＝4，c＝﹣7，b2﹣4ac＝16+84＝100， ∴x， ∴x1＝1，x2； （5）x2﹣4x﹣20； ∵a，b＝﹣4，c＝﹣2，b2﹣4ac＝48+16＝64， ∴x， ∴x12，x22； （6）x2﹣（1+2）x3＝0． ∵a＝1，b＝﹣（1+2），c3，b2﹣4ac＝25， ∴x， ∴x1＝3，x2＝﹣2． 【总结提升】此题考查了解一元二次方程﹣公式法，熟练掌握求根公式是解本题的关键． 【变式训练】 1．（2023春•昭平县期中）若方程x2﹣3x+2＝0较小的根为p，方程3x2﹣2x﹣1＝0较大的根为q，则p+q等于（　　） A． B．3 C．2 D．1 【思路引领】分别解两个方程得到p和q的值，然后计算它们的和即可． 【解答】解：方程x2﹣3x+2＝0的解为x1＝1，x2＝2，则p＝1； 方程3x2﹣2x﹣1＝0的解为x1＝1，x2，则q＝1， 所以p+q＝2． 故选：C． 【总结提升】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解． 2．用公式法解下列方程： （1）y2﹣2y﹣2＝0； （2）3x2﹣2x＝4； （3）x2+6＝2（x+1）； （4）5x2﹣2x+1＝0． 【思路引领】（1）先求出b2﹣4ac的值，再代入公式求出答案即可； （2）移项后求出b2﹣4ac的值，再代入公式求出答案即可； （3）先化成一元二次方程的一般形式，再求出b2﹣4ac的值，最后代入公式求出答案即可； （4）先求出b2﹣4ac的值，再代入公式求出答案即可． 【解答】解：（1）y2﹣2y﹣2＝0， 这里a＝1，b＝﹣2，c＝﹣2， b2﹣4ac＝（﹣2）2﹣4×1×（﹣2）＝12＞0， 所以y， 解得：y1＝1，y2＝1； （2）3x2﹣2x＝4， 3x2﹣2x﹣4＝0， 这里a＝3，b＝﹣2，c＝﹣4， b2﹣4ac＝（﹣2）2﹣4×3×（﹣4）＝52＞0， 所以x， 解得：x1，x2； （3）x2+6＝2（x+1）， 整理得：x2﹣2x+4＝0， 这里a＝1，b＝﹣2，c＝4， b2﹣4ac＝（﹣2）2﹣4×1×4＝﹣12＜0， 所以方程无实数根； （4）5x2﹣2x+1＝0， 这里a＝5，b＝﹣2，c＝1， b2﹣4ac＝（﹣2）2﹣4×5×1＝0， 所以x1＝x2． 【总结提升】本题考查了解一元二次方程，能熟记公式是解此题的关键，已知一元二次方程ax2+bx+c＝0（a、b、c为常数，a≠0），当b2﹣4ac≥0时，方程的根是x． 第二部分 敲重点、破难点、清易错点 方法1 一元二次方程根的情况的证明（定义法） 【典例3】（2023秋•南安市期中）已知：关于x的一元二次方程mx2﹣（3m+2）x+2m0（m≠0），求证：方程有两个不相等的实数根． 【思路引领】根据方程的系数可得出根的判别式Δ＝（m+1）2+3，结合（m+1）2≥0可得出Δ＞0，进而即可证出方程有两个不相等的实数根． 【解答】证明：Δ＝b2﹣4ac＝[﹣（3m+2）]2﹣4m（2m）， ＝9m2+12m+4﹣8m2﹣10m， ＝m2+2m+4， ＝（m+1）2+3． ∵（m+1）2≥0， ∴（m+1）2+3≥3，即Δ＞0， ∴原方程有两个不相等的实数根． 【总结提升】本题考查了根的判别式，牢记“当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键． 方法2 利用根的情况确定字母的取值范围（逆向思维法） 【典例4】（2023春•乳山市期末）已知关于x的一元二次方程x2+2x+k﹣2＝0有两个不相等的实数根． （1）求k的取值范围； （2）若k为非负整数，且该方程的根都是整数，求k的值． 【思路引领】（1）根据判别式的意义得到Δ＝22﹣4（k﹣2）＞0，然后解不等式即可； （2）由（1）的范围得到k＝1或k＝2，然后把k＝1和2代入原方程，然后解方程确定满足条件的k值． 【解答】解：（1）根据题意得Δ＝22﹣4（k﹣2）＞0， 解得k＜3； （2）∵k为非负整数， ∴k＝1或k＝2或k＝0， 当k＝0时，Δ＝﹣4，所以该方程无解， 当k＝1时，Δ＝8，所以该方程的根为无理数， 当k＝2是，原方程为x2+2x＝0，解得x1＝0，x2＝﹣2， 所有k的值为2． 【总结提升】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式Δ＝b2﹣4ac：当Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0，方程没有实数根． 方法3 利用数形结合法求一元二次方程的待定字母的值 9．（2023秋•蔡甸区期中）等腰三角形边长分别为a、b、2，且a，b是关于x的一元二次方程x2﹣6x+n﹣1＝0的两根，求n的值． 【思路引领】由三角形是等腰三角形，得到①a＝2，或b＝2，②a＝b①当a＝2，或b＝2时，得到方程的根x＝2，把x＝2代入x2﹣6x+n﹣1＝0即可得到结果；②当a＝b时，方程x2﹣6x+n﹣1＝0有两个相等的实数根，由Δ＝（﹣6）2﹣4（n﹣1）＝0可得结果． 【解答】解：∵三角形是等腰三角形， ∴①a＝2，或b＝2，②a＝b两种情况， ①当a＝2，或b＝2时， ∵a，b是关于x的一元二次方程x2﹣6x+n﹣1＝0的两根， ∴x＝2， 把x＝2代入x2﹣6x+n﹣1＝0得，22﹣6×2+n﹣1＝0， 解得：n＝9， 当n＝9，方程的两根是2和4，而2，4，2不能组成三角形， 故n＝9不合题意， ②当a＝b时，方程x2﹣6x+n﹣1＝0有两个相等的实数根， ∴Δ＝（﹣6）2﹣4（n﹣1）＝0 解得：n＝10， 综上所述，n＝10． 【总结提升】本题考查了等腰直角三角形的性质，一元二次方程的根，一元二次方程根的判别式，注意分类讨论思想的应用． 清易错 易错点1 忽视应用根的判别式的前提 【典例6】（2022•泸县校级一模）若关于x的一元二次方程（m﹣2）x2+2x﹣1＝0有实数根，则m的取值范围是（　　） A．m≠2 B．m≥1且m≠2 C．m≤3且m≠2 D．m≥1 【思路引领】根据一元二次方程的判别式，有实根，则Δ≥0，由此即可求解． 【解答】解：关于x的一元二次方程（m﹣2）x2+2x﹣1＝0有实数根，且a＝m﹣2，b＝2，c＝﹣1， ∴Δ＝22+4（m﹣2）≥0，解不等式得，m≥1， ∵关于x的一元二次方程， ∴m﹣2≠0，即m≠2， ∴m≥1且m≠2． 故选：B． 【总结提升】本题主要考查一元二次方程中根与系数的关系，掌握根的判别式是解题的关键． 易错点2 没有认清“方程有实数根”和“一元二次方程有实数根”的区别 【典例7】（2012秋•下关区校级月考）（1）若关于x的一元二次方程x2﹣3x+k＝0有两个相等的实数根，求k的值； （2）若关于x的一元二次方程m2x2+（2m+1）x+1＝0有实数根，求m的取值范围． 【思路引领】（1）根据关于x的一元二次方程x2﹣3x+k＝0有两个相等的实数根可知Δ＝0，故可得出关于k的一元一次方程，求出k的值即可； （2）根据一元二次方程有实数根可得出关于m的不等式组，求出m的取值范围即可． 【解答】解：（1）∵关于x的一元二次方程x2﹣3x+k＝0有两个相等的实数根， ∴Δ＝（﹣3）2﹣4k＝0，解得k； （2）∵关于x的一元二次方程m2x2+（2m+1）x+1＝0有实数根， ∴，解得m且m≠0． 【总结提升】本题考查的是根的判别式，熟知一元二次方程根的解与判别式△的关系是解答此题的关键． 第三部分 备考训练场 一、备考策略 考法1 利用根的判别式求字母的取值范围 【典例8】（2023•农安县模拟）已知关于x的一元二次方程x2+3x+m＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是　m　． 【思路引领】根据判别式的意义得到Δ＝32﹣4×1×m＞0，然后解不等式求出m的取值即可． 【解答】解：根据题意得Δ＝32﹣4×1×m＞0， 解得m， 所以实数m的取值范围是m． 故答案为：m． 【总结提升】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根． 考法2 利用根的判别式求方程的整数解的问题 【典例9】已知关于x的一元二次方程x2+2x+m﹣2＝0有两个实数根，m为正整数，且该方程的根都是整数，则符合条件的所有正整数m的和为（　　） A．6 B．5 C．4 D．3 【思路引领】设x2+2x+m﹣2＝0的两个实数根为x1、x2，根据韦达定理，得到x1+x2＝﹣2，求根公式得到Δ＝4﹣4（m﹣2）≥0，结合题意，求出m的范围，利用两根都是整数，且两根的和为﹣2，积的取值情况，分别探讨根的情况，进而求出m． 【解答】解：设x2+2x+m﹣2＝0的两个实数根为x1、x2，则x1+x2＝﹣2，Δ＝4﹣4（m﹣2）≥0， ∴m≤3，m为正整数， ∴0＜m≤3， ∴﹣2＜m﹣2≤1， ∵x1x2＝m﹣2， ∴﹣2＜x1x2≤1，则可取﹣1，0，1， ∵方程的根都是整数， ∴方程的根x1、x2都是整数， 又∵﹣2＝﹣1﹣1，此时x1x2＝1，符合题意，此时m＝3， ∵﹣2＝﹣2+0，此时x1x2＝0，符合题意，此时m＝2， 故符合条件的所有正整数m的和为5． 故选：B． 【总结提升】本题考查根与系数的关系，判别式等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 考法3 用公式法解一元二次方程 【典例10】用公式法解一元二次方程： （1）解方程：x2﹣4x﹣7＝0； （2）x2﹣x﹣3＝0； （3）x2＝﹣3x﹣1； （4）2x2﹣2＝3x； （5）x2+10x； （6）（x﹣5）（x+3）＝1． 【思路引领】（1）先求出b2﹣4ac的值，再代入求根公式即可解答本题； （2）先求出b2﹣4ac的值，再代入求根公式即可解答本题； （3）（4）（5）（6）整理后先求出b2﹣4ac的值，然后根据求根公式和根的判别式即可解答本题． 【解答】解：（1）x2﹣4x﹣7＝0， a＝1，b＝﹣4，c＝﹣7， Δ＝b2﹣4ac＝（﹣4）2﹣4×1×（﹣7）＝16+28＝44＞0， ∴x2±， ∴x1＝2，x2＝2； （2）x2﹣x﹣3＝0， a＝1，b＝﹣1，c＝﹣3， Δ＝b2﹣4ac＝（﹣1）2﹣4×1×（﹣3）＝1+12＝13＞0， ∴x， ∴x1，x2； （3）x2＝﹣3x﹣1， x2+3x+1＝0， a＝1，b＝3，c＝1， Δ＝b2﹣4ac＝32﹣4×1×1＝9﹣4＝5＞0， ∴x， ∴x1，x2； （4）2x2﹣2＝3x， 2x2﹣3x﹣2＝0， a＝2，b＝﹣3，c＝﹣2， Δ＝b2﹣4ac＝（﹣3）2﹣4×2×（﹣2）＝9+16＝25＞0， ∴x， ∴x1＝2，x2； （5）x2+10x， x2﹣2x+10＝0， a＝1，b＝﹣2，c＝10， Δ＝b2﹣4ac＝（﹣2）2﹣4×1×10＝20﹣40＜0， ∴方程没有实数根； （6）（x﹣5）（x+3）＝1， x2﹣2x﹣16＝0， a＝1，b＝﹣2，c＝﹣16， Δ＝b2﹣4ac＝（﹣2）2﹣4×1×（﹣16）＝4+64＝68＞0， ∴x1±， ∴x1＝1，x2＝1． 【总结提升】本题考查了解一元二次方程，能熟练运用公式法解答方程是解此题的关键． 二、备考演练 1．（2022•周口二模）已知关于x的一元二次方程x2+mx﹣4＝0，则下列关于该方程根的判断，正确的是（　　） A．有两个不相等的实数根 B．实数根的个数与实数m的取值有关 C．有两个相等的实数根 D．没有实数根 【思路引领】先求出“Δ”的值，再根据根的判别式判断即可． 【解答】解：x2+mx﹣4＝0， Δ＝m2﹣4×1×（﹣4）＝m2+16， ∵不论b为何值，b2≥0， ∴Δ＞0， ∴方程有两个不相等的实数根， 故选：A． 【总结提升】本题考查了根的判别式，能熟记根的判别式的内容是解此题的关键，注意：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a、b、c为常数，a≠0），当b2﹣4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根；当b2﹣4ac＝0时，方程有两个相等的实数根；当b2﹣4ac＜0时，方程没有实数根． 2．（2023•宁陵县模拟）若关于x的一元二次方程（a﹣1）x2+3x﹣2＝0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是（　　） A．a B．a C．a且a≠1 D．a且a≠1 【思路引领】关于x的一元二次方程（a﹣1）x2+3x﹣2＝0有两个不相等的实数根，则Δ＝b2﹣4ac＞0，从而列出关于a的不等式，求解即可，还要考虑二次项的系数不能为0． 【解答】解：∵关于x的一元二次方程（a﹣1）x2+3x﹣2＝0有两个不相等的实数根， ∴Δ＝b2﹣4ac＞0，即9﹣4×（a﹣1）×（﹣2）＞0， 解这个不等式得，a， 又a﹣1≠0， ∴a且a≠1． 故a的取值范围是a且a≠1， 故选：C． 【总结提升】本题考查了一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）Δ＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）Δ＝0⇔方程有两个相等的实数根；（3）Δ＜0⇔方程没有实数根． 3．（2024•温州二模）若一元二次方程x2﹣6x+c＝0有两个相等的实数根，则c的值为 　9　． 【思路引领】利用根的判别式的意义得到Δ＝（﹣6）2﹣4c＝0，然后解一次方程即可． 【解答】解：根据题意得Δ＝（﹣6）2﹣4c＝0， 解得c＝9． 故答案为：9． 【总结提升】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根． 4．用公式法解下列方程： （1）x2+6x+9＝7； （2）x2+2x﹣2＝0； （3）3x2+4x﹣7＝0； （4）（x）2+4x＝0． 【思路引领】（1）（2）（3）小题均先求出根的判别式，判断方程解的情况，然后再利用求根公式解方程即可； （4）先利用完全平方公式去掉括号，化成一元二次方程的一般形式，然后利用求根公式进行解答即可． 【解答】解：（1）x2+6x+9＝7， x2+6x+9﹣7＝0， x2+6x+2＝0， a＝1，b＝6，c＝2， Δ＝b2﹣4ac ＝62﹣4×1×2 ＝36﹣8 ＝28＞0， ∴方程有两个不相等的实数根， ∴， ； （2）x2+2x﹣2＝0， a＝1，b＝2，c＝﹣2， Δ＝b2﹣4ac ＝22﹣4×1×（﹣2） ＝4+8 ＝12＞0， ∴方程有两个不相等的实数根， ∴， ； （3）3x2+4x﹣7＝0， a＝3，b＝4，c＝﹣7， Δ＝b2﹣4ac ＝42﹣4×3×（﹣7） ＝16+84 ＝100＞0， ∴方程有两个不相等的实数根， ∴， ； （4）， ， ， ， Δ＝b2﹣4ac ＝8﹣8 ＝0， ∴方程有两个相等的实数根， ∴． 【总结提升】本题主要考查了利用公式法解一元二次方程，解题关键是熟练掌握用公式法解一元二次方程的基本步骤． 5．（2023秋•南江县校级月考）已知关于x的一元二次方程x2+2x+2k﹣4＝0有两个实数根． （1）求k的取值范围． （2）若k为正整数，且该方程的根都是整数，求k的值及方程的根． 【思路引领】（1）根据方程的系数结合根的判别式Δ＝b2﹣4ac≥0，即可得出关于k的一元一次不等式，解之即可得出k的取值范围； （2）由（1）的结论结合k为正整数，即可得出k的值，将其代入原方程，解之可得出方程的根，再结合该方程的根都是整数，即可确定k的值及方程的根． 【解答】解：（1）∵关于x的一元二次方程x2+2x+2k﹣4＝0有两个实数根， ∴Δ＝b2﹣4ac≥0，即22﹣4×1×（2k﹣4）≥0， 解得：k． （2）∵k，且k为正整数， ∴k＝1或k＝2． 当k＝1时，原方程为：x2+2x﹣2＝0， 解得：x1＝﹣1，x2＝﹣1， 又∵方程的根都是整数， ∴不符合题意，舍去； 当k＝2时，原方程为x2+2x＝0， 解得：x1＝0，x2＝﹣2，均为整数，符合题意． 综上，k的值为2，方程的根为x1＝0，x2＝﹣2． 【总结提升】本题考查了根的判别式以及公式法解一元二次方程，解题的关键是：（1）牢记“当Δ≥0时，方程有两个实数根”；（2）通过解一元二次方程，求出原方程的根． 6．（2022春•花山区校级期中）已知关于x的一元二次方程（a+c）x2﹣4bx﹣4（a﹣c）＝0，其中a，b，c分别为△ABC三边的长． （1）如果x＝2是方程的根，则△ABC的形状为 　等腰三角形　； （2）如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由； （3）如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根． 【思路引领】（1）将x＝2代入一元二次方程中化简，即可得出答案； （2）根据一元二次方程的根的判别式为0，化简即可得出答案． （3）先判断出a＝b＝c，进而化简一元二次方程，再用因式分解法即可求出答案． 【解答】解：（1）将x＝2代入关于x的一元二次方程（a+c）x2﹣4bx﹣4（a﹣c）＝0得， 4（a+c）﹣8b﹣4（a﹣c）＝0， ∴a＝b， ∴△ABC是等腰三角形， 故答案为：等腰三角形； （2）△ABC为直角三角形，理由如下： ∵方程有两个相等的实数根， ∴（﹣4b）2﹣4（a﹣c）•4（a+c）＝0， ∴b2+c2＝a2， ∴△ABC为直角三角形； （3）∵△ABC是等边三角形， ∴a＝b＝c， ∴原方程可化为2ax2﹣4ax＝0， ∵a≠0，∴x2﹣2x＝0， ∴x1＝0，x2＝2． 【总结提升】此题主要考查了等腰三角形的判定，直角三角形的判定，等边三角形的性质，一元二次方程根的判别式，解一元二次方程．掌握一元二次方程根的判别式是解本题的关键． 7．（2022秋•溆浦县校级期中）已知：平行四边形ABCD的两边AB，AD的长是关于x的方程x2﹣mx0的两个实数根． （1）求证：无论m取何值，方程总有两个实数根； （2）当m为何值时，四边形ABCD是菱形？求出这时菱形的边长； （3）如果AB的长为2，那么平行四边形ABCD的周长是多少？ 【思路引领】（1）根据根的判别式得出Δ＝（m﹣1）2≥0，据此可得结论； （2）由题意Δ＝0，求出m的值，再解方程即可解决问题； （3）将x＝2代入原方程，可求出m的值，进而可得出原方程为x2﹣4x+3＝0，利用根与系数的关系，可求出AB+AD的长，再利用平行四边形的周长计算公式，即可求出▱ABCD的周长． 【解答】（1）证明：∵Δ＝（﹣m）2﹣4×1×（） ＝m2﹣2m+1 ＝（m﹣1）2≥0， ∴无论m取何值，方程总有两个实数根； （2）解：∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝AD， ∴Δ＝0，即（m﹣1）2＝0， 解得m＝1， 当m＝1时，原方程为x2﹣x0， 解得：x1＝x2＝0.5， 故当m＝1时，四边形ABCD是菱形，菱形的边长是0.5； （3）把x＝2代入原方程得，4﹣2m0， 解得：m， ∴原方程为x2x+1＝0， 又∵▱ABCD的两边AB，AD的长是关于x的方程x2﹣mx0的两个实数根． ∴AB+AD， ∴▱ABCD的周长是2（AB+AD）＝25． 【总结提升】本题考查了根与系数的关系、根的判别式、配方法解一元二次方程、平行四边形的性质以及菱形的判定与性质，解题的关键是：（1）利用菱形的性质及根的判别式Δ＝0，求出m的值；（2）利用根与系数的关系，找出AB+AD的长． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$