21.2.1配方法解一元二次方程-2024-2025学年九年级数学上学期考点考向及考法同步教学+复习讲义（人教版）

21.2解一元二次方程 21.2.1配方法（原卷版） 第一部分 夯实双基 知识点1 直接开平方法 考向1 利用直接开平方法解一元二次方程 【典例1】用直接开平方法解下列方程： （1）9x2﹣81＝0； （2）2（x﹣3）2﹣50＝0． 变式训练 1．（2022秋•信都区校级月考）用直接开平方法解一元二次方程步骤如下： ①（x﹣1）2＝36，②x﹣1＝±6，③x＝±7，④即x1＝7x2＝﹣7． 其中开始错误的步骤是（　　） A．① B．② C．③ D．④ 2．若关于x的代数式2x2+2与2x2﹣10互为相反数，则x的值为（　　） A．﹣2 B．±2 C． D．± 3．用直接开平方法解一元二次方程4（2x﹣1）2﹣25（x+1）2＝0． 解：移项，得4（2x﹣1）2＝25（x+1）2，① 直接开平方，得2（2x﹣1）＝5（x+1），② ∴x＝﹣7．③ 上述解题过程错在第 　 　步，原因是 　，请写出正确的解答过程． 知识点2 配方法 考向2 利用配方法解一元二次方程 【典例2】（2023秋•澧县期末）解方程：x2﹣8x+12＝0．（注：解方程时要给出详细的解答过程） 变式训练 1．（2023秋•兰州期末）用配方法解方程：x2﹣6x﹣10＝0． 2．用配方法解3x2﹣2x﹣1＝0． 3．（2023秋•双阳区期末）阅读材料，并回答问题． 小明在学习一元二次方程时，解方程2x2﹣8x+5＝0的过程如下： 解：2x2﹣8x+5＝0． 2x2﹣8x＝﹣5．① ．② ．③ ．④ ．⑤ ．⑥ 问题：（1）上述过程中，从 　 　步开始出现了错误（填序号）； （2）发生错误的原因是：　 　； （3）写出这个方程的解：　 ． 4．（2021秋•盐湖区校级月考）将方程x2﹣4x﹣3＝0化成（x﹣m）2＝n（m、n为常数）的形式，则m、n的值分别为（　　） A．m＝2，n＝7 B．m＝﹣2，n＝1 C．m＝2，n＝4 D．m＝﹣2，n＝4 5．（2024春•义乌市期中）若方程4x2﹣（m﹣2）x+1＝0的左边是一个完全平方式，则m的值是（　　） A．6 B．﹣2 C．6或﹣2 D．2或6 第二部分 敲重点、破难点、清易错点 题型1 利用配方法求代数式的值 【典例3】我们可以利用配方法求一些多项式的最值，如：x2+2x+3＝（x2+2x+1）+2＝（x+1）2+2，当x＝﹣1时，x2+2x+3有最小值为2；再如：﹣x2+2x﹣2＝﹣（x2﹣2x+1）﹣1＝﹣（x﹣1）2﹣1，当x＝1时，﹣x2+2x﹣2有最大值为﹣1． （1）代数式x2+6x+m有最小值为1，则m＝　 　；（2）代数式﹣x2+4x+m有最大值为2，则m＝　 　； （3）代数式x2+（m+2）x+4m﹣7有最小值为0，求m的值． 题型2 利用配方法解决非负数和的问题 【典例4】已知2x2+y2+4x﹣6y+11＝0，x，y为实数，求xy的值． 题型三 利用配方法判断三角形的形状 【典例5】已知a，b，c是△ABC的三边长． （1）当b2+2ab＝c2+2ac时，试判断△ABC的形状； （2）试判断代数式a2﹣b2+c2﹣2ac的值与0的大小关系，并说明理由． 题型四 利用配方法解特殊方程 【典例6】若关于x的方程mx2+2mhx+k＝﹣mh2（m，h，k均为常数，m≠0）的解是x1＝﹣3，x2＝2，求方程m（x+h﹣3）2+k＝0的解． 易错点：用直接开平方法解一元二次方程时，对根的情况容易遗漏 【典例7】（1）已知是一元二次方程x2+c＝0的一个根，则该方程的另一个根是 　 ； （2）关于x的一元二次方程ax2＝b（ab＞0）的两个根分别是m+1与2m﹣4，则　 ． 第三部分 备考训练场 一、备考策略 考法1 利用配方求字母系数的值 【典例8】已知方程x2﹣2px+q＝0可以配方成（x﹣p）2＝7的形式，那么x2﹣2px+q＝2可以配方成下列的（　　） A．（x﹣p）2＝5 B．（x﹣p）2＝9 C．（x﹣p+2）2＝9 D．（x﹣p+2）2＝5 考法2 利用配方法解一元二次方程 【典例9】（2023春•牟平区期末）（1）解方程：（x﹣1）2＝4； （2）用配方法求一元二次方程（2x+3）（x﹣6）＝16的实数根． 二、备考演练 1．（2023秋•华安县校级期末）用配方法解一元二次方程x2﹣4x+1＝0，下列变形正确的是（　　） A．（x﹣2）2﹣3＝0 B．（x+4）2＝15 C．（x+2）2＝3 D．（x﹣2）2＝﹣3 2．（2023秋•顺德区期末）用配方法解方程x2﹣6x﹣5＝0时，配方结果正确的是（　　） A．（x﹣3）2＝4 B．（x﹣6）2＝41 C．（x+3）2＝14 D．（x﹣3）2＝14 3．（1）方程（x﹣1）2＝4的解为 　 　； （2）方程（x﹣5）2＝2的根是 　 　． 4．用适当的数填空： x2﹣4x+　 　＝（x﹣　 　）2； m2+（ 　 　）m[m+（ 　 　）]2． 5．（2013秋•云梦县校级期末）解下列方程： （1）用直接开平方法解方程：2x2﹣24＝0 （2）用配方法解方程：x2+4x+1＝0． 6．解下列方程： （1）用直接开平方法解方程：2x2﹣24＝0 （2）用配方法解方程：x2+4x+1＝0 （3）解方程：． 7．（2023秋•灌云县期中）已知a，b，c是△ABC的三边长，且a2+b2+c2﹣12a﹣16b﹣20c+200＝0． （1）求a，b，c的值；（2）判断△ABC的形状． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 21.2解一元二次方程 21.2.1配方法（解析版） 第一部分 夯实双基 知识点1 直接开平方法 考向1 利用直接开平方法解一元二次方程 【典例1】用直接开平方法解下列方程： （1）9x2﹣81＝0； （2）2（x﹣3）2﹣50＝0． 【思路引领】（1）利用解一元二次方程﹣直接开平方法，进行计算即可解答； （2）利用解一元二次方程﹣直接开平方法，进行计算即可解答． 【解答】解：（1）9x2﹣81＝0， 9x2＝81， x2＝9， x1＝3，x2＝﹣3； （2）2（x﹣3）2﹣50＝0， 2（x﹣3）2＝50， （x﹣3）2＝25， x﹣3＝±5， x﹣3＝5或x﹣3＝﹣5， x1＝8，x2＝﹣2． 【总结提升】本题考查了解一元二次方程﹣直接开平方法，熟练掌握解一元二次方程﹣直接开平方法是解题的关键． 变式训练 1．（2022秋•信都区校级月考）用直接开平方法解一元二次方程步骤如下： ①（x﹣1）2＝36，②x﹣1＝±6，③x＝±7，④即x1＝7x2＝﹣7． 其中开始错误的步骤是（　　） A．① B．② C．③ D．④ 【思路引领】先去分母，将方程左边配成一个完全平方式，就可以得出结论了． 【解答】解：（x﹣1）2＝9， （x﹣1）2＝36， x﹣1＝±6， x1＝6+1＝7，x2＝﹣6+1＝﹣5， 故选：C． 【总结提升】本题考查了用配方法解一元二次方程的过程．难度一般． 2．若关于x的代数式2x2+2与2x2﹣10互为相反数，则x的值为（　　） A．﹣2 B．±2 C． D．± 【思路引领】根据代数式2x2+2与2x2﹣10互为相反数，可以得到（2x2+2）+（2x2﹣10）＝0，然后求解即可． 【解答】解：由题意可得， （2x2+2）+（2x2﹣10）＝0， 解得x＝±， 故选：D． 【总结提升】本题考查解一元二次方程，相反数，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程． 3．用直接开平方法解一元二次方程4（2x﹣1）2﹣25（x+1）2＝0． 解：移项，得4（2x﹣1）2＝25（x+1）2，① 直接开平方，得2（2x﹣1）＝5（x+1），② ∴x＝﹣7．③ 上述解题过程错在第 　②　步，原因是 　直接开平方求的是平方根，而不是算术平方根　，请写出正确的解答过程． 【思路引领】4（2x﹣1）2＝25（x+1）2，直接开平方，2（2x﹣1）的值是25（x+1）2的平方根，有2个． 【解答】解：所给解题过程错在第②步，原因是直接开平方求的是平方根，而不是算术平方根． 正确的解答过程如下： 移项，得4（2x﹣1）2＝25（x+1）2， 直接开平方，得2（2x﹣1）＝±5（x+1）， 即2（2x﹣1）＝5（x+1）或2（2x﹣1）＝﹣5（x+1）， 所以x1＝﹣7，x2． 故答案为：②，直接开平方求的是平方根，而不是算术平方根． 【总结提升】本题侧重关于解一元二次方程的题目，解答本题的关键是掌握直接开平方法解一元二次方程的方法． 知识点2 配方法 考向2 利用配方法解一元二次方程 【典例2】（2023秋•澧县期末）解方程：x2﹣8x+12＝0．（注：解方程时要给出详细的解答过程） 【思路引领】移项后配方，开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可． 【解答】解：移项得：x2﹣8x＝﹣12， 配方得：x2﹣8x+42＝﹣12+42， 即（x﹣4）2＝4， 开方得：x﹣4＝±2， 解得：x1＝6，x2＝2． 【总结提升】本题考查了解一元二次方程的应用，关键是能正确配方． 变式训练 1．（2023秋•兰州期末）用配方法解方程：x2﹣6x﹣10＝0． 【思路引领】先移项，再配方，然后两边开平方即可得到答案． 【解答】解：x2﹣6x﹣10＝0， 移项，得x2﹣6x＝10， 配方，得x2﹣6x+9＝10+9， 即（x﹣3）2＝19， 两边开平方，得x﹣3， 所以，． 【总结提升】本题考查的知识点是利用配方法解一元二次方程，熟练掌握用配方法解一元二次方程步骤是解题的关键． 2．（2023秋•松江区期末）用配方法解3x2﹣2x﹣1＝0． 【思路引领】利用配方法解一元二次方程即可． 【解答】解：3x2﹣2x﹣1＝0， 移项得3x2﹣2x＝1， 二次项系数化成1得， 配方得，即 ∴， 解得，． 【总结提升】本题考查了配方法解一元二次方程．配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方． 3．（2023秋•双阳区期末）阅读材料，并回答问题． 小明在学习一元二次方程时，解方程2x2﹣8x+5＝0的过程如下： 解：2x2﹣8x+5＝0． 2x2﹣8x＝﹣5．① ．② ．③ ．④ ．⑤ ．⑥ 问题：（1）上述过程中，从 　⑤　步开始出现了错误（填序号）； （2）发生错误的原因是：　开方后正负号丢失　； （3）写出这个方程的解：　x＝2±　． 【思路引领】根据配方法解一元二次方程的步骤求解即可． 【解答】解：（1）上述过程中，从⑤步开始出现了错误（填序号）； （2）发生错误的原因是：开方后正负号丢失； （3）这个方程的解为x＝2±， 故答案为：⑤，开方后正负号丢失，x＝2±． 【总结提升】本题主要考查解一元二次方程—配方法，将一元二次方程配成（x+m）2＝n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法． 4．（2021秋•盐湖区校级月考）将方程x2﹣4x﹣3＝0化成（x﹣m）2＝n（m、n为常数）的形式，则m、n的值分别为（　　） A．m＝2，n＝7 B．m＝﹣2，n＝1 C．m＝2，n＝4 D．m＝﹣2，n＝4 【思路引领】根据题目中的方程可以利用配方法画成（x﹣m）2＝n的形式，从而可以得到m、n的值． 【解答】解：x2﹣4x﹣3＝0， x2﹣4x＝3， （x﹣2）2＝7， ∴m＝2，n＝7． 故选：A． 【总结提升】本题考查解一元二次方程﹣配方法的应用，解题的关键是会用配方法解方程． 5．（2024春•义乌市期中）若方程4x2﹣（m﹣2）x+1＝0的左边是一个完全平方式，则m的值是（　　） A．6 B．﹣2 C．6或﹣2 D．2或6 【思路引领】根据完全平方式a2±2ab+b2＝（a±b）2的结构，而4x2＝（±2x）2，即可求解． 【解答】解：∵4x2﹣（m﹣2）x+1＝0， ∴（2x）2﹣（m﹣2）x+12＝0， ∵方程4x2﹣（m﹣2）x+1＝0的左边可以写成一个完全平方式， ∴﹣（m﹣2）x＝±2x⋅1⋅2， ∴﹣（m﹣2）＝±4， ∴m＝6或m＝﹣2， 故选：C． 【总结提升】本题考查完全平方式，熟练掌握相关的知识点是解题的关键． 第二部分 敲重点、破难点、清易错点 题型1 利用配方法求代数式的值 【典例3】我们可以利用配方法求一些多项式的最值，如：x2+2x+3＝（x2+2x+1）+2＝（x+1）2+2，当x＝﹣1时，x2+2x+3有最小值为2；再如：﹣x2+2x﹣2＝﹣（x2﹣2x+1）﹣1＝﹣（x﹣1）2﹣1，当x＝1时，﹣x2+2x﹣2有最大值为﹣1． （1）代数式x2+6x+m有最小值为1，则m＝　10　； （2）代数式﹣x2+4x+m有最大值为2，则m＝　﹣2　； （3）代数式x2+（m+2）x+4m﹣7有最小值为0，求m的值． 【思路引领】（1）先把代数式配方为（x﹣3）2+m﹣9，再根据最小值为1，就可得出答案； （2）先把代数式变形为﹣（x﹣2）2+m+4，再根据最大值为2，就可得出答案； （3）根据代数式的最小值为0，就可得出代数式为完全平方式，就可得出（）2＝4m﹣7，就可得出答案． 【解答】解：（1）x2+6x+m＝（x2+6x+9）+m﹣9 ＝（x﹣3）2+m﹣9， ∵最小值为1， ∴m﹣9＝1， ∴m＝10； 故答案为：m＝10． （2）﹣x2+4x+m＝﹣（x2﹣4x+4）+m+4＝﹣（x﹣2）2+m+4， ∵最大值为2， ∴m+4＝2， ∴m＝﹣2； 故答案为：m＝﹣2； （3）∵最小值为0， ∴代数式为完全平方式， ∴（）2＝4m﹣7， 解得m1＝4，m2＝8． 【总结提升】本题考查配方法的应用，根据配方法解决有关代数式的最值问题是解题的关键． 题型2 利用配方法解决非负数和的问题 【典例4】已知2x2+y2+4x﹣6y+11＝0，x，y为实数，求xy的值． 【思路引领】将含x和含y的项分组，然后根据完全平方公式添加项，最终出现两个非负数的和为零的模式，计算即可． 【解答】解：2x2+y2+4x﹣6y+11＝0， 2x2+4x+y2﹣6y+11＝0， 2（x2+2x）+（y2﹣6y）+11＝0， 2（x2+2x+1﹣1）+（y2﹣6y+9﹣9）+11＝0， 2（x2+2x+1）+（y2﹣6y+9）＝0， 2（x+1）2+（y﹣3）2＝0， ∵2（x+1）2≥0，（y﹣3）2≥0， ∴x+1＝0，y﹣3＝0， x＝﹣1；y＝3． ∴xy＝（﹣1）3＝﹣1． 【总结提升】本题考查整式运算中的配方法，配方法中的添加项一定要满足构成完全平方的条件． 题型三 利用配方法判断三角形的形状 【典例5】已知a，b，c是△ABC的三边长． （1）当b2+2ab＝c2+2ac时，试判断△ABC的形状； （2）试判断代数式a2﹣b2+c2﹣2ac的值与0的大小关系，并说明理由． 【思路引领】（1）观察题中等式可以发现有平方和2倍乘积的形式，可以考虑完全平方式，得到b2+2ab+a2＝c2+2ac+a2，整理得：（a+b）2＝（a+c）2，据此能判断出三角形的形状； （2）题整理式子得a2﹣b2+c2﹣2ac＝（a﹣c）2﹣b2＝（a﹣c+b）（a﹣c﹣b），根据三角形三边的关系即可判断（a﹣c+b）（a﹣c﹣b）与0的大小． 【解答】解：（1）b2+2ab＝c2+2ac，得：b2+2ab+a2＝c2+2ac+a2； ∴（a+b）2＝（a+c）2； 由a＞0，b＞0，c＞0，得：a+b＞0，a+c＞0； ∴a+b＝a+c； ∴b＝c； ∴△ABC是等腰三角形； （2）a2﹣b2+c2﹣2ac＝（a﹣c）2﹣b2＝（a﹣c+b）（a﹣c﹣b）； ∵a、b、c为△ABC三边的长； ∴（a﹣c+b）＞0，（a﹣c﹣b）＜0； ∴a2﹣b2+c2﹣2ac＜0． 【总结提升】本题考查了三角形的判定，掌握因式分解是解题的关键． 题型四 利用配方法解特殊方程 【典例6】若关于x的方程mx2+2mhx+k＝﹣mh2（m，h，k均为常数，m≠0）的解是x1＝﹣3，x2＝2，求方程m（x+h﹣3）2+k＝0的解． 【思路引领】利用直接开平方法得方程m（x+h）2+k＝0的解x＝﹣h±，则﹣h3，﹣h2，再解方程m（x+h﹣3）2+k＝0得x＝3﹣h±，所以x1＝0，x2＝5． 【解答】解：解方程m（x+h）2+k＝0（m，h，k均为常数，m≠0）得x＝﹣h±， 而关于x的方程m（x+h）2+k＝0（m，h，k均为常数，m≠0）的解是x1＝﹣3，x2＝2， 所以﹣h3，﹣h2， 方程m（x+h﹣3）2+k＝0的解为x＝3﹣h±， 所以x1＝3﹣3＝0，x2＝3+2＝5． 【总结提升】本题考查了解一元二次方程﹣直接开平方法：形如x2＝p或（nx+m）2＝p（p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程．如果方程化成x2＝p的形式，那么可得x＝±；如果方程能化成（nx+m）2＝p（p≥0）的形式，那么nx+m＝±． 易错点：用直接开平方法解一元二次方程时，对根的情况容易遗漏 【典例7】（1）已知是一元二次方程x2+c＝0的一个根，则该方程的另一个根是 　　； （2）关于x的一元二次方程ax2＝b（ab＞0）的两个根分别是m+1与2m﹣4，则　4　． 【思路引领】（1）（2）利用直接开平方法解一元二次方程的一般步骤解答即可． 【解答】解：（1）∵是一元二次方程x2+c＝0的一个根， ∴（）2+c＝0， 解得：c＝﹣5， 解方程x2﹣5＝0，得x1，x2， 所以该方程的另一个根是， 故答案为：； （2）∵m+1与2m﹣4是一元二次方程ax2＝b（ab＞0）的两个根， ∴m+1+2m﹣4＝0， ∴m＝1， ∴一元二次方程ax2＝b（ab＞0）的两个根是±2， ∴x2＝4， 故答案为：4． 【总结提升】本题考查的是一元二次方程的解法，掌握直接开平方法解一元二次方程的一般步骤是解题的关键． 第三部分 备考训练场 一、备考策略 考法1 利用配方求字母系数的值 【典例8】已知方程x2﹣2px+q＝0可以配方成（x﹣p）2＝7的形式，那么x2﹣2px+q＝2可以配方成下列的（　　） A．（x﹣p）2＝5 B．（x﹣p）2＝9 C．（x﹣p+2）2＝9 D．（x﹣p+2）2＝5 【思路引领】根据解一元二次方程﹣配方法，进行计算即可解答． 【解答】解：x2﹣2px+q＝0， x2﹣2px＝﹣q， x2﹣2px+p2＝﹣q+p2， （x﹣p）2＝﹣q+p2， 由题意得：﹣q+p2＝7， ∵x2﹣2px+q＝2， ∴x2﹣2px＝2﹣q， x2﹣2px+p2＝2﹣q+p2， （x﹣p）2＝2+7， （x﹣p）2＝9， 故选：B． 【总结提升】本题考查了解一元二次方程﹣配方法，熟练掌握解一元二次方程﹣配方法是解题的关键． 考法2 利用配方法解一元二次方程 【典例9】（2023春•牟平区期末）（1）解方程：（x﹣1）2＝4； （2）用配方法求一元二次方程（2x+3）（x﹣6）＝16的实数根． 【思路引领】（1）利用直接开平方法求出x的值即可； （2）先把方程整理为一元二次方程的一般形式，再利用配方法求出x的值即可． 【解答】解：（1）（x﹣1）2＝4， 开方得，x﹣1＝±2， 故x1＝3，x2＝﹣1； （2）（2x+3）（x﹣6）＝16， 整理得，2x2﹣9x﹣34＝0， 即x2x＝17， 配方得，x2x+（）2＝17+（）2， 故（x）2， 开方得，x±， 故x1，x2． 【总结提升】本题考查的是解一元二次方程，熟知解一元二次方程的配方法和直接开平方法是解题的关键． 二、备考演练 1．（2023秋•华安县校级期末）用配方法解一元二次方程x2﹣4x+1＝0，下列变形正确的是（　　） A．（x﹣2）2﹣3＝0 B．（x+4）2＝15 C．（x+2）2＝3 D．（x﹣2）2＝﹣3 【思路引领】移项，配方，即可得出选项． 【解答】解：x2﹣4x+1＝0， x2﹣4x＝﹣1， x2﹣4x+4＝﹣1+4， （x﹣2）2＝3， 故选：D． 【总结提升】本题考查了解一元二次方程，能正确配方是解此题的关键． 2．（2023秋•顺德区期末）用配方法解方程x2﹣6x﹣5＝0时，配方结果正确的是（　　） A．（x﹣3）2＝4 B．（x﹣6）2＝41 C．（x+3）2＝14 D．（x﹣3）2＝14 【思路引领】常数项移到右边，再配上一次项系数一半的平方即可． 【解答】解：∵x2﹣6x﹣5＝0， ∴x2﹣6x＝5， 则x2﹣6x+9＝5+9，即（x﹣3）2＝14， 故选：D． 【总结提升】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． 3．（1）方程（x﹣1）2＝4的解为 　x1＝3，x2＝﹣1　； （2）方程（x﹣5）2＝2的根是 　x1＝5，x2＝5　． 【思路引领】（1）根据直接开平方法可以解答此方程； （2）根据直接开平方法可以解答此方程． 【解答】解：（1）∵（x﹣1）2＝4， ∴x﹣1＝±2， ∴x﹣1＝2或x﹣1＝﹣2， 解得x1＝3，x2＝﹣1， 故答案为：x1＝3，x2＝﹣1； （2）∵（x﹣5）2＝2， ∴x﹣5＝±， ∴x﹣5，x﹣5， 解得x1＝5，x2＝5， 故答案为：x1＝5，x2＝5． 【总结提升】本题考查解一元二次方程—直接开平方法，解答本题的关键是会用直接开平方法解一元二次方程． 4．用适当的数填空： x2﹣4x+　4　＝（x﹣　2　）2； m2+（ 　±3　）m[m+（ 　±　）]2． 【思路引领】利用完全平方公式的结构特征判断即可． 【解答】解：x2﹣4x+4＝（x﹣2）2； m2+（±3m）[m+（±）]2． 故答案为：4，2；±3，±． 【总结提升】此题考查了配方法的应用，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． 5．（2013秋•云梦县校级期末）解下列方程： （1）用直接开平方法解方程：2x2﹣24＝0 （2）用配方法解方程：x2+4x+1＝0． 【思路引领】（1）先将常数项移到等式的右边，然后化未知数的系数为1，通过直接开平方求得该方程的解即可； （2）先将常数项1移到等式的右边，然后在等式的两边同时加上一次项系数一半的平方，即利用配方法解方程． 【解答】解：（1）由原方程，得 2x2＝24， ∴x2＝12， 直接开平方，得 x＝±2， ∴x1＝2，x2＝﹣2； （2）由原方程，得 x2+4x＝﹣1， 等式的两边同时加上一次项系数一半的平方，得 x2+4x+4＝3，即（x+2）2＝3； ∴x+2＝±， ∴x1＝﹣2，x2＝﹣2． 【总结提升】本题考查了解一元二次方程﹣﹣配方法、直接开平方法．用直接开方法求一元二次方程的解的类型有：x2＝a（a≥0）；ax2＝b（a，b同号且a≠0）；（x+a）2＝b（b≥0）；a（x+b）2＝c（a，c同号且a≠0）．法则：要把方程化为“左平方，右常数，先把系数化为1，再开平方取正负，分开求得方程解”． 6．解下列方程： （1）用直接开平方法解方程：2x2﹣24＝0 （2）用配方法解方程：x2+4x+1＝0 （3）解方程：． 【思路引领】（1）先移项，然后直接开平方． （2）此题考查配方法的一般步骤：①把常数项移到等号的右边；②把二次项的系数化为1；③等式两边同时加上一次项系数一半的平方． （3）根据求根公式x先确定a，b，c的值，代入公式即可求解． 【解答】解：（1）2x2﹣24＝0， 移项得：2x2＝24， x＝±2， 解得x1＝2，x2＝﹣2． （2）∵x2+4x+1＝0， ∴x2+4x＝﹣1， ∴x2+4x+4＝﹣1+4， ∴（x+2）2＝3， ∴x12，x22； （3）． 根据公式法得： a＝1，b，c； b2﹣4ac＝2﹣40； x； 【总结提升】解这类问题要移项，把所含未知数的项移到等号的左边，把常数项移项等号的右边，化成x2＝a（a≥0）的形式，利用数的开方直接求解． （1）用直接开方法求一元二次方程的解的类型有：x2＝a（a≥0）；ax2＝b（a，b同号且a≠0）；（x+a）2＝b（b≥0）；a（x+b）2＝c（a，c同号且a≠0）．法则：要把方程化为“左平方，右常数，先把系数化为1，再开平方取正负，分开求得方程解”． （2）运用整体思想，把被开方数看成整体． （3）用直接开方法求一元二次方程的解，要仔细观察方程的特点． 7．（2023秋•灌云县期中）已知a，b，c是△ABC的三边长，且a2+b2+c2﹣12a﹣16b﹣20c+200＝0． （1）求a，b，c的值； （2）判断△ABC的形状． 【思路引领】（1）根据完全平方公式可得（a﹣6）2+（b﹣8）2+（c﹣10）2＝0，再根据平方的非负性，即可求解； （2）根据勾股定理的逆定理，即可得出结论． 【解答】解：（1）根据题意可得：a2+b2+c2﹣12a﹣16b﹣20c+200＝0， a2﹣12a+36+b2﹣16b+64+c2﹣20c+100＝0， （a﹣6）2+（b﹣8）2+（c﹣10）2＝0， ∴a﹣6＝0，b﹣8＝0，c﹣10＝0， 解得：a＝6，b＝8，c＝10． （2）∵a＝6，b＝8，c＝10， ∴a2+b2＝62+82＝100＝102＝c2， ∴△ABC是直角三角形． 【总结提升】本题主要考查了完全平方公式，勾股定理逆定理，解题的关键是熟练掌握完全平方公式，以及勾股定理逆定理的内容． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$