专题05 一元二次方程80道计算题专训（8大题型）-2024-2025学年九年级数学上册重难点专题提升精讲精练（苏科版）

专题05 一元二次方程80道计算题专训（8大题型） 题型一 一元二次方程的解 题型二 直接开平方法解一元二次方程 题型三 配方法解一元二次方程 题型四 公式法解一元二次方程 题型五 因式分解法解一元二次方程 题型六 换元法解一元二次方程 题型七 一元二次方程根与系数关系计算 题型八 一元二次方程新定义计算 【经典例题一 一元二次方程的解】 1．（23-24九年级下·浙江宁波·阶段练习）先化简，后求值：，其中m是方程的根． 2．（23-24九年级上·广东梅州·期中）已知是方程的一个根，求的值． 3．（22-23九年级上·河南新乡·阶段练习）若a是方程的一个根，求的值． 4．（23-24九年级上·广东梅州·期中）若是关于的一元二次方程的一个解．求的值． 5．（23-24九年级上·北京大兴·期末）已知是方程的一个根，求代数式的值． 6．（23-24九年级下·北京·开学考试）已知是一元二次方程的一个根，求代数式的值． 7．（2023·北京石景山·一模）已知实数是的根，不解方程，求的值． 8．（23-24九年级上·北京海淀·阶段练习）已知m是方程的根，求代数式的值． 9．（23-24九年级上·北京海淀·阶段练习）已知是方程的一个根，求代数式的值． 10．（23-24九年级上·辽宁朝阳·阶段练习）先化简，再求值：已知是一元二次方程的一个根，求代数式的值 【经典例题二 直接开平方法解一元二次方程】 11．（23-24九年级上·全国·课后作业）用直接开平方法解下列方程： (1)； (2)． 12．（23-24八年级下·全国·假期作业）用直接开平方法解下列方程： (1) (2)． 13．（23-24九年级上·全国·课后作业）用直接开平方法解方程：． 14．（23-24九年级上·全国·课后作业）用直接开平方法解方程：． 15．（23-24九年级上·全国·课后作业）用直接开平方法解下列方程： (1)； (2)． 16．（2023八年级下·浙江·专题练习）用直接开平方法解下列方程： (1)； (2)． 17．（23-24九年级上·全国·课后作业）用直接开平方法解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 18．（23-24九年级上·全国·课后作业）用直接开平方法解下列方程： (1)； (2)． 19．（23-24九年级上·全国·课后作业）用直接开平方法解下列方程： (1)； (2)； (3)． 20．（2022九年级上·全国·专题练习）用直接开平方法解下列方程： (1)； (2)； (3)． 【经典例题三 配方法解一元二次方程】 21．（23-24八年级上·上海青浦·期中）用配方法解方程： 22．（23-24九年级上·海南省直辖县级单位·期末）用配方法解方程： (1)； (2)； (3)； (4) 23．（2024八年级下·安徽·专题练习）观察下列方程及其解的特征： (1)请猜想：方程的解为 ； (2)请猜想：关于的方程 的解为，； (3)下面以解方程为例，验证（1）中猜想结论的正确性． 解：原方程可化为． （下面请大家用配方法写出解此方程的详细过程） 24．（23-24八年级下·安徽安庆·阶段练习）解方程：（用配方法） 25．（23-24八年级下·山东烟台·期中）配方法解一元二次方程：． 26．（23-24九年级上·贵州六盘水·阶段练习）下面是小东同学解一元二次方程的过程，请仔细阅读，并完成相应的解答． 解：方程两边同除以，得．    第一步 移项、合并同类项，得．    第二步 系数化为1，得．        第三步 任务： (1)①小东的解法从第______步开始出现错误； ②该一元二次方程的正确解为______． (2)用配方法解方程：． 27．（23-24九年级上·贵州遵义·期中）小明在学习配方法解一元二次方程后，用配方法解方程的过程如下． 解：．① ．② ．③ ．④ ．⑤ ∴．⑥ (1)上述解方程的过程中，小明从第 步开始出现了错误；（填序号） (2)请利用配方法正确的解方程． 28．（23-24九年级上·江西九江·阶段练习）【课本再现】 材料一：解方程：． 解：把常数项移到方程的右边，得． 两边都加，得，即． 两边开方，得，即或， 所以，． 在上例中，我们通过配成完全平方式的形式得到了一元二次方程的根，这种解一元二次方程的方法称为配方法． 材料二：对于某些二次三项式也可以通过配方，利用完全平方式的非负性解决其最值问题． 例如：． ∵， ∴，即有最小值1． 【尝试运用】 （1）解一元二次方程，配方后可变形为（    ） A．    B．    C．  D． （2）利用配方法求的最值． 【拓展应用】 （3）已知方程，求的值． 29．（23-24八年级下·安徽滁州·阶段练习）将代数式通过配方得到完全平方式，再运用完全平方式的非负性这一性质解决问题，这种解题方法叫做配方法．配方法在代数式求值、解方程、最值问题等都有广泛的应用．如利用配方法求最小值，求的最小值． 解：， 因为不论a取何值，总是非负数，即，所以， 所以当时，有最小值． 根据上述材料，解答下列问题． (1)求式子的最大值． (2)若，比较M、N的大小．(写出比较过程) (3)若等腰三角形的两边a，b满足，求这个三角形的周长． 30．（22-23八年级上·贵州黔南·期末）【阅读材料】 利用完全平方公式，可以将多项式（均为常数且）变形为的形式，如．我们把这样的变形方法叫做多项式的配方法．运用多项式的配方法及平方差公式能对一些多项式进行分解因式．例如：． 【问题解决】 (1)用多项式的配方法将化成的形式是 ，当多项式的值为时，的值为 ． (2)把多项式进行分解因式． 【经典例题四 公式法解一元二次方程】 31．（23-24八年级下·山东淄博·期中）公式法解方程：． 32．（23-24九年级上·四川凉山·阶段练习）用公式法解方程：． 33．（23-24八年级下·全国·假期作业）用公式法解下列方程： (1)； (2)； (3)． 34．（23-24九年级上·湖北武汉·期中）解方程：（用公式法） 35．（23-24八年级下·山东威海·期中）用公式法解方程：． 36．（23-24九年级上·甘肃兰州·阶段练习）用公式法解方程：． 37．（23-24九年级上·辽宁鞍山·期中）解下列一元二次方程 (1)（公式法） (2)（公式法） 38．（23-24九年级上·山东济宁·期中）用公式法解方程：． 39．（23-24九年级上·吉林四平·期中）用公式法解方程：． 40．（23-24八年级下·全国·假期作业）用公式法解下列方程： (1)； (2)； (3). 【经典例题五 因式分解法解一元二次方程】 41．（23-24八年级下·山东淄博·期中）选择合适的方法解方程． (1) (2) 42．（23-24八年级下·浙江宁波·期中）解方程： (1)； (2)． 43．（23-24八年级上·江西上饶·期末）阅读材料：解方程，我们可以按下面的方法解答： （1）分解因式 ①竖分二次项与常数项： ， ②交叉相乘，验中项：    ③横向写出两因式： （2）根据乘法原理，若，则或，则方程可以这样求解： 方程左边因式分解得 ∴或 ∴， ∴ 试用上述这种十字相乘法解下列方程 (1)； (2)． 44．（23-24八年级上·江西南昌·期末）阅读材料：把代数式因式分解，可以如下分解： (1)探究：请你仿照上面的方法，把代数式因式分解； (2)拓展： ①把代数式因式分解； ②若代数式为时（其中，），则的值为______． 45．（23-24九年级上·河南新乡·期中）解一元二次方程的基本思路是：将二次方程化为一次方程，即“降次”．根据一元二次方程的特点，可以利用配方法、公式法、因式分解法等方法解一元二次方程，请你利用两种不同的方法解下列一元二次方程： 46．（23-24八年级上·山东烟台·期中）【探究发现】：八年级数学学习兴趣小组学完因式分解后探究发现： 因为， 所以多项式可因式分解为， 【方法归纳】：由此获得因式分解的一种方法，如： ， ， ， ． 【学以致用】：请你依据小组发现的方法尝试解决下面的问题： (1)若因式分解的结果有一个因式为，则实数p的值为 ； (2)因式分解： ①； ②． 47．（23-24九年级上·新疆昌吉·期末）解方程 (1) (2)； (3)小敏与小霞两位同学解方程的过程如下框： 小敏： 两边同除以，得 ， 则． 小霞： 移项，得， 因式分解，得． 则或， 解得． 你认为他们的解法是否正确？若正确请在框内打“√”；若错误请在框内打“×”，并写出你的解答过程． 48．（23-24八年级下·广西崇左·阶段练习）【阅读材料】各类方程的解法． 解一元一次方程：根据等式的基本性质，把方程转化为的形式． 解二元一次方程组：把它转化为一元一次方程来解； 类似的，求解三元一次方程组，把它转化为二元一次方程组来解． 解一元二次方程：把它转化为两个一元一次方程来解． 解分式方程：把它转化为整式方程来解，由于“去分母”可能产生增根，所以解分式方程必须检验． 各类方程的解法不尽相同，但是它们有一个共同的基本数学思想——转化，即把未知转化为已知．用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新的方程．例如，一元三次方程可以通过因式分解把它转化为．解方程和，可得方程的根． (1)【问题】方程的根是 ， ； (2)【拓展】用“转化”思想解方程： ①； ②． 49．（23-24八年级下·浙江温州·期中）解方程： (1)； (2)． 50．（23-24八年级下·浙江杭州·期中）解方程： (1). (2)； 【经典例题六 换元法解一元二次方程】 51．（23-24八年级下·广西贺州·阶段练习）阅读下列材料：为解方程可将方程变形为然后设，则． 例：， 解：令，原方程化为，解得，， 当时，（无意义，舍去） 当时，，解得， 原方程的解为，． 上面这种方法称为“换元法”，把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即：换元），则能使复杂的问题转化成简单的问题．利用以上学习到的方法解下列方程： (1)； (2)． 52．（23-24八年级下·北京顺义·阶段练习）阅读下列材料：为解方程可将方程变形为然后设，则，原方程化为①，解①得．当时，无意义，舍去；当时，，解得原方程的解为； 上面这种方法称为“换元法”，把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），则能使复杂的问题转化成简单的问题． (1)利用换元法解方程时，新字母设为，则___________，原方程化为___________，解得___________． (2)求方程的解． 53．（23-24八年级下·安徽亳州·阶段练习）解高次方程的思想就是“降次”，将含未知数的某部分用低次项替换，例如解四次方程时，可设，则原方程可化为，先解出y，将y的值再代入中解x的值，由此高次方程得解．解高次方程也可以将方程中某个部分看作一个整体，例如上述方程中，可将看作一个整体，得，解出的值，再进一步求解即可． 根据上述方法，完成下列问题： (1)若，则的值为___________； (2)解方程：． 54．（23-24九年级上·江苏宿迁·阶段练习）解方程时，我们可以将视为一个整体，设，则，原方程化为，解此方程，得，， 当时，，，∴； 当时，，，∴． ∴原方程的解为，，，． 以上方法就叫换元法，达到了降次的目的，体现了转化的思想． 运用上述方法解答下列问题： (1)； (2)． 55．（23-24九年级上·四川凉山·阶段练习）解方程时，我们可以将视为一个整体，设，则原方程可化为，解得．当时，，；当时，原方程的解为，．以上方法就叫换元法，达到了降次的目的，体现了转化的思想． 运用上述方法解下列方程： (1)； (2)． 56．（23-24八年级下·安徽安庆·期中）阅读下列材料：已知实数m，n满足，试求的值. 解：设，则原方程变为，整理得，， ∴，∵，∴. 上面这种方法称为“换元法”，换元法是数学学习中最常用的一种思想方法，在结构较复杂的数和式的运算中，若把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），则能使复杂的问题简单化. 根据以上阅读材料内容，解决下列问题，并写出解答过程. (1)已知实数x，y满足，求的值； (2)设a，b满足等式，求的值； (3)若四个连续正整数的积为24，求这四个连续正整数. 57．（23-24九年级上·重庆江津·期中）阅读下面的例题，回答问题： 例：解方程： 令，原方程化成 解得（不合题意，舍去） 原方程的解是． 请模仿上面的方法解方程： 58．（23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）阅读下面的材料，回答问题： 解方程，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是： 设，那么，于是原方程可变为①，解得，． 当时，，； 当时，，； 原方程有四个根：，，，． 这一方法，在由原方程得到方程①的过程中，利用“换元法”达到降次的目的，体现了数学的转化思想． (1)方程的解为________． (2)仿照材料中的方法，尝试解方程． 59．（23-24九年级上·四川自贡·阶段练习）阅读材料： 在学习解一元二次方程以后，对于某些不是一元二次方程的方程，我们可通过变形将其转化为一元二次方程来解．例如： 解方程：． 解：设，则原方程可化为：． 解得：． 当时，，∴； 当时，，∴． ∴原方程的解是：． 上述解方程的方法叫做“换元法”．请用“换元法”解决下列问题： (1)解方程：； (2)解方程：． (3)解方程：． 60．（23-24九年级上·云南昆明·阶段练习）解方程时，我们可以将视为一个整体，设，则，原方程化为，解此方程，得，． 当时，，，； 当时，，，． 原方程的解为，，，． 以上方法就叫换元法，达到了降次的目的，体现了转化的思想． 运用上述方法解答下列问题： (1)； (2)． 【经典例题七 一元二次方程根与系数关系计算】 61．（23-24八年级下·安徽池州·阶段练习）已知关于x的一元二次方程． (1)若该方程有两个不相等的实数根，求的取值范围． (2)若该方程的两个根分别为，当时，求的值． 62．（23-24九年级下·山东淄博·期中）已知关于的方程． (1)求证：方程总有实数根； (2)若方程的两根为，且满足，求的值． 63．（23-24八年级下·江苏苏州·期中）若关于x的一元二次方程有一个根是， (1)求b的值及方程的另一个根； (2)若菱形对角线长分别为、，则这个菱形面积为______． 64．（23-24九年级上·广东广州·期中）已知关于的一元二次方程． (1)求证：无论取何值时，方程总有两个不相等的实数根； (2)若方程的两实数根为，且满足，试求出的值． 65．（23-24八年级下·安徽安庆·期中）已知关于x的一元二次方程. (1)求证：无论m取任何实数，方程总有实数根； (2)若一元二次方程的两根为，，且满足，求m的值. 66．（23-24八年级下·浙江金华·阶段练习）已知关于x的一元二次方程． (1)求证：这个一元二次方程一定有两个实数根； (2)设该一元二次方程的两根为a，b，且2，a，b分别是一个直角三角形的三边长，求m的值． 67．（23-24八年级下·江苏淮安·期中）已知关于x的一元二次方程． (1)求证：该方程总有两个实数根； (2)若是该方程的两个实数根，且，求a的值． 68．（23-24八年级下·福建福州·期中）已知关于的一元二次方程． (1)求证：不论取何值，该方程都有两个实数根． (2)若方程的一个根为3，求的值和方程的另一个根． 69．（22-23八年级下·江苏盐城·期中）已知关于的方程有两个实数根． (1)求的取值范围； (2)当时，原方程有两个实数根，，求的值． 70．（23-24九年级上·江西南昌·阶段练习）已知一元二次方程． (1)若方程有实数根，求的取值范围； (2)若方程的两个实数根为，且，求的值． 【经典例题八 一元二次方程新定义计算】 71．（23-24八年级下·广西梧州·期中）对于实数m、n，我们定义一种运算“”为：，例如：． (1)化简：； (2)解关于x的方程：． 72．（23-24九年级上·湖南岳阳·期中）定义：  ，解关于x的方程：； 73．（23-24九年级上·内蒙古乌兰察布·期中）对于实数，先定义一种运算“”如下：，若，求的值． 74．（23-24九年级上·福建泉州·期中）定义：如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程是“邻根方程”． 例如：一元二次方程的两个根是，则方程：是“邻根方程”． (1)通过计算，判断下列方程 是否是“邻根方程” (2)已知关于的一元二次方程（是常数）是“邻根方程”，求的值． 75．（23-24九年级上·青海海东·阶段练习）对于实数，新定义一种运算“”，． 例如：． (1)计算：______； (2)若与的值相等，求的值． 76．（23-24九年级上·山东枣庄·阶段练习）在实数范围内定义一种新运算“△”，其规则为，根据这个规则，求 (1)的值； (2)中x的值． 77．（23-24九年级上·福建厦门·期中）定义：若关于x的一元二次方程的两个实数根为，（）．分别以，为横纵坐标得到点，则称点M为该一元二次方程的衍生点． (1)若方程为，写出该一元二次方程的衍生点M的坐标； (2)关于x的一元二次方程，当它的衍生点M距原点最近时，求出此时m的值． 78．（23-24九年级上·河南周口·阶段练习）我们定义：如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”． (1)请说明方程是“倍根方程”； (2)若是“倍根方程”，则m、n应满足怎样的关系?说明理由． 79．（23-24九年级上·陕西西安·阶段练习）定义：如果关于的一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“完美方程”． (1)下面方程是“完美方程”的是_________．（填序号） ①  ②  ③ (2)已知是关于的“完美方程”，若是此“完美方程”的一个根，求的值． 80．（22-23九年级上·福建龙岩·期中）定义：如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程是“邻根方程”．例如：一元二次方程的两个根是，则方程：是“邻根方程”． (1)通过计算，判断下列方程是否是“邻根方程”： ① ②． (2)已知关于x的一元二次方程（k是常数）是“邻根方程”，求k的值． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 一元二次方程80道计算题专训（8大题型） 题型一 一元二次方程的解 题型二 直接开平方法解一元二次方程 题型三 配方法解一元二次方程 题型四 公式法解一元二次方程 题型五 因式分解法解一元二次方程 题型六 换元法解一元二次方程 题型七 一元二次方程根与系数关系计算 题型八 一元二次方程新定义计算 【经典例题一 一元二次方程的解】 1．（23-24九年级下·浙江宁波·阶段练习）先化简，后求值：，其中m是方程的根． 【答案】，10 【分析】本题考查了整式的化简求值，一元二次方程的解，解题的关键是熟练掌握平方差公式，完全平方公式；由平方差公式，完全平方公式进行化简，再把结果变形为，由一元二次方程的解的定义可得，再整体代入求值即可； 【详解】解： ， m是方程的根， ， 原式； 2．（23-24九年级上·广东梅州·期中）已知是方程的一个根，求的值． 【答案】 【分析】 由是方程的一个根，得到，将化为，代入后，即可求解， 本题考查了一元二次方程的解，代数式的化简求值，解题的关键是：应用提公因式法，将代数式进行转化． 【详解】 解：∵是方程的一个根， ∴，即：， ∴ ， 故答案为：． 3．（22-23九年级上·河南新乡·阶段练习）若a是方程的一个根，求的值． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程的解，根据题意，得到，进而得到，，整体代入代数式进行计算即可． 【详解】解：由题意，得：， ∴，， ∴． 4．（23-24九年级上·广东梅州·期中）若是关于的一元二次方程的一个解．求的值． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，将代入原方程，找出关于的方程是解题的关键．将代入原方程可得出关于的一元一次方程，解之即可求出的值． 【详解】解：将代入原方程得：， ， ． 答：的值为 5．（23-24九年级上·北京大兴·期末）已知是方程的一个根，求代数式的值． 【答案】 【分析】本题考查整式化简求值，由是方程 的一个根，可得，把化简变形再代入即可求得答案． 【详解】是方程 的一个根， ， ， ， ． 6．（23-24九年级下·北京·开学考试）已知是一元二次方程的一个根，求代数式的值． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，求代数式的值，先根据是一元二次方程的一个根得出，再将式子化简为，整体代入进行计算即可得出答案． 【详解】解：是一元二次方程的一个根， ， ， ． 7．（2023·北京石景山·一模）已知实数是的根，不解方程，求的值． 【答案】 【分析】本题主要考查一元二次方程的解，多项式乘以多项式，完全平方公式和合并同类项，根据方程的解的概念求得，根据多项式乘以多项式，完全平方公式和合并同类项法则化简代数式，然后整体代入即可，熟练掌握运算法则和正确理解整体代入思想是解题的关键． 【详解】解：∵实数是的根， ∴，即， 由 ， ， ， ∵， ∴原式， ． 8．（23-24九年级上·北京海淀·阶段练习）已知m是方程的根，求代数式的值． 【答案】 【分析】本题主要考查一元二次方程的解、乘法公式及代数式的值．由题意易得，然后把代数式进行化简，最后整体代入求解即可． 【详解】解：∵是方程的一个根， ∴， ∴， ∴ ． 9．（23-24九年级上·北京海淀·阶段练习）已知是方程的一个根，求代数式的值． 【答案】4 【分析】本题考查了一元二次方程的解、求代数式的值，根据是方程的一个根得出，将化简为，最后将整体代入进行计算即可，根据题意得出是解此题的关键． 【详解】解：是方程的一个根， ， ， ． 10．（23-24九年级上·辽宁朝阳·阶段练习）先化简，再求值：已知是一元二次方程的一个根，求代数式的值 【答案】化简结果：，代数式的值为：5 【分析】先计算括号内的分式的加法运算，再把除法运算化为乘法运算，约分后可得化简结果，再利用一元二次方程的根的含义可得，从而可得答案． 【详解】解： ； ∵是一元二次方程的一个根， ∴即， ∴原式． 【点睛】本题考查的是一元二次方程的解，分式的化简求值，熟记分式的混合运算的运算顺序是解本题的关键． 【经典例题二 直接开平方法解一元二次方程】 11．（23-24九年级上·全国·课后作业）用直接开平方法解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）将方程变形为，开平方求解，转化为一元一次方程，求解； （2）将方程变形为，开平方求解，转化为一元一次方程，求解； 【详解】（1）解：， ， ， ，． （2）解：， ， ， ，． 【点睛】本题考查开平方法求解一元二次方程；掌握求平方根的方法是解题的关键． 12．（23-24八年级下·全国·假期作业）用直接开平方法解下列方程： (1) (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查一元二次方程的解法，熟练掌握利用直接开平方法求解方程是解题的关键； （1）根据直接开平方法可进行求解方程； （2）根据直接开平方法可进行求解方程 【详解】（1）解：移项，得， 根据平方根的意义，得， 即． （2）解：移项，得， 两边同除以3，得， 根据平方根的意义，得， 即． 13．（23-24九年级上·全国·课后作业）用直接开平方法解方程：． 【答案】， 【分析】根据题意，将方程化为，再根据直接开平方法解一元二次方程，即可求解． 【详解】解： ∴， ∴ 解得：， 【点睛】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． 14．（23-24九年级上·全国·课后作业）用直接开平方法解方程：． 【答案】， 【分析】将方程的两边同时开方即可求解． 【详解】解：两边直接开平方，得， 即或， 解得，． 【点睛】本题考查了解一元二次方程，掌握一元二次方程的解法是解题关键． 15．（23-24九年级上·全国·课后作业）用直接开平方法解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】对于形如的方程，直接开平方，转化为一元一次方程，，求解． 【详解】（1）由原方程，得， ∴， ∴，． （2）， ， ， 或， ∴，． 【点睛】本题考查直接开平方法求解一元二次方程；理解平方根的表示及求解是解题的关键． 16．（2023八年级下·浙江·专题练习）用直接开平方法解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）用直接开平方法解答即可； （2）用直接开平方法解答即可． 【详解】（1）， 移项，得， 两边同时除以49，得， 开方，得， 则方程的两个根为，． （2） 两边同时除以9，得， 开方，得， 即或， 则方程的两个根为，． 【点睛】本题主要考查了用开方法解一元二次方程，解题的关键在于能够熟练掌握开方法. 17．（23-24九年级上·全国·课后作业）用直接开平方法解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)， (2)， (3)， (4)， 【分析】（1）根据等式性质，将方程变形为形式，开平方，转化为一元一次方程求解； （2）根据等式性质，将方程变形为形式，开平方，转化为一元一次方程求解； （3）根据等式性质，将方程变形为形式，开平方，转化为一元一次方程求解； （4）根据等式性质，将方程变形为形式，开平方，转化为一元一次方程求解； 【详解】（1）， 方程两边同时除以9得，， 开平方得，， ∴，； （2），移项得，， 开平方得，， ∴，； （3）， 移项得，， 开平方得，， ∴，； （4）， ， ， ∴，． 【点睛】本题考查直接开平方法求解一元二次方程；运用等式性质将方程变形为形式是解题的关键． 18．（23-24九年级上·全国·课后作业）用直接开平方法解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）先把二次项系数化为1，再直接开平方即可求解； （2）先把常数项移到方程右侧，再把二次项系数化为1，再直接开平方即可求解． 【详解】（1）解：两边都除以2得：， 直接开平方得：， ∴，． （2）解：移项得：， 两边都除以得：， 直接开平方得：， ∴，． 【点睛】本题考查解一元二次方程，熟练掌握直接开平方法是解题的关键． 19．（23-24九年级上·全国·课后作业）用直接开平方法解下列方程： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)， (2)， (3)， 【分析】（1）利用直接开方法即可求解． （2）利用直接开方法即可求解． （3）利用直接开方法即可求解． 【详解】（1）解：原方程变形为：， 开方得：， 解得：，． （2）原方程变形为：， 开方得：， 解得：，． （3）原方程变形为：， 开方得：， 解得：，． 【点睛】本题考查了直接开方法解一元二次方程，熟练掌握其方法是解题的关键． 20．（2022九年级上·全国·专题练习）用直接开平方法解下列方程： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)， (2)， (3)， 【分析】（1）移项，直接开平方； （2）移项，直接开平方； （3）直接开平方． 【详解】（1）解：∵， 开方得或， 解得，； （2）解：移项得， 开方得或， 解得，； （3）方程两边直接开方得 或， ∴或． 解得，． 【点睛】本题考查了直接开方法解一元二次方程，熟记解一元二次方程的方法是解题的关键． 【经典例题三 配方法解一元二次方程】 21．（23-24八年级上·上海青浦·期中）用配方法解方程： 【答案】， 【分析】本题考查了解一元二次方程-配方法：将一元二次方程配成的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法． 移项，然后两边都加上一次项系数的一半的平方，再根据完全平方公式整理，然后求解即可． 【详解】解：移项得，， 配方得，， 即， ， ，． ∴方程的解为，． 22．（23-24九年级上·海南省直辖县级单位·期末）用配方法解方程： (1)； (2)； (3)； (4) 【答案】(1)， (2)， (3)， (4) 【分析】本题考查解一元二次方程，正确计算是解题的关键： （1）利用配方法解一元二次方程即可； （2）利用配方法解一元二次方程即可； （3）利用配方法解一元二次方程即可； （4）利用配方法解一元二次方程即可． 【详解】（1）解：， ， ，； （2）解：， ， ，； （3）解：， ， ，； （4）解：， ， ， ． 23．（2024八年级下·安徽·专题练习）观察下列方程及其解的特征： (1)请猜想：方程的解为 ； (2)请猜想：关于的方程 的解为，； (3)下面以解方程为例，验证（1）中猜想结论的正确性． 解：原方程可化为． （下面请大家用配方法写出解此方程的详细过程） 【答案】(1)， (2) (3)见解析 【分析】此题考查了学生的综合应用能力，解题的关键是认真审题，寻找规律． 配方法的一般步骤： （1）把常数项移到等号的右边； （2）把二次项的系数化为1； （3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方． 选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数． 解此题首先要认真审题，寻找规律，依据规律解题．解题的规律是将分式方程转化为一元二次方程，再采用配方法即可求得．而且方程的两根互为倒数，其中一根为分母，另一根为分母的倒数． 【详解】（1）解：方程整理得：， 其解为，； （2）解：猜想得：其解为，， 故答案为：（或； （3）解：方程二次项系数化为1， 得． 配方得， ，即， 开方得， ， 解得，． 经检验，，都是原方程的解． 24．（23-24八年级下·安徽安庆·阶段练习）解方程：（用配方法） 【答案】 【分析】此题考查了配方法解一元二次方程，把方程变形为，开平方得到，解一元一次方程即可得到答案． 【详解】解： ∴ 则 ∴ 开平方得， 解得 25．（23-24八年级下·山东烟台·期中）配方法解一元二次方程：． 【答案】， 【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程的解法：直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法等．利用配方法解一元二次方程即可． 【详解】解： 两边同除以，得， 移项，得， 配方，得，即， 开平方，得， ∴，或， ∴，． 26．（23-24九年级上·贵州六盘水·阶段练习）下面是小东同学解一元二次方程的过程，请仔细阅读，并完成相应的解答． 解：方程两边同除以，得．    第一步 移项、合并同类项，得．    第二步 系数化为1，得．        第三步 任务： (1)①小东的解法从第______步开始出现错误； ②该一元二次方程的正确解为______． (2)用配方法解方程：． 【答案】(1)①一；② (2) 【分析】 本题考查了解一元二次方程-因式分解法及配方法，熟练掌握解一元二次方程-因式分解法及配方法是解题的关键． （1）①利用等式的性质，即可解答；②利用解一元二次方程-因式分解法，进行计算即可解答； （2）利用解一元二次方程-因式分解法，进行计算即可解答． 【详解】（1）解：①小明的解法从第一步开始出现错误， 故答案为：一； ②解： 即或 此题的正确结果是， 故答案为：； （2）解：． 配方，得，即． 两边开平方，得， 即或． ∴． 27．（23-24九年级上·贵州遵义·期中）小明在学习配方法解一元二次方程后，用配方法解方程的过程如下． 解：．① ．② ．③ ．④ ．⑤ ∴．⑥ (1)上述解方程的过程中，小明从第 步开始出现了错误；（填序号） (2)请利用配方法正确的解方程． 【答案】(1)② (2)， 【分析】本题考查了用配方法解一元二次方程． （1）根据等式的性质判断②错误； （2）移项，二次项系数化成1，配方，开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可． 【详解】（1）解：上述过程中，从第②步开始出现了错误， 故答案为：②； （2）解：， 移项，得， ， 配方，得，即， ∴， ∴，． 28．（23-24九年级上·江西九江·阶段练习）【课本再现】 材料一：解方程：． 解：把常数项移到方程的右边，得． 两边都加，得，即． 两边开方，得，即或， 所以，． 在上例中，我们通过配成完全平方式的形式得到了一元二次方程的根，这种解一元二次方程的方法称为配方法． 材料二：对于某些二次三项式也可以通过配方，利用完全平方式的非负性解决其最值问题． 例如：． ∵， ∴，即有最小值1． 【尝试运用】 （1）解一元二次方程，配方后可变形为（    ） A．    B．    C．  D． （2）利用配方法求的最值． 【拓展应用】 （3）已知方程，求的值． 【答案】（1）D；（2）最大值14；（3）9 【分析】（1）利用解一元二次方程配方法进行计算，即可解答； （2）利用材料二的思路进行计算，即可解答； （3）利用配方法进行计算，即可解答． 【详解】解：（1）， ， ， ， 故答案为：D； （2） ， ， ，即有最大值14； （3）， ， ， ，， ，， ． 【点睛】本题考查了配方法的应用，最值问题，解一元二次方程配方法，偶次方的非负性，准确熟练地进行计算是解题的关键． 29．（23-24八年级下·安徽滁州·阶段练习）将代数式通过配方得到完全平方式，再运用完全平方式的非负性这一性质解决问题，这种解题方法叫做配方法．配方法在代数式求值、解方程、最值问题等都有广泛的应用．如利用配方法求最小值，求的最小值． 解：， 因为不论a取何值，总是非负数，即，所以， 所以当时，有最小值． 根据上述材料，解答下列问题． (1)求式子的最大值． (2)若，比较M、N的大小．(写出比较过程) (3)若等腰三角形的两边a，b满足，求这个三角形的周长． 【答案】(1)有最大值 (2)，见解析 (3)这个三角形的周长为17 【分析】本题考查了完全平方公式、等腰三角形的定义、三角形的三边关系，掌灵活运用完全平方式的非负性求最值是解题关键． （1）利用完全平方式的非负性求解即可； （2）先化简，再结合（1）求解即可； （3）先利用完全平方式的非负性，得出，，再根据等腰三角形的定义和三角形的三边关系，确定等腰三角形的三边分别为3、7、7，即可求出周长． 【详解】（1）解：． ∵， ∴， ∴当时，有最大值． （2）∵， ∴． 由（1）可得， ∴， ∴． （3）解：∵， ∴， ∴， ∴，． ∵a，b是等腰三角形的两边，且， ∴等腰三角形的三边分别为3、7、7， ∴这个等腰三角形的周长为． 30．（22-23八年级上·贵州黔南·期末）【阅读材料】 利用完全平方公式，可以将多项式（均为常数且）变形为的形式，如．我们把这样的变形方法叫做多项式的配方法．运用多项式的配方法及平方差公式能对一些多项式进行分解因式．例如：． 【问题解决】 (1)用多项式的配方法将化成的形式是 ，当多项式的值为时，的值为 ． (2)把多项式进行分解因式． 【答案】(1)，； (2)． 【分析】（）根据配方法即可将化成的形式，由，解方程即可求出的值； （）利用配方法把原式转化为，再利用平方差公式因式分解即可； 本题考查了配方法，因式分解，掌握配方法是解题的关键． 【详解】（1）解：， 当的值为时， 则， ∴， ∴， 故答案为：，； （2）解： ， ， ． 【经典例题四 公式法解一元二次方程】 31．（23-24八年级下·山东淄博·期中）公式法解方程：． 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，先求出，则，据此可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ， ， 解得． 32．（23-24九年级上·四川凉山·阶段练习）用公式法解方程：． 【答案】 【分析】本题考查公式法解一元二次方程，根据公式法，按步骤求解即可得到答案，熟记公式法解一元二次方程是解决问题的关键． 【详解】解：， ， ， ． 33．（23-24八年级下·全国·假期作业）用公式法解下列方程： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2)， (3)方程无解 【分析】本题主要考查一元二次方程的解法，熟练掌握利用公式法求解方程是解题的关键； （1）由题意易得，然后根据公式法可进行求解； （2）由题意易得，然后根据公式法可进行求解； （3）由题意易得，然后根据公式法可进行求解． 【详解】（1）解： ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解： ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解： ∴， ∴， ∴原方程无解． 34．（23-24九年级上·湖北武汉·期中）解方程：（用公式法） 【答案】， 【分析】本题考查了解一元二次方程，根据公式法解一元二次方程，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴ ∴方程有两个不相等的实数根 ∴ ∴， 35．（23-24八年级下·山东威海·期中）用公式法解方程：． 【答案】， 【分析】本题考查了公式法解一元二次方程，根据公式法解一元二次方程，即可求解． 【详解】解：方程化为． ∴， ∴． 解得：，． 36．（23-24九年级上·甘肃兰州·阶段练习）用公式法解方程：． 【答案】，． 【分析】本题考查了解一元二次方程﹣公式法：熟练掌握用公式法解一元二次方程的一般步骤是解决问题的关键．先计算出根的判别式的值，然后利用一元二次方程的求根公式得到方程的解． 【详解】解：， ∵，，， ∴， ∴ ∴，． 37．（23-24九年级上·辽宁鞍山·期中）解下列一元二次方程 (1)（公式法） (2)（公式法） 【答案】(1)，； (2)，． 【分析】（）先确定的值，求出的值，确定能否用公式法计算，若，即代入求根公式计算即可； （）先确定的值，求出的值，确定能否用公式法计算，若，即代入求根公式计算即可； 本题考查了用公式法解一元二次方程，解题的关键是熟记求根公式，掌握用公式法解一元二次方程的步骤． 【详解】（1），，， ， ∴， ∴，； （2），，， ， ∴， ∴，． 38．（23-24九年级上·山东济宁·期中）用公式法解方程：． 【答案】， 【分析】本题考查了用公式法解一元二次方程，解题的关键是先求出的值，再代入公式求出方程的解． 【详解】解：， ，，， ， ， 所以，． 39．（23-24九年级上·吉林四平·期中）用公式法解方程：． 【答案】，． 【分析】先确定a、b、c及判别式的值，然后再利用求根公式求解即可． 【详解】解：， ∵，，， ∴， ∴，． 【点睛】本题考查了一元二次方程的求根公式，利用公式法解一元二次方程的条件是，一元二次方程的求根公式为：． 40．（23-24八年级下·全国·假期作业）用公式法解下列方程： (1)； (2)； (3). 【答案】(1)， (2)，. (3) 【详解】解：（1）∵，，， ∴， ∴，即，. （2）移项，得， ∴，，， ∴， ∴，即，. （3）∵，，， ∴， ∴，即. 【经典例题五 因式分解法解一元二次方程】 41．（23-24八年级下·山东淄博·期中）选择合适的方法解方程． (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了因式分解解一元二次方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先移项，再进行因式分解，得，令每个因式为0，进行计算，即可作答． （2）先移项，提公因式得，令每个因式为0，进行计算，即可作答． 【详解】（1）解： 解得 （2）解： 解得 42．（23-24八年级下·浙江宁波·期中）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解一元二次方程； （1）根据配方法解一元二次方程，即可求解； （2）根据因式分解法解一元二次方程，即可求解． 【详解】（1）解：， ∴， ∴， ∴， ∴ 解得：； （2）， ∴， ∴， ∴， ∴或， 解得： 43．（23-24八年级上·江西上饶·期末）阅读材料：解方程，我们可以按下面的方法解答： （1）分解因式 ①竖分二次项与常数项： ， ②交叉相乘，验中项：    ③横向写出两因式： （2）根据乘法原理，若，则或，则方程可以这样求解： 方程左边因式分解得 ∴或 ∴， ∴ 试用上述这种十字相乘法解下列方程 (1)； (2)． 【答案】(1)，； (2)，． 【分析】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． （1）利用十字相乘法将方程的左边因式分解，继而得出两个关于x的一元一次方程，进一步求解可得答案； （2）利用十字相乘法将方程的左边因式分解，继而得出两个关于x的一元一次方程，进一步求解可得答案． 【详解】（1）解： 或 ∴，； （2）解： 或 ∴，． 44．（23-24八年级上·江西南昌·期末）阅读材料：把代数式因式分解，可以如下分解： (1)探究：请你仿照上面的方法，把代数式因式分解； (2)拓展： ①把代数式因式分解； ②若代数式为时（其中，），则的值为______． 【答案】(1) (2)①；②或 【分析】本题考查因式分解的应用，解题关键是模仿例题进行因式分解，主要利用配方法和平方差公式． （1）仿照例题的计算方法先配方，再利用平方差公式进行分解； （2）①仿照例题的计算方法先配方，再利用平方差公式进行分解；②将方程左边因式分解后求出与的关系，求出结果即可． 【详解】（1）解： （2）解：① ， ， ， ， ②代数式为， 或， 所以的值为时，或． 45．（23-24九年级上·河南新乡·期中）解一元二次方程的基本思路是：将二次方程化为一次方程，即“降次”．根据一元二次方程的特点，可以利用配方法、公式法、因式分解法等方法解一元二次方程，请你利用两种不同的方法解下列一元二次方程： 【答案】 【分析】本题考查解一元二次方程，涉及配方法解一元二次方程、平方差公式因式分解法解一元二次方程等，熟记一元二次方程的解法，根据方程的结构特征选择恰当的解法是解决问题的关键． 【详解】解：方法一：， ， ， ，即， 或，解得； 方法二：， ，即， ，直接开平方得或，解得． 46．（23-24八年级上·山东烟台·期中）【探究发现】：八年级数学学习兴趣小组学完因式分解后探究发现： 因为， 所以多项式可因式分解为， 【方法归纳】：由此获得因式分解的一种方法，如： ， ， ， ． 【学以致用】：请你依据小组发现的方法尝试解决下面的问题： (1)若因式分解的结果有一个因式为，则实数p的值为 ； (2)因式分解： ①； ②． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】本题主要考查因式分解， 根据因式分解的一个因式可知方程的一个解，代入即可求的未知数； ①利用题目给定的方法逐步分解即可求得答案；②将变形，利用题目给定的方法逐步分解即可求得答案． 【详解】（1）解：∵分解因式的结果有一个因式为， ∴是的解， ∴， 解得． 故答案为：； （2）① ； ② ． 47．（23-24九年级上·新疆昌吉·期末）解方程 (1) (2)； (3)小敏与小霞两位同学解方程的过程如下框： 小敏： 两边同除以，得 ， 则． 小霞： 移项，得， 因式分解，得． 则或， 解得． 你认为他们的解法是否正确？若正确请在框内打“√”；若错误请在框内打“×”，并写出你的解答过程． 【答案】(1) (2) (3)他们的解法不正确； 【分析】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． （1）利用直接开平方法求解即可； （2）利用因式分解法求解即可； （3）利用因式分解法求解即可． 【详解】（1）解：， 解得：； （2）， 或 解得：； （3）他们的解法不正确； 正确解法如下： 移项，得， 提取公因式，得， 则或， 解得． 48．（23-24八年级下·广西崇左·阶段练习）【阅读材料】各类方程的解法． 解一元一次方程：根据等式的基本性质，把方程转化为的形式． 解二元一次方程组：把它转化为一元一次方程来解； 类似的，求解三元一次方程组，把它转化为二元一次方程组来解． 解一元二次方程：把它转化为两个一元一次方程来解． 解分式方程：把它转化为整式方程来解，由于“去分母”可能产生增根，所以解分式方程必须检验． 各类方程的解法不尽相同，但是它们有一个共同的基本数学思想——转化，即把未知转化为已知．用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新的方程．例如，一元三次方程可以通过因式分解把它转化为．解方程和，可得方程的根． (1)【问题】方程的根是 ， ； (2)【拓展】用“转化”思想解方程： ①； ②． 【答案】(1)；1 (2)①，②或 【分析】本题主要考查了解一元二次方程： （1）把所给方程左边利用提公因式法和十字相乘法分解因式，然后仿照题意解方程即可； （2）①把方程两边同时平方，然后解方程即可；②令，则，解方程求出y的值，进而求出x的值即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴或或， 解得， 故答案为：；1； （2）解：①∵， ∴，即， 解得或， ∵， ∴； ②令，则， ∴， 解得或， ∴或， 解得或． 49．（23-24八年级下·浙江温州·期中）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握解一元二次方程的方法，准确计算． （1）用因式分解法解一元二次方程即可； （2）用因式分解法解一元二次方程即可． 【详解】（1）解：， 因式分解得：， ∴或， 解得：，； （2）解：， 因式分解得：， ∴或， 解得：，． 50．（23-24八年级下·浙江杭州·期中）解方程： (1). (2)； 【答案】(1)或 (2)或 【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是运用因式分解法来解答. （1）先把方程的右边化为，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，即可求出结果. （2）先把方程的右边化为，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，即可求出结果. 【详解】（1）解： , 即:或, ∴或； （2）解：, , , 即: 或, ∴或． 【经典例题六 换元法解一元二次方程】 51．（23-24八年级下·广西贺州·阶段练习）阅读下列材料：为解方程可将方程变形为然后设，则． 例：， 解：令，原方程化为，解得，， 当时，（无意义，舍去） 当时，，解得， 原方程的解为，． 上面这种方法称为“换元法”，把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即：换元），则能使复杂的问题转化成简单的问题．利用以上学习到的方法解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)，， (2)、 【分析】本题考查了换元法解一元二次方程； （1）令，原方程化为，进而得出，，解方程，即可求解； （2）令，原方程化为，解得，，进而分别解一元二次方程，即可求解． 【详解】（1）解：令，原方程化为， 解得，． 当时，，解得． 当时，，解得． 原方程的解为：，， （2）令，原方程化为， 解得， 当时，（无意义舍去） 当时，，解得、． 原方程的解为、． 52．（23-24八年级下·北京顺义·阶段练习）阅读下列材料：为解方程可将方程变形为然后设，则，原方程化为①，解①得．当时，无意义，舍去；当时，，解得原方程的解为； 上面这种方法称为“换元法”，把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），则能使复杂的问题转化成简单的问题． (1)利用换元法解方程时，新字母设为，则___________，原方程化为___________，解得___________． (2)求方程的解． 【答案】(1)，； (2) 【分析】本题考查了换元法解方程，正确换元是解题的关键； （1）根据题意，可设，于是原方程变形为，利用因式分解法求解即可． （2）根据，转化为方程，，解方程即可． 【详解】（1）解：根据题意，可设，于是原方程变形为， 解得， 故答案为：，；． （2）解：根据题意，得，方程转化为，， 故， 解得； 当时，此时，方程无解， 故原方程的解为． 53．（23-24八年级下·安徽亳州·阶段练习）解高次方程的思想就是“降次”，将含未知数的某部分用低次项替换，例如解四次方程时，可设，则原方程可化为，先解出y，将y的值再代入中解x的值，由此高次方程得解．解高次方程也可以将方程中某个部分看作一个整体，例如上述方程中，可将看作一个整体，得，解出的值，再进一步求解即可． 根据上述方法，完成下列问题： (1)若，则的值为___________； (2)解方程：． 【答案】(1)2 (2)或或或 【分析】本题考查了换元法解一元二次方程，注意，解方程时要解完整． （1）根据题意，设，然后解关于k的一元二次方程，再根据取值即可； （2）设，然后解关于t的一元二次方程，然后再来求关于y的一元二次方程． 【详解】（1）解：设， 原方程为：，即， ， ， 或， ， ， ， 故答案为：2； （2）解：设， 原方程为：，即， ， 或， 当时，， ， 或； 当时，， ， 或； 综上，或或或． 54．（23-24九年级上·江苏宿迁·阶段练习）解方程时，我们可以将视为一个整体，设，则，原方程化为，解此方程，得，， 当时，，，∴； 当时，，，∴． ∴原方程的解为，，，． 以上方法就叫换元法，达到了降次的目的，体现了转化的思想． 运用上述方法解答下列问题： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题主要考查了换元法解一元二次方程、因式分解法解一元二次方程、一元二次方程的根的判别式等知识，利用换元法解一元二次方程是解题关键． （1）先把要求的式子变形为，再进行因式分解，求出符合条件的的值，从而得出的值； （2）根据已知条件设求出的值，即可获得答案． 【详解】（1）解：， 设，则原方程化为， ∴， ∴或（舍去）， 即， ∴，； （2）解：， 设，则原方程化为， ∴， ∴或， 当时，可有，解得，， 当时，可有， ∵， ∴该方程无解， ∴原方程的解为，． 55．（23-24九年级上·四川凉山·阶段练习）解方程时，我们可以将视为一个整体，设，则原方程可化为，解得．当时，，；当时，原方程的解为，．以上方法就叫换元法，达到了降次的目的，体现了转化的思想． 运用上述方法解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查换元法解一元二次方程： （1）设，将原方程变形为，利用因式分解法解方程求出t值，进而即可求解； （2）设，将原方程变形为，求出y值，进而利用公式法解方程即可． 【详解】（1）解：设，则原方程可化为， 解得（舍去）． ， 解得． 原方程的解为． （2）解：设，则原方程可化为， 整理，得， 解得， ， 解得， 原方程的解为． 56．（23-24八年级下·安徽安庆·期中）阅读下列材料：已知实数m，n满足，试求的值. 解：设，则原方程变为，整理得，， ∴，∵，∴. 上面这种方法称为“换元法”，换元法是数学学习中最常用的一种思想方法，在结构较复杂的数和式的运算中，若把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），则能使复杂的问题简单化. 根据以上阅读材料内容，解决下列问题，并写出解答过程. (1)已知实数x，y满足，求的值； (2)设a，b满足等式，求的值； (3)若四个连续正整数的积为24，求这四个连续正整数. 【答案】(1) (2) (3)这四个连续正整数为1，2，3，4 【分析】（1）设，则，解得：，由，得，即可求解， （2）设，则，或，由，得，即可求解， （3）设最小正整数为x，则，即：，设，则，解得：，，由x为正整数，得，解得，即可求解， 本题考查了换元法，换元法是数学学习中最常用的一种思想方法，在结构较复杂的数和式的运算中，若把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替(即换元)，则能使复杂的问题简单化． 【详解】（1）解：设，则， ∴， 解得：， ∵， ∴， ∴， 故答案为：， （2）解：设，则， ∴， 解得：或， ∵， ∴， ∴， 故答案为：， （3）解：设最小正整数为x，则，即：， 设，则， 解得：，， ∵x为正整数， ∴， 解得，（舍去）， 故答案为：这四个连续正整数为1，2，3，4． 57．（23-24九年级上·重庆江津·期中）阅读下面的例题，回答问题： 例：解方程： 令，原方程化成 解得（不合题意，舍去） 原方程的解是． 请模仿上面的方法解方程： 【答案】 【分析】本题主要考查了换元法解一元二次方程，令，则原方程化为，解方程得到，则，据此求解即可． 【详解】解：令，则原方程化为， ∴， 解得或（不合题意，舍去）， ∴， ∴， 解得． 58．（23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）阅读下面的材料，回答问题： 解方程，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是： 设，那么，于是原方程可变为①，解得，． 当时，，； 当时，，； 原方程有四个根：，，，． 这一方法，在由原方程得到方程①的过程中，利用“换元法”达到降次的目的，体现了数学的转化思想． (1)方程的解为________． (2)仿照材料中的方法，尝试解方程． 【答案】(1)， (2)，； 【分析】本题考查了根的判别式，换元法解一元二次方程，能够正确换元是解此题的关键． （1）结合材料，利用，再换元，求出的值，再代入求出即可； （2）结合材料，利用，再换元，求出的值，再代入求出即可． 【详解】（1）解：设，则原方程变为， 解得：，， 当时，，解得； 当时，，方程无解； 故原方程的解为：，， 故答案为：，． （2）解：设，则原方程变为， 解得：，， 当时，，解得：，； 当时，，即， ， 方程无解； 故原方程的解为：，． 59．（23-24九年级上·四川自贡·阶段练习）阅读材料： 在学习解一元二次方程以后，对于某些不是一元二次方程的方程，我们可通过变形将其转化为一元二次方程来解．例如： 解方程：． 解：设，则原方程可化为：． 解得：． 当时，，∴； 当时，，∴． ∴原方程的解是：． 上述解方程的方法叫做“换元法”．请用“换元法”解决下列问题： (1)解方程：； (2)解方程：． (3)解方程：． 【答案】(1)； (2)； (3)和． 【分析】本题考查了整体换元法，整体换元法是我们常用的一种解题方法，在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而简化问题，当然有时候要通过变形才能发现．把一些形式复杂的方程通过换元的方法变成一元二次方程，从而达到降次的目的． （1）设，则原方程可化为，解方程求得t的值，再求x的值即可； （2）设，则原方程可化为，解方程求得a的值，再求x的值即可； （3）设，则原方程可化为，整理得，解方程求得m的值，再求x的值，检验后即可求得分式方程的解． 【详解】（1）解：设，则原方程可化为：． 解得：． 当时，， ∴； 当时，， ∴． ∴原方程的解是：； （2）解：设，则原方程可化为， 即， 解得：或， 当时，， ∴； 当时，， ∴； ∴原方程的解是：； （3）解：设，则原方程可化为， 整理得， ∴， 解得：或， 当时，，即， 由知此时方程无解； 当时，，即， 解得：或， 经检验和都是原分式方程的解． 60．（23-24九年级上·云南昆明·阶段练习）解方程时，我们可以将视为一个整体，设，则，原方程化为，解此方程，得，． 当时，，，； 当时，，，． 原方程的解为，，，． 以上方法就叫换元法，达到了降次的目的，体现了转化的思想． 运用上述方法解答下列问题： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解法， （1）先把要求的式子变形为，再进行因式分解，求出符合条件的的值，从而得出的值； （2）根据已知条件设求出的值即可． 【详解】（1）解：， ， ， ，， 解得：，（不合题意，舍去）， 则，． （2）设，则 ， ， 当时，，，， 当时，，无解． 故方程的解为，． 【经典例题七 一元二次方程根与系数关系计算】 61．（23-24八年级下·安徽池州·阶段练习）已知关于x的一元二次方程． (1)若该方程有两个不相等的实数根，求的取值范围． (2)若该方程的两个根分别为，当时，求的值． 【答案】(1)且； (2) 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，完全平方公式的变形求值，灵活运用所学知识是解题的关键． （1）根据题意得到，，进而求解即可； （2）首先得到方程，然后利用根与系数的关系得到，，然后利用完全平方公式的变形求解即可． 【详解】（1）由题意得，该方程有两个不相等的实数根 ，即， 解得， 则的取值范围为且； （2）当时，， ， ． 62．（23-24九年级下·山东淄博·期中）已知关于的方程． (1)求证：方程总有实数根； (2)若方程的两根为，且满足，求的值． 【答案】(1)证明方法见详解 (2)或 【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式，韦达定理，因式分解解一元二次方程，掌握一元二次方程中根的判别方法，因式分解法解一元二次方程是解题的关键． （1）根据多项式乘以多项式展开，再根据一元二次方程的根的判别式“，方程有实数根；，方程无实数根”即可求解； （2）根据韦达定理分别表示出，，再根据，代入计算，几何因式分解法求一元二次方程的方法即可求解． 【详解】（1）证明：已知， 展开得，， ∴， ∵， ∴， ∴方程总有实数根； （2）解：已知有两个根， ∴，， ∵， ∴， 整理得，， ∴， ∴或， ∴或． 63．（23-24八年级下·江苏苏州·期中）若关于x的一元二次方程有一个根是， (1)求b的值及方程的另一个根； (2)若菱形对角线长分别为、，则这个菱形面积为______． 【答案】(1)，方程的另一个根为 (2) 【分析】本题考查了菱形的性质，一元二次方程的根与系数的关系：若有两实数根为，，则，．根据根与系数的关系求解即可． （1）根据一元二次方程根与系数的关系得出，即可求解； （2）根据菱形的面积等于对角线乘积的一半，即可求解． 【详解】（1） 解：设方程的另一个根为， 根据题意，得， 解得， ∴，方程的另一个根为． （2）解：∵菱形对角线长分别为、， ∴菱形的面积为， 故答案为：． 64．（23-24九年级上·广东广州·期中）已知关于的一元二次方程． (1)求证：无论取何值时，方程总有两个不相等的实数根； (2)若方程的两实数根为，且满足，试求出的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式以及根与系数的关系； （1）将原式整理为一元二次方程的一般式，然后根据根的判别式进行解答即可； （2）根据一元二次方程根与系数的关系求值即可． 【详解】（1）证明：方程为：， 方程总有两个不相等的实数根； （2）解：由（1）得， 解得：， 实数的值为． 65．（23-24八年级下·安徽安庆·期中）已知关于x的一元二次方程. (1)求证：无论m取任何实数，方程总有实数根； (2)若一元二次方程的两根为，，且满足，求m的值. 【答案】(1)详见解析 (2) 【分析】本题考查了根的判别式，根与系数的关系，一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．一元二次方程的两个根，，满足，． （1）根据一元二次方程根的判别式进行判断即可； （2）根据一元二次方程根与系数的关系进行解答即可． 【详解】（1）证明：∵ ， ∵， ∴， ∴无论m取任何实数，方程总有实数根； （2）解：∵，，， ∴， 解得， 故m的值为． 66．（23-24八年级下·浙江金华·阶段练习）已知关于x的一元二次方程． (1)求证：这个一元二次方程一定有两个实数根； (2)设该一元二次方程的两根为a，b，且2，a，b分别是一个直角三角形的三边长，求m的值． 【答案】(1)详见解析 (2)或 【分析】本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，．也考查了根的判别式和勾股定理． （1）计算根的判别式的值得到，利用非负数的性质得到，然后根据根的判别式的意义得到结论； （2）解方程得，或，，再利用勾股定理得到或，然后分别解关于的方程即可． 【详解】（1）证明： ， 这个一元二次方程一定有两个实数根； （2）解：解方程得，， 即，或，， ，，分别是一个直角三角形的三边长， 或， 解方程得，（舍去）， 解方程得，（舍去）． 即的值为或． 67．（23-24八年级下·江苏淮安·期中）已知关于x的一元二次方程． (1)求证：该方程总有两个实数根； (2)若是该方程的两个实数根，且，求a的值． 【答案】(1)详见解析 (2)0 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系： （1）利用判别式进行求解即可； （2）由根与系数的关系，根据推出，据此可得答案． 【详解】（1）解：由题意得， ， ∴该方程总有两个实数根； （2）解：∵是该方程的两个实数根， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 68．（23-24八年级下·福建福州·期中）已知关于的一元二次方程． (1)求证：不论取何值，该方程都有两个实数根． (2)若方程的一个根为3，求的值和方程的另一个根． 【答案】(1)证明见解析 (2)，方程的另一个根为1 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系： （1）利用判别式求解即可； （2）设方程的另一个根为m，由根与系数的关系可得，解方程组即可得到答案． 【详解】（1）证明：由题意得， ， ∴不论取何值，该方程都有两个实数根． （2）解：设方程的另一个根为m， 由根与系数的关系可得， 解得， ∴，方程的另一个根为1． 69．（22-23八年级下·江苏盐城·期中）已知关于的方程有两个实数根． (1)求的取值范围； (2)当时，原方程有两个实数根，，求的值． 【答案】(1) (2)28 【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系、一元二次方程的根的判别式：当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根． （1）根据一元二次方程的根的判别式的意义得到，即，解不等式即可得到的范围； （2）根据一元二次方程根与系数的关系得到，，当时则，，然后由得答案． 【详解】（1）解：关于的方程有两个实数根， ，即， 解得， 的取值范围为； （2）解：方程有两个实数根，， ，， ， ，， ． 70．（23-24九年级上·江西南昌·阶段练习）已知一元二次方程． (1)若方程有实数根，求的取值范围； (2)若方程的两个实数根为，且，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系；掌握它们是解题的关键． （1）根据方程有实数根，则判别式为非负，即可求得的取值范围； （2）由根与系数的关系得，代入已知条件中可求得，再把求得的根代入一元二次方程中，即可求得m的值． 【详解】（1）解：∵一元二次方程有实数根， ∴， 解得：； 即方程有实数根时，； （2）解：由根与系数的关系得：， ∵， ∴②-①得：， ∴； 把代入中，得， ∴． 【经典例题八 一元二次方程新定义计算】 71．（23-24八年级下·广西梧州·期中）对于实数m、n，我们定义一种运算“”为：，例如：． (1)化简：； (2)解关于x的方程：． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了新定义，解一元二次方程： （1）根据新定义进行求解即可； （2）根据新定义可得，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意得，； （2）解：∵， ∴， ∴， 解得． 72．（23-24九年级上·湖南岳阳·期中）定义：  ，解关于x的方程：； 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，正确理解定义的新运算，得出不等式是解题的关键，分和两种情况，分别根据定义的运算得出不等式，进而可得答案． 【详解】解：当时，即， ， 解得：， ， 舍去， 当时，即， ， 解得：， ， 舍去， 综上所述，方程的解为：． 73．（23-24九年级上·内蒙古乌兰察布·期中）对于实数，先定义一种运算“”如下：，若，求的值． 【答案】 【分析】根据定义，分和两种情况进行解方程，得出x的值． 【详解】解：当时，， 解得：（舍），， 当时，， 解得：，不符合题意， ． 【点睛】本题考查了解一元二次方程，体现了分类讨论的数学思想，分和两种情况进行解方程是解题的关键． 74．（23-24九年级上·福建泉州·期中）定义：如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程是“邻根方程”． 例如：一元二次方程的两个根是，则方程：是“邻根方程”． (1)通过计算，判断下列方程 是否是“邻根方程” (2)已知关于的一元二次方程（是常数）是“邻根方程”，求的值． 【答案】(1)不是，见解析 (2)或． 【分析】本题以新定义题型为背景，考查了一元二次方程的求解． （1）求解方程，即可进行判断． （2）利用因式分解求解方程，根据该方程是“邻根方程”即可求解． 【详解】（1）解：∵ ∴ ∴ ∵，， 故该方程不是“邻根方程”． （2） ∴． ∴． 由题意得：或， 解得：或． 75．（23-24九年级上·青海海东·阶段练习）对于实数，新定义一种运算“”，． 例如：． (1)计算：______； (2)若与的值相等，求的值． 【答案】(1) (2)的值为1或或4 【分析】（1）利用新定义进行计算； （2）讨论：当时得到，当时得到，当时得到，然后分别解方程确定满足条件的值． 【详解】（1）解：2※； 故答案为； （2）当时，， 整理得，解得，（舍去）， 当时，， 整理得，解得，（舍去）， 当时， 整理得，解得（舍去），， 综上所述，的值为1或或4． 【点睛】本题考查了解一元二次方程公式法：用求根公式解一元二次方程的方法是公式法．也考查了实数的运算和因式分解法解方程． 76．（23-24九年级上·山东枣庄·阶段练习）在实数范围内定义一种新运算“△”，其规则为，根据这个规则，求 (1)的值； (2)中x的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据，用的平方减去的平方，求出的值是多少即可； （2）根据，可得，据此求出的值是多少即可． 【详解】（1）解：， ； （2）， ， ， 解得：． 【点睛】本题主要考查了定义新运算，以及实数的运算，解一元二次方程，解题关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行． 77．（23-24九年级上·福建厦门·期中）定义：若关于x的一元二次方程的两个实数根为，（）．分别以，为横纵坐标得到点，则称点M为该一元二次方程的衍生点． (1)若方程为，写出该一元二次方程的衍生点M的坐标； (2)关于x的一元二次方程，当它的衍生点M距原点最近时，求出此时m的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）解方程的两根，即可得出结果； （2）根据点M坐标特点，判断出点M在直线上，然后当于点M时，取得最小值． 【详解】（1）解： 解得，， ∴； （2）解： 解得：， ∵， ∴点M在直线l：上， ∴当于点M时，取得最小值． 如图，设直线l：分别交x轴、y轴于点A、B，作于点M、于点H，则，    ∴， 又∵， ∴是等腰直角三角形， ∴°， ∴， ∴， ∴， ∴ ． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，一次函数的性质等知识点，见一元二次方程，利用因式分解法求解，最短距离，垂线段距离最短，利用数形结合的思想求解是解题关键． 78．（23-24九年级上·河南周口·阶段练习）我们定义：如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”． (1)请说明方程是“倍根方程”； (2)若是“倍根方程”，则m、n应满足怎样的关系?说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)或 【分析】（1）因式分解法解一元二次方程，进而根据定义进行判断即可； （2）因式分解法解一元二次方程，进而根据定义得其中一个根是另一个根的2倍，即可求解． 【详解】（1）解：， 解得：， ， 2是1的2倍， 方程是倍根方程； （2）解： 解得：， ， 当时，， 当时，． 【点睛】本题考查了倍根方程的定义，解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． 79．（23-24九年级上·陕西西安·阶段练习）定义：如果关于的一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“完美方程”． (1)下面方程是“完美方程”的是_________．（填序号） ①  ②  ③ (2)已知是关于的“完美方程”，若是此“完美方程”的一个根，求的值． 【答案】(1)③ (2)或 【分析】（1）根据“完美方程”的定义进行求解即可； （2）根据“完美方程”的定义得到，则原方程为，再由是此“完美方程”的一个根，得到，解方程即可． 【详解】（1）解：①， ∵， ∴，则方程不是“完美方程”； ②， ∵， ∴，则方程不是“完美方程”； ③， ∵， ∴，则方程是“完美方程”； 故答案为：③． （2）解：是关于的“完美方程”， ， 原方程为． 是此“完美方程”的一个根， ，即， 解得：或． 【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，一元二次方程解的定义，正确理解题意是解题的关键． 80．（22-23九年级上·福建龙岩·期中）定义：如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程是“邻根方程”．例如：一元二次方程的两个根是，则方程：是“邻根方程”． (1)通过计算，判断下列方程是否是“邻根方程”： ① ②． (2)已知关于x的一元二次方程（k是常数）是“邻根方程”，求k的值． 【答案】(1)①不是“邻根方程”； ②是“邻根方程” (2)或 【分析】（1）分别求解方程①②，即可进行判断； （2）利用因式分解即可求解方程，根据该方程是“邻根方程”即可求解． 【详解】（1）解：①∵ ∴ ∴ ∵，， 故①不是“邻根方程” ② ∴ ∵ ∴②是“邻根方程” （2）解： ∴ ∴ 由题意得：或 解得：或 【点睛】本题以新定义题型为背景，考查了一元二次方程的求解，熟练掌握各求解方法是解题关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$