专题01 一元二次方程重难点题型专训（7大题型+15道拓展培优）-2024-2025学年九年级数学上册重难点专题提升精讲精练（苏科版）

专题01 一元二次方程重难点题型专训（7大题型+15道拓展培优） 题型一 一元二次方程的定义 题型二 根据一元二次方程的定义求参数 题型三 一元二次方程的一般形式 题型四 一元二次方程的解 题型五 赋值法求一元二次方程的解 题型六 降次求代数式的值 题型七 一元二次方程估值计算 知识点01 一元二次方程的概念 只含有一个未知数整式方程，并且都可以化为 (a、b、c为常数）的形式，这样的方程叫做一元二次方程。 注意：满足是一元二次方程的条件有：（1）必须是一个整式方程；（2）只含有一个未知数；（3）未知数的最高次数是2。（三个条件缺一不可） 如何理解 “未知数的最高次数是2”：①该项系数不为“0”； ②未知数指数为“2”； ③若存在某项指数为待定系数，或系数也有待定，则需建立方程或不等式加以讨论。 知识点02 一元二次方程的一般形式 一元二次方程的一般式是 (a、b、c为常数）。 其中ax2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项。 注：①化为一般式时，右边为0；②习惯上将二次项系数a化为正数 知识点03 一元二次方程的根 1、能使一元二次方程成立的未知数的值称为一元二次方程的解，我们也称为一元二次方程的根。 2、一元二次方程的实数根有0个、1个或2个。 3、常考点：为利用根的概念求代数式的值； 4、一元二次方程近似解：两端逼近法。 步骤：借助表格，找到两个相近的数，一个使，一个使，则一元二次方程的解就介于这两个数之间，再进一步逼近，缩小范围获得其近似解。 【经典例题一 一元二次方程的定义】 【例1】（23-24九年级上·山东青岛·阶段练习）下列方程：①，②，③，④，⑤，其中一元二次方程有（    ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 1．（22-23九年级上·天津滨海新·阶段练习）下列方程是关于x的一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·甘肃武威·阶段练习）下列方程中，①7x2+6＝3x；②＝7；③x2﹣x＝0；④2x2﹣5y＝0；⑤﹣x2＝0中是一元二次方程的有 ． 3．（22-23九年级·江苏·假期作业）判定下列方程是不是一元二次方程： (1)； (2)． 【经典例题二 根据一元二次方程的定义求参数】 【例2】（23-24九年级上·山东青岛·期中）关于x的一元二次方程的一次项系数为4，则m的值为（　　） A．3 B．0 C．3或－3 D．0或3 1．（23-24九年级上·河南信阳·阶段练习）若方程是关于x 的一元二次方程，则m的值为（   ） A．2 B． C．2或 D．0 2．（23-24九年级上·全国·课后作业）若关于的方程是一元二次方程，则的取值范围是 ． 3．（2023九年级上·全国·专题练习）已知关于x的方程． (1)m为何值时，此方程是一元一次方程？ (2)m为何值时，此方程是一元二次方程？ 【经典例题三 一元二次方程的一般形式】 【例3】（23-24九年级上·四川自贡·阶段练习）若一元二次方程（为常数），化成一般形式为，则的值分别是（    ） A． B． C． D． 1．（22-23九年级上·河南周口·期中）一元二次方程化成一般形式后，其二次项系数，一次项系数，常数项分别为（    ） A．1，8，4 B． C．5，8，4 D． 2．（23-24九年级上·新疆塔城·阶段练习）将一元二次方程化为二次项系数为“1”的一般形式是 ，其中二次项系数是 ，一次项系数是 ，常数项是 ． 3．（23-24八年级下·全国·假期作业）设a，b，c分别是一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项，根据下列条件写出符合条件的一元二次方程： (1)，且a＋b＋c＝12； (2)． 【经典例题四 一元二次方程的解】 【例4】（23-24九年级上·河南许昌·期末）已知是方程的一个根，则代数式的值为（  ） A．2025 B．2024 C．2023 D．2022 1．（23-24八年级下·安徽滁州·阶段练习）已知关于x的一元二次方程的两个根分别为，3，则方程的两个根分别为（    ） A．，3 B．，3 C．，2 D．，2 2．（2024·广东梅州·一模）已知关于的一元二次方程的一个根是，则 ． 3．（23-24九年级上·全国·课后作业）若是方程的一个根，求代数式的值． 【经典例题五 赋值法求一元二次方程的解】 【例5】（2024·四川宜宾·一模）如果关于x的一元二次方程的一个解是，则代数式的值为（    ）． A． B．23-24 C．2024 D．2025 1、（23-24八年级下·山东烟台·期中）若是关于x的一元二次方程的一个根，则的值等于（    ） A．2027 B．2024 C．2025 D．2026 2、（23-24八年级下·全国·假期作业）已知关于的一元二次方程． (1)若，求证：必是该方程的一个根； (2)当之间的关系是___________时，方程必有一个根是？ 3、（23-24八年级下·江西宜春·期末）已知是方程的一个根．求： (1)的值． (2)代数式的值． 【经典例题六 降次求代数式的值】 【例6】（23-24九年级上·四川德阳·阶段练习）若a是方程的一个根，则的值为（    ） A．23-24 B． C．23-24 D． 1、（2024·江苏南通·二模）若m是方程的一个实数根，则代数式的值为 ． 2、（23-24九年级上·广东梅州·期中）已知是方程的一个根，求的值． 3、（22-23九年级上·山东济宁·期末）已知m是方程的解，求式子的值． 【经典例题七 一元二次方程估值计算】 【例7】（23-24九年级上·陕西榆林·阶段练习）根据下列表格中的对应值，可以判断关于的一元二次方程的一个解的范围是（  ） A． B． C． D． 1．（23-24九年级上·陕西西安·阶段练习）根据表格对应值： 1.1 1.2 1.3 1.4 0.76 判断关于x的方程的一个解x的范围是（    ） A． B． C． D．无法判定 2．（23-24九年级上·宁夏银川·期中）根据下列表格的对应值，由此可判断方程必有一个解x满足 ． x 1 3．（22-23七年级下·云南昆明·期末）无理数是无限不循环小数，因此无理数的小数部分不可能全部写出来． 材料一：估算法确定无理数的小数部分． ∵，即， ∴的整数部分为， ∴的小数部分为； 材料二：面积法求一个无理数的近似值， 已知面积为的正方形的边长是， ∵， ∴设（为的小数部分，）， 画出示意图：由图可知，正方形的面积由四个部分组成，， ∵， ∴， 略去，得方程， 解得， 即， 解决问题： (1)结合你所学的知识，探究的近似值（结果精确到）； (2)请总结估算（为开方开不尽的数）的一般方法． 1．（江苏省无锡市辅仁中学2023-2024学年九年级上学期第一次月考卷数学试题）下列方程中是一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 2．（江苏省宿迁市沭阳县2023-2024学年九年级上学期第二次学情调研数学试题）已知一元二次方程的一个根是，则的值是（    ） A． B． C． D． 3．（江苏省连云港市连云区东港中学2023-2024学年九年级上学期10月月考数学试题）若是方程的一个根，则（    ） A． B． C． D． 4．（江苏省扬州市邗江区邗江区实验学校2023-2024学年九年级上学期10月月考数学试题）关于x的方程的解是，（a，m，b均为常数，），则方程的解是（    ） A．或 B．或1 C．1或3 D．或 5．（专题01一元一次方程（十大类型）（题型专练）-2023-2024学年七年级数学上册《知识解读·题型专练》（人教版））关于的方程的两个实数根为，，若，，满足和，则方程的根是（    ） A．0 B．1， C．2， D．无法确定 6．（江苏省无锡市宜兴市桃溪中学2023-2024学年九年级上学期10月月考数学试题）若关于x的方程：是一元二次方程，则a的取值范围是 ． 7．（江苏省淮安市洪泽区洪泽实验中学2023-2024学年九年级上学期第一次月考数学试题）若a 是的一个根，则的值是 ． 8．（江苏省淮安市清江浦区2023-2024学年九年级上学期期中考试数学试题）如表是某同学求代数式（为常数）的值的情况．根据表格中数据，可知方程的根是 ． 0 1 2 3 … 6 2 0 0 2 6 … 9．（2024年江苏省南通市通州区等2地中考二模数学试题）若m是方程的一个实数根，则代数式的值为 ． 10．（四川省广安市邻水县2023-2024学年九年级上学期期末数学试题）已知a是方程一个根，则的值为 ． 11．（第01讲一元二次方程-【暑假自学课】2023年新九年级数学暑假精品课（苏科版））已知关于y的一元二次方程，求出它各项的系数，并指出参数m的取值范围． 12．（2023年北京市西城区中考一模数学试卷）已知a是方程的一个根，求代数式的值． 13．（江苏省南京市鼓楼区第十二初级中学2022-2023学年九年级上学期10月月考数学试题）已知m为方程的根，求的值． 14．（第02讲解一元二次方程-直接开平方与配方法-【暑假自学课】2022年新九年级数学暑假精品课（人教版））定义一种新运算“a*b”：当a≥b时，a*b＝a＋3b；当a＜b时，a*b＝a－3b，例如：3*（﹣4）＝3＋（﹣12）＝﹣9，（﹣6）*12＝﹣6－36＝﹣42 (1)x2*（x2﹣2）＝30，则x＝ ； (2)小明在计算（﹣3x2＋6x﹣5）*（﹣x2＋2x＋3）随取了一个x的值进行计算，得到的结果是40，小华说小明计算错了，请你说明小华是如何判断的． 15．（吉林省长春外国语学校2020-2021学年八年级上学期第二次月考数学试题）已知多项式． （1）化简多项式A时，小明的结果与其他同学的不同，请你检查小明同学的解题过程，在标出①②③④的几项中出现错误的是 ，并给出正确的解答过程； 正确的解题过程： （2）小晨说：“只要给出的合理的值，即可求出多项式A的值．”小明给出的的值是4，请你求出此时A的值． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 一元二次方程重难点题型专训（7大题型+15道拓展培优） 题型一 一元二次方程的定义 题型二 根据一元二次方程的定义求参数 题型三 一元二次方程的一般形式 题型四 一元二次方程的解 题型五 赋值法求一元二次方程的解 题型六 降次求代数式的值 题型七 一元二次方程估值计算 知识点01 一元二次方程的概念 只含有一个未知数整式方程，并且都可以化为 (a、b、c为常数）的形式，这样的方程叫做一元二次方程。 注意：满足是一元二次方程的条件有：（1）必须是一个整式方程；（2）只含有一个未知数；（3）未知数的最高次数是2。（三个条件缺一不可） 如何理解 “未知数的最高次数是2”：①该项系数不为“0”； ②未知数指数为“2”； ③若存在某项指数为待定系数，或系数也有待定，则需建立方程或不等式加以讨论。 知识点02 一元二次方程的一般形式 一元二次方程的一般式是 (a、b、c为常数）。 其中ax2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项。 注：①化为一般式时，右边为0；②习惯上将二次项系数a化为正数 知识点03 一元二次方程的根 1、能使一元二次方程成立的未知数的值称为一元二次方程的解，我们也称为一元二次方程的根。 2、一元二次方程的实数根有0个、1个或2个。 3、常考点：为利用根的概念求代数式的值； 4、一元二次方程近似解：两端逼近法。 步骤：借助表格，找到两个相近的数，一个使，一个使，则一元二次方程的解就介于这两个数之间，再进一步逼近，缩小范围获得其近似解。 【经典例题一 一元二次方程的定义】 【例1】（23-24九年级上·山东青岛·阶段练习）下列方程：①，②，③，④，⑤，其中一元二次方程有（    ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的概念，根据一元二次方程定义逐项判断，即可解题． 【详解】解：一元二次方程的条件，只含有一个未知数，未知数最高次数为2，等号两边都为整式； ①，，满足一元二次方程的定义，故①是一元二次方程； ②，满足一元二次方程的定义，故②是一元二次方程； ③，为分式，故③为分式方程，不是一元二次方程； ④有2个未知数，故④不是一元二次方程； ⑤，最高次不为2，且等式错误，故⑤不是一元二次方程， 综上所述，共有2个一元二次方程， 故选：B． 1．（22-23九年级上·天津滨海新·阶段练习）下列方程是关于x的一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】含有一个未知数，且未知数的最高次数是2，这样的整式方程是一元二次方程，根据定义逐一判断即可. 【详解】解：当时，方程不是一元二次方程，故A不符合题意； 是分式方程，故B不符合题意； 整理得：，是一元一次方程，故C不符合题意； ，只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2，是一元二次方程，故D符合题意； 故选D 【点睛】本题考查的是一元二次方程的定义，掌握“一元二次方程的定义”是解题的关键. 2．（23-24九年级上·甘肃武威·阶段练习）下列方程中，①7x2+6＝3x；②＝7；③x2﹣x＝0；④2x2﹣5y＝0；⑤﹣x2＝0中是一元二次方程的有 ． 【答案】①③⑤． 【分析】一元二次方程必须满足四个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0；（3）是整式方程；（4）含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案． 【详解】①③⑤是一元二次方程，②是分式方程，④是二元二次方程， 故答案为：①③⑤． 【点睛】此题考查一元二次方程的概念，解题关键在于掌握判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2． 3．（22-23九年级·江苏·假期作业）判定下列方程是不是一元二次方程： (1)； (2)． 【答案】(1)是 (2)不是 【分析】（1）先利用等式的性质对等式进行变形，再进行判断． （2）先利用等式的性质对等式进行变形，再进行判断． 【详解】（1）整理原方程，得 ， 所以． 其中，二次项的系数，所以原方程是一元二次方程． （2）整理原方程，得 ， 所以． 整理后不含二次项，即二次项的系数为，所以原方程不是一元二次方程． 【点睛】本题考查了等式的性质和一元二次方程的定义，识别一元二次方程必须抓住三个条件：（1）整式方程；（2）含有一个未知数；（3）未知数的最高次数是2．不满足其中任何一个条件的方程都不是一元二次方程，缺一不可． 【经典例题二 根据一元二次方程的定义求参数】 【例2】（23-24九年级上·山东青岛·期中）关于x的一元二次方程的一次项系数为4，则m的值为（　　） A．3 B．0 C．3或－3 D．0或3 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，及一元二次方程的定义，根据一元二次方程的一般形式可知，一元二次方程的二次项系数不能为0以及题干中方程的二次项系数是确定，另外一次项系数等于4，确定，据此解答． 【详解】解：∵一元二次方程的一次项系数等于4， ∴ 即， ∴或． 又∵二次项系数不为0， ∴， 解得， ∴． 故选：A． 1．（23-24九年级上·河南信阳·阶段练习）若方程是关于x 的一元二次方程，则m的值为（   ） A．2 B． C．2或 D．0 【答案】B 【分析】根据一元二次方程的定义，一元二次方程必须满足两个条件：未知数的最高次数是2：二次项系数不为0，可得答案． 【详解】解：由题意得：，解得， 故选：B． 【点睛】本题利用了一元二次方程的概念，只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是（且），特别要注意的条件，这是在做题过程中容易忽视的知识点． 2．（23-24九年级上·全国·课后作业）若关于的方程是一元二次方程，则的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】依据一元二次方程的定义即形如求解即可． 【详解】解：关于的方程是一元二次方程， 且， 解得：且． 故答案为：且． 【点睛】本题主要考查的是一元二次方程的定义，掌握一元二次方程的定义是解题的关键． 3．（2023九年级上·全国·专题练习）已知关于x的方程． (1)m为何值时，此方程是一元一次方程？ (2)m为何值时，此方程是一元二次方程？ 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据方程是一元一次方程二次项系数为0列式求解即可得到答案； （2）根据方程为一元二次方程保证二次项系数不为0列式求解即可得到答案； 【详解】（1）解：∵关于x的方程是一元一次方程， ∴， 解得； （2）解：∵关于x的方程是一元二次方程， ∴， 解得； 【点睛】本题考查一元二次方程的定义及一元一次方程的定义，解题的关键是熟练掌握定义列等式或不等式． 【经典例题三 一元二次方程的一般形式】 【例3】（23-24九年级上·四川自贡·阶段练习）若一元二次方程（为常数），化成一般形式为，则的值分别是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是一元二次方程的一般形式，要确定二次项系数，一次项系数和常数项，必须先把一元二次方程化成一般形式，根据完全平方公式、移项法则把原方程化为一般形式，根据题意列出方程，解方程得到答案． 【详解】解：， 则， ∴， 由题意得：，， 解得：，， 故选：． 1．（22-23九年级上·河南周口·期中）一元二次方程化成一般形式后，其二次项系数，一次项系数，常数项分别为（    ） A．1，8，4 B． C．5，8，4 D． 【答案】B 【分析】方程经过展开、移项、整理可得一般形式，接下来就可得到二次项系数、 一次项系数和常数项． 【详解】解：将左边展开得： ， 移项、合并同类项得：， ∴二次项系数，一次项系数，常数项分别为， 故选：B． 【点睛】本题考查一元二次方程的一般形式（a、b、c为常数，），其特征是等式左边是含一个未知数的二次三项式，右边是0，其中叫做二次项，a叫做二次项系数，叫做一次项，b叫做一次项系数，c叫做常数项． 2．（23-24九年级上·新疆塔城·阶段练习）将一元二次方程化为二次项系数为“1”的一般形式是 ，其中二次项系数是 ，一次项系数是 ，常数项是 ． 【答案】 x2-2x-15=0 1 -2； -15 【分析】通过去括号，移项，合并同类项，然后两边同时除以二次项系数，把方程化成二次项系数为1的一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0）．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项． 【详解】解：将一元二次方程化为二次项系数为“1”的一般形式是：x2-2x-15=0，各项的系数分别是：1，-2，-15． 故答案是：x2-2x-15=0；1；-2；-15． 【点睛】本题考查一元二次方程化为一般形式，通过去括号，移项，合并同类项，然后同时除以二次项的系数，得到二次项系数是1的一元二次方程，注意移项时符号的变化． 3．（23-24八年级下·全国·假期作业）设a，b，c分别是一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项，根据下列条件写出符合条件的一元二次方程： (1)，且a＋b＋c＝12； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】解：（1）设a＝3k，b＝4k，c＝5k（），则3k＋4k＋5k＝12， 解得k＝1，∴a＝3，b＝4，c＝5， ∴该一元二次方程为． （2）由题意得a＝2，b＝4，c＝5， ∴该一元二次方程为． 【经典例题四 一元二次方程的解】 【例4】（23-24九年级上·河南许昌·期末）已知是方程的一个根，则代数式的值为（  ） A．2025 B．2024 C．2023 D．2022 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程根的定义、代数式求值等知识，由题意，得到，恒等变形，整体代入代数式即可得到答案，熟记一元二次方程根的定义是解决问题的关键． 【详解】解：是方程的一个根， ，即， ， 故选：A． 1．（23-24八年级下·安徽滁州·阶段练习）已知关于x的一元二次方程的两个根分别为，3，则方程的两个根分别为（    ） A．，3 B．，3 C．，2 D．，2 【答案】C 【分析】根据方程的两个根分别为，3，得到，或，即可求解， 本题考查了，一元二次方程的解，解题的关键是：理解方程的解． 【详解】解：∵的两个根分别为，3， ∴中，，或， 解得：或， 故选：C． 2．（2024·广东梅州·一模）已知关于的一元二次方程的一个根是，则 ． 【答案】 【分析】解题考查一元二次方程根的定义（使方程左右两边相等的未知数的值），解题的关键是根据一元二次方程根的定义得，即可得解． 【详解】解：∵关于的一元二次方程的一个根是， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 3．（23-24九年级上·全国·课后作业）若是方程的一个根，求代数式的值． 【答案】 【分析】将a代入方程再将方程变换，代入所求代数式即可求解； 【详解】解：∵是方程的一个根， ∴， ∴， ∴ ． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的根、代数式化简求值，将方程正确进行变换是解题的关键． 【经典例题五 赋值法求一元二次方程的解】 【例5】（2024·四川宜宾·一模）如果关于x的一元二次方程的一个解是，则代数式的值为（    ）． A． B．23-24 C．2024 D．2025 【答案】D 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解．把代入，可得，再代入，即可求解． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程的一个解是， ∴， 即， ∴． 故选：D 1、（23-24八年级下·山东烟台·期中）若是关于x的一元二次方程的一个根，则的值等于（    ） A．2027 B．2024 C．2025 D．2026 【答案】D 【分析】本题考查一元二次方程的解，掌握方程解的概念和整体代入思想是解题的关键． 将代入一元二次方程，求得，整体代入即可． 【详解】解：将代入一元二次方程得， ，即 ∴． 故选：D． 2、（23-24八年级下·全国·假期作业）已知关于的一元二次方程． (1)若，求证：必是该方程的一个根； (2)当之间的关系是___________时，方程必有一个根是？ 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查的是一元二次方程的解的含义，理解解的含义是解本题的关键； （1）由，可得，从而可得答案； （2）由时，可得，从而可得答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴当时，， ∴当时，方程成立， ∴是方程的一个解， （2）∵时，有， ∴当时，方程必有一个根是． 3、（23-24八年级下·江西宜春·期末）已知是方程的一个根．求： (1)的值． (2)代数式的值． 【答案】(1)； (2)2019． 【分析】（1）根据一元二次方程的解的定义得到，则，然后把代入原式即可求解； （2）可化简得原式，然后通分后再次代入后化简即可． 【详解】（1）解：是方程的一个根， ， ， ； （2）解：原式 ． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解、代数式求值，解题的关键是把根据方程的解的定义得到的式子进行变形． 【经典例题六 降次求代数式的值】 【例6】（23-24九年级上·四川德阳·阶段练习）若a是方程的一个根，则的值为（    ） A．23-24 B． C．23-24 D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的解, 先根据一元二次的定义得到，再用a表示得到，然后利用整体代入的计算所求代数式的值． 【详解】解：∵a是方程的一个根， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 1、（2024·江苏南通·二模）若m是方程的一个实数根，则代数式的值为 ． 【答案】2020 【分析】本题考查了一元二次方程的根，代数式求值，熟练掌握知识点是解题的关键． 由题意得，则，然后整体代入化简求值即可． 【详解】解：由题意得， 则， ∴， ∴ 故答案为：2020． 2、（23-24九年级上·广东梅州·期中）已知是方程的一个根，求的值． 【答案】 【分析】 由是方程的一个根，得到，将化为，代入后，即可求解， 本题考查了一元二次方程的解，代数式的化简求值，解题的关键是：应用提公因式法，将代数式进行转化． 【详解】 解：∵是方程的一个根， ∴，即：， ∴ ， 故答案为：． 3、（22-23九年级上·山东济宁·期末）已知m是方程的解，求式子的值． 【答案】 【分析】根据m是方程的解，得到，利用整体思想代入代数式求值即可． 【详解】解：∵m是方程的解， ∴，即：， ∴ ． 【点睛】本题考查一元二次方程的解，代数式求值．熟练掌握方程的解是使等式成立的未知数的值，以及利用整体思想进行求解，是解题的关键． 【经典例题七 一元二次方程估值计算】 【例7】（23-24九年级上·陕西榆林·阶段练习）根据下列表格中的对应值，可以判断关于的一元二次方程的一个解的范围是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据表格中与的值的特征，确定出解的范围即可． 【详解】解：根据表格得： 当时，， 当时，， 则关于的一元二次方程的一个解的范围是． 故选：C． 【点睛】此题考查了估算一元二次方程的近似解，弄清表格中的数据是解本题的关键． 1．（23-24九年级上·陕西西安·阶段练习）根据表格对应值： 1.1 1.2 1.3 1.4 0.76 判断关于x的方程的一个解x的范围是（    ） A． B． C． D．无法判定 【答案】C 【分析】本题主要考查估算一元二次方程的近似解，关键观察函数值的变化． 【详解】解：当时，， 当时，， 所以方程的解的范围为， 故选C． 2．（23-24九年级上·宁夏银川·期中）根据下列表格的对应值，由此可判断方程必有一个解x满足 ． x 1 【答案】/ 【分析】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．利用表中数据得到时，，时，，则可判断时，有一个解满足． 【详解】解：时，， 时，， 时，存在， 即方程必有一个解x满足， 故答案为：． 3．（22-23七年级下·云南昆明·期末）无理数是无限不循环小数，因此无理数的小数部分不可能全部写出来． 材料一：估算法确定无理数的小数部分． ∵，即， ∴的整数部分为， ∴的小数部分为； 材料二：面积法求一个无理数的近似值， 已知面积为的正方形的边长是， ∵， ∴设（为的小数部分，）， 画出示意图：由图可知，正方形的面积由四个部分组成，， ∵， ∴， 略去，得方程， 解得， 即， 解决问题： (1)结合你所学的知识，探究的近似值（结果精确到）； (2)请总结估算（为开方开不尽的数）的一般方法． 【答案】(1)； (2)求得的整数部分，即可得到． 【分析】（）利用材料二中的方法画出图形，写出过程即可； （）根据材料二即可总结得出； 本题考查了解一元二次方程，无理数的估算，解题的关键是理解题目给出的方法，熟练进行计算． 【详解】（1）解：（）我们知道面积是的正方形的边长是， ∵， ∴设，可画出如图示意图： 由图中面积计算，， ∵， ∴， ∵是的小数部分，小数部分的平方很小，直接省略， ∴得方程， 解得， ∴； （2）解：估算（为开方开不尽的数）的一般方法：求得的整数部分，即可得到． 1．（江苏省无锡市辅仁中学2023-2024学年九年级上学期第一次月考卷数学试题）下列方程中是一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，能熟记一元二次方程的定义是解此题的关键，根据一元二次方程的定义逐个判断即可，注意：只含有一次未知数，并且所含未知数的项的最高次数是的整式方程，叫一元二次方程． 【详解】解：A、，化简后得，是一元一次方程，故选项不符合题意； B、，当，不是一元二次方程，故选项不符合题意； C、，含有两个未知数，不是一元二次方程，故选项不符合题意； D、，化简后得，是一元二次方程，故选项符合题意； 故选：D． 2．（江苏省宿迁市沭阳县2023-2024学年九年级上学期第二次学情调研数学试题）已知一元二次方程的一个根是，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了一元二次方程的解，把代入方程求出，然后利用整体代入求值即可，解题的关键是熟记把方程的解代入原方程，等式左右两边相等． 【详解】解：将代入原方程得：， ∴， 则， 故选：． 3．（江苏省连云港市连云区东港中学2023-2024学年九年级上学期10月月考数学试题）若是方程的一个根，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程解的定义，代数式求值，把代入方程得到，再把代入代数式即可求解，掌握一元二次方程解的定义是解题的关键． 【详解】解：∵是方程的一个根， ∴， ∴， ∴， 故选：． 4．（江苏省扬州市邗江区邗江区实验学校2023-2024学年九年级上学期10月月考数学试题）关于x的方程的解是，（a，m，b均为常数，），则方程的解是（    ） A．或 B．或1 C．1或3 D．或 【答案】D 【分析】本题考查方程的解． 把方程中的看成整体，根据关于x的方程的解可得或，求解即可． 【详解】∵关于x的方程的解是，， ∴方程变形为， 此方程的中或， 解得，， ∴方程的解为：，． 故选：D 5．（专题01一元一次方程（十大类型）（题型专练）-2023-2024学年七年级数学上册《知识解读·题型专练》（人教版））关于的方程的两个实数根为，，若，，满足和，则方程的根是（    ） A．0 B．1， C．2， D．无法确定 【答案】C 【分析】根据关于的方程的两个实数根为，，若，，满足和，即可确定方程的根． 【详解】解：关于的方程的两个实数根为，，若，，满足和， 方程的根为，， 故选：C． 【点睛】本题考查了一元二次方程的根，熟练掌握一元二次方程根的特征是解题的关键． 6．（江苏省无锡市宜兴市桃溪中学2023-2024学年九年级上学期10月月考数学试题）若关于x的方程：是一元二次方程，则a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】方程可整理为，再根据一元二次方程定义直接列式即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴ ∵是关于的一元二次方程， ∴， 则， 故答案为：． 【点睛】本题考查根据一元二次方程的定义，掌握一元二次方程的定义：是解决问题的关键． 7．（江苏省淮安市洪泽区洪泽实验中学2023-2024学年九年级上学期第一次月考数学试题）若a 是的一个根，则的值是 ． 【答案】2025 【分析】先根据一元二次方程解的定义得到，然后利用整体代入的方法得到的值． 【详解】 a 是的一个根， ， ， ， 故答案为：2025． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解和整体代入的数学思想，准确理解方程根的概念是解题的关键． 8．（江苏省淮安市清江浦区2023-2024学年九年级上学期期中考试数学试题）如表是某同学求代数式（为常数）的值的情况．根据表格中数据，可知方程的根是 ． 0 1 2 3 … 6 2 0 0 2 6 … 【答案】， 【分析】观察表格，找出使方程左右两边相等的的值，根据方程解的定义进行解答即可． 【详解】解：通过观察表格可知：当和3时，， ∴方程的根是：，， 故答案为：，． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解，解题关键是熟练掌握一元二次方程根的定义． 9．（2024年江苏省南通市通州区等2地中考二模数学试题）若m是方程的一个实数根，则代数式的值为 ． 【答案】2020 【分析】本题考查了一元二次方程的根，代数式求值，熟练掌握知识点是解题的关键． 由题意得，则，然后整体代入化简求值即可． 【详解】解：由题意得， 则， ∴， ∴ 故答案为：2020． 10．（四川省广安市邻水县2023-2024学年九年级上学期期末数学试题）已知a是方程一个根，则的值为 ． 【答案】2023 【分析】本题主要考查了一元二次方程解的定义，分式的求值，一元二次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值，据此可得，则，则原式可变形为，进一步变形得到，即，据此可得答案． 【详解】解：∵a是方程一个根， ∴， ∴， ∴ ， 故答案为：． 11．（第01讲一元二次方程-【暑假自学课】2023年新九年级数学暑假精品课（苏科版））已知关于y的一元二次方程，求出它各项的系数，并指出参数m的取值范围． 【答案】二次项系数是：，一次项系数是：，常数项是：；参数m的取值范围是 【分析】先将原方程化为一般式，再回答各项系数，根据“二次项系数不为零”可以求m的取值范围． 【详解】解：将原方程整理为一般形式，得：， 由于已知条件已指出它是一个一元二次方程，所以存在一个隐含条件，即． 可知它的各项系数分别是 二次项系数是：， 一次项系数是：， 常数项是：． 参数m的取值范围是． 【点睛】本题考查一元二次方程的一般式和系数、二次项系数不为零，掌握化一般式的方法是解题的关键．注意：在含参数的方程中，要认定哪个字母表示未知数，哪个字母是参数，才能正确处理有关的问题． 12．（2023年北京市西城区中考一模数学试卷）已知a是方程的一个根，求代数式的值． 【答案】，3 【分析】根据方程根的定义，化简代入计算即可． 【详解】解： ， ∵a是方程的一个根， ∴， 即．     ∴原式． 【点睛】本题考查了一元二次方程的根即使得方程左右两边相等的未知数的值，正确理解定义是解题的关键． 13．（江苏省南京市鼓楼区第十二初级中学2022-2023学年九年级上学期10月月考数学试题）已知m为方程的根，求的值． 【答案】0 【分析】根据一元二次方程的解的定义得到，则，然后利用降次的方法对原式进行化简即可． 【详解】解：∵m是方程的一个根， ∴， ∴， ∴ 【点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．也考查了代数式的变形． 14．（第02讲解一元二次方程-直接开平方与配方法-【暑假自学课】2022年新九年级数学暑假精品课（人教版））定义一种新运算“a*b”：当a≥b时，a*b＝a＋3b；当a＜b时，a*b＝a－3b，例如：3*（﹣4）＝3＋（﹣12）＝﹣9，（﹣6）*12＝﹣6－36＝﹣42 (1)x2*（x2﹣2）＝30，则x＝ ； (2)小明在计算（﹣3x2＋6x﹣5）*（﹣x2＋2x＋3）随取了一个x的值进行计算，得到的结果是40，小华说小明计算错了，请你说明小华是如何判断的． 【答案】(1)±3 (2)见解析 【分析】（1）认真阅读题目，理解新运算的定义，然后计算即可； （2）先判断出（﹣3x2＋6x﹣5）与（﹣x2＋2x＋3）大小关系，然后根据新运算定义计算． 【详解】（1）解：∵x2*（x2﹣2）＝30，x2≥（x2﹣2） ∴x2＋3（x2－2）＝30，解得x＝±3， 故答案为：±3． （2）解：∵（﹣3x2+6x﹣5）－（﹣x2+2x+3）＝﹣2x2+4x﹣8＝﹣2（x﹣1）2﹣6＜0， ∴﹣3x2+6x﹣5＜﹣x2+2x+3， （﹣3x2+6x﹣5）*（﹣x2+2x+3）＝（﹣3x2+6x﹣5）﹣3（﹣x2+2x+3）＝﹣3x2+6x﹣5+3x2﹣6x﹣9＝﹣14， ∵化简后的结果与x取值无关， ∴不论x取何值，结果都应该等于﹣14，不可能等于40， ∴小华说小明计算错误． 【点睛】本题考查解一元二次方程的能力和新定义的应用，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． 15．（吉林省长春外国语学校2020-2021学年八年级上学期第二次月考数学试题）已知多项式． （1）化简多项式A时，小明的结果与其他同学的不同，请你检查小明同学的解题过程，在标出①②③④的几项中出现错误的是 ，并给出正确的解答过程； 正确的解题过程： （2）小晨说：“只要给出的合理的值，即可求出多项式A的值．”小明给出的的值是4，请你求出此时A的值． 【答案】（1）① ；；（2）x=0或4，则A=-8或12 【分析】（1）根据完全平方公式，单项式乘单项式运算即可求解； （2）先解方程，再将方程的解代入题（1）所求代数式即可求解． 【详解】解：（1）正确的解答过程； ∴出现错误的是① （2）∵ ∴ 或 ∴A＝或A＝ 【点睛】本题主要考查完全平方公式、解一元二次方程、代数式化简求解，解题的关键是熟练掌握各运算法则和解题方法． 学科网（北京）股份有限公司 $$