第一章 一元二次方程 重难点检测卷-2024-2025学年九年级数学上册重难点专题提升精讲精练（苏科版）

第一章 一元二次方程 重难点检测卷 注意事项： 本试卷满分100分，考试时间120分钟，试题共28题。答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置 1、 选择题（10小题，每小题2分，共20分） 1．（23-24九年级上·江苏无锡·期末）下列方程是一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 2．（21-22九年级·全国·假期作业）将方程改写成的形式，则，，的值分别为（　　） A．2，4，7 B．2，4， C．2，，7 D．2，， 3．（2023·江苏盐城·模拟预测）某地区2017年底有贫困人口9万人，通过社会各界的努力，2019年底贫困人口减少至1万人．设2017年底至2019年底该地区贫困人口的年平均下降率为x，根据题意列方程得（　　） A． B． C． D． 4．（2024·江苏南通·二模）若关于的一元二次方程的一个解是，则的值是（   ） A．2025 B．2024 C．2023 D．2022 5．（23-24九年级下·江苏连云港·期中）关于x的一元二次方程一个实数根为2024，则方程一定有实数根（    ） A．2024 B． C．－2024 D． 6．（2024·江苏南京·一模）若关于的方程有两个不相等的实数根，则（　　） A． B． C． D． 7．（2023·江苏南京·二模）若关于的一元二次方程（m为常数）在的范围内有实数根，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 8．（23-24九年级上·江苏无锡·期中）如图，在矩形中，，，点从点出发沿以的速度向点移动，一直到达点为止;同时，点从点出发沿边以的速度向点移动． 设运动时间为，当时，（ ）    A． B．或4 C．或 D． 9．（2024·江苏常州·模拟预测）定义[x]为不大于实数x的最大整数，如．函数的图象如图所示，则方程的根为（　　） A． B． C．， D． ，， 10．（21-22八年级下·安徽合肥·期中）对于一元二次方程，下列说法： ①若，则； ②若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根； ③若是方程的一个根，则一定有成立； ④若是一元二次方程的根，则 其中正确的：（    ） A．只有① B．只有①② C．①②③ D．只有①②④ 二、填空题（8小题，每小题2分，共16分） 11．（2023·江苏徐州·模拟预测）若是方程 的一个实数根，则 ． 12．（23-24九年级上·江苏无锡·期末）若方程是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是 ． 13．（23-24九年级上·江苏盐城·期末）为了丰富全县学生的业余生活，县文体中心图书馆计划三个季度购进新书21000册，已知第一个季度购进5000册，求文体中心图书馆后两个季度购书的平均增长率，若后面两个季度购书的平均增长率为，则根据题意可列方程为 ． 14．（2024·江苏南京·三模）设是方程的两个根，则 ． 15．（2024·江苏连云港·二模）定义新运算“”：对于任意实数，，都有，其中等式右边是通常的加法和乘法运算．例如：．若关于的方程有两个实数根，则实数的取值范围是 ． 16．（2024·江苏宿迁·二模）设是关于x的一元二次方程的两个实数根，则的值为 ． 17．（2024·江苏苏州·一模）如图，矩形和正方形的顶点A，D均在x轴正半轴上，顶点C在y轴正半轴上，顶点F在边上，顶点B，E都在反比例函数的图象上，若点B的坐标为，则点E的坐标为 ． 18．（2021·山东临沂·一模）将关于x的一元二次方程变形为，就可以将表示为关于x的一次多项式，从而达到“降次”的目的，又如…，我们将这种方法称为“降次法”，通过这种方法可以化简次数较高的代数式．根据“降次法”，已知：，且．则的值为 ． 三、解答题（10小题，共64分） 19．（23-24八年级下·江苏苏州·期中）用适当的方法解下列方程： (1)； (2)． 20．（2024·山东滨州·一模）先化简，再求值：，其中是方程． 21．（23-24九年级下·江苏泰州·阶段练习）嘉嘉与淇淇两位同学解方程的过程如下： 嘉嘉： 两边同除以，得 ， 则． 淇淇： 移项，得， 提取公因式，得． 则或， 解得． (1)嘉嘉的解法_______；淇淇的解法_______；（填“正确”或“不正确”） (2)请你选择合适的方法尝试解一元二次方程． 22．（22-23九年级上·江苏常州·期中）如图，要利用一面墙（墙长为25米）建一个矩形场地，用100米的围栏围成三个大小相同的矩形，设矩形的边长为米，矩形场地的总面积为平方米．    (1)请用含有x的式子表示y（不要求写出x的取值范围）； (2)当x为何值时，矩形场地的总面积为400平方米？ 23．（23-24九年级下·江苏连云港·阶段练习）已知关于x的一元二次方程． (1)若该方程有一个根是，求m的值； (2)求证：无论m取什么值，该方程总有两个实数根． 24．（2024·江苏苏州·二模）“今天立夏，过来吃碗三虾面．”在百年老字号裕面堂内，一位老苏州说，苏州人立夏传统“尝三鲜”是蚕豆、苋菜、蒜苗，今年立夏提前吃碗夏令三虾面尝尝鲜．为了抓住这一商机，两商户决定生产预制面．据统计，甲商户每小时生产600包，乙商户每小时生产800包，甲乙两商户每天共生产16小时，且每天生产的三虾面总包数为11400包． (1)甲、乙两商户每天分别生产多少小时？ (2)由于三虾面在网上直播热销，客户纷纷追加订单，两商户每天均增加了生产时间，其中甲商户比乙商户多增加2小时，在整个生产过程中，甲商户每小时产量不变，而乙商户由于机器损耗及人员不足，每增加一个小时，每小时产量将减少140包，这样两商户一天生产的面条总量将比原来多1200包．求：甲商户增加的生产时间为多少小时？ 25．（2024·安徽合肥·二模）高乐同学在手工课上利用等边三角形、白色正方形和彩色正方形按一定规律搭建图形，观察图形，回答下列问题： (1)图1的彩色正方形有：； 图2的彩色正方形有：； 图3的彩色正方形有：； 图4的彩色正方形有：…； 图n的彩色正方形有： (2)图1中，白色正方形比彩色正方形多1个；图2中，白色正方形比彩色正方形多2个：图3 中，白色正方形比彩色正方形多3个； …；图n 的白色正方形有 个． (3)若图n 中彩色正方形的个数比等边三角形的个数多45个，求图n 中白色正方形的个数． 26．（2024·江苏泰州·一模）大约于公元前2000年，古巴比伦人用“长”，“宽”及“面积”来代表未知数及它们的乘积．如图1，长代表，宽代表，长方形的面积代表．大约于公元830年，阿尔·花拉子米（）在《代数学》中介绍了用几何学方式求方程的解． (1)某实践小组对《代数学》的内容进行研习后，也尝试用几何学方式解，并形成以下操作步骤： 第一步：将方程变形成； 第二步：构造边长为的正方形（如图2）； 第三步：求得右下角正方形面积的值是①； 第四步：用两种方法表示图中大正方形的面积 将代入， 可得②， ， ③． 请补全该实践小组求解过程中①②③所缺的内容； (2)请参照上述方法解方程． 27．（2023九年级上·江苏·专题练习）已知关于x的一元二次方程． (1)求证：无论m取何值，方程都有两个不相等的实数根； (2)如果方程的两个实数根为，且为整数，求整数m所有可能的值． 28．（2023·江苏扬州·模拟预测）为了探究函数在图象不明的情况下，函数值的变化情况，我们可以这样定义：如果点、在函数的图象上，那么我们把称为该函数的“单位铅直高”．例如：函数，当时，；当时，，，则函数“单位铅直高” (1)正比例函数的“单位铅直高”______； (2)若点，在反比例函数的图象上，当这个反比例函数的“单位铅直高”，求m的值； (3)已知二次函数，求这个二次函数的“单位铅直高”t的最小值； (4)求反比例函数的“单位铅直高”t的最大值． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第一章 一元二次方程 重难点检测卷 注意事项： 本试卷满分100分，考试时间120分钟，试题共28题。答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置 1、 选择题（10小题，每小题2分，共20分） 1．（23-24九年级上·江苏无锡·期末）下列方程是一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了一元二次方程，只含有一个未知数，未知数最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程，据此进行判断即可． 【详解】解：A．是一元一次方程，故选项错误，不符合题意； B．是分式方程，故选项错误，不符合题意； C．是一元二次方程，故选项正确，符合题意； D．含有两个未知数，不是一元二次方程，故选项错误，不符合题意． 故选：C． 2．（21-22九年级·全国·假期作业）将方程改写成的形式，则，，的值分别为（　　） A．2，4，7 B．2，4， C．2，，7 D．2，， 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元二次方程的一般形式，掌握“任何一个关于的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式（）．这种形式叫一元二次方程的一般形式．其中叫做二次项，叫做二次项系数；叫做一次项，是一次项系数；叫做常数项”是解题的关键． 【详解】解：∵可化为， ∴它的二次项系数，一次项系数和常数项分别为2，，7， 故选：C． 3．（2023·江苏盐城·模拟预测）某地区2017年底有贫困人口9万人，通过社会各界的努力，2019年底贫困人口减少至1万人．设2017年底至2019年底该地区贫困人口的年平均下降率为x，根据题意列方程得（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，得到2年内变化情况的等量关系是解决本题的关键． 等量关系为：2017年贫困人口（1−下降率）＝2019年贫困人口，把相关数值代入计算即可． 【详解】解：设这两年全省贫困人口的年平均下降率为x，根据题意得： ， 故选：B． 4．（2024·江苏南通·二模）若关于的一元二次方程的一个解是，则的值是（   ） A．2025 B．2024 C．2023 D．2022 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的解，熟知一元二次方程的解即为能使方程成立的未知数的值是解本题的关键． 把代入原方程，可得，即可求解． 【详解】解：∵一元二次方程的一个解是， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 5．（23-24九年级下·江苏连云港·期中）关于x的一元二次方程一个实数根为2024，则方程一定有实数根（    ） A．2024 B． C．－2024 D． 【答案】D 【分析】此题考查了一元二次方程的解．根据一元二次方程根的定义：将代入方程中，再两边同时除以，可得结论． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程一个实数根为2024， ∴， ∴， ∴， ∴是方程一定有实数根． 故选：D 6．（2024·江苏南京·一模）若关于的方程有两个不相等的实数根，则（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：①，方程有两个不相等的实数根，②，方程有两个相等的实数根，③，方程没有实数根．由此计算即可得出答案． 【详解】解：关于的方程有两个不相等的实数根， ∴化为一般式为： ， ， 故选：C． 7．（2023·江苏南京·二模）若关于的一元二次方程（m为常数）在的范围内有实数根，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根． 先把方程化为一般式，则根据根的判别式的意义得，再解方程得，，接着根据题意得或，然后分别解两不等式，从而得到取值范围． 【详解】解：方程化为一般式为， 根据题意得， 解得， 解方程得，， 方程在的范围内有实数根， 或， 解得， 解得， 取值范围为． 故选：A． 8．（23-24九年级上·江苏无锡·期中）如图，在矩形中，，，点从点出发沿以的速度向点移动，一直到达点为止;同时，点从点出发沿边以的速度向点移动． 设运动时间为，当时，（ ）    A． B．或4 C．或 D． 【答案】C 【点评】此题考查了一元二次方程的运用．利用作垂线，构造直角三角形，运用勾股定理列方程是解题关键． 作，垂足为H，设运动时间为t秒，用t表示线段长，用勾股定理列方程求解． 【详解】解：设P，Q两点从出发经过t秒时，点P，Q间的距离是, 作，垂足为H，    则，，. ， 可得：， 解得，． 答：P，Q两点从出发经过或秒时，点P，Q间的距离是. 故答案为：C. 9．（2024·江苏常州·模拟预测）定义[x]为不大于实数x的最大整数，如．函数的图象如图所示，则方程的根为（　　） A． B． C．， D． ，， 【答案】B 【分析】本题考查了函数的图象，解一元二次方程．根据新定义和函数图象进行讨论是解题的关键． 根据新定义和函数图象分情况讨论：当时，；当时，；当时，；当时，；然后分别求关于x的一元二次方程即可． 【详解】解：由题意知，当时，，解得或，均不合题意； 当时，，解得或（舍去）； 当时，，方程没有实数解； 当时，，方程没有实数解； ∴方程的解为0， 故选：B． 10．（21-22八年级下·安徽合肥·期中）对于一元二次方程，下列说法： ①若，则； ②若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根； ③若是方程的一个根，则一定有成立； ④若是一元二次方程的根，则 其中正确的：（    ） A．只有① B．只有①② C．①②③ D．只有①②④ 【答案】D 【分析】根据一元二次方程解的含义、一元二次方程根的判别式等知识逐个分析即可． 【详解】由，表明方程有实数根﹣1，表明一元二次方程有实数解，则，故①正确； ∵方程有两个不相等的实根， ∴方程有两个不相等的实根， 即a与c异号． ∴-ac>0， ∴， ∴方程必有两个不相等的实根； 故②正确； ∵是方程的一个根， ∴， 即 当时，一定有成立； 当c=0时，则不一定成立，例如：方程，则； 故③错误； ∵是一元二次方程的根， ∴， ∴， ∴， 故④正确； 故选：D． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式、一元二次方程的解等知识，熟练掌握这些知识是解答本题的关键． 二、填空题（8小题，每小题2分，共16分） 11．（2023·江苏徐州·模拟预测）若是方程 的一个实数根，则 ． 【答案】 【分析】 本题考查一元二次方程的解，把代入方程得到关于的方程，解题即可． 【详解】解：把代入方程得：， 解得：， 故答案为：． 12．（23-24九年级上·江苏无锡·期末）若方程是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据一元二次方程的一般形式，得到，求解即可． 【详解】解：由题意，得：， ∴； 故答案为：． 13．（23-24九年级上·江苏盐城·期末）为了丰富全县学生的业余生活，县文体中心图书馆计划三个季度购进新书21000册，已知第一个季度购进5000册，求文体中心图书馆后两个季度购书的平均增长率，若后面两个季度购书的平均增长率为，则根据题意可列方程为 ． 【答案】 【分析】本题考查一元一次方程的应用．设后面两个季度购书的平均增长率为，根据第一季度进书5000册，三个季度购进新书21000册，可列出方程． 【详解】解：设后面两个季度购书的平均增长率为， 根据题意得：， 故答案为：． 14．（2024·江苏南京·三模）设是方程的两个根，则 ． 【答案】2024 【分析】本题主要考查一元二次方程根与系数关系，方程解的定义，掌握一元二次方程根与系数关系，方程解的定义是解题的关键．根据根与系数关系得到，之后将代入方程中得到，变形为，两式相加即可得到答案． 【详解】解： 是方程的两个根， ，， ， ． 故答案为：2024． 15．（2024·江苏连云港·二模）定义新运算“”：对于任意实数，，都有，其中等式右边是通常的加法和乘法运算．例如：．若关于的方程有两个实数根，则实数的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】根据新定义运算法则列方程，然后根据一元二次方程的概念和一元二次方程的根的判别式列不等式组求解．本题属于新定义题目，考查一元二次方程的根的判别式，一元二次方程的根的判别式：当判别式，方程有两个不相等的实数根；当判别式，方程有两个相等的实数根；当判别式，方程没有实数根． 【详解】解：∵， ∴， 整理可得， 又关于的方程有两个实数根， ， 解得：且， 故答案为：且． 16．（2024·江苏宿迁·二模）设是关于x的一元二次方程的两个实数根，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系；根据题意：，则把原式展开最后整体代入求值即可． 【详解】解：是关于x的一元二次方程的两个实数根， ， ； 故答案为：． 17．（2024·江苏苏州·一模）如图，矩形和正方形的顶点A，D均在x轴正半轴上，顶点C在y轴正半轴上，顶点F在边上，顶点B，E都在反比例函数的图象上，若点B的坐标为，则点E的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查反比例函数图象上点的特征，设，易得：，再根据均在反比例函数图象上，列出方程求出的值即可． 【详解】解：∵矩形和正方形，点B的坐标为， ∴，， 设，则：， ∴， ∵顶点B，E都在反比例函数的图象上， ∴，解得：或（舍去）， ∴； 故答案为：． 18．（2021·山东临沂·一模）将关于x的一元二次方程变形为，就可以将表示为关于x的一次多项式，从而达到“降次”的目的，又如…，我们将这种方法称为“降次法”，通过这种方法可以化简次数较高的代数式．根据“降次法”，已知：，且．则的值为 ． 【答案】 【分析】先将变形为，再利用“降次法”将转化为，然后解一元二次方程，求出，再代入求值即可． 【详解】解：， ∴． ∴ ， ， ， ， ， ， ． ∵，， ∴ ∴， ∵， ； ∴原式 ． 故答案为：． 【点睛】本题考查代数式求值和解一元二次方程．理解并掌握“降次法”，是解题的关键． 三、解答题（10小题，共64分） 19．（23-24八年级下·江苏苏州·期中）用适当的方法解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法，熟练掌握并灵活运用适当的方法解题是解题关键． （1）利用直接开平方法解方程即可； （2）先移项，再利用因式分解法解方程即可； 【详解】（1）解：， 开平方得：， ∴或， 解得：，． （2）， 移项得：， 因式分解得：， ∴或， 解得：，． 20．（2024·山东滨州·一模）先化简，再求值：，其中是方程． 【答案】， 【分析】本题考查了分式化简求值，因式分解法解一元二次方程，先通分合并括号内，得，再运算除法，化简得，再结合，解出，然后代入，即可作答． 【详解】解：(1) ， ∵， ∴解得：（舍去）， ∴把代入得：原式． 21．（23-24九年级下·江苏泰州·阶段练习）嘉嘉与淇淇两位同学解方程的过程如下： 嘉嘉： 两边同除以，得 ， 则． 淇淇： 移项，得， 提取公因式，得． 则或， 解得． (1)嘉嘉的解法_______；淇淇的解法_______；（填“正确”或“不正确”） (2)请你选择合适的方法尝试解一元二次方程． 【答案】(1)不正确；不正确； (2)． 【分析】 本题考查了解一元二次方程，涉及因式分解法解一元二次方程． （1）根据解一元二次方程的解法判断即可； （2）利用因式分解法解方程即可． 【详解】（1）解：嘉嘉：当时，不满足等式的性质，故嘉嘉得解法不正确； 淇淇：提取公因式时，的符号错误，应该是，故淇淇的解法不正确； 故答案为：不正确；不正确； （2）解： 或 ． 22．（22-23九年级上·江苏常州·期中）如图，要利用一面墙（墙长为25米）建一个矩形场地，用100米的围栏围成三个大小相同的矩形，设矩形的边长为米，矩形场地的总面积为平方米．    (1)请用含有x的式子表示y（不要求写出x的取值范围）； (2)当x为何值时，矩形场地的总面积为400平方米？ 【答案】(1)； (2)当x的值为20时，矩形场地的总面积为400平方米 【分析】本题考查了一元二次方程的应用． （1）设的长度为米，则的长度为米； （2）根据矩形的面积公式列出方程． 【详解】（1）解：依题意得，． 则； （2）解：根据题意得， 解得，． 则或． ， ，舍去． 即，． 答：当的值为20时，矩形场地的总面积为400平方米． 23．（23-24九年级下·江苏连云港·阶段练习）已知关于x的一元二次方程． (1)若该方程有一个根是，求m的值； (2)求证：无论m取什么值，该方程总有两个实数根． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题主要考查了一元二次方程解的定义，根的判别式： （1）根据一元二次方程解的定义把代入原方程求出m的值即可； （2）求出即可证明结论． 【详解】（1）解：把代入中得：， 解得； （2）证明：由题意得，， ∴无论m取什么值，该方程总有两个实数根． 24．（2024·江苏苏州·二模）“今天立夏，过来吃碗三虾面．”在百年老字号裕面堂内，一位老苏州说，苏州人立夏传统“尝三鲜”是蚕豆、苋菜、蒜苗，今年立夏提前吃碗夏令三虾面尝尝鲜．为了抓住这一商机，两商户决定生产预制面．据统计，甲商户每小时生产600包，乙商户每小时生产800包，甲乙两商户每天共生产16小时，且每天生产的三虾面总包数为11400包． (1)甲、乙两商户每天分别生产多少小时？ (2)由于三虾面在网上直播热销，客户纷纷追加订单，两商户每天均增加了生产时间，其中甲商户比乙商户多增加2小时，在整个生产过程中，甲商户每小时产量不变，而乙商户由于机器损耗及人员不足，每增加一个小时，每小时产量将减少140包，这样两商户一天生产的面条总量将比原来多1200包．求：甲商户增加的生产时间为多少小时？ 【答案】(1)甲、乙两商户每天分别生产小时和小时 (2)甲商户增加的生产时间为3小时 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，一元二次方程的应用，正确的列出方程组和一元二次方程，是解题的关键： （1）设甲、乙两商户每天分别生产小时和小时，根据甲乙两商户每天共生产16小时，且每天生产的三虾面总包数为11400包，列出方程组进行求解即可； （2）设甲商户增加的生产时间为小时，根据两商户一天生产的面条总量将比原来多1200包，列出方程进行求解即可． 【详解】（1）解：设甲、乙两商户每天分别生产小时和小时， 则：，解得：； 答：甲、乙两商户每天分别生产小时和小时； （2）设甲商户增加的生产时间为小时，则：乙商户增加的生产时间为小时，由题意，得：， 解得：或（不合题意，舍去）； 答：甲商户增加的生产时间为3小时． 25．（2024·安徽合肥·二模）高乐同学在手工课上利用等边三角形、白色正方形和彩色正方形按一定规律搭建图形，观察图形，回答下列问题： (1)图1的彩色正方形有：； 图2的彩色正方形有：； 图3的彩色正方形有：； 图4的彩色正方形有：…； 图n的彩色正方形有： (2)图1中，白色正方形比彩色正方形多1个；图2中，白色正方形比彩色正方形多2个：图3 中，白色正方形比彩色正方形多3个； …；图n 的白色正方形有 个． (3)若图n 中彩色正方形的个数比等边三角形的个数多45个，求图n 中白色正方形的个数． 【答案】(1) (2) (3)图n中有66个白色正方形 【分析】本题主要考查了图形类的规律探索，解一元二次方程： （1）求出前面几个图形中彩色正方形的个数，进而得到规律求解即可； （2）求出前面几个图形中白色正方形比彩色正方形的多的个数，进而得到规律求解即可； （3）求出前面几个图形中等边三角形的个数，进而得到规律求解即可； （4）根据前面所得规律可得方程，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：图1的彩色正方形有：； 图2的彩色正方形有：； 图3的彩色正方形有：； 图4的彩色正方形有：， ……， 以此类推可知，图n的彩色正方形有， 故答案为：； （2）解：图1中，白色正方形比彩色正方形多1个； 图2中，白色正方形比彩色正方形多2个： 图3 中，白色正方形比彩色正方形多3个； ……， 以此类推可知，图n 的白色正方形比彩色正方形多n个， ∴图n 的白色正方形有个， 故答案为：； （3）解：图1中，等边三角形的个数为2个； 图2中，等边三角形的个数为3个： 图3 中，等边三角形的个数为4个； 图4中，等边三角形的个数为5个； ……， 以此类推可知，图n 中等边三角形的个数为个， ∵图n 中彩色正方形的个数比等边三角形的个数多45个， ∴， 解得或舍， 当时，， ∴图n 中白色正方形的个数为66个． 26．（2024·江苏泰州·一模）大约于公元前2000年，古巴比伦人用“长”，“宽”及“面积”来代表未知数及它们的乘积．如图1，长代表，宽代表，长方形的面积代表．大约于公元830年，阿尔·花拉子米（）在《代数学》中介绍了用几何学方式求方程的解． (1)某实践小组对《代数学》的内容进行研习后，也尝试用几何学方式解，并形成以下操作步骤： 第一步：将方程变形成； 第二步：构造边长为的正方形（如图2）； 第三步：求得右下角正方形面积的值是①； 第四步：用两种方法表示图中大正方形的面积 将代入， 可得②， ， ③． 请补全该实践小组求解过程中①②③所缺的内容； (2)请参照上述方法解方程． 【答案】(1)①4；②16；③2 (2) 【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握将解一元二次方程的问题转化为几何图形问题求解方程． （1）根据将代数问题转化为几何图形问题的做法即可得出答案； （2）类比例题求解、画图、计算即可． 【详解】（1）解：①， ； ② 将代入，可得； ③， ， 或， ， ； （2）解：第一步：将方程变形成， 第二步：构造边长为的正方形如图， 第三步：求得右下角正方形面积的值是； 第四步：用两种方法表示图中大正方形的面积 将代入，可得， ， 或， ， ． 27．（2023九年级上·江苏·专题练习）已知关于x的一元二次方程． (1)求证：无论m取何值，方程都有两个不相等的实数根； (2)如果方程的两个实数根为，且为整数，求整数m所有可能的值． 【答案】(1)证明见解析 (2)，，， 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，解一元二次方程等知识． （1）计算一元二次方程根的判别式，即可得到无论m取何值，方程都有两个不相等的实数根； （2）利用公式法求出方程的解为或，根据得到，把变形为，根据为整数， m为整数即可得到或，即可求出m的值． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴无论m取何值，方程都有两个不相等的实数根； （2）解：， ∵， ∴方程都有两个不相等的实数根， ∴， ∴或， ∵， ∴， ∴， ∵为整数， ∴也为整数， ∵m为整数， ∴或， ∴整数m所有可能的值为，，，． 28．（2023·江苏扬州·模拟预测）为了探究函数在图象不明的情况下，函数值的变化情况，我们可以这样定义：如果点、在函数的图象上，那么我们把称为该函数的“单位铅直高”．例如：函数，当时，；当时，，，则函数“单位铅直高” (1)正比例函数的“单位铅直高”______； (2)若点，在反比例函数的图象上，当这个反比例函数的“单位铅直高”，求m的值； (3)已知二次函数，求这个二次函数的“单位铅直高”t的最小值； (4)求反比例函数的“单位铅直高”t的最大值． 【答案】(1) (2)或 (3) (4)当时，有最大值；当时，t没有最大值 【分析】依据题意，仿照例子代入计算即可得解； 依据题意，可以列方程，进而可以得解； 由题意，列出关于t的方程，再由，从而可以得解； 依据题意列出关系式，通过法变化即可得解． 【详解】（1）解：由题意，当时，；当时，， 正比例函数的“单位铅直高” 故答案为： （2）解：由题意得，， 或 经检验，或是方程的解． 或 （3）解：由题意得， ， 又，， 的最小值为 （4）解：由题意，， ，且对于关于m的一元二次方程有解， 或 当时，有最大值；当时，t没有最大值． 【点睛】本题主要考查了新定义问题的应用，解题时要能读懂题意，学会转化． 学科网（北京）股份有限公司 $$