第二章 一元二次函数、方程和不等式提升卷-2024年高一数学初升高暑假预习（人教A版2019必修一）

第二章 一元二次函数、方程和不等式（提升卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写 在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．试题或者解析中区间的概念说明：设a，b是两个实数，而且，我们规定： 定义 名称 符号 闭区间 开区间 半闭半开区间 半开半闭区间 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（23-24高一上·安徽宣城·自主招生）已知实数a，b，则下列选项中正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 2．（23-24高一上·湖南·阶段练习）若关于的不等式的解集是，则关于的不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一上·河南洛阳·期末）今年某地因天气干旱导致白菜价格不稳定，假设第一周、第二周的白菜价格分别为元斤、元斤，王大妈每周购买元的白菜，李阿姨每周购买斤白菜，王大妈和李阿姨两周买白菜的平均价格分别记为，，则与的大小关系为（    ） A． B． C． D．无法确定 4．（23-24高一下·广西南宁·开学考试）已知，且，则的最小值为（    ） A． B．1 C． D．2 5．（23-24高一上·山东菏泽·阶段练习）已知，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高一下·浙江·期中）若实数，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 7．（23-24高一下·浙江·阶段练习）如图，某灯光设计公司生产一种长方形线路板，长方形的周长为4，沿折叠使点B到点位置，交于点P．研究发现当的面积最大时用电最少，则用电最少时，的长度为（    ）    A． B． C． D． 8．（23-24高一上·江苏盐城·期末）已知，关于的一元二次不等式的解集中有且仅有3个整数，则的值不可能是（    ） A．13 B．14 C．15 D．16 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（23-24高一上·江苏南通·期末）若，，则（ ） A． B． C． D． 10．（23-24高一上·吉林·阶段练习）关于的不等式解集的下列结论中，正确的是（    ） A．不等式的解集可以是 B．不等式解集可以是 C．不等式的解集不可能是 D．不等式的解集可以是 11．（23-24高三上·山东青岛·期末）若实数，且，则（    ） A． B． C． D． 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（23-24高一下·江苏镇江·开学考试）设，若恒成立，则的取值范围为 . 13．（23-24高一下·上海嘉定·阶段练习）若不等式的解集为，则 . 14．（23-24高一上·上海徐汇·期中）若x，y，z均为正实数，则的最大值是 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分）（23-24高一下·安徽·开学考试）已知集合，命题“，”是真命题. (1)求实数a的取值集合B； (2)在（1）的条件下，若“”是“”的充分不必要条件，求实数m的取值范围. 16．（15分）（23-24高一下·江西上饶·开学考试）已知不等式. (1)若不等式的解集是或，求的值； (2)若不等式的解集是，求的取值范围. 17．（15分）（23-24高一上·辽宁朝阳·期末）冷链物流是指以冷冻工艺为基础、制冷技术为手段，使冷链物品从生产、流通、销售到消费者的各个环节始终处于规定的温度环境下，以减少冷链物品损耗的物流活动.随着人民食品安全意识的提高及线上消费需求的增加，冷链物流市场规模也在稳步扩大.某冷链物流企业准备扩大规模，决定在2024年初及2025年初两次共投资4百万元，经预测，每年初投资的百万元在第（，且）年产生的利润（单位：百万元），记这4百万元投资从2024年开始的第年产生的利润之和为. (1)比较与的大小； (2)求两次投资在2027年产生的利润之和的最大值. 18．（17分）（23-24高一上·山东·阶段练习）已知正数，满足． (1)求的最小值； (2)若正数满足，证明：与之和为定值，且． 19．（17分）（23-24高一下·辽宁·期末）已知函数 (1)解关于的不等式； (2)若方程有两个正实数根，求的最小值. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二章 一元二次函数、方程和不等式（提升卷） 参考答案 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 C A C C A D B D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 BCD ABC BCD 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12． 13． 14． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分）【详解】（1）由命题“，”是真命题，得，解得或， 所以实数a的取值集合或. （2）显然，由“”是“”的充分不必要条件，得真包含于， 则或，解得或， 所以实数m的取值范围是或. 16．（15分）【详解】（1）由题意可知方程的两个根分别为， 由韦达定理可知，解得，经检验满足题设. （2）若不等式的解集是，即恒成立，则满足，解得. 17．（15分）【详解】（1）表示2024年及2025年各投资2百万元， 由题意得， ， ， 所以. （2）两次投资在2027年产生的利润之和为百万元， 设2024年初投资百万元，则2025年初投资百万元， 2024年初投资的百万元在2027年产生的利润为（百万元）， 2025年初投资的百万元在2027年产生的利润为（百万元）， 所以. 解法一： ，设， 则，两边平方得， 由得，所以， 当时取等号. 所以，. 所以两次投资在2027年产生的利润之和的最大值为百万元. 解法二： ， 当且仅当，即时取等号， 所以，两次投资在2027年产生的利润之和的最大值为百万元. 18．（17分）【详解】（1）因为，所以， 所以，当且仅当时，等号成立， 所以的最小值为； （2）因为，所以， 则，所以与之和为定值， 所以 ， 当且仅当，即时，等号成立， 故得证． 19．（17分）【详解】（1）不等式即为， 当，即时，不等式的解集为， 当，即时，不等式的解集为， 当，即时，不等式的解集为， 综上可知：当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为. （2）方程有两个正实数根， 即有两个正实数根 故，解得， 所以 令，则，故 当且仅当即时取得等号， 故的最小值为6. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二章 一元二次函数、方程和不等式（提升卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写 在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（23-24高一上·安徽宣城·自主招生）已知实数a，b，则下列选项中正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【分析】赋值判断A，B，D，利用不等式性质判断C. 【详解】对于A选项，，满足，此时，不满足，故A错误； 对于B选项，，满足，此时，不满足，故B错误； 对于C选项，，所以，故C正确； 对于D选项，，满足，此时，不满足，故D错误， 故选：C. 2．（23-24高一上·湖南·阶段练习）若关于的不等式的解集是，则关于的不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先不等式的解集是,可知，且且,然后将不等式化为,则可得出不等式解集. 【详解】因为的解集是，所以且，由，得，即，解得，即关于的不等式的解集是. 故选：A. 3．（23-24高一上·河南洛阳·期末）今年某地因天气干旱导致白菜价格不稳定，假设第一周、第二周的白菜价格分别为元斤、元斤，王大妈每周购买元的白菜，李阿姨每周购买斤白菜，王大妈和李阿姨两周买白菜的平均价格分别记为，，则与的大小关系为（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】C 【分析】由题意可知，，再利用作差法比较大小即可． 【详解】由题意可得，，，， ，， ， ． 故选：C． 4．（23-24高一下·广西南宁·开学考试）已知，且，则的最小值为（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】C 【分析】依题意可得，再利用乘“1”法及基本不等式计算可得. 【详解】因为，且，所以， 所以 ， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为． 故选：C． 5．（23-24高一上·山东菏泽·阶段练习）已知，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 设，利用待定系数法求得，利用不等式的性质即可求的取值范围． 【详解】设， 所以，解得，即可得， 因为，， 所以， 故选：A． 6．（23-24高一下·浙江·期中）若实数，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先变形，再利用基本不等式求最小值. 【详解】 ， 当且仅当，即时，等号成立. 故选：D 7．（23-24高一下·浙江·阶段练习）如图，某灯光设计公司生产一种长方形线路板，长方形的周长为4，沿折叠使点B到点位置，交于点P．研究发现当的面积最大时用电最少，则用电最少时，的长度为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用勾股定理，构造函数，利用基本不等式即可求出最值. 【详解】如图，设，由矩形的周长为4，可知． 设，则．， ． 在中，由勾股定理得， 即，解得， 所以． 所以的面积． 所以，当且仅当时， 即当时，的面积最大，面积的最大值为， 故选：B． 8．（23-24高一上·江苏盐城·期末）已知，关于的一元二次不等式的解集中有且仅有3个整数，则的值不可能是（    ） A．13 B．14 C．15 D．16 【答案】D 【分析】设方程的两根为，由题有，后由韦达定理可得范围，即可得答案. 【详解】设方程的两根为，则的解集为. 由题有.又，， 则，则的值不可能是16. 故选：D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（23-24高一上·江苏南通·期末）若，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】结合不等式的性质逐项判断即可得. 【详解】对A：取，，，，则，，故A错误； 对B：由，，则，则有，故B正确； 对C：由，，则，且等价于， 等价于，等价于，即C正确； 对D：由，，则， ，即等价于， 由，即等价于，等价于，即，故D正确. 故选：BCD. 10．（23-24高一上·吉林·阶段练习）关于的不等式解集的下列结论中，正确的是（    ） A．不等式的解集可以是 B．不等式解集可以是 C．不等式的解集不可能是 D．不等式的解集可以是 【答案】ABC 【分析】根据给定条件，举例说明判断ABC；假定不等式解集为，导出矛盾判断D. 【详解】对于A，取，原不等式化为，显然恒成立， 即不等式的解集为R，A正确； 对于B，取，原不等式化为，解得，即不等式的解集为，B正确； 对于C，因为时，不等式成立，因此不等式的解集不可能是，C正确； 对于D，假定不等式的解集是，则是方程的两个根，且， 于是，解得与矛盾，因此原不等式的解集不能是，D错误. 故选：ABC 11．（23-24高三上·山东青岛·期末）若实数，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】对于A项，只需将通过基本不等式放大为，解不等式即得；对于B项，只需将通过基本不等式缩小为，解不等式即得；对于C项，可以通过原等式消去一元代入所求式，再凑项运用基本不等式即得；对于D项，应注意到与的关系，即可整体运用基本不等式求得. 【详解】对于选项A，由，当且仅当时等号成立，不妨设，则得， 解得：或，因，则，故A项错误； 对于选项B，由，当且仅当时等号成立，不妨设，则， 解得：或，因，则，即，故B项正确； 对于选项C，由可得：，则，且， 则，当且仅当时取等号， 即时，有最小值，故C项正确； 对于选项D，由可得：，即，且， 则，当且仅当时等号成立， 由解得：，即当且仅当时，有最小值，故D项正确. 故选：BCD. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（23-24高一下·江苏镇江·开学考试）设，若恒成立，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】因为，所以将转化为然后与相乘然后运用基本不等式求解. 【详解】因为,所以 . 当且仅当时，即时等号成立, 所以. 故答案为：. 13．（23-24高一下·上海嘉定·阶段练习）若不等式的解集为，则 . 【答案】 【分析】由题可得对称轴在之间，最小值大于，且的两个根为，列出相应不等式，找到关于的范围，再根据韦达定理解出的值，计算即可. 【详解】因为不等式的解集为， 而开口向上，所以有， 且最小值大于，即，解得， 且的两个根为， 所以，解得或， 当时，不符合，故舍去， 所以，所以. 故答案为：. 14．（23-24高一上·上海徐汇·期中）若x，y，z均为正实数，则的最大值是 ． 【答案】 【分析】 将拆开为，同时用两次均值不等式构造相同结构即可. 【详解】 ， 所以， 当且仅当时取到等号， 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分）（23-24高一下·安徽·开学考试）已知集合，命题“，”是真命题. (1)求实数a的取值集合B； (2)在（1）的条件下，若“”是“”的充分不必要条件，求实数m的取值范围. 【答案】(1)或； (2)或. 【分析】（1）利用一元二次不等式有解，列式求解即得. （2）由（1）的结论，利用充分不必要条件的定义，借助集合包含关系求解即得. 【详解】（1）由命题“，”是真命题，得，解得或， 所以实数a的取值集合或. （2）显然，由“”是“”的充分不必要条件，得真包含于， 则或，解得或， 所以实数m的取值范围是或. 16．（15分）（23-24高一下·江西上饶·开学考试）已知不等式. (1)若不等式的解集是或，求的值； (2)若不等式的解集是，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由一元二次不等式的性质可知方程的两根为，再由韦达定理可解. （2）由二次函数的性质可得关于的不等式组，解出即可. 【详解】（1）由题意可知方程的两个根分别为， 由韦达定理可知，解得，经检验满足题设. （2）若不等式的解集是，即恒成立，则满足，解得. 17．（15分）（23-24高一上·辽宁朝阳·期末）冷链物流是指以冷冻工艺为基础、制冷技术为手段，使冷链物品从生产、流通、销售到消费者的各个环节始终处于规定的温度环境下，以减少冷链物品损耗的物流活动.随着人民食品安全意识的提高及线上消费需求的增加，冷链物流市场规模也在稳步扩大.某冷链物流企业准备扩大规模，决定在2024年初及2025年初两次共投资4百万元，经预测，每年初投资的百万元在第（，且）年产生的利润（单位：百万元），记这4百万元投资从2024年开始的第年产生的利润之和为. (1)比较与的大小； (2)求两次投资在2027年产生的利润之和的最大值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由求出，，再由作差法比较大小即可得出答案. （2）先求出两次投资在2027年产生的利润之和，再由基本不等式或判别式求出的最大值. 【详解】（1）表示2024年及2025年各投资2百万元， 由题意得， ， ， 所以. （2）两次投资在2027年产生的利润之和为百万元， 设2024年初投资百万元，则2025年初投资百万元， 2024年初投资的百万元在2027年产生的利润为（百万元）， 2025年初投资的百万元在2027年产生的利润为（百万元）， 所以. 解法一： ，设， 则，两边平方得， 由得，所以， 当时取等号. 所以，. 所以两次投资在2027年产生的利润之和的最大值为百万元. 解法二： ， 当且仅当，即时取等号， 所以，两次投资在2027年产生的利润之和的最大值为百万元. 18．（17分）（23-24高一上·山东·阶段练习）已知正数，满足． (1)求的最小值； (2)若正数满足，证明：与之和为定值，且． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）利用消元法结合二次函数的性质即可得解； （2）根据和即可得证得与之和为定值，再根据基本不等式中“1”的整体代换即可得证. 【详解】（1）因为，所以， 所以，当且仅当时，等号成立， 所以的最小值为； （2）因为，所以， 则，所以与之和为定值， 所以 ， 当且仅当，即时，等号成立， 故得证． 19．（17分）（23-24高一下·辽宁·期末）已知函数 (1)解关于的不等式； (2)若方程有两个正实数根，求的最小值. 【答案】(1)答案见解析； (2)6. 【分析】（1）解含参一元二次不等式，即可得答案； （2）根据方程有两个正实数根可得相应不等式组，进而表示出，采用换元法结合基本不等式即可求得答案. 【详解】（1）不等式即为， 当，即时，不等式的解集为， 当，即时，不等式的解集为， 当，即时，不等式的解集为， 综上可知：当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为. （2）方程有两个正实数根， 即有两个正实数根 故，解得， 所以 令，则，故 当且仅当即时取得等号， 故的最小值为6. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$