第二章 一元二次函数、方程和不等式巩固卷-2024年高一数学初升高暑假预习（人教A版2019必修一）

第二章 一元二次函数、方程和不等式（巩固卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写 在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．试题或者解析中区间的概念说明：设a，b是两个实数，而且，我们规定： 定义 名称 符号 闭区间 开区间 半闭半开区间 半开半闭区间 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（23-24高一上·上海松江·期末）已知，设，则与的值的大小关系是 （    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一下·贵州贵阳·阶段练习）已知，则的最大值是（ ） A． B．3 C．1 D．6 3．（2024高一·全国·专题练习）不等式的解集是（    ） A． B． C．或 D． 4．（23-24高一上·福建龙岩·期末）已知，则下列结论正确的是（    ） A．若且，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 5．（23-24高一下·云南丽江·开学考试）已知a，b为正数，，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 6．（23-24高一上·北京东城·期中）已知不等式对任意的实数x恒成立，则实数k的取值范围为（　　 ） A． B． C． D． 7．（23-24高一下·江西·阶段练习）若正数a，b满足，则的最小值为（    ） A．2 B．4 C．8 D．16 8．（23-24高一上·贵州安顺·期末）若不等式恒成立，则实数的最大值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．9 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（23-24高一上·广东珠海·期中）已知关于的不等式的解集为，，，则（　　） A． B． C．的解集是 D．的解集是或 10．（23-24高一下·云南昆明·期中）下列说法正确的是（    ） A．的最小值为2 B．的最大值为2 C．的最小值为2 D．最小值为 11．（23-24高一上·江苏无锡·期末）十六世纪中叶，英国数学教育家雷科德在《砺智石》一书中首先把“=”作为等号使用，后来英国数学家哈里奥特首次使用“<”和“>”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远.下列关于不等式的命题，正确的是（    ） A．如果，，那么 B．如果，那么 C．若，，则 D．如果，，，那么 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（23-24高一上·吉林·阶段练习）不等式的解集为 . 13．（23-24高一上·重庆铜梁·阶段练习）实数满足，，则的取值范围是 14．（23-24高一上·河北石家庄·期中）若关于的不等式在区间上有解，则实数的取值范围为 . 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分）（23-24高一上·福建泉州·阶段练习）（1）已知，设，，比较与的大小； （2）证明：已知，且，求证：. 16．（15分）（23-24高一上·甘肃庆阳·期末）已知，，. (1)求的最大值； (2)求的最小值. 17．（15分）（23-24高一上·安徽马鞍山·期中）已知，求证: (1); (2). 18．（17分）（23-24高一上·江苏南通·期中）第十九届亚运会于2023年9月23日在杭州举办，本届亚运会吉祥物是一套名为“江南忆”的三个机器人模型，三个机器人模型分别取名“琮琮”、“莲莲”、“宸宸”.某公益团队联系亚运会组委会计划举办一场吉祥物商品展销会，成套出售“江南忆”，将所获利润全部用于体育设施建设.据市场调查：每套吉祥物纪念品的供货价格分为固定价格和浮动价格两部分，其中固定价格为60元，（单位：元，其中销售量单位为：万套）.而当每套吉祥物售价定为x元时，销售量可达到万套.注：利润＝（售价－供货价格）×销售量（不计其他成本） (1)每套吉祥物纪念品售价为125元时，能获得的总利润是多少万元？ (2)每套吉祥物纪念品售价为多少元时，单套吉祥物的利润最大？并求出最大值. 19．（17分）（23-24高一上·福建三明·期中）已知二次函数． (1)若关于的不等式的解集是，求实数，的值； (2)若，，解关于的不等式． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二章 一元二次函数、方程和不等式（巩固卷） 参考答案 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 D B D D C C C D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 CD CD AD 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12． 13．． 14． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分）【详解】（1）， 则； （2）因为，且，则， 则，则，则， 则， 则，又 则. 命题得证. 16．（15分）【详解】（1）因为， 令，则，所以，解得， 所以，当且仅当，即，时等号成立； （2）由，得， 所以， 当且仅当，即，时等号成立. 所以的最小值为. 17．（15分）【详解】（1）， ， 当且仅当，即时等号成立. （2）， . 当且仅当时，即时等号成立. 18．（17分）【详解】（1）每套吉祥物纪念品售价为125元时， 销售量为（万套）， 供货单价为（元）， 总利润为（万元）. （2）设单套售价为元，此时销售量为万套， 供货价格为元， 同时，所以. 所以单套利润为 ， 当且仅当，即时取等号. 所以每套吉祥物售价为145元时，单套的利润最大，最大值是80元. 19．（17分）【详解】（1）由不等式的解集是， 得和是一元二次方程的两个实数根，且， 于是，解得，， 所以，. （2），不等式化为，即， 当，即时，解不等式，得或； 当，即时，不等式的解为； 当，即时，解不等式，得或， 所以当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二章 一元二次函数、方程和不等式（巩固卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写 在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（23-24高一上·上海松江·期末）已知，设，则与的值的大小关系是 （    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 利用作差法比较大小即可. 【详解】因为， 所以， 当且仅当时等号成立，故. 故选：D 2．（23-24高一下·贵州贵阳·阶段练习）已知，则的最大值是（ ） A． B．3 C．1 D．6 【答案】B 【分析】利用基本不等式，直接计算即可. 【详解】，当且仅当，即取得等号，满足题意. 故选：B. 3．（2024高一·全国·专题练习）不等式的解集是（    ） A． B． C．或 D． 【答案】D 【分析】根据题意，利用一元二次不等式的解法，即可求解. 【详解】由不等式，可化为，解得， 故不等式的解集为. 故选：D. 4．（23-24高一上·福建龙岩·期末）已知，则下列结论正确的是（    ） A．若且，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】根据不等式的性质，结合作差法与举反例的方法逐个判断即可. 【详解】对A，，因为，，故，即，故A错误； 对B，当时，故B错误； 对C，， 因为，故，故， 故，故C错误； 对D，，因为，故， 故，即，故D正确. 故选：D 5．（23-24高一下·云南丽江·开学考试）已知a，b为正数，，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用基本不等式“1”的妙用求解即得. 【详解】正数a，b满足，则， 当且仅当，即时取等号， 所以当时，取得最小值4. 故选：C 6．（23-24高一上·北京东城·期中）已知不等式对任意的实数x恒成立，则实数k的取值范围为（　　 ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先对的取值进行分类讨论，在时，需结合二次函数的图象分析，得到与之等价的不等式组，求解即得. 【详解】因不等式对任意的实数x恒成立，则 ①当时，不等式为，恒成立，符合题意； ②当时，不等式在R上恒成立等价于，解得：. 综上可得：实数k的取值范围为. 故选：C. 7．（23-24高一下·江西·阶段练习）若正数a，b满足，则的最小值为（    ） A．2 B．4 C．8 D．16 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用基本不等式求解即得. 【详解】正数a，b满足，则， 当且仅当时取等号， 所以当时，取得最小值8. 故选：C 8．（23-24高一上·贵州安顺·期末）若不等式恒成立，则实数的最大值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．9 【答案】D 【分析】 化简可得恒成立，再根据基本不等式求解的最小值即可. 【详解】由题意恒成立，即恒成立. 又，当且仅当时取等号. 故实数的最大值为9. 故选：D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（23-24高一上·广东珠海·期中）已知关于的不等式的解集为，，，则（　　） A． B． C．的解集是 D．的解集是或 【答案】CD 【分析】由题意可得1和5是方程的两根，且，利用韦达定理可得与的关系，然后逐项判断可得答案. 【详解】由题意可得和5是方程的两根，且， 由韦达定理可得，得， 对于A，因为，故A错误； 对于B，，故B错误； 对于C，不等式，即，即，得， ∴不等式的解集是，故C正确； 对于D，由不等式，得，即， 则，得或，即解集为或，故D正确. 故选：CD. 10．（23-24高一下·云南昆明·期中）下列说法正确的是（    ） A．的最小值为2 B．的最大值为2 C．的最小值为2 D．最小值为 【答案】CD 【分析】对于选项A，举出反例，即可判断；对于选项B，用二次函数知识可以求出最大值；对于选项C、D，利用基本不等式即可求解. 【详解】对于选项A，当时，，故A错误； 对于选项B，，所以的最大值为1，故B错误； 对于选项C，，当且仅当，即时，等号成立，故C正确. 对于选项D，， 当且仅当，即时，等号成立，故D正确. 故选：CD. 11．（23-24高一上·江苏无锡·期末）十六世纪中叶，英国数学教育家雷科德在《砺智石》一书中首先把“=”作为等号使用，后来英国数学家哈里奥特首次使用“<”和“>”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远.下列关于不等式的命题，正确的是（    ） A．如果，，那么 B．如果，那么 C．若，，则 D．如果，，，那么 【答案】AD 【分析】 根据不等式的性质逐个选项推导即可. 【详解】对A，如果，，则，那么，故A正确； 对B，如果，那么，则，故B错误； 对C，若，，则，故C错误； 对D，如果，，，则，故， 则，，故D正确； 故选：AD 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（23-24高一上·吉林·阶段练习）不等式的解集为 . 【答案】 【分析】将分式不等式化为求解集. 【详解】由， 所以不等式解集为. 故答案为： 13．（23-24高一上·重庆铜梁·阶段练习）实数满足，，则的取值范围是 【答案】． 【分析】 根据题意，得到，结合不等式的基本性质，即可求解. 【详解】设， 则，解得，所以， 因为，，所以，， 可得，即的取值范围为． 故答案为：． 14．（23-24高一上·河北石家庄·期中）若关于的不等式在区间上有解，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】将不等式在区间上有解，转化为在区间上有解求解. 【详解】解：因为关于的不等式在区间上有解， 所以在区间上有解， 令在区间上递减， 所以， 所以， 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分）（23-24高一上·福建泉州·阶段练习）（1）已知，设，，比较与的大小； （2）证明：已知，且，求证：. 【答案】（1）；（2）证明见解析. 【分析】（1）作差法比较大小； （2）根据不等式的性质可证. 【详解】（1）， 则； （2）因为，且，则， 则，则，则， 则， 则，又 则. 命题得证. 16．（15分）（23-24高一上·甘肃庆阳·期末）已知，，. (1)求的最大值； (2)求的最小值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用基本不等式，将等式转化为关于的一元二次方程，即可求解； （2）首先将等式变形为，再变形，转化为利用基本不等式求和的最小值. 【详解】（1）因为， 令，则，所以，解得， 所以，当且仅当，即，时等号成立； （2）由，得， 所以， 当且仅当，即，时等号成立. 所以的最小值为. 17．（15分）（23-24高一上·安徽马鞍山·期中）已知，求证: (1); (2). 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）作“1”代换，根据基本不等式求解； （2）作“1”代换，根据基本不等式求解. 【详解】（1）， ， 当且仅当，即时等号成立. （2）， . 当且仅当时，即时等号成立. 18．（17分）（23-24高一上·江苏南通·期中）第十九届亚运会于2023年9月23日在杭州举办，本届亚运会吉祥物是一套名为“江南忆”的三个机器人模型，三个机器人模型分别取名“琮琮”、“莲莲”、“宸宸”.某公益团队联系亚运会组委会计划举办一场吉祥物商品展销会，成套出售“江南忆”，将所获利润全部用于体育设施建设.据市场调查：每套吉祥物纪念品的供货价格分为固定价格和浮动价格两部分，其中固定价格为60元，（单位：元，其中销售量单位为：万套）.而当每套吉祥物售价定为x元时，销售量可达到万套.注：利润＝（售价－供货价格）×销售量（不计其他成本） (1)每套吉祥物纪念品售价为125元时，能获得的总利润是多少万元？ (2)每套吉祥物纪念品售价为多少元时，单套吉祥物的利润最大？并求出最大值. 【答案】(1)320 (2)售价为145元，利润最大，最大值为80元 【分析】（1）代入数值，求出销售量与单价，即可得出答案； （2）设单套售价为元，根据已知表示出单套利润，根据基本不等式求解，即可得出答案. 【详解】（1）每套吉祥物纪念品售价为125元时， 销售量为（万套）， 供货单价为（元）， 总利润为（万元）. （2）设单套售价为元，此时销售量为万套， 供货价格为元， 同时，所以. 所以单套利润为 ， 当且仅当，即时取等号. 所以每套吉祥物售价为145元时，单套的利润最大，最大值是80元. 19．（17分）（23-24高一上·福建三明·期中）已知二次函数． (1)若关于的不等式的解集是，求实数，的值； (2)若，，解关于的不等式． 【答案】(1)，； (2)答案见解析. 【分析】（1）根据给定的解集，借助一元二次方程根与系数的关系列式计算即得. （2）分类讨论解一元二次不等式即得. 【详解】（1）由不等式的解集是， 得和是一元二次方程的两个实数根，且， 于是，解得，， 所以，. （2），不等式化为，即， 当，即时，解不等式，得或； 当，即时，不等式的解为； 当，即时，解不等式，得或， 所以当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$