2024年天津市中考模拟汇编——二次函数

· 2024年天津中考模拟汇编——二次函数 · 知识清单： 本题主要考查实际问题与二次函数的应用。实际问题转化为二次函数进行求解判断。 运动轨迹类 1．（2024·天津宝坻·二模）如图，以某速度将小球沿与地面成一定角度的方向击出时，小球的飞行路线将是一条抛物线．如果不考虑空气阻力，小球在时落地，小球的飞行高度（单位：）与飞行时间（单位：）之间具有函数关系（为常数，）．有下列结论： ①值为； ②小球的飞行高度最高可达到； ③小球有两个飞行的时间使小球的高度刚好达到． 其中，正确结论的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 2．（2024·天津滨海新·二模）如图，以的速度将小球沿与地面成角的方向击出时，小球的飞行路线将是一条拋物线．如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度（单位：m）与飞行时间（单位：）之间具有函数关系．有下列结论：①小球从飞出到落地用时为；②小球飞行的最大高度为；③小球的飞行高度为时，小球飞行的时间是．其中，正确结论的个数是（    ）    A．0 B．1 C．2 D．3 3．（2024·天津河北·二模）如图，一男生推铅球，铅球行进高度y(单位：米)是水平距离x(单位：米)的二次函数，即铅球飞行轨迹是一条抛物线．该男生推铅球出手时，铅球的高度为1.6米；铅球飞行至水平距离4米时，铅球高度为4米，铅球落地时水平距离为8米．有下列结论： ①铅球飞行至水平距离3.5米时，铅球到达最大高度，最大高度为4.05米； ②当0≤x≤8时，y与x之间的函数关系式为： ③铅球从出手到飞行至最高点的水平距离与从最高点运动至落地的水平距离相等．其中，正确结论的个数是(   )    A．3 B．2 C．1 D．0 4．（2024·天津河东·一模）如图，在羽毛球比赛中，某次羽毛球的运动路线可以看作是抛物线的一部分（水平地面为轴，单位：），有下列结论：①出球点离点的距离是；②羽毛球最高达到；③羽毛球横向飞出的最远距离是；其中，正确结论的个数是（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 5．（2024·天津南开·一模）如图，是抛物线形拱桥，当拱桥顶端C离水面时，水面的宽度为． 有下列结论： ①当水面宽度为时，水面下降了； ②当水面下降时，水面宽度为； ③当水面下降时，水面宽度增加了． 其中，正确的是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 图形面积类 6．（2024·天津和平·三模）用一段长为的篱笆围成一个一边靠墙的菜园． 方案一：如图①，围成一个矩形菜园，其中一边是墙，其余的三边，，用篱笆，其中； 方案二：如图②，围成一个扇形菜园，一条半径是墙，其余用篱笆． 有下列结论： ①的长可以是； ②的长有两个不同的值满足该矩形菜园的面积为； ③矩形菜园的面积的最大值为； ④方案二围成扇形菜园的最大面积大于方案一围成矩形菜园的最大面积． 其中，正确结论的个数是（　　） A．l B．2 C．3 D．4 7．（2024·天津河西·一模）把一根长为的绳子剪成两段，并把每一段绳子都围成一个正方形，如图所示，有以下结论： ①当的长是时，的长为； ②这两个正方形的面积之和可以是； ③这两个正方形的面积之和可以是． 其中，正确结论的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 8．（2024·天津河西·二模）已知菱形，，，点，，，分别在菱形的四条边上，．连接．有下列结论：①四边形是矩形；②长有两个不同的值，使得四边形的面积都为；③四边形面积的最大值为．其中，正确结论的个数是（    ）    A．0 B．1 C．2 D．3 9．（2024·天津红桥·二模）如图，有一块矩形空地，学校规划在其中间的一块四边形空地上种花，其余的四块三角形空地上铺设草坪，其中点，，，分别在边，，，上，且．已知．有下列结论： ①铺设草坪的面积可以是； ②种花的面积的最大值为； ③AF的长有两个不同的值满足种花的面积为． 其中，正确结论的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 10．（2024·天津西青·一模）如图，某劳动小组借助一个直角墙角围成一个矩形劳动基地，墙角两边和足够长，用总长的篱笆围成另外两边和．有下列结论： ①当的长是时，劳动基地的面积是； ②的长有两个不同的值满足劳动基地的面积为； ③点处有一棵树（树的粗细忽略不计），它到墙的距离是，到墙的距离是，如果这棵树需在劳动基地内部（包括边界），那么劳动基地面积的最大值是，最小值是． 其中，正确结论的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 11．（2024·天津·一模）已知等边三角形的边长为3，为边上的一点（点不与点，重合），过点作边的垂线，交于点，用表示线段的长度，表示的面积，有下列结论：①；②；③．其中，正确结论的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 12．（2024·天津和平·二模）如图，四边形的两条对角线，相交于点，点在线段上，且，若．有下列结论：①的取值范围是；②的长有两个不同的值满足四边形的面积为12；③四边形面积最大值为．其中，正确结论的个数有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 13．（2024·天津河北·一模）如图，是一块菱形新型平面材料，，，点E在上，且垂直于，先沿着切开材料，然后在四边形内切割出一块矩形，且矩形相邻两边落在，上，一个顶点落在边上．设边上矩形的边长为，矩形的面积为．有下列结论：①y与x之间的函数关系式为：；②当时，切割出矩形后，四边形剩余的面积为；③若切割出的矩形材料用于某种生产时，售价为元/，则当时，出售此块矩形材料的总价最大，最大值为元．其中，正确结论的个数是（  ） A．0 B．1 C．2 D．3 利润最大类 14．（2024·天津河东·二模）某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件，已知商品的进价为每件40元，有下列结论： ①设每件涨价x元，则实际卖出件； ②在降价的情况下，降价5元，即定价55元时，利润最大，最大利润是6250元； ③综合涨价与降价两种情况及现在的销售状况可知，定价元时利润最大； 其中，正确结论的个数是（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 15．（2024·天津南开·二模）已知某商品每件的进价为40元，售价为每件60元，每星期可卖出该商品300件．根据市场调查反映：商品的零售价每降价1元，则每星期可多卖出该商品20件．有下列结论： ①当降价为3元时，每星期可卖360件； ②每星期的利润为6120元时，可以将该商品的零售价定为42元或者43元； ③每星期的最大利润为6250元． 其中，正确结论的个数是（    ） A．3 B．2 C．1 D．0 16．（2024·天津红桥·三模）某服装店试销一种成本为每件60元的服装，规定试销期间每件服装的销售单价不低于成本，且获得的利润不得高于成本的．经试销发现，销售量y（件）与销售单价x（元）符合一次函数关系．有下列结论： ①销售单价可以是90元； ②该服装店销售这种服装可获得的最大利润为891元； ③销售单价有两个不同的值满足该服装店销售这种服装获得的利润为500元， 其中，正确结论的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 17．（2024·天津红桥·二模）某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件．有下列结论：①降价8元时，数量为36件．②若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价10元．③商场平均每天盈利最多为1250元．正确结论的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 试卷第6页，共7页 试卷第1页，共7页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 1．C 【分析】本题考查了二次函数的应用．根据二次函数的图象与性质，分析即可得到答案． 【详解】解：由题意得，解得，①结论正确； 函数关系， ∵， ∴小球的飞行高度最高可达到，②结论错误； 解方程， 得或， ∴小球有两个飞行的时间使小球的高度刚好达到，③结论正确． 故选：C． 2．C 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、二次函数与一元二次方程，熟练掌握二次函数的性质是解题关键．分别求出和时，的值即可判断①正确，③错误；求出的最大值即可判断②正确，由此即可得． 【详解】解：当时，， 解得或， 则小球从飞出到落地用时为，结论①正确； ， 则小球飞行的最大高度为，结论②正确； 当时，， 解得或， 则小球的飞行高度为时，小球飞行的时间是或，结论③错误； 综上，正确结论的个数是2个， 故选：C． 3．B 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，依据题意，抛物线过，，，再设二次函数的关系式为 ，进而建立方程组求出即可判断②；依据题意可得，函数的对称轴是直线，从而求出铅球从出手到飞行至最高点的水平距离为米，而从最高点运动至落地的水平距离为（米），故可判断③；依据题意可得，当铅球飞行至水平距离米时，铅球到达最大高度，最大高度为米，故可判断①． 【详解】解：由题意，抛物线过，，， 设二次函数的关系式为 ， ． ． 函数的表达式为，故②正确． 由题意，函数的对称轴是直线， 铅球从出手到飞行至最高点的水平距离为米，而从最高点运动至落地的水平距离为米，故③错误． 由题意，当铅球飞行至水平距离米时，铅球到达最大高度，最大高度为（米），故①正确． 综上，正确的有①②共个． 故选：B． 4．C 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用．令，可得点，可判断①；把函数解析式化为顶点式可得判断②；再令，可判断③． 【详解】解：当时，， ∴点， ∴出球点离点的距离是，故①正确； ∵， ∴当时，y取得最大值，最大值为， ∴羽毛球最高达到，故②正确； 当时，， 解得：， ∴点， ∴羽毛球横向飞出的最远距离是，故③错误； 故选：C 5．D 【分析】本题主要考查了二次函数的应用——搭桥问题．根据已知条件建立适当坐标系，从而得出二次函数解析式，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解决问题的关键． 建立直角坐标系，设坐标原点O在上，所在直线为x轴， y轴过抛物线顶点C，进而求出二次函数解析式，设水面下降到位置，当水面宽5米时，设；当水面下降时，设；当水面下降时，设；逐一代入判断，即得． 【详解】如图，建立平面直角坐标系，坐标原点O在上，所在直线为x轴， y轴过抛物线顶点C， 根据题意得，，， 由对称性知， ∴，，， 设抛物线解析式为， 代入得，， 解得，， ∴， 设水面下降到位置， 当水面宽5米时， 设， 则， ∴水面下降了，①正确； 当水面下降时， 设，则， 解得，， ∴水面宽度为，②正确； 当水面下降时， 设，则， 解得， ∴水面宽度为， ∴水面宽度增加了，③正确． 故选D． 6．B 【分析】本题考查了一元二次方程与二次函数的应用，准确列出方程和函数解析式是解答本题的关键．①设边长为，则边长为，当时，求出是10，不符合题意，即可判断正误；②列出一元二次方程，求出x值即可判断正误；③列出二次函数解析式，根据最值求法即可判断正误；④列出二次函数解析式，求得扇形面积的最大值，即可判断正误． 【详解】解：如图①，设边长为，则边长为， 当时，， ∴， ∵， 故①不正确； ∵菜园面积为， ∴， 整理得：， 解得：或， ∴或， ∵时，，满足， 故②正确； 设矩形菜园的面积为， 根据题意得：， ∵， ∴当时，S有最大值，最大值为162， 故③正确； 如图②，设，则弧长， ∴， ∵， ∴当时，S有最大值，最大值为162， ∴方案二围成扇形菜园的最大面积等于方案一围成矩形菜园的最大面积． 故④不正确． ∴正确结论是②③2个． 故选：B． 7．C 【分析】①利用的长（绳子的长度的长），即可求出的长；②假设这两个正方形的面积之和可以是，设的长为，则的长为，根据这两个正方形的面积之和是，可列出关于的一元二次方程，由根的判别式，可得出原方程没有实数根，进而可得出假设不成立，即这两个正方形的面积之和不能是；③假设这两个正方形的面积之和可以是，设的长为，则的长为，根据这两个正方形的面积之和是，解之可得出的值，结合，可得出假设成立，即这两个正方形的面积之和可以是． 本题考查了一元二次方程的应用、根的判别式以及正方形的性质，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 【详解】解：①当的长是时，的长是，结论①正确； ②假设这两个正方形的面积之和可以是， 设的长为，则的长为， 根据题意得：， 整理得：， ， 原方程没有实数根， 假设不成立，即这两个正方形的面积之和不能是，结论②不正确； ③假设这两个正方形的面积之和可以是， 设的长为，则的长为， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，， ， 符合题意， 假设成立，即这两个正方形的面积之和可以是，结论③正确． 正确的结论有2个． 故选：C． 8．D 【分析】本题考查了菱形的性质，矩形的判定，一元二次方程根的判别，二次函数最值等知识点，灵活运用菱形的性质是解题的关键． 利用菱形的性质进行角的等量代换即可证出为矩形，判断①；过点作于点，设，则，用含的式子表达出和的长后，利用矩形的面积公式列式判断②和③即可． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，，， ∵，， ∴是等边三角形，， ∴，， ∴， 同理可证：， ∴四边形是矩形，故①正确； 过点作于点，如图所示：    设，则， ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴当时 整理得： ∵ ∴长有两个不同的值，故②正确； ∵ ∴当时，面积最大值为，故③正确； 综上①②③正确； 故选：D． 9．D 【分析】本题考查了二次函数，一元二次方程的应用，设，铺设草坪的面积为，种花的面积为，结合图象表示出函数关系式，进而根据各选项逐项分析判断，即可求解． 【详解】解：设，铺设草坪的面积为，种花的面积为 ∴ 则种花的面积的最大值为；故②正确 当时，即 即 ∴， ∴铺设草坪的面积可以是；故①正确 当时，即 ∴ 解得：，故③正确， 故选：D． 10．D 【分析】本题考查一元二次方程和二次函数的实际应用，①求出的长，可直接计算面积；②设的长是时，则，根据题意列方程求解即可；③设的长是，的面积为，根据题意得到x的取值范围，再得到关于x的函数，根据二次函数的性质求解即可． 【详解】解：①当的长是时，， 劳动基地的面积是，说法正确； ②设的长是时，则， 若的面积为， 则 或，说法正确； ③设的长是，的面积为 由题意可得， 解得：， ∵， 当时，y随x的增大而增大， ∴当时，面积有最大值， ∵时，面积为，时，面积为， ∴面积的最小值为，说法正确， 综上，3个说法都正确， 故选：D． 11．C 【分析】本题考查等边三角形性质、含直角三角形三边关系、利用三角形面积公式列函数解析式等知识点，掌握等边三角形的性质成为解题的关键． 因为点D不与点B、C重合可列关于x的一元一次不等式求出x的范围即可判断②．根据题意可知，，根据面积公式即可得到函数解析式即可判断③；和没有直接关系，故①不正确． 【详解】解：∵正三角形的边长为3，，， ∴，， ∴， ∴，即③正确； ∵点D不与点B、C重合，， ∴，即：，即②正确； 已知条件无法得到和的关系，即①错误． 综上，②③正确，共2个． 故选：C． 12．B 【分析】本题主要考查了三角形的三边关系，解一元二次方程，二次函数的性质等知识点，利用三角形的三边关系可判定①，先表示出，再利用二次函数的性质可判定③，解的方程，可判定②，进而可得答案，熟练掌握其性质是解决此题的关键． 【详解】∵ 在中，， ∴， ∴， 当时，， 此时是直角三角形且点C在线段上，不符合题目是四边形， ∴或， 故①错误，不符合题意； ∵， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∴当时，四边形面积有最大值为， 故③正确，符合题意； 当时， 解方程得：或， ∵当时，不符合题目是四边形， ∴的长有1个值满足四边形的面积为12， 故②错误，不符合题意； 故选：B． 13．C 【分析】本题考查函数模型的实际应用，熟练掌握根据题意得到函数的解析式是解题的关键，设，，易得，在中，，即可得到的取值范围；由①得， 易得，，故当时，，即可得到裁剪矩形后四边形为剩余的面积；③设此块布料的出售总价为元，由题可得，由于，故当时，取最大值，即可得到③的答案． 【详解】解：①如图，设剪下来的矩形为， ∵四边形为矩形， ∴， ∵四边形为菱形，， ∴， ∴， ∴， 由题意得，设， ∴， ∴， ∵四边形为菱形， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴的取值范围为；故①正确； ②：由①得， ∴是等腰直角三角形 ∴ ∴ ∴ 当时， ∴裁剪矩形后四边形为剩余的面积为平方厘米，故②错误； ③设此块布料的出售总价为元， ∵此块布料的出售为元/平方厘米， ∴， ∵， ∴当时，取最大值， ∴此块矩形布料出售总价的最大值为元，故③正确． 故选C． 14．B 【分析】本题考查的是一元二次方程应用的最值问题. 根据题意用未知数表示出未知量；根据题目的条件列出一元二次方程，转化为一般式，求出最值. 【详解】解：∵每星期可以卖出300件， 又∵每涨价1元，每星期要少卖出10件，设每件涨价x元， ∴实际卖出件. 故①正确； 设降价y元，那么卖出件， 根据题意可得：所获得的利润. 当时，利润最大，售价为：，利润最大为：. 故②错误； 设涨价x元， 由题意可得：所获利润 当时，利润最大，售价为：，利润最大为：. 综合涨价与降价两种情况及现在的销售状况可知，定价为65元时利润最大. 故③错误. 故答案选：B 15．C 【分析】设降价x元，则售价为元，每件的盈利元，每天可售出件， ①当降价为3元时，每星期可卖件；正确； ②根据题意，得，整理，得， 解得，每星期的利润为6120元时，可以将该商品的零售价定为58元或者57元；错误； ③设每星期的利润为y元，根据题意，得 ，故每星期的最大利润为6125元．判断即可． 利用每天销售获得的总利润＝每件千克的销售利润×每天的销售量，构造二次函数，根据抛物线的最值，解之即可得出x的值即可求得． 本题考查了一元二次方程的应用，二次函数的最值，最大利润问题，熟练掌握一元二次方程的应用，二次函数的最值是解题的关键． 【详解】设降价x元，则售价为元，每件的盈利元，每天可售出件， ①当降价为3元时，每星期可卖件； 正确； ②根据题意，得， 整理，得， 解得， 每星期的利润为6120元时，可以将该商品的零售价定为58元或者57元； 错误； ③设每星期的利润为y元，根据题意，得 ， 故每星期的最大利润为6125元．错误． 故选C． 16．B 【分析】本题考查二次函数的实际应用，根据已知条件列出总利润与销售价的函数关系式，利用二次函数的性质及其x的取值范围求出利润的最大值．利用函数的性质是解答此题的关键． 【详解】解：由题意可知，解得：， ∴销售单价不可能是90元，故①不正确； 利润与销售价的函数关系式： ， ， 抛物线的开口向下， 当时，随的增大而增大， 而， 当时，（元）． 当销售单价定为87元时，可获得最大利润，最大利润是891元，故②正确； 当时，， 解得：，（不符合题意，舍去）， 则只有1个销售单价为70元时，满足该服装店销售这种服装获得的利润为500元，故③不正确； 综上，正确的结论只有1个， 故选：B． 17．C 【分析】根据每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件列出算式计算即可判断①；设每件衬衫应降价元，则每天多销售件，根据题意列出一元二次方程，解方程即可判断②；设商场每天的盈利为元，根据题意得出，根据二次函数的性质即可得到答案． 【详解】解：每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件， 降价8元时，每天售出的件数为：（件），故①正确，符合题意； 设每件衬衫应降价元，则每天多销售件， 由题意得：， 整理得：， 解得：，， 尽快减少库存， ， 若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价20元，故②错误，不符合题意； 设商场每天的盈利为元， 由题意得：， ， 当时，最大为元，故③正确，符合题意； 综上所述，正确的有①③，共2个， 故选：C． 【点睛】本题考查了有理数的混合运算的应用、一元二次方程的应用、二次函数的应用，理解题意，找准等量关系，正确列出算式、一元二次方程以及二次函数是解此题的关键． 答案第12页，共16页 答案第13页，共16页 学科网（北京）股份有限公司 $$