第02讲 直线的点斜式、斜截式方程（三大题型归纳+分层练）-2024年新高二数学暑假预习核心知识点与常见题型通关讲解练（苏教版2019选修一）

第02讲 直线的点斜式、斜截式方程 【苏教版2019选修一】 目录 题型归纳 1 题型01 直线的点斜式方程 2 题型02 直线的斜截式方程 4 题型03 点斜式直线方程的应用 6 分层练习 9 夯实基础 9 能力提升 14 创新拓展 20 一、直线的点斜式方程 我们把方程________________称为过点P1(x1，y1)，斜率为k的直线l的方程． 方程y－y1＝k(x－x1)叫作直线的________________． 注意点： (1)点斜式应用的前提是直线的斜率存在，若斜率不存在，则不能应用此式． (2)当直线与x轴平行或重合时，方程可简写为y＝y1.特别地，x轴的方程是y＝0；当直线与y轴平行或重合时，不能应用点斜式方程．此时可将方程写成x＝x1.特别地，y轴的方程是x＝0. 二、直线的斜截式方程 1．直线l与y轴的交点(0，b)的____________称为直线l在y轴上的截距． 2．方程____________叫作直线的斜截式方程． 注意点： (1)直线的斜截式方程是直线的点斜式方程的特殊情况；由直线的斜截式方程可直接得到直线的斜率和纵截距． (2)截距是一个实数，它是直线与坐标轴交点的横坐标或纵坐标，可以为正数、负数和0.当直线过原点时，它在x轴上的截距和在y轴上的截距都为0. (3)斜截式方程与一次函数的解析式相同，都是y＝kx＋b的形式，但有区别：当k≠0时，y＝kx＋b为一次函数；当k＝0时，y＝b，不是一次函数．故一次函数y＝kx＋b(k≠0)一般可看成一条直线的斜截式方程． 题型01直线的点斜式方程 【解题策略】 　求直线的点斜式方程的步骤及注意点 (1)求直线的点斜式方程的步骤：定点(x1，y1)→定斜率k→写出方程y－y1＝k(x－x1)． (2)点斜式方程y－y1＝k(x－x1)可表示过点P(x1，y1)的所有直线，但x＝x1除外 【典例分析】 【例1】（23-24高二上·贵州遵义·阶段练习）过点且斜率为的直线的点斜式方程为（    ） A． B． C． D． 【变式演练】 【变式1】（23-24高二上·江苏苏州·阶段练习）过点且斜率为的直线的点斜式方程为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24高二上·全国·课后作业）已知，，则过的中点且倾斜角为，直线的点斜式方程是 ． 【变式3】（23-24高二上·全国·课后作业）写出满足下列条件的直线的点斜式方程： (1)经过点，斜率为3； (2)经过点，倾斜角是； (3)经过点，倾斜角是． 题型02 直线的斜截式方程 【解题策略】 　求直线的斜截式方程的策略 (1)斜截式方程的应用前提是直线的斜率存在． (2)直线的斜截式方程y＝kx＋b中只有两个参数，因此要确定直线方程只需两个独立条件即可． 【典例分析】 【例2】（22-23高二上·全国·课后作业）与直线垂直，且在x轴上的截距为2的直线的斜截式方程为（　　）. A． B． C． D． 【变式演练】 【变式1】（22-23高二上·重庆南岸·期中）经过点，且倾斜角为的直线的斜截式方程为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24高二上·广东湛江·阶段练习）倾斜角为，在y轴上的截距是的直线的斜截式方程为 . 【变式3】（2023高二上·江苏·专题练习）已知直线l的斜率为，且与两坐标轴围成的三角形的面积为4，求直线l的斜截式方程． 题型03 点斜式直线方程的应用 【解题策略】 (1)解含参数的直线恒过定点问题，可将直线方程整理成y－y0＝k(x－x0)的形式，则表示的直线必过定点(x0，y0)． (2)在求面积时，要将截距转化为距离． 【典例分析】 【例3】（23-24高二上·广东东莞·期中）直线经过点，在轴上的截距的取值范围是，则其斜率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式演练】 【变式1】（23-24高二上·四川遂宁·期中）倾斜角为135°的直线经过坐标原点O和点，则y等于（    ） A．4 B．5 C． D． 【变式2】（23-24高二上·上海浦东新·阶段练习）已知线段的端点，，直线：与线段相交，则的取值范围是 ． 【变式3】（23-24高二上·全国·课后作业）已知直线l的方程是. (1)求直线l的斜率和倾斜角； (2)求过点且与直线l平行的直线的方程. 【夯实基础】 一、单选题 1．（22-23高二上·河北石家庄·阶段练习）在平面直角坐标系中，下列四个结论： ①每一条直线都有点斜式和斜截式方程； ②倾斜角是钝角的直线，斜率为负数； ③方程与方程可表示同一直线； ④直线l过点，倾斜角为，则其方程为． 其中正确的是（    ） A．②④ B．②③ C．①② D．③④ 2．（21-22高二上·四川南充·开学考试）与直线垂直，且在轴上的截距为4的直线的斜截式方程是（    ） A． B．或 C． D．或 3．（23-24高二下·四川成都·开学考试）过点，且倾斜角为的直线方程为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高二下·河南周口·阶段练习）过点且倾斜角为的直线方程为（   ） A． B． C． D． 二、多选题 5．（23-24高二上·全国·课后作业）已知直线l：，则（　　） A．直线l过点 B．直线l的斜率为 C．直线l的倾斜角为 D．直线l在轴上的截距为1 6．（2023高二上·江苏·专题练习）已知直线l的倾斜角为，且过点，则在直线上的点是（    ） A． B． C． D． 三、填空题 7．（23-24高二上·江苏宿迁·期中）经过点，斜率为3的直线方程为 ． 8．（23-24高二上·上海奉贤·阶段练习）过点且与直线垂直的直线的斜截式方程是 . 9．（23-24高二上·湖北荆州·期末）已知直线l的斜率为，且过点，则直线l在y轴上的截距是 . 四、解答题 10．（2023高二上·江苏·专题练习）写出下列直线的斜截式方程： (1)直线斜率是，在y轴上的截距是； (2)直线倾斜角是，在y轴上的截距是； (3)直线在轴上的截距为，在y轴上的截距为. 11．（2023高二上·全国·专题练习）如图，在平行四边形中，点． (1)求所在直线方程； (2)过点C作于点D，求所在直线的方程． 【能力提升】 一、单选题 1．（22-23高二上·河南·阶段练习）经过点，斜率为的直线的点斜式方程为（    ） A． B． C． D． 2．（2021高二·全国·专题练习）过点与的直线的斜截式方程为（    ） A． B． C． D． 3．（22-23高二上·四川泸州·期末）直线l经过点，在x轴上的截距的取值范围是，则其斜率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高二上·山西大同·期末）直线过点，，则直线在轴上的截距是（   ） A． B．3 C． D． 二、多选题 5．（23-24高二上·江苏连云港·阶段练习）已知的三个顶点为，则下列说法正确的是（    ） A．直线的斜率为 B．直线的倾斜角为钝角 C．边上的中线所在的直线方程为 D．边所在的直线方程为 6．（23-24高二上·安徽合肥·期中）下列说法正确的是（    ） A．直线必过定点 B．直线在y轴上的截距为 C．直线的倾斜角为 D．若直线l沿x轴向左平移3个单位长度，再沿y轴向上平移1个单位长度后，回到原来的位置，则该直线l的斜率为 三、填空题 7．（23-24高二上·新疆乌鲁木齐·期中）已知斜率为2的直线经过点，则直线的方程为 . 8．（23-24高二上·全国·课后作业）已知直线与两坐标轴围成的三角形面积为6，则值是 . 9．（23-24高二上·全国·课后作业）与直线垂直，且在y轴上的截距为4的直线的斜截式方程为 ；它与y轴的交点为 . 四、解答题 10．（2024高二·全国·专题练习）已知直线l的斜率为，且和两坐标轴围成面积为3的三角形，求l的斜截式方程． 11．（23-24高二上·安徽·期末）已知直线过点． (1)若直线在轴上的截距、在轴上的截距的满足，求直线的方程； (2)若直线与两坐标轴的正半轴分别交于，两点，为坐标原点，当的面积最小时，求直线的方程． 【创新拓展】 一、单选题 1．（23-24高二上·广东广州·期中）已知点，若直线与线段AB（含端点）有公共点，则实数m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 2．（22-23高二上·广东广州·期中）已知直线交y轴于点A，将l绕点A顺时针旋转得直线m，则（    ） A．直线l与直线m关于x轴对称 B．直线l与直线m关于y轴对称 C．直线m的方程为 D．直线m的方程为 三、填空题 3．（23-24高二上·山西·开学考试）已知直线经过点，且，两点到直线的距离相等，则直线的方程为 . 四、解答题 4．（23-24高二上·上海·期末）已知直线过点． (1)若直线过点，求直线的方程； (2)若直线在轴和轴上的截距相等，求直线的方程． 【下节预览】 1、 解答题 1．（22-23高二上·广西玉林·阶段练习）已知的顶点，线段的中点为． (1)求边上的中线所在直线的方程； (2)若边所在直线在两坐标轴上的截距和是9，求边所在直线的方程． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第02讲 直线的点斜式、斜截式方程 【苏教版2019选修一】 目录 题型归纳 1 题型01 直线的点斜式方程 2 题型02 直线的斜截式方程 4 题型03 点斜式直线方程的应用 6 分层练习 9 夯实基础 9 能力提升 14 创新拓展 20 一、直线的点斜式方程 我们把方程y－y1＝k(x－x1)称为过点P1(x1，y1)，斜率为k的直线l的方程． 方程y－y1＝k(x－x1)叫作直线的点斜式方程． 注意点： (1)点斜式应用的前提是直线的斜率存在，若斜率不存在，则不能应用此式． (2)当直线与x轴平行或重合时，方程可简写为y＝y1.特别地，x轴的方程是y＝0；当直线与y轴平行或重合时，不能应用点斜式方程．此时可将方程写成x＝x1.特别地，y轴的方程是x＝0. 二、直线的斜截式方程 1．直线l与y轴的交点(0，b)的纵坐标b称为直线l在y轴上的截距． 2．方程y＝kx＋b叫作直线的斜截式方程． 注意点： (1)直线的斜截式方程是直线的点斜式方程的特殊情况；由直线的斜截式方程可直接得到直线的斜率和纵截距． (2)截距是一个实数，它是直线与坐标轴交点的横坐标或纵坐标，可以为正数、负数和0.当直线过原点时，它在x轴上的截距和在y轴上的截距都为0. (3)斜截式方程与一次函数的解析式相同，都是y＝kx＋b的形式，但有区别：当k≠0时，y＝kx＋b为一次函数；当k＝0时，y＝b，不是一次函数．故一次函数y＝kx＋b(k≠0)一般可看成一条直线的斜截式方程． 题型01直线的点斜式方程 【解题策略】 　求直线的点斜式方程的步骤及注意点 (1)求直线的点斜式方程的步骤：定点(x1，y1)→定斜率k→写出方程y－y1＝k(x－x1)． (2)点斜式方程y－y1＝k(x－x1)可表示过点P(x1，y1)的所有直线，但x＝x1除外 【典例分析】 【例1】（23-24高二上·贵州遵义·阶段练习）过点且斜率为的直线的点斜式方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据直线的点斜式方程形式，可直接得到结果. 【详解】过点且斜率为的直线的点斜式方程为， 故选： 【变式演练】 【变式1】（23-24高二上·江苏苏州·阶段练习）过点且斜率为的直线的点斜式方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据点斜式公式带入条件即可. 【详解】将，斜率为带入直线方程点斜式，得. 故选：B. 【变式2】（23-24高二上·全国·课后作业）已知，，则过的中点且倾斜角为，直线的点斜式方程是 ． 【答案】 【分析】求出中点坐标和斜率后，根据点斜式可得结果. 【详解】设的中点为，则， 又斜率， 所以直线的点斜式方程为． 故答案为： 【变式3】（23-24高二上·全国·课后作业）写出满足下列条件的直线的点斜式方程： (1)经过点，斜率为3； (2)经过点，倾斜角是； (3)经过点，倾斜角是． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）直接将点的坐标和斜率代入点斜式方程即可得出结果； （2）利用倾斜角计算出直线斜率，再代入点斜式方程即可； （3）利用倾斜角是可得直线斜率为，代入点斜式方程求出结果； 【详解】（1）由题意可知，将和斜率3直接代入直线点斜式方程可得， 直线的点斜式方程为； （2）由倾斜角是可得直线斜率， 将代入点斜式方程即为 （3）由倾斜角是可得直线斜率， 将代入点斜式方程即为 题型02 直线的斜截式方程 【解题策略】 　求直线的斜截式方程的策略 (1)斜截式方程的应用前提是直线的斜率存在． (2)直线的斜截式方程y＝kx＋b中只有两个参数，因此要确定直线方程只需两个独立条件即可． 【典例分析】 【例2】（22-23高二上·全国·课后作业）与直线垂直，且在x轴上的截距为2的直线的斜截式方程为（　　）. A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先根据垂直关系确定所求直线的斜率，设出直线方程后再根据横截距确定与x轴的交点坐标，进而求得待定系数，确定答案. 【详解】因为所求的直线与直线垂直，所以，得. 设所求直线为,又因为所求直线在x轴上的截距为2即过点， 求得,所以所求直线的斜截式方程为， 故选：B. 【变式演练】 【变式1】（22-23高二上·重庆南岸·期中）经过点，且倾斜角为的直线的斜截式方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据倾斜角求出斜率，写出点斜式方程，化为斜截式可得答案. 【详解】斜率， 点斜式方程为， 斜截式方程为. 故选：A 【变式2】（23-24高二上·广东湛江·阶段练习）倾斜角为，在y轴上的截距是的直线的斜截式方程为 . 【答案】 【分析】由倾斜角求出直线斜率，得到直线的斜截式方程. 【详解】由题意得，直线斜率为， 故直线的斜截式方程为. 故答案为： 【变式3】（2023高二上·江苏·专题练习）已知直线l的斜率为，且与两坐标轴围成的三角形的面积为4，求直线l的斜截式方程． 【答案】或 【分析】直线l的斜截式方程为，求出直线在坐标轴上的截距，表示出三角形面积，解出的值得方程. 【详解】设直线方程为，则令得；令得， 由题意得，即，所以， 所以直线l的方程为或. 题型03 点斜式直线方程的应用 【解题策略】 (1)解含参数的直线恒过定点问题，可将直线方程整理成y－y0＝k(x－x0)的形式，则表示的直线必过定点(x0，y0)． (2)在求面积时，要将截距转化为距离． 【典例分析】 【例3】（23-24高二上·广东东莞·期中）直线经过点，在轴上的截距的取值范围是，则其斜率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设出直线方程，求得其在在轴上的截距，建立不等式，解出即可. 【详解】设直线的斜率为， 则直线方程为， 令，得， 故直线在轴上的截距为， 令， 得或者， 故选： 【变式演练】 【变式1】（23-24高二上·四川遂宁·期中）倾斜角为135°的直线经过坐标原点O和点，则y等于（    ） A．4 B．5 C． D． 【答案】C 【分析】根据直线经过的点以及斜率写出直线方程，即可代入求解. 【详解】由题意可知：直线的方程为， 将点代入直线方程中得， 故选：C 【变式2】（23-24高二上·上海浦东新·阶段练习）已知线段的端点，，直线：与线段相交，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】将直线方程化为点斜式，画出图形，由题中的几何关系结合两点斜率公式求解即可. 【详解】   由已知，直线：， ∴直线过定点，且斜率为， 由已知，直线的斜率，直线的斜率， ∵直线与线段相交， ∴直线的斜率的取值范围是. 故答案为： 【变式3】（23-24高二上·全国·课后作业）已知直线l的方程是. (1)求直线l的斜率和倾斜角； (2)求过点且与直线l平行的直线的方程. 【答案】(1)斜率为，倾斜角是60° (2) 【分析】（1）由直线方程直接求出斜率，进而得到倾斜角； （2）利用点斜式方程求出直线方程. 【详解】（1）已知直线l：， 所以直线l的斜率，倾斜角是. （2）过点且与直线l平行的直线的斜率是， 所求直线方程为：，即 【夯实基础】 一、单选题 1．（22-23高二上·河北石家庄·阶段练习）在平面直角坐标系中，下列四个结论： ①每一条直线都有点斜式和斜截式方程； ②倾斜角是钝角的直线，斜率为负数； ③方程与方程可表示同一直线； ④直线l过点，倾斜角为，则其方程为． 其中正确的是（    ） A．②④ B．②③ C．①② D．③④ 【答案】A 【分析】根据点斜式和斜截式方程需直线的斜率存在可判断①；根据直线的斜率可判断②；根据不过可判断③；由直线倾斜角为90°得直线可判断④ 【详解】对于①，斜率不存在的直线无点斜式和斜截式方程，故错； 对于②，倾斜角是钝角的直线，其倾斜角的正切值为负数，直线斜率为负数，故正确； 对于③，方程表示直线去掉点与方程不表示同一直线，故错； 对于④，直线过点，倾斜角为，则其方程为，故正确， 故选：A 2．（21-22高二上·四川南充·开学考试）与直线垂直，且在轴上的截距为4的直线的斜截式方程是（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】A 【分析】将直线化为斜截式方程，可得出斜率，从而得与直线垂直的直线斜率，再根据所求直线在轴上的截距为4，即可得出所求直线的斜截式方程. 【详解】解：由于直线，即，可知斜率， 则与直线垂直的直线斜率为， 由于所求直线在轴上的截距为4， 则所求直线的斜截式方程是. 故选：A. 3．（23-24高二下·四川成都·开学考试）过点，且倾斜角为的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据倾斜角为的直线的方程形式，即可得到正确选项. 【详解】因为过点的直线倾斜角为，即直线垂直于轴， 所以直线方程为， 故选：A. 4．（23-24高二下·河南周口·阶段练习）过点且倾斜角为的直线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意知直线斜率为1，根据点斜式即可写出直线方程化简即可得解. 【详解】过点，且倾斜角为的直线斜率为1，则，即． 故选：B． 二、多选题 5．（23-24高二上·全国·课后作业）已知直线l：，则（　　） A．直线l过点 B．直线l的斜率为 C．直线l的倾斜角为 D．直线l在轴上的截距为1 【答案】BC 【分析】根据直线方程逐项判断. 【详解】对于A，将代入，可知不满足方程，故A不正确； 对于B，由，知直线l的斜率为，故B正确； 对于C，设直线l的倾斜角为α，则，可得，故C正确； 对于D，由，令，可得直线l在轴上的截距为－1，故D不正确． 故选：BC 6．（2023高二上·江苏·专题练习）已知直线l的倾斜角为，且过点，则在直线上的点是（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】求出直线的方程，将各选项中的点的坐标代入验证，即得答案. 【详解】直线的斜率，故直线方程为，即， 将A、B、C、D中各点坐标代入知，，适合方程，则A、B正确. 故选：AB 三、填空题 7．（23-24高二上·江苏宿迁·期中）经过点，斜率为3的直线方程为 ． 【答案】 【分析】直接由直线方程点斜式的定义即可得解. 【详解】由题意经过点，斜率为3的直线方程为，整理得. 故答案为：. 8．（23-24高二上·上海奉贤·阶段练习）过点且与直线垂直的直线的斜截式方程是 . 【答案】 【分析】根据题意，由两直线垂直可得，再由点斜式方程，即可得到结果. 【详解】因为直线与直线垂直，所以，解得，所以直线的方程为，化简可得. 故答案为： 9．（23-24高二上·湖北荆州·期末）已知直线l的斜率为，且过点，则直线l在y轴上的截距是 . 【答案】 【分析】利用点斜式求直线方程，再转化为斜截式方程，即可得出直线在轴上的截距． 【详解】由点斜式方程得，转化为斜截式方程可得， 所以该直线在轴上的截距为. 故答案为：. 四、解答题 10．（2023高二上·江苏·专题练习）写出下列直线的斜截式方程： (1)直线斜率是，在y轴上的截距是； (2)直线倾斜角是，在y轴上的截距是； (3)直线在轴上的截距为，在y轴上的截距为. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由斜截式求解直线方程即可； （2）先根据倾斜角求直线的斜率，再根据斜截式求解直线方程即可； （3）根据直线过的两点，确定直线斜率，再根据斜截式求解直线方程即可. 【详解】（1）由直线的斜截式方程可知，所求直线方程为. （2）因为直线斜率为，由直线的斜截式方程可知所求直线方程为：. （3）因为直线在轴上的截距为，在轴上的截距为，所以直线过点，， 根据两点可求直线斜率，所以直线的斜截式方程为. 11．（2023高二上·全国·专题练习）如图，在平行四边形中，点． (1)求所在直线方程； (2)过点C作于点D，求所在直线的方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求出所在直线的斜率，然后求出所在的直线方程. （2）根据，由求出，进而求出所在直线的方程. 【详解】（1），所在直线的斜率为， 又， 所在直线方程是，即． （2）因为， 所以, 又因为， 所以所在直线方程为， 即 【能力提升】 一、单选题 1．（22-23高二上·河南·阶段练习）经过点，斜率为的直线的点斜式方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】直接根据点斜式方程求解即可. 【详解】解：根据题意，经过点，斜率为的直线的点斜式方程为. 故选：B 2．（2021高二·全国·专题练习）过点与的直线的斜截式方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设所求直线的斜截式方程为，将点、的坐标代入直线方程，求出、的值，即可得解. 【详解】设所求直线的斜截式方程为，则，解得， 因此，直线的斜截式方程为. 故选：B. 3．（22-23高二上·四川泸州·期末）直线l经过点，在x轴上的截距的取值范围是，则其斜率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由直线的点斜式方程即可表示出直线的方程，得到其在轴的截距，列出不等式，即可得到结果. 【详解】设直线l的斜率为，则方程为， 令，解得， 故直线l在x轴上的截距为， ∵在x轴上的截距的取值范围是， ∴，解得或. 故选：C. 4．（23-24高二上·山西大同·期末）直线过点，，则直线在轴上的截距是（   ） A． B．3 C． D． 【答案】D 【分析】求出直线的方程，令可解. 【详解】由题可得直线的斜率， 再由点斜式方程可得， 化简可得，令， 则直线在轴上的截距为． 故选：D． 二、多选题 5．（23-24高二上·江苏连云港·阶段练习）已知的三个顶点为，则下列说法正确的是（    ） A．直线的斜率为 B．直线的倾斜角为钝角 C．边上的中线所在的直线方程为 D．边所在的直线方程为 【答案】BCD 【分析】利用斜率公式可判断A选项；利用斜率与倾斜角的关系可判断B选项；利用直线的点斜式方程可判断CD选项. 【详解】对于A选项，，A错； 对于B选项，，所以，直线的倾斜角为钝角，B对； 对于C选项，线段的中点为，则， 所以，边上的中线所在的直线方程为，即，C对； 对于D选项，边所在的直线方程为，即，D对. 故选：BCD. 6．（23-24高二上·安徽合肥·期中）下列说法正确的是（    ） A．直线必过定点 B．直线在y轴上的截距为 C．直线的倾斜角为 D．若直线l沿x轴向左平移3个单位长度，再沿y轴向上平移1个单位长度后，回到原来的位置，则该直线l的斜率为 【答案】AC 【分析】直接利用直线的方程，直线的倾斜角和斜率之间的关系逐项判断即可得结论． 【详解】对于A：直线，整理得，所以该直线经过点，故A正确； 对于B：直线，令，解得，故直线在y轴上的截距为2，故B错误； 对于C：直线，所以直线的斜率，所以，由于故，故C正确； 对于D：直线l沿x轴向左平移3个单位长度，再沿y轴向上平移1个单位长度后，回到原来的位置，则，所以直线的斜率为，故D不正确． 故选：AC. 三、填空题 7．（23-24高二上·新疆乌鲁木齐·期中）已知斜率为2的直线经过点，则直线的方程为 . 【答案】 【分析】根据直线点斜式方程，直线斜率为且过点时，直线方程为，代入题中已知即可得出答案. 【详解】已知直线斜率为2且经过点， 由直线点斜式方程得直线的方程为：，即. 故答案为：. 8．（23-24高二上·全国·课后作业）已知直线与两坐标轴围成的三角形面积为6，则值是 . 【答案】 【分析】根据题意，分别求得直线在轴的截距，结合三角形的面积公式，即可得到结果. 【详解】对于直线，能与两坐标轴围成三角形，则， 令，得，所以直线与轴交点坐标为， 令，得，所以直线与轴交点坐标为， 所以直线与两坐标轴围成的三角形面积为， 解得. 故答案为： 9．（23-24高二上·全国·课后作业）与直线垂直，且在y轴上的截距为4的直线的斜截式方程为 ；它与y轴的交点为 . 【答案】 【分析】根据与直线垂直，求出斜率，再根据在y轴上的截距为4，求出直线方程. 【详解】设所求直线斜率为k，则， 即，又在y轴上的截距为4， 则直线为，与y轴交点为. 故答案为：；. 四、解答题 10．（2024高二·全国·专题练习）已知直线l的斜率为，且和两坐标轴围成面积为3的三角形，求l的斜截式方程． 【答案】或 【分析】根据直线的斜距式方程，可得轴上的交点，即可根据三角形面积即可求解. 【详解】设直线方程为，则时，时，. 由已知可得， 即，∴. 故所求直线方程为或 11．（23-24高二上·安徽·期末）已知直线过点． (1)若直线在轴上的截距、在轴上的截距的满足，求直线的方程； (2)若直线与两坐标轴的正半轴分别交于，两点，为坐标原点，当的面积最小时，求直线的方程． 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）分直线过原点和不过原点，利用截距式直线方程解题即可； （2）利用点斜式直线方程以及基本不等式解题即可. 【详解】（1）根据题意：直线在轴上的截距是在轴上的截距的3倍， 当直线不过原点时，设直线为， 将代入可得， 所以直线的方程为； 当直线过原点时，直线的斜率为， 所以直线的方程为即． 综上，直线的方程为或； （2）设直线的方程为， 所以，， 所以， 当且仅当时，，（舍）， 所以直线的方程为即． 【创新拓展】 一、单选题 1．（23-24高二上·广东广州·期中）已知点，若直线与线段AB（含端点）有公共点，则实数m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据已知条件及直线的点斜式方程求出定点，直线与线段有交点，结合图形可得直线斜率的范围，利用直线的斜率公式即可求解. 【详解】由，得， 所以直线l的方程恒过定点，斜率为. 因为，， 所以，. 由题意可知，作出图形如图所示， 由图象可知，或， 所以实数m的取值范围为. 故选：B. 二、多选题 2．（22-23高二上·广东广州·期中）已知直线交y轴于点A，将l绕点A顺时针旋转得直线m，则（    ） A．直线l与直线m关于x轴对称 B．直线l与直线m关于y轴对称 C．直线m的方程为 D．直线m的方程为 【答案】BD 【分析】先求得直线m的方程，再分别求得直线l关于x轴和关于y轴对称的直线方程即可解决. 【详解】直线交y轴于点，斜率，倾斜角为 则直线m倾斜角为，斜率，且直线m过点， 则直线m的方程为，即， 又直线关于y轴对称的直线为； 关于x轴对称的直线为 则选项AC判断错误；选项BD判断正确. 故选：BD 三、填空题 3．（23-24高二上·山西·开学考试）已知直线经过点，且，两点到直线的距离相等，则直线的方程为 . 【答案】或 【分析】根据直线与直线平行，过直线过线段的中点进行分类讨论，从而求得的方程. 【详解】直线的斜率为， 所以过且平行于直线的直线方程为. 线段的中点坐标为， 所以过与线段中点的直线的方程为. 所以直线或符合题意. 故答案为：或    四、解答题 4．（23-24高二上·上海·期末）已知直线过点． (1)若直线过点，求直线的方程； (2)若直线在轴和轴上的截距相等，求直线的方程． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据直线过两点求出斜率，由点斜式方程求出直线方程； （2）设出直线的点斜式方程，列式运算即可得出直线方程. 【详解】（1）由直线过点，，所以直线的斜率为， 所以直线的方程为，即. （2）直线过点，在轴和轴上的截距相等， 设直线的方程为，， 令得，令得，则， 解得或， 所以直线的方程为或. 【下节预览】 1、 解答题 1．（22-23高二上·广西玉林·阶段练习）已知的顶点，线段的中点为． (1)求边上的中线所在直线的方程； (2)若边所在直线在两坐标轴上的截距和是9，求边所在直线的方程． 【答案】(1)5x－4y－9＝0． (2)． 【分析】(1)根据两点式方程写出直线方程; (2)先设截距式方程,再根据条件列式求解即可. 【详解】（1）因为边上的中线就是， 所以由两点式方程：，得：5x－4y－9＝0． （2）设直线的方程为， 则有或， 所以直线的方程为：或． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司6 学科网（北京）股份有限公司 $$