暑期复习提升综合测试卷（范围：苏教版2019必修二全册）-【暑假分层作业】2024年高一数学暑假培优练（苏教版2019必修第二册）

暑期复习提升综合测试卷 考试时间：120分钟 满分：150分 测试范围：平面向量+三角恒等变换+解三角形+复数+立体几何+统计概率 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知复数满足，则的共轭复数对应的点位于　　 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．已知，，是三条不同的直线，，是两个不同的平面，且，，，下列命题正确的是　　 A．若，则 B．若，则 C．若，，则 D．若，，则 3．已知向量，且，则　　 A． B． C． D．2 4．某高中志愿者协会共有250名学生，其中高三年级学生50名．为了解志愿者的服务意愿，按年级采用比例分配的分层随机抽样方法抽取50名学生进行问卷调查，则高一年和高二年共抽取的学生数为　　 A．25 B．30 C．40 D．45 5．某户居民今年上半年每月的用水量（单位：如下： 月份 1月 2月 3月 4月 5月 6月 用水量 9.0 9.6 14.9 5.9 4.0 7.7 小明在录入数据时，不小心把一个数据9.6录成96，则这组数据中没有发生变化的量是　　 A．平均数 B．中位数 C．极差 D．标准差 6．在中，点是线段上一点，点是线段上一点，且，则　　 A． B． C． D． 7．已知角，满足，则　　 A． B． C． D． 8．已知锐角，角，，所对的边分别为，，，若，，则的取值范围是　　 A．， B． C． D．， 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9．复数的共轭复数为．若，则的可能值为　　 A． B． C． D． 10．在一次随机试验中，事件，，发生的概率分别是0.2，0.3，0.5，则下列说法错误的是　　 A．与是互斥事件，也是对立事件 B．是必然事件 C． D． 11．如图，在等腰直角三角形中，，，设点，，，是线段的五等分点，则　　 A． B． C． D．的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．半径为3，弧长为的扇形作为侧面围成一个圆锥，则该圆锥的体积为 　　． 13．已知的外接圆半径为1，则的最大值为 　　． 14．如图，圆形纸片的圆心为，半径为12，该纸片，上的正方形的中心为，，，，为圆上的点，，，，分别是以，，，为底边的等腰三角形，沿虚线剪开后，分别以，，，为折痕折起，，，使得点，，，重合，得到一个四棱锥．当该四棱锥的侧面积是底面积的2倍时，该四棱锥的外接球的表面积为 　　． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．已知中，，，，点在边上且满足． （1）用、表示，并求； （2）若点为边中点，求与夹角的余弦值． 16．某工厂引进了一条生产线，为了解产品的质量情况，现从生产线上随机抽取100件产品，测量其技术参数，得到如图所示的频率分布直方图． （1）由频率分布直方图，估计样本技术参数的平均数和分位数（精确到； （2）现从技术参数位于区间，，，，，的三组中，采用分层抽样的方法抽取6件产品，再从这6件产品中任选3件产品，记事件 “这3件产品中技术参数位于区间，内的产品至多1件”，事件 “这3件产品中技术参数位于区间，内的产品至少1件”，求事件的概率． 17．已知向量，． （1）若，求； （2）若，求． 18．已知中，． （1）求； （2）若，，求的面积． 19．如图，已知斜三棱柱中，平面平面，与平面所成角的正切值为，所有侧棱与底面边长均为2，是边中点． （1）求证：平面； （2）求异面直线与所成的角； （3）是边一点，且，若，求的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 暑期复习提升综合测试卷 考试时间：120分钟 满分：150分 测试范围：平面向量+三角恒等变换+解三角形+复数+立体几何+统计概率 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知复数满足，则的共轭复数对应的点位于　　 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【分析】根据复数运算即可求得复数，再得共轭复数，根据复数的几何意义即可得答案． 【解答】解：， ， ， 故在复平面内对应的点位于第四象限． 故选：． 【点评】本题主要考查复数的四则运算，以及复数的几何意义，属于基础题． 2．已知，，是三条不同的直线，，是两个不同的平面，且，，，下列命题正确的是　　 A．若，则 B．若，则 C．若，，则 D．若，，则 【分析】根据题意，由直线直线与平面、平面与平面的位置关系依次分析选项，综合可得答案． 【解答】解：根据题意，依次分析选项： 对于，若，则，不一定垂直，错误； 对于，若，必有，由直线与平面平行的性质，可得，正确； 对于，若，必有，而，必有，错误； 对于，若，，，不一定垂直，错误． 故选：． 【点评】本题考查空间直线与平面、平面与平面的位置关系，涉及直线与平面平行、垂直的性质，属于基础题． 3．已知向量，且，则　　 A． B． C． D．2 【分析】根据已知条件，结合向量垂直的性质，即可求解． 【解答】解：，且， ， ． 故选：． 【点评】本题主要考查向量垂直的性质，属于基础题． 4．某高中志愿者协会共有250名学生，其中高三年级学生50名．为了解志愿者的服务意愿，按年级采用比例分配的分层随机抽样方法抽取50名学生进行问卷调查，则高一年和高二年共抽取的学生数为　　 A．25 B．30 C．40 D．45 【分析】根据已知条件，结合分层抽样的定义，即可求解． 【解答】解：按年级采用比例分配的分层随机抽样方法抽取50名学生进行问卷调查， 则高三年数学生抽取， 故高一年和高二年共抽取的学生数为． 故选：． 【点评】本题主要考查分层抽样的定义，属于基础题． 5．某户居民今年上半年每月的用水量（单位：如下： 月份 1月 2月 3月 4月 5月 6月 用水量 9.0 9.6 14.9 5.9 4.0 7.7 小明在录入数据时，不小心把一个数据9.6录成96，则这组数据中没有发生变化的量是　　 A．平均数 B．中位数 C．极差 D．标准差 【分析】由平均数和标准差的计算公式可知，平均数与标准差均发生改变，由于最小值没变 而最大值发生了变化，因而极差变化了，求中位数，可将数据按小到大顺序排列，由于只有6个数，所以取最中间的两个数并求其平均，即得中位数，因为最中间的两个数没有变化，因而中位数也没有变化． 【解答】解：只改变了其中一个数据，根据平均数及标准差的计算公式知，平均数及标准差均发生了变化， 实际数据由小到大排序为：4.0，5.9，7.7，9.0，9.6，14.9，中位数为7.7，9.0的平均数，极差为， 错误数据由小到大排序为：4.0，5.9，7.7，9.0，14.9，96，中位数为7.7，9.0的平均数，极差为， 所以中位数没有变化，极差变化了． 故选：． 【点评】本题主要考查了平均数、标准差、中位数和极差的计算公式，属于基础题． 6．在中，点是线段上一点，点是线段上一点，且，则　　 A． B． C． D． 【分析】由已知结合向量的线性运算及向量共线定理即可求解． 【解答】解：在中，点是线段上一点，点是线段上一点，且， 则， 因为，，三点共线， 所以，即． 故选：． 【点评】本题主要考查了向量共线定理的应用，属于基础题． 7．已知角，满足，则　　 A． B． C． D． 【分析】根据同角的三角函数关系式，结合两角和差的正弦公式进行求解即可． 【解答】解：， ， ． 故选：． 【点评】本题主要考查了同角基本关系及和差角公式的应用，属于中档题． 8．已知锐角，角，，所对的边分别为，，，若，，则的取值范围是　　 A．， B． C． D．， 【分析】由正弦定理可得三边的关系，再由余弦定理可得，因为三角形为锐角三角形可得的取值范围． 【解答】解：， 由正弦定理可得， 由余弦定理，可得， 又， 可得， 锐角中，， 所以， 所以， 因为， 所以，又， 所以， 所以，即， 解得 所以，， 故选：． 【点评】本题考查三角形的正余弦定理的应用，及锐角三角形的性质，属于中档题． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9．复数的共轭复数为．若，则的可能值为　　 A． B． C． D． 【分析】设复数，可得其共轭复数，利用复数的运算以及模长公式，列方程得出，的关系，逐个检验选项即可． 【解答】解：设复数，则， ， ，， 又， ， 化简得：， 即，排除选项． 故选：． 【点评】本题考查复数的运算，考查复数的模长，属于基础题． 10．在一次随机试验中，事件，，发生的概率分别是0.2，0.3，0.5，则下列说法错误的是　　 A．与是互斥事件，也是对立事件 B．是必然事件 C． D． 【分析】根据事件，，不一定两两互斥，结合概率运算公式和互斥、对立的概念，即可求解． 【解答】解：由事件，，不一定两两互斥，所以， ，且， 所以不一定是必然事件，无法判断与是不是互斥或对立事件， 所以、、中说法错误． 故选：． 【点评】本题考查互斥事件和对立事件，属于基础题． 11．如图，在等腰直角三角形中，，，设点，，，是线段的五等分点，则　　 A． B． C． D．的最小值为 【分析】选项都是根据平面向量基本定理，将所判断向量适当进行转化即可判断，选项根据对称性，将点关于的对称点作出，则可转化为两条线段的长度之和最小的问题来解决． 【解答】解：对于， ，故错误； 对于，同上可得，， 因为在等腰直角三角形中，， 所以，， 所以 ， ， 所以，故正确； 对于，设的中点为， 则，，， 所以 ，故正确； 对于，设的中点为，为线段上一点， 设，则， 则， ， 所以， 作点关于的对称点，则四边形为边长为1的正方形， 故，当，，三点共线时取等号， 所以的最小值为，故正确． 故选：． 【点评】本题考查平面向量基本定理的综合应用，属中档题． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．半径为3，弧长为的扇形作为侧面围成一个圆锥，则该圆锥的体积为 　　． 【分析】根据圆锥体积公式和图形关系直接计算求解． 【解答】解：如下图所示， 若用半径为3，弧长为的扇形作为侧面围成一个圆锥， 则圆锥底面周长为，圆锥母线长为3， 则圆锥底面周长，得， 所以圆锥底面面积为， 因为，， 所以圆锥的高， 所以该圆锥的体积为． 故答案为：． 【点评】本题主要考查圆锥体积的求法，考查运算求解能力，属于基础题． 13．已知的外接圆半径为1，则的最大值为 　　． 【分析】利用向量的线性运算及数量积运算，结合二次函数的配方法求得最值． 【解答】解：设为的外心， 则有 ， 当与方向相反时等号成立， 而， 当且仅当时取等，故的最大值为． 故答案为：． 【点评】本题考查向量的线性运算及数量积运算，考查二次函数的最值求法，属中档题． 14．如图，圆形纸片的圆心为，半径为12，该纸片，上的正方形的中心为，，，，为圆上的点，，，，分别是以，，，为底边的等腰三角形，沿虚线剪开后，分别以，，，为折痕折起，，，使得点，，，重合，得到一个四棱锥．当该四棱锥的侧面积是底面积的2倍时，该四棱锥的外接球的表面积为 　　． 【分析】连接交于点，设，，，重合于点，正方形的边长为，则，求出的值，再利用勾股定理求，代入球的表面积公式，即可得答案． 【解答】解：连接交于点，设，，，重合于点，正方形的边长为，则， 因为该四棱维的侧面积是底面积的2倍， 所以，解得． 设该四棱锥的外接球的球心为，半径为，如图， 则， 所以，解得， 所以外接球的表面积为． 故答案为：． 【点评】本题考查四棱锥外接球的表面积，考查学生的运算能力，属于中档题． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．已知中，，，，点在边上且满足． （1）用、表示，并求； （2）若点为边中点，求与夹角的余弦值． 【分析】（1）根据条件得出，然后即可得出，然后根据进行数量积的运算即可求出答案； （2）根据条件得出，然后进行数量积的运算可求出和的值，然后根据向量夹角的余弦公式即可求出与夹角的余弦值． 【解答】解：（1）点在边上，且， ，， ，且，，， ； （2）点为边中点， ， ， 又， ． 【点评】本题考查了向量加法的平行四边形法则，向量数乘和减法的几何意义，向量数量积的运算，向量长度的求法，向量夹角的余弦公式，考查了计算能力，属于基础题． 16．某工厂引进了一条生产线，为了解产品的质量情况，现从生产线上随机抽取100件产品，测量其技术参数，得到如图所示的频率分布直方图． （1）由频率分布直方图，估计样本技术参数的平均数和分位数（精确到； （2）现从技术参数位于区间，，，，，的三组中，采用分层抽样的方法抽取6件产品，再从这6件产品中任选3件产品，记事件 “这3件产品中技术参数位于区间，内的产品至多1件”，事件 “这3件产品中技术参数位于区间，内的产品至少1件”，求事件的概率． 【分析】（1）根据平均数和百分位数的定义求解； （2）由分层抽样可知，三个区间依次抽取3个，2个，1个，再结合古典概型的概率公式求解． 【解答】解：（1）由频率分布直方图可知，平均数为：， 因为，， 所以分位数落在，内，设其为， 则， 解得， 即分位数约为46.7； （2）采用分层抽样，根据三个区间的比例关系，依次抽取3个，2个，1个， 区间，内的3件产品记为，，， 区间，内的2件产品记为，， 区间，内的1件产品记为， 从这6件产品中任选3件，所有情况为： ，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共20种， 事件分为： ①从，抽0个，从，里面抽2个，从，里面抽1个， 包含基本事件为：，，，共1种， 所以， ②从，抽1个，从，里面抽1个，从，里面抽1个， 包含基本事件为：，，，，，，，，，，，，，，，，，，共6种， 所以， ③从，抽1个，从，里面抽2个，从，里面抽0个， 包含基本事件为：，，，，，，，，，，共3种， 所以， 所以． 【点评】本题主要考查了频率分布直方图的应用，考查了古典概型的概率公式，属于基础题． 17．已知向量，． （1）若，求； （2）若，求． 【分析】（1）由平面向量共线的坐标运算和二倍角的正切公式计算即可求得； （2）由条件和平面向量模的计算可得，再由平面向量垂直的坐标表示可求得的值，再由二倍角公式化简即可得． 【解答】解：（1），且， ，， ； （2）， ， ，即， ， ． 【点评】本题考查平面向量平行和垂直得坐标表示，二倍角公式，同角三角函数的基本关系等，属于中档题． 18．已知中，． （1）求； （2）若，，求的面积． 【分析】（1）由正弦定理得，再由余弦定理得，可得，从而得出； （2）由正弦定理得，得出，再得出，由三角形面积公式可得的面积． 【解答】解：（1）设三个内角，，所对边长分别，，， 因为， 由正弦定理可得，， 所以， 即， 所以， 因为， 所以； （2）中，，，， 由正弦定理，， 所以， 所以， 因为， 所以． 【点评】本题考查了正余弦定理在解三角形中的应用，属于中档题． 19．如图，已知斜三棱柱中，平面平面，与平面所成角的正切值为，所有侧棱与底面边长均为2，是边中点． （1）求证：平面； （2）求异面直线与所成的角； （3）是边一点，且，若，求的值． 【分析】（1）由题意及线面平行的证法，可证得结论； （2）由异面直线的夹角的求法，平移直线可得相交直线所成的角，求出异面直线的夹角； （3）用向量的方法，可得的值． 【解答】解：（1）证明：如图，连接与交于点，连， 在斜三棱柱中， 四边形是菱形， 则是的中点，又是中点， 即为△的中位线， 所以， 又平面，平面， 可证得：平面； （2）取的中点，连，斜三棱柱底面△边长均为2， 则， 平面平面，平面平面，平面， 则平面，所以即为与平面所成角， △中，，，则，又，， 则在△中，，则， 由三棱柱中，，， 所以异面直线与所成的角等于，即为， 即异面直线与所成的角为； （3）由（2）知平面，又平面，则， 又，，而，平面， 所以平面， 又平面，则， 在菱形中，以为坐标原点，所在直线为轴建系， 由（2）知，所以，，， ， 又，所以，，，，，，，， 又，即，即， 整理可得：， 所以的值为． 【点评】本题考查立体几何中异面直线的夹角的求法及直线与平面的平行的证法，属于中档题． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$