专题06 复数常考题型归类（考题猜想，10题型）-2023-2024学年高一数学下学期期末考点大串讲（人教B版2019必修第四册）

专题06 复数 一．复数的概念与分类 1．（23-24高一下·广东广州·期中）若复数，则的共轭复数的虚部为（    ） A． B． C．6 D． 2．（23-24高一下·江苏盐城·月考）若复数为纯虚数，则复数的共轭复数为（    ） A． B． C． D．所以，所 3．（23-24高一下·安徽芜湖·期中）若复数是实数，则等于（    ） A．1 B． C． D．不存在 4．（23-24高一下·江苏镇江·期中）已知复数的实部与虚部互为相反数，则的取值不可能为（   ） A． B． C． D． 5．（23-24高一下·安徽铜陵·期中）（多选）已知复数在复平面内对应的点为，则下列结论正确的是（    ） A．若，则z为纯虚数 B．若，则z为实数 C．若，则点Z在直线上 D．若，则点Z在第三象限 二．复数与点一一对应 1．（23-24高一下·山东济宁·期中）复数（为虚数单位），则复数在复平面内对应的点在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．（23-24高一下·湖南·月考）已知是虚数单位，当时，复数在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．（23-24高一下·安徽定远·月考）若为第四象限角，则复数（为虚数单位）对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 4．（23-24高一下·福建圃田·月考）若（是虚数单位，）对应的点在复平面内位于第四象限，则（    ） A． B． C． D．或 5．（23-24高一下·广东广州·月考）已知是虚数单位，若复数在复平面内所对应的点位于第一象限，则的取值范围为 ． 三．复数与向量一一对应 1．（23-24高一下·江苏连云港·期中）复数与分别表示向量与，则表示向量的复数为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一下·重庆·期中）复数与分别表示向量与，则向量表示的复数是 ． 3．（23-24高一下·河北张家口·月考）设复数，在复平面内对应的向量分别为、，则向量对应的复数所对应的点的坐标为 . 4．（23-24高一下·广西南宁·期中）如图，在复平面内，复数，对应的向量分别是，，则 ． 5．（23-24高一下·内蒙古鄂尔多斯·期中）已知复数，其中，是虚数单位. (1)若，求与的值. (2)设复数在复平面上对应向量分别为，若且，求的单调区间. 四．复数模的运算与求参 1．（23-24高一下·河北·期中）若，则 . 2．（23-24高一下·吉林·期中）若复数，，则（    ） A． B． C．2 D．5 3．（23-24高一下·重庆璧山·月考）已知复数满足，且，则（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高一下·辽宁·期中）在复平面内，复数对应的点关于直线对称，若，则（    ） A． B．5 C． D．1 5．（23-24高一下·河南郑州·期中）复数满足，则（    ） A． B． C． D．5 五．复数的四则运算 1．（23-24高一下·山西运城·月考）已知复数，则（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一下·福建福州·期中）若，则（    ） A． B． C．1 D．2 3．（23-24高一下·河南新乡·期中）已知，则复数（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高一下·广东茂名·期中）（多选）已知复数满足，则（   ） A．的实部是 B． C． D． 5．（2024高一下·全国·专题练习）已知复数，，满足，，为虚数单位，则 ． 六．复数高次幂的周期性 1．（23-24高一下·北京·期中）i表示虚数单位，则 ． 2．（23-24高一下·北京·期中）若复数，则的虚部为 . 3．（2024·全国·模拟预测）已知，则（    ） A．i B． C． D． 4．（22-23高一下·河北衡水·期末）若复数：，则 ． 5．（22-23高一下·全国·单元测试）若是奇数，则 ． 七．与复数模有关的轨迹问题 1．（22-23高三上·江苏·期末）若复数满足，则复数在复平面内对应点组成图形的面积为（    ） A． B． C． D． 2．（22-23高一下·河南濮阳·期中）复数满足（为虚数单位），则的最小值为（    ） A．3 B．4 C． D．5 3．（23-24高一下·福建南平·期中）若，则的最大值为 . 4．（23-24高一下·浙江绍兴·月考）已知，且，为虚数单位，则的最大值是 ． 5．（23-24高一下·山西运城·月考）已知复数满足，则的最大值为 ． 八．模与共轭复数的综合辨析 1．（23-24高一下·重庆渝中·期中）（多选）已知复数，下列命题中正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 2．（23-24高一下·山东济宁·期中）（多选）已知复数满足，则下列说法正确的是（    ） A． B． C．的虚部为2 D． 3．（23-24高一下·江西九江·月考）（多选）已知复数，，下列结论正确的有（    ） A． B．若，则 C． D．若，则点的集合所构成的图形的面积为 4．（23-24高一下·重庆·期中）（多选）已知复数则下列结论正确的是（    ） A．若则 B．若则 C． D． 5．（23-24高一下·福建莆田·期中）（多选）设，，为复数，，下列命题中正确的是（    ） A．若则 B．若则 C．若则 D． 九．复数范围内的解方程 1．（23-24高一下·安徽·月考）已知关于的实系数二次方程的一根为(其中是虚数单位)，则 ． 2．（23-24高一下·陕西西安·期中）已知方程有实根，且，则复数的共轭复数等于（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二下·广东·期中）已知是关于复数z的方程（m，）的一根，则（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 4．（23-24高一下·广东广州·期中）（多选）已知复数是关于的方程的两根，则下列说法中正确的是（    ） A． B． C． D．若，则 5．（23-24高一下·江苏连云港·期中）（多选）已知，是关于的方程的两根，其中，．若（为虚数单位），则（    ） A． B． C． D． 十．复数的新定义题型 1．（23-24高一下·山东青岛·期中）（多选）欧拉公式（其中为虚数单位）被誉为最美数学公式．依据欧拉公式，下列选项正确的有（    ） A．复数对应的点位于第三象限 B．为纯虚数 C．复数的模等于 D．的共轭复数为 2．（23-24高一下·河北张家口·月考）（多选）任何一个复数（其中）都可以表示成：的形式.法国数学家棣莫弗发现：，我们称这个结论为棣莫弗定理.根据以上信息，下列说法正确的是（    ） A．当，时，复数为纯虚数 B．当，时， C．当，时， D． 3．（23-24高一下·河南濮阳·月考）（多选）欧拉公式（其中为虚数单位，）是由18世纪瑞士著名数学家欧拉创立的，它把自然对数的底数、虚数单位、三角函数联系在一起，充分体现了数学的和谐美.已知实数指数幂的运算性质同样也适用于复数指数幂，根据欧拉公式，下列说法正确的是（    ） A． B．对任意，与互为共轭复数 C．对任意，在复平面内对应的点都在同一个圆上 D．复数的实部为 4．（23-24高一下·福建泉州·期中）（多选）在复数域内，大小成为了没有意义的量，那么我们能否赋予它一个定义呢，在实数域内，我们通常用绝对值来描述大小，而复数域中也相应的有复数的模长来代替绝对值，于是，我们只需定义复数的正负即可，我们规定复数的“长度”即为模长，规定在复平面轴上方的复数为正，在轴下方的复数为负，在轴上的复数即为实数大小.“大小”用符号+“长度”表示，我们用来表示复数的“大小”，例如：，则下列说法正确的是（    ） A．在复平面内表示一个圆 B．若，则方程无解 C．若为虚数，且，则 D．复数满足，则的取值范围为 5．（2024·山东潍坊·二模）（多选）定义域是复数集的子集的函数称为复变函数，就是一个多项式复变函数．给定多项式复变函数之后，对任意一个复数，通过计算公式，可以得到一列值．如果存在一个正数，使得对任意都成立，则称为的收敛点；否则，称为的发散点．则下列选项中是的收敛点的是（   ） A． B． C． D． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题06 复数 一．复数的概念与分类 1．（23-24高一下·广东广州·期中）若复数，则的共轭复数的虚部为（    ） A． B． C．6 D． 【答案】C 【解析】因为，则，所以的虚部为6.故选：C. 2．（23-24高一下·江苏盐城·月考）若复数为纯虚数，则复数的共轭复数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为为纯虚数， 所以，解得， 所以，所以.故选：B 3．（23-24高一下·安徽芜湖·期中）若复数是实数，则等于（    ） A．1 B． C． D．不存在 【答案】A 【解析】因为是实数，所以，解得，故选：A 4．（23-24高一下·江苏镇江·期中）已知复数的实部与虚部互为相反数，则的取值不可能为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意，可知， 所以，解得或， 因为，所以或或.故选：D 5．（23-24高一下·安徽铜陵·期中）（多选）已知复数在复平面内对应的点为，则下列结论正确的是（    ） A．若，则z为纯虚数 B．若，则z为实数 C．若，则点Z在直线上 D．若，则点Z在第三象限 【答案】BC 【解析】对于A，当时，，是实数，故A错误； 对于B，当时，，是实数，故B正确； 对于C，当时，，所以， 所以点在直线上，故C正确； 对于D，由，得，由，得， 所以不存在点在第三象限，故D错误．故选：BC. 二．复数与点一一对应 1．（23-24高一下·山东济宁·期中）复数（为虚数单位），则复数在复平面内对应的点在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【解析】因为复数， 所以复数在复平面内对应的点为，位于第二象限.故选：B. 2．（23-24高一下·湖南·月考）已知是虚数单位，当时，复数在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【解析】， 又，，所对应的点在第一象限.故选：A. 3．（23-24高一下·安徽定远·月考）若为第四象限角，则复数（为虚数单位）对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【解析】因为为第四象限角，所以，， 复数对应的点为，为第四象限角.故选：D 4．（23-24高一下·福建圃田·月考）若（是虚数单位，）对应的点在复平面内位于第四象限，则（    ） A． B． C． D．或 【答案】B 【解析】复数表示的点为， 由题设知，解得.故选：B. 5．（23-24高一下·广东广州·月考）已知是虚数单位，若复数在复平面内所对应的点位于第一象限，则的取值范围为 ． 【答案】 【解析】因为复数在复平面内所对应的点为，位于第一象限， 所以，解得， 即实数的取值范围为. 三．复数与向量一一对应 1．（23-24高一下·江苏连云港·期中）复数与分别表示向量与，则表示向量的复数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】复数与分别表示向量与， 因为，所以表示向量的复数为.故选：C. 2．（23-24高一下·重庆·期中）复数与分别表示向量与，则向量表示的复数是 ． 【答案】 【解析】∵复数与分别表示向量与， ∴，， 又， ∴向量表示的复数是. 3．（23-24高一下·河北张家口·月考）设复数，在复平面内对应的向量分别为、，则向量对应的复数所对应的点的坐标为 . 【答案】 【解析】因为，在复平面内对应的向量分别为、， 所以，， 则， 所以向量对应的复数所对应的点的坐标为. 4．（23-24高一下·广西南宁·期中）如图，在复平面内，复数，对应的向量分别是，，则 ． 【答案】 【解析】由图可知，所以，，所以， 所以. 5．（23-24高一下·内蒙古鄂尔多斯·期中）已知复数，其中，是虚数单位. (1)若，求与的值. (2)设复数在复平面上对应向量分别为，若且，求的单调区间. 【答案】(1)或；(2)递增区间为，，递减区间为. 【解析】（1）由及， 得，则且， 解，，得或， 当时，，当时，， 所以或. （2）依题意，，由， 得，因此 ，由，得， 由或，得或， 由，得， 所以的单调递增区间为，，递减区间为. 四．复数模的运算与求参 1．（23-24高一下·河北·期中）若，则 . 【答案】2 【解析】由题意得，，则，解得． 2．（23-24高一下·吉林·期中）若复数，，则（    ） A． B． C．2 D．5 【答案】B 【解析】因为，， 所以．故选：B 3．（23-24高一下·重庆璧山·月考）已知复数满足，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设，由得即，， 由得，得， 所以， ，故选：A. 4．（23-24高一下·辽宁·期中）在复平面内，复数对应的点关于直线对称，若，则（    ） A． B．5 C． D．1 【答案】C 【解析】因为，所以其对应点为， 关于直线对称的点为，则， 所以，故选：C． 5．（23-24高一下·河南郑州·期中）复数满足，则（    ） A． B． C． D．5 【答案】C 【解析】由得复数对应的点到点和距离相等， 所以复数对应的点在直线上； 由得复数对应的点到点和距离相等， 所以复数对应的点在直线上； 因为直线和直线的交点为，所以，所以.故选：C. 五．复数的四则运算 1．（23-24高一下·山西运城·月考）已知复数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为，所以.故选：A. 2．（23-24高一下·福建福州·期中）若，则（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】D 【解析】由题设知，故， 故，故选：D 3．（23-24高一下·河南新乡·期中）已知，则复数（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】依题意，.故选：A 4．（23-24高一下·广东茂名·期中）（多选）已知复数满足，则（   ） A．的实部是 B． C． D． 【答案】ABC 【解析】因为，所以， 所以， 所以的实部是，虚部为，，，故A、B、C正确； ，故D错误.故选：ABC 5．（2024高一下·全国·专题练习）已知复数，，满足，，为虚数单位，则 ． 【答案】 【解析】设（），（）， 由，得， 即，整理得， 又，因此， 所以. 六．复数高次幂的周期性 1．（23-24高一下·北京·期中）i表示虚数单位，则 ． 【答案】1 【解析】. 2．（23-24高一下·北京·期中）若复数，则的虚部为 . 【答案】 【解析】因为，， 所以， 所以的虚部为. 3．（2024·全国·模拟预测）已知，则（    ） A．i B． C． D． 【答案】A 【解析】因为， 所以．故选：A． 4．（22-23高一下·河北衡水·期末）若复数：，则 ． 【答案】2 【解析】因为，，，，且， 所以， ，所以． 5．（22-23高一下·全国·单元测试）若是奇数，则 ． 【答案】 【解析】因为，， 而，所以， 所以当是奇数时，. 七．与复数模有关的轨迹问题 1．（22-23高三上·江苏·期末）若复数满足，则复数在复平面内对应点组成图形的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】在复平面对应的点是半径为2的圆及圆内所有点，，故选：D. 2．（22-23高一下·河南濮阳·期中）复数满足（为虚数单位），则的最小值为（    ） A．3 B．4 C． D．5 【答案】B 【解析】设， 复数的对应点在以原点为圆心，半径的圆上运动， 表示点与复数的对应点的距离， 故选：B. 3．（23-24高一下·福建南平·期中）若，则的最大值为 . 【答案】3 【解析】令且，又， 所以，即， 所以复数z对应点在以为圆心，半径为1的圆上， 又表示圆上点到原点的距离，而圆心到原点距离为， 所以的最大值为. 4．（23-24高一下·浙江绍兴·月考）已知，且，为虚数单位，则的最大值是 ． 【答案】 【解析】设，由， 则， 表示的是圆心为，半径为的圆， 而， 表示的是圆上一点到的距离， 如图所示，显然最大距离是与圆心的连线加上半径长， 即最大值为. 5．（23-24高一下·山西运城·月考）已知复数满足，则的最大值为 ． 【答案】/ 【解析】设复数，由，得， 整理得，于是，即，， 由， 得复平面内表示复数的对应点在以表示复数的对应点为圆心，1为半径的圆上， 表示这个圆上的点到表示复数的对应点的距离， 距离的最大值是. 八．模与共轭复数的综合辨析 1．（23-24高一下·重庆渝中·期中）（多选）已知复数，下列命题中正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】BC 【解析】对于A，取，，而，A错误； 对于B，设， ，由， 得，，B正确； 对于C，由及已知得，设， ，解得， 则，C正确； 对于D，取，，而，D错误.故选：BC 2．（23-24高一下·山东济宁·期中）（多选）已知复数满足，则下列说法正确的是（    ） A． B． C．的虚部为2 D． 【答案】ABD 【解析】对于A，因为，所以，A正确； 对于B，，B正确； 对于C，因为，所以，所以的虚部为，C错误； 对于D，因为，所以， 又，所以，D正确.故选：ABD 3．（23-24高一下·江西九江·月考）（多选）已知复数，，下列结论正确的有（    ） A． B．若，则 C． D．若，则点的集合所构成的图形的面积为 【答案】ACD 【解析】设，则, 对于A，，A正确； 对于B，取，满足，而，B错误； 对于C，， ，C正确； 对于D，是复平面内表示复数的点的集合是 以为圆心，为半径的圆及内部， 因此点的集合所构成的图形的面积为，D正确.故选：ACD 4．（23-24高一下·重庆·期中）（多选）已知复数则下列结论正确的是（    ） A．若则 B．若则 C． D． 【答案】CD 【解析】对于A，不妨取，则，但是，A错误； 对于B，取，则，，B错误； 对于C，设，则， 所以 ，C正确； 对于D，设，则， 因为，所以， 又，所以，D正确.故选：CD 5．（23-24高一下·福建莆田·期中）（多选）设，，为复数，，下列命题中正确的是（    ） A．若则 B．若则 C．若则 D． 【答案】ABD 【解析】设（）， 对于A，若，则， 因为，结合复数相等的知识，所以，所以选项A正确； 对于B，由，所以， 所以， ， ， 同理：，所以，所以选项B正确； 对于C，令，，但是，所以选项C错误； 对于D，设分别表示复数， 由，若不共线时， 如图：，即， 若共线且反向时，如图： 易知， 若共线且同向时，如图：易知， 综上：，所以选项D正确.故选：ABD. 九．复数范围内的解方程 1．（23-24高一下·安徽·月考）已知关于的实系数二次方程的一根为(其中是虚数单位)，则 ． 【答案】0 【解析】由二次方程求根公式可知虚根是成对出现的， 故都是方程的解， 所以. 2．（23-24高一下·陕西西安·期中）已知方程有实根，且，则复数的共轭复数等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意可知，，， 即， 则，得， 所以，.故选：B 3．（23-24高二下·广东·期中）已知是关于复数z的方程（m，）的一根，则（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【解析】因为是关于复数z的方程的一根， 所以也是关于复数z的方程的一根， 则，， 所以，所以.故选：C. 4．（23-24高一下·广东广州·期中）（多选）已知复数是关于的方程的两根，则下列说法中正确的是（    ） A． B． C． D．若，则 【答案】ACD 【解析】，所以方程的根为， 不妨设，， 可知，故A正确； 由韦达定理知，所以，故C正确； 所以， 因为，所以，故B错误； 时，，， 计算可得，， ，， 所以，故D正确；故选：ACD. 5．（23-24高一下·江苏连云港·期中）（多选）已知，是关于的方程的两根，其中，．若（为虚数单位），则（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【解析】A/B：由题意可得，即， 所以，故，故A、B正确； C：利用AB解析可得，故C错误； D：利用AB解析由可得， 所以，而，故D错误；故选：AB. 十．复数的新定义题型 1．（23-24高一下·山东青岛·期中）（多选）欧拉公式（其中为虚数单位）被誉为最美数学公式．依据欧拉公式，下列选项正确的有（    ） A．复数对应的点位于第三象限 B．为纯虚数 C．复数的模等于 D．的共轭复数为 【答案】BC 【解析】对于A，由题知，而， 则复数对应的点位于第二象限，故A错误； 对于B，，则为纯虚数，故B正确； 对于C，， 则的模为，故C正确； 对于D，，其共轭复数为，故D错误，故选：BC. 2．（23-24高一下·河北张家口·月考）（多选）任何一个复数（其中）都可以表示成：的形式.法国数学家棣莫弗发现：，我们称这个结论为棣莫弗定理.根据以上信息，下列说法正确的是（    ） A．当，时，复数为纯虚数 B．当，时， C．当，时， D． 【答案】BCD 【解析】对于A，，，为实数，A错误； 对于B，，，B正确； 对于C，，，C正确； 对于D，，则，D正确.故选：BCD 3．（23-24高一下·河南濮阳·月考）（多选）欧拉公式（其中为虚数单位，）是由18世纪瑞士著名数学家欧拉创立的，它把自然对数的底数、虚数单位、三角函数联系在一起，充分体现了数学的和谐美.已知实数指数幂的运算性质同样也适用于复数指数幂，根据欧拉公式，下列说法正确的是（    ） A． B．对任意，与互为共轭复数 C．对任意，在复平面内对应的点都在同一个圆上 D．复数的实部为 【答案】BCD 【解析】对于A：因为，所以，故A错误； 对于B：，， 所以对任意，与互为共轭复数，故B正确； 对于C：因为，所以在复平面内对应的点为， 又， 所以在复平面内对应的点在以坐标原点为圆心，为半径的圆上，故C正确； 对于D：的实部为，故D正确.故选：BCD 4．（23-24高一下·福建泉州·期中）（多选）在复数域内，大小成为了没有意义的量，那么我们能否赋予它一个定义呢，在实数域内，我们通常用绝对值来描述大小，而复数域中也相应的有复数的模长来代替绝对值，于是，我们只需定义复数的正负即可，我们规定复数的“长度”即为模长，规定在复平面轴上方的复数为正，在轴下方的复数为负，在轴上的复数即为实数大小.“大小”用符号+“长度”表示，我们用来表示复数的“大小”，例如：，则下列说法正确的是（    ） A．在复平面内表示一个圆 B．若，则方程无解 C．若为虚数，且，则 D．复数满足，则的取值范围为 【答案】BCD 【解析】A：根据已知条件表示模长为1，在复平面位于轴上方的复数， 所以并不是一个圆，故A错误； B：若，则方程为一个实数，所以无解，故B正确； C：若为虚数，且，设，则， 所以，所以，故C正确； D：设，根据复数的新定义有， 所以，且，所以， 所以是， 所以，故D正确；故选：BCD. 5．（2024·山东潍坊·二模）（多选）定义域是复数集的子集的函数称为复变函数，就是一个多项式复变函数．给定多项式复变函数之后，对任意一个复数，通过计算公式，可以得到一列值．如果存在一个正数，使得对任意都成立，则称为的收敛点；否则，称为的发散点．则下列选项中是的收敛点的是（   ） A． B． C． D． 【答案】BD 【解析】对A，由可得数列，，，…不合题意，故A错误； 对B，由可得数列，，，… 则存在一个正数，使得对任意都成立，满足题意，故B正确； 对C，由可得数列，，，…不满足题意，故C错误； 对D，由可得数列… 因为， 存在一个正数，使得对任意都成立，满足题意，故D正确；故选：BD 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司2 学科网（北京）股份有限公司 $$