第2章 一元二次函数、方程和不等式知识点汇总-2023-2024学年高一数学下学期备考期末复习（人教A版2019必修第一册）

《人教A版必修一知识点汇总》 第2章 《一元二次函数、方程和不等式》知识点汇总 2.1 等式性质与不等式性质 1.实数的大小比较 （1）方法一：数轴法（优点是形象生动） （2）方法二：作差法（优点是快捷方便，并且适合一切实数比较大小） 当时 作差法：比较两个实数（或代数式）的大小，可以转化为考察它们的差是正数、负数、或零，这种比较大小的方法称为作差比较法. （3）方法三：作商法（优点是快捷方便，并且只适合两个正数比较大小） 当时 作商法：比较两个正数的大小，可以转化为考察它们的商是大于1、小于1、或等于1，这种比较大小的方法称为作商比较法. 2.不等式的性质 （1）性质1（可加性） 如果 , 那么 ； （2）性质2（可乘性） ① 如果 那么或 ②如果 那么或 . （3）性质3 （传递性) 如果那么 ； （4）性质4（对称性） ； （5）性质5 （可移性） ； （6）性质6（同向可加性） 如果 那么； （7）性质7（同向同正可乘性） 如果那么 （8）性质8（同向同正可乘方性） 如果; （9）性质9（同正可开方性） 如果 那么 （10）性质10（同号可倒性） 如果且 , 那么 ; 2.2《 基本不等式》 1.基本不等式 对于，都有 (当且仅当 a=b 时等号成立） 注1：叫正数与的算术平均数，叫正数与的几何平均数； 注2：基本不等式通常用于求解与两个正项相关的最值问题，且在实际运用中，通常变形为 对于 都有(当且仅当 a=b 时等号成立） 2.实例运用 例1.已知 , 求 的最小值. 解：∵ 已知 , ∴ ∴ 据基本不等式可得 （当且仅当（即 ）时等号成立） 故的最小值为 2 例5.已知且 ,求的最小值. 解：∵ 已知 ∴ 又 ∵ 已知 ∴ ∴ （可加性） 即 (当且仅当，即时等号成立) 故的最小值为16. 2.3 二次函数与一元二次方程、不等式 1.一元二次不等式的概念 像这样，含有一个未知数，并且含有未知数项的最高次数为2的不等式，就称为一元二次不等式. 其一般式为 注：上面一般式中的“＞”也可以换成“＜”，“≥”或“≤”. 2.一元二次不等式的图解法 （1）典例讲解:解不等式 一 化 解:原一元二次不等式等价于 ∵二解 解一元二次方程 可得 又∵二次项系数 二次函数的图像如图所示 三作图 四答 由上图可知不等式 的解集为 即原不等式的解集为 （2）一元二次不等式的图解法小结 ①一化：将原不等式化成一般式，即或的形式，其中二次项系数 ②二解：判断的符号，并利用配方法、公式法、因式分解法求出一元二次方程的实数根（）； ③三作图:根据二次函数的图像与轴的位置关系确定一元二次不等式或的解集. ④四答:通常要将不等式的解集用数集或区间来表示. （3） 实例运用 例1 看图口答. ①不等式 的解集为； ②不等式 的解集为； ③不等式 的解集为； 例2 求不等式的解集. 解：∵ 已知 ∴ 又 ∵ ∴解一元二次方程 可得 又 ∵二次项系数 ∴可得二次函数的图像如图所示： 由图可知原一元二次不等式的解集为 例3 求不等式的解集. 解：原不等式 可化为 ∴ 又 ∵ ∴ 一元二次方程没有实数根 又∵二次项系数 ∴可得二次函数的图像如图所示： 由图可知一元二次不等式 的解集为 故原一元二次不等式的解集为 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！5 学科网（北京）股份有限公司 $$