第1章 集合与简单逻辑知识点汇总-2023-2024学年高一数学下学期备考期末复习（人教A版2019必修第一册）

《人教A版必修一知识点汇总》 第1章 《集合与常用逻辑用语》知识点汇总 1.1 《集合的概念》 1.集合的概念 一般地，由某些确定的对象组成的整体就称为集合，简称为集. 组成这个集合的对象称为这个集合的元素。 注: 集合通常用大写字母表示，如元素通常用小写字母表示，如 2.集合与元素之间的关系 （1）如果是集合的元素，就说属于， 记作,读作“属于”; （2）如果不是集合的元素，就说不属于 记作,读作“不属于”; 3.集合中元素的三种特性 （1）确定性：给定的集合，它的元素必须是确定的，也就是说给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了（即与必居其一.） （2）互异性：一个给定的集合中的元素是互不相同的，即集合中的元素不能相同. （3）无序性：集合中的元素是无先后顺序的，即集合里的任何两个元素可以交换位置. 4.集合的分类 根据集合所含有元素的个数，将集合分为： （1）有限集：含有有限个元素的集合； （2）无限集：含有无限个元素的集合； （3）空集：特别的，把不含有任何元素的集合叫做空集，记作. 5.常用的数集 例如 6. 用列举法表示集合 当集合中元素的个数为有限个（或无限个但呈现出某种规律）时，可以把集合中所有的元素一一列举出来，中间用逗号隔开，并用大括号“｛｝”把它们括起来，这种表示集合的方法就称为列举法。 例1小于6的所有正整数组成的集合用列举法可以表示为. 7.用描述法表示集合 当集合的元素是无穷多个时，我们可以利用元素的特征性质来表示集合，这种表示集合的方法就叫做描述法. 注：用描述法表示集合时，在大括号｛ ｝中画一条竖线（分隔符），竖线的左侧表示的是组成集合的元素，竖线的右侧是元素所具有的特征性质（或元素满足的条件）. 解：小于1的所有整数组成的集合A用描述法表示为 1.2集合间的基本关系 1.子集与包含关系 （1）定义 像上面这样，对于两个集合如果集合中任意一个元素都是集合中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，并称集合为的子集．记作：(或者)，读作：包含于（或包含）. 规定：空集是任何集合的子集，即 （2）用Venn图表示集合与集合之间的关系 例如集合的关系为，用Venn图表示为 （3）非子集与不包含关系 如果集合不是集合的子集，记作或,读作“不包含于“（或不包含）. 例如：集合=｛2,3｝，集合=｛2,4,5｝，则集合不是集合的子集，即. 2.集合与集合相等 若集合和集合的元素完全相同：即的每个元素都是的元素，而的每个元素也都是的元素，那么就说和相等，记作“” 例如={1，2，3} 与 ={3 , 1 , 2}，则. 3.真子集与真包含于 一般的，若集合是集合的子集，且中至少有一个元素不属于，则叫做的真子集， 记作(或)，读作真包含于（或真包含） 注：空集是任何非空集合的真子集 例如={1，3}与={1, 3，5}，则（即是的真子集）. 1.3《集合的基本运算》 1.交集的概念及其运算 （1）定义 一般地,对于给定的集合与集合,由既属于集合又属于集合的所有元素组成的集合,称为集合与集合的交集,记作.读作“”.即 （2）实例运用 例1设集合 ={2,4,6}, 集合 ={0,1,2},则． 例2 设集合，集合， 则． 2.并集的概念及其运算 （1）定义 一般地,对于给定的集合与集合,由集合与集合的所有元素组成的集合称为集合与集合的并集,记作.读作“并”. 即 （2）实例运用 例1 设集合 ={1,3,5,7}, 集合 ={0,2,3,4,6},则． 例2 设集合, 集合 则. 3.补集的概念及其运算 （1）定义 一般地，如果集合A是全集的一个子集，则由集合中不属于集合的所有元素组成的集合称为集合在全集U中的补集，记作，即 （2） 实例运用 例1设全集，集合,则． 例2设全集，集合， 则． 1.4充分条件与必要条件 1.充分条件与必要条件 （1）定义 一般地，“若 , 则 ”为真命题， 即由“ 条件 可以推出条件”， 记作： 那么就称：“是的充分条件，是 的必要条件 ” 注：如果“若 , 则”为假命题， 即由“ 条件不能推出条件”， 记作： 那么就称：“不是的充分条件，不是的必要条件 ” （2）实例运用 例1若四边形的两组对角分别相等，则这个四边形是平行四边形； 解析：设题设“四边形的两组对角分别相等”为，结论 “这个四边形是平行四边形”为 ∵ ∴ 是的充分条件,是的必要条件 例2若 ，则； 解：设题设“ ”为，结论 “ ”为 ∵由 可得 或 ∴ 故 不是的充分条件,不是的必要条件 2.充要条件 （1）定义 一般地，如果（即情况1：原真逆真） 我们就称是的充分必要条件，简称为“ 充要条件 ”. 注1（情况2：原真逆假） 如果 , 我们就称是的充分而不必要条件； 注2（情况3：原假逆真） 如果, 我们就称是的必要而不充分条件； 注3（情况4：原假逆假） 如果, 我们就称是的既不充分也不必要条件； （2）实例运用 例1 两个三角形相似，两个三角形三边成比例； 解：①原命题：“若 ，则” ∵ 已知两个三角形相似 ∴ 两个三角形三边成比例 即（相似三角形的性质） ∴ 是的充分条件 ②逆命题：“若，则” ∵ 已知两个三角形三边成比例 ∴ 两个三角形相似 即（三边定理） ∴ 是的必要条件. 综上所述，∵ ，即原真逆真 ，∴ 是的充要条件 例2四边形是正方形，四边形的对角线互相垂直且平分； 解：①原命题：“若，则” ∵ 已知四边形是正方形 ∴ 四边形的对角线互相垂直且平分 即 ∴是的充分条件 ②逆命题：“若，则” ∵ 已知四边形的对角线互相垂直且平分 ∴ 四边形是菱形, 即 ∴不是的必要条件 综上所述，∵ 原真逆假， ∴ 是的充分而不必要条件 1.5 全称量词与存在量词 1.全称量词与全称量词命题 像上面这样，短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“”表示；含有全称量词的命题，叫做全称量词命题. 例如，命题“对任意的是奇数”；“所有的正方形都是矩形” 等都是全称量词命题 注：通常，将含有变量的语句用表示，变量的取值范围用表示 那么，全称量词命题“对中任意一个成立”可用符号简记为： 2.存在量词与存在量词命题 像上面这样，短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“ ∃ ”表示；含有存在量词的命题，叫做存在量词命题. 例如，命题“有的平行四边形是菱形”；“有一个素数不是奇数” 等都是存在量词命题 注：通常，将含有变量的语句用表示，变量的取值范围用表示 那么，存在量词命题“存在中的元素成立”可用符号简记为： 3. 全称量词的否定 （1）概念 一般地，对于全称量词命题：一变：（任意）变（存在） 它的否定为： 二变：结论 变 它的反面 注1：符号 “ ” 表示 “ 的反面 ” 注2：全称量词命题的否定是存在量词命题 （2）实例运用 例1所有能被3整除的整数都是奇数； 解：原全称量词命题的否定为：“存在一个能被 3 整除的整数不是奇数” 例2对 , ; 解：原全称量词命题的否定为:“ ” 4.存在量词命题的否定 （1）概念 一般地，对于存在量词命题：一变：（存在）变（任意） 它的否定为： 二变：结论 变它的反面 注1：符号 “ ” 表示 “ 的反面 ” 注2：存在量词命题的否定是全称量词命题 （2）实例运用 例1 解：原存在量词命题的否定为“ ” 例2 有的三角形是等边三角形； 解：原存在量词命题的否定为“ 所有的三角形都不是等边三角形 ” 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！7 学科网（北京）股份有限公司 $$