精品解析：天津市滨海新区大港油田实验中学2023-2024学年高二下学期第二次月考数学试卷

油田实验2023-2024学年度第二学期高二年级数学第二次阶段性考试 命题人：杨军华 审核人： 袁松华 高瑞芳 要雪超 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.满分150分，考试时间100分钟. 第1卷（选择题 共60分） 一、单项选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的） 1. 若集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 命题，的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 设集合，则集合A的真子集个数为（ ） A. 7个 B. 8个 C. 16个 D. 15个 4. 已知，那么p一个充分不必要条件是（ ） A B. C. 或 D. 5. 下列说法中错误的是（ ） A. 两个随机变量的线性相关性越强，相关系数的绝对值越接近于1 B. 经验回归方程过成对样本数据的中心点 C. 设，且，则 D. 若变量x和y满足关系，则x与y负相关 6. 下列命题为真命题的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C 若，则 D. 若，，则 7. 设偶函数的定义域为，当时，是增函数；则，，的大小关系（ ） A. B. C. D. 8. 已知，则的最大值为（ ） A B. 0 C. 4 D. 8 9. 对任意，不等式恒成立，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 10. 已知是定义在上的减函数，那么的取值范围是（ ） A. B. C. D. 11. 若定义在的奇函数在单调递减，且，则满足的的取值范围是（ ） A. B. C. D. 12. 已知，设函数若关于的不等式在上恒成立，则的取值范围为 A B. C. D. 第Ⅱ卷（非选择题 共90分） 二、填空题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分，把正确答案填在题中横线上） 13. 已知随机变量X服从正态分布，且，则____________． 14. 已知集合，，若，求实数的取值范围 15. 袋子中有5个大小相同的小球，其中3个红球，2个白球.每次从袋子中随机摸出1个球，摸出的球不再放回，则两次都摸到红球的概率为_______；在第一次摸到红球的条件下，第二次摸到红球的概率为_______. 16. 已知关于x的不等式对一切实数都成立，则满足条件的实数的取值范围为______. 17. 甲和乙两个箱子中各有若干个大小相同､质地均匀的小球，其中甲､乙两箱中球的个数比为2：3，甲箱中红球占40%，乙箱中红球占50%，现将两箱内的球混在一起，从中任取一个球，取到红球的概率为___________. 18. 给定函数，，对于，用表示，中的较小者，记为，则的最大值为______. 19. 若，，且，则的最小值为______. 20. 定义在R上的函数满足，且， ①的值域为； ②的最小正周期是4； ③当时，； ④方程恰有4个实数解. 上述正确命题的序号是______. 三、解答题（本大题共4个小题，共50分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 21. （1）已知函数，求函数的解析式. （2）已知是二次函数，且，求的解析式. （3）已知函数满足，求的解析式 22. 已知函数. （1）若的单调递减区间是，求a的值. （2）若关于x的不等式的解集为，求不等式的解集； （3）若，求关于x的不等式的解集. 23. 为调查某商品一天的销售量及其价格是否具有线性相关关系，某市发改委随机选取五个超市的销售情况进行统计，数据如下表： 价格（元） 8 10 12 销售量（件） 11 10 8 6 5 通过分析，发现商品的销售量y与价格x具有线性相关关系. （1）根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的经验回归方程；（保留两位小数） （2）根据（1）所得的经验回归方程，若使销售量为12件，估计价格是多少，（结果保留两位小数） 附：在经验回归方程中， 24. 已知函数，其中. （1）若，求的值； （2）若对任意的，恒成立，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 油田实验2023-2024学年度第二学期高二年级数学第二次阶段性考试 命题人：杨军华 审核人： 袁松华 高瑞芳 要雪超 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.满分150分，考试时间100分钟. 第1卷（选择题 共60分） 一、单项选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的） 1. 若集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由交集的定义，找出两集合的公共元素即可. 【详解】由题意，所以由交集的定义可知. 故选：B. 2. 命题，的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】A 【解析】 【分析】根据全称量词命题的否定判断求解. 【详解】命题，的否定是，. 故选：A. 3. 设集合，则集合A的真子集个数为（ ） A. 7个 B. 8个 C. 16个 D. 15个 【答案】D 【解析】 【分析】列举出集合A的所有元素，由n元集合的真子集个数为可得. 【详解】由和可得， 所以集合A的真子集个数为个. 故选：D 4. 已知，那么p的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. 或 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据命题的不等式得到解集，由集合的包含关系判断充分、必要性即可. 【详解】由题意可知， ，解得， 要的一个充分不必要条件， 即要集合的一个真子集， 故D满足条件. 故选：D. 5. 下列说法中错误的是（ ） A. 两个随机变量的线性相关性越强，相关系数的绝对值越接近于1 B. 经验回归方程过成对样本数据的中心点 C. 设，且，则 D. 若变量x和y满足关系，则x与y负相关 【答案】C 【解析】 【分析】利用相关系数的性质判断A；利用经验回归方程的性质判断B；利用正态分布的对称性计算判断C；利用负相关的意义判断D. 【详解】对于A，两个随机变量的线性相关性越强，相关系数的绝对值越接近于1，A正确； 对于B，经验回归方程过成对样本数据的中心点，B正确； 对于C，，，则，C错误； 对于D，变量x和y满足关系，由，得x与y负相关，D正确. 故选：C 6. 下列命题为真命题的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，，则 【答案】B 【解析】 【分析】 利用反例或不等式的性质逐项检验后可得正确的选项. 【详解】对于AC，取，则，但，，故AC错. 对于D，取，，则，， 但，故D错误. 对于B，因为，故，故. 故选：B. 7. 设偶函数的定义域为，当时，是增函数；则，，的大小关系（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据偶函数的性质，以及单调性直接判断大小即可. 【详解】因为是偶函数，所以， 所以，， 又时，是增函数，且， 所以，即. 故选：C 8. 已知，则的最大值为（ ） A. B. 0 C. 4 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】利用基本不等式先求的最小值，然后可得. 【详解】因为，所以， 所以，当且仅当时等号成立， 所以，所以， 即的最大值为0. 故选：B 9. 对任意，不等式恒成立，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先不等式转化为，，再变形，结合函数的单调性，函数的最小值. 【详解】不等式恒成立，即， 即，， ，，当时，即时，等号成立， 当时，单调递减，当时，单调递增， 当时，，当时，， 所以的取值范围是，所以的取值范围是， 所以的最小值是，所以. 故选：D. 10. 已知是定义在上的减函数，那么的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分段函数在定义域内单调递减，不仅要求每一段解析式为减函数，还要注意端点处的函数值的大小关系. 【详解】因为函数是定义在上的减函数， 所以， 解得. 所以实数的取值范围为. 故选：C. 11. 若定义在的奇函数在单调递减，且，则满足的的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，做出草图，再分，，三种情况讨论求解即可. 【详解】根据题意，画出函数示意图： 当时，，即； 当时，，即； 当时，显然成立， 综上. 故选：D 12. 已知，设函数若关于的不等式在上恒成立，则的取值范围为 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 先判断时，在上恒成立；若在上恒成立，转化为在上恒成立． 【详解】∵，即， （1）当时，， 当时，， 故当时，在上恒成立； 若在上恒成立，即在上恒成立， 令，则， 当函数单增，当函数单减， 故，所以．当时，在上恒成立； 综上可知，的取值范围是， 故选C． 【点睛】本题考查分段函数的最值问题，关键利用求导的方法研究函数的单调性，进行综合分析． 第Ⅱ卷（非选择题 共90分） 二、填空题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分，把正确答案填在题中横线上） 13. 已知随机变量X服从正态分布，且，则____________． 【答案】##． 【解析】 【分析】根据正态分布曲线的性质即可解出． 【详解】因为，所以，因此． 故答案为：． 14. 已知集合，，若，求实数的取值范围 【答案】m≤4． 【解析】 【分析】分两种情况考虑：当集合B不为空集时，得到m的取值范围；当集合B为空集时，符合题意，求出不等式的解集得到m的范围，综合得到所有满足题意的m范围． 【详解】，，分两种情况考虑： 若不为空集，可得，解得：， ，，， ，且，解得：， 此时的范围为； 若为空集，符合题意，可得，解得：， 综上，实数的范围为． 15. 袋子中有5个大小相同的小球，其中3个红球，2个白球.每次从袋子中随机摸出1个球，摸出的球不再放回，则两次都摸到红球的概率为_______；在第一次摸到红球的条件下，第二次摸到红球的概率为_______. 【答案】 ①. ##0.3 ②. ##0.5 【解析】 【分析】分别利用古典概型的概率和条件概率求解. 【详解】解：因为袋子中有5个大小相同的小球，其中3个红球，2个白球， 每次从袋子中随机摸出1个球，摸出的球不再放回， 所以两次都摸到红球概率为 设第一次摸到红球的事件为A，第二次摸到红球的事件为B, 所以在第一次摸到红球的条件下，第二次摸到红球的概率为， 故答案为：， 16. 已知关于x的不等式对一切实数都成立，则满足条件的实数的取值范围为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据二次项系数是否为0分类：二次项系数为0时，代入成立；二次项系数不为0 时，根据二次函数的性质，可知开口向下，判别式为负，即可得实数的取值范围. 【详解】当时，得，显然成立； 当时，由对一切实数都成立，得， 解得， 综上，实数的取值范围为. 故答案为： 17. 甲和乙两个箱子中各有若干个大小相同､质地均匀的小球，其中甲､乙两箱中球的个数比为2：3，甲箱中红球占40%，乙箱中红球占50%，现将两箱内的球混在一起，从中任取一个球，取到红球的概率为___________. 【答案】 【解析】 【分析】设甲箱一共有个球，乙箱中共有个球,再计算出红球总个数，通过古典概型计算出概率. 【详解】解：设甲箱一共有个球，乙箱中共有个球， 则取到红球的概率为， 故答案为： 18. 给定函数，，对于，用表示，中的较小者，记为，则的最大值为______. 【答案】3 【解析】 【分析】作出函数的图象，根据定义作出的图象，求出交点B的坐标即可得解. 【详解】作出函数的图象如图： 根据定义可得的图象如图： 由解得或，得， 所以的最大值为3. 故答案为：3 19. 若，，且，则的最小值为______. 【答案】2 【解析】 【分析】通分后利用已知化简，然后再变形为，利用常数代换，结合基本不等式可得. 【详解】因为， 所以 ， 由于，所以，且， 所以， 所以，当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为2. 故答案为：2 20. 定义在R上的函数满足，且， ①的值域为； ②的最小正周期是4； ③当时，； ④方程恰有4个实数解. 上述正确命题的序号是______. 【答案】②④ 【解析】 【分析】取验证可判断①；由周期定义，结合在上的解析式可判断②；当时，，代入解析式，结合周期性可判断③；转化为与的图象的交点个数问题，作图可判断④. 【详解】对于①，因为，所以①错误； 对于②，因为，所以， 所以4是的周期， 又，所以的最小正周期是4，②正确； 对于③，当时，，所以， 所以，③错误； 对于④，方程恰有4个实数解，等价于与的图象有4个交点. 作出和的图象如图： 由图可知与的图象有且只有4个交点，故④正确. 故答案为：②④ 【点睛】思路点睛：函数零点个数问题，通常转化为两个函数图象的交点个数，利用图象判断即可. 三、解答题（本大题共4个小题，共50分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 21. （1）已知函数，求函数的解析式. （2）已知是二次函数，且，求的解析式. （3）已知函数满足，求的解析式 【答案】（1）；（2）；（3）. 【解析】 【分析】（1）令，使用换元法可得； （2）设，根据多项式相等列方程组求出系数即可； （3）用代替，联立两个方程求解可得. 【详解】（1）令，则， 所以， 即. （2）设， 则 ， 又， 所以，解得， 所以. （3）因为①， 所以②， 得，所以. 22. 已知函数. （1）若的单调递减区间是，求a的值. （2）若关于x的不等式的解集为，求不等式的解集； （3）若，求关于x的不等式的解集. 【答案】（1）1； （2）； （3）答案见详解. 【解析】 【分析】（1）分，讨论，根据二次函数单调性可得； （2）利用韦达定理求出，然后可解； （3）根据二次系数是否为0、二次函数的开口方向、以及两根的大小关系分类求解即可. 【小问1详解】 当时，的单调递减区间为R，不满足题意； 当时，由的单调递减区间是可得，解得. 综上，a的值为1. 【小问2详解】 若关于x的不等式的解集为， 则和3是方程的两根，且， 由韦达定理得，解得， 所以不等式， 解得或， 所以不等式解集为. 【小问3详解】 若，则， 1）当时，由解得； 2）当时，方程的两根为， 当时，，解不等式得； 当时，，解不等式得或； 当时，，解不等式得或； 当时，由得 综上，当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为. 23. 为调查某商品一天的销售量及其价格是否具有线性相关关系，某市发改委随机选取五个超市的销售情况进行统计，数据如下表： 价格（元） 8 10 12 销售量（件） 11 10 8 6 5 通过分析，发现商品的销售量y与价格x具有线性相关关系. （1）根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的经验回归方程；（保留两位小数） （2）根据（1）所得的经验回归方程，若使销售量为12件，估计价格是多少，（结果保留两位小数） 附：在经验回归方程中， 【答案】（1）； （2）预测销售量为12件时的售价是7.58元. 【解析】 【分析】（1）根据所给数据求出，，即可得出回归直线方程； （2）根据回归方程，求出预测值即可. 【小问1详解】 由题意知，， ，， 线性回归方程是； 【小问2详解】 令， 可得， 预测销售量为12件时的售价是7.58元. 24. 已知函数，其中. （1）若，求的值； （2）若对任意的，恒成立，求的取值范围. 【答案】（1）或；（2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，先求得，分和两种情况讨论，列出方程，即可求解； （2）分别根据和两种情况，结合二次函数性质，列出不等式，即可求解. 【详解】（1）因为，所以，从而， 当时，即时，，解得，符合题意； 当时，即时，，解得，符合题意， 所以的值为1或3. （2）①当时，恒成立，其中. 1° 当即时，则，解得. 2° 当即时，则，解得，所以. 所以. ②当时，恒成立，其中. 则，解得. 综上可得，即实数的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $