精品解析：2024年浙江省杭州市萧山区钱江片九年级中考数学二模试题

2024年九年级第二次适应性考试 数学试卷 注意事项： 1．本试卷共4页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟． 2．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求直接把答案填写在答题卡上．答在试卷上的答案无效． 一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的． 1. 实数a与b在数轴上的位置如图所示，则它们的大小关系是（ ） A. B. C. D. 无法确定 2. 由六块相同的小正方体搭成的几何体如图所示，则它的俯视图是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，直线，，，则度数为（　　） A. B. C. D. 4. 我国古代数学家祖冲之推算出π的近似值为，它与π的误差小于．将用科学记数法可以表示为（　　） A. B. C. D. 5. 关于的一元二次方程的根的情况是（　　） A. 没有实数根 B. 有两个相等实数根 C. 有两个不相等的实数根 D. 实数根的个数与实数的取值有关 6. 若分式的值为0，则x的值是（ ） A. 1 B. 0 C. D. 7. 如图，四边形内接于为对角线，经过圆心．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 如图所示，为了调查不同时间段的车流量，某学校的兴趣小组统计了不同时间段的车流量，下图是各时间段的小车与公车的车流量，则下列说法正确的是（ ） A. 小车的车流量与公车的车流量稳定； B. 小车的车流量的平均数较大； C. 小车与公车车流量在同一时间段达到最小值； D. 小车与公车车流量变化趋势相同． 9. 一次函数的图象如图所示，则二次函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 10. 如图①，在正方形ABCD中，点M是AB的中点，点N是对角线BD上一动点，设DN＝x，AN+MN＝y，已知y与x之间的函数图象如图②所示，点E（a，2）是图象的最低点，那么a的值为（　　） A. B. 2 C. D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 若有意义，则实数a的取值范围是________． 12. 若实数使关于的不等式组的解集为，则实数的取值范围为_________． 13. 一个不透明的袋子中装有3个红球和2个白球，这些小球除标号外完全相同，随机摸出两个小球，恰好是一红一白的概率是__________． 14. 如图，在中，，是边上一点，以为圆心的半圆分别与边相切于两点，则图中两个阴影部分面积的和为________． 15. 如图，腰长为22的等腰ABC中，顶角∠A＝45°，D为腰AB上的一个动点，将ACD沿CD折叠，点A落在点E处，当CE与ABC的某一条腰垂直时，BD的长为_______． 三、解答题（8小题，共75分） 16. 计算： （1） （2） 17. 中国是拥有世界级非物质文化遗产数量最多的国家，某学校开展了“弘扬中国文化，增强文化自信”的主题活动，为了解这次活动的效果，学校组织全校学生进行了中国非物质文化遗产相关知识测试（测试成绩满分为100分，且成绩均为整数）．测试结束后随机从七、八年级分别抽取了20名学生的成绩（设测试成绩为x分，共分成4组：A：，B：，C：，D：，得分在90分及以上为优秀），并绘制成了如图不完整的频数分布直方图和扇形统计图．其中七、八年级B组学生的成绩如下： 七年级B组学生的成绩：93，94，93，92，94，94 八年级B组学生的成绩：94，93，91，93，92，93，93，93，92 七、八年级选取的学生测试成绩统计表： 年级 平均数 中位数 众数 优秀率 七年级 92 a 94 c 八年级 92 b 【解决问题】 （1）填空：______，______，______； （2）已知该校七、八年级分别有600名学生，请估计七、八年级学生本次测试成绩达到优秀的总人数； （3）根据以上数据，你认为该校七、八年级学生在本次测试中，哪个年级的学生对中国非物质文化遗产相关知识了解的更好一些？请说明理由．（写出一条理由即可） 18. 如图，在中，平分． （1）作交于点．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） （2）求证：． 19. 如图，平面直角坐标系中，的边在轴上，对角线交于点，函数的图象经过点和点． （1）求值和点的坐标； （2）求周长． 20. 某数学兴趣小组借助无人机测量一条河流的宽度．如图所示，一架水平飞行的无人机在处测得河流左岸处的俯角为，无人机沿水平线方向继续飞行12米至处，测得河流右岸处的俯角为，线段米为无人机距地面的铅直高度，点，，在同一条直线上，其中．求河流的宽度（结果精确到1米，参考数据：）． 21. 近年来，市民交通安全意识逐步增强，头盔需求量增大．某商店购进甲、乙两种头盔，已知购买甲种头盔20只，乙种头盔30只，共花费2920元，甲种头盔的单价比乙种头盔的单价高11元． （1）甲、乙两种头盔的单价各是多少元？ （2）商店决定再次购进甲、乙两种头盔共40只，正好赶上厂家进行促销活动，促销方式如下：甲种头盔按单价的八折出售，乙种头盔每只降价6元出售．如果此次购买甲种头盔的数量不低于乙种头盔数量的一半，那么应购买多少只甲种头盔，使此次购买头盔的总费用最小？最小费用是多少元？ 22. 如图，抛物线经过坐标原点，且顶点为． （1）求抛物线的表达式； （2）设抛物线与轴正半轴的交点为，点位于抛物线上且在轴下方，连接、，若，求点的坐标． 23. 将一副直角三角板与叠放在一起，如图1，，，，．在两三角板所在平面内，将三角板绕点O顺时针方向旋转（）度到位置，使，如图2． （1）求的值； （2）如图3，继续将三角板绕点O顺时针方向旋转，使点E落在边上点处，点D落在点处．设交于点G，交于点H，若点G是的中点，试判断四边形的形状，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024年九年级第二次适应性考试 数学试卷 注意事项： 1．本试卷共4页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟． 2．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求直接把答案填写在答题卡上．答在试卷上的答案无效． 一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的． 1. 实数a与b在数轴上的位置如图所示，则它们的大小关系是（ ） A B. C. D. 无法确定 【答案】C 【解析】 【分析】根据数轴上右边的数总大于左边的数求解即可． 【详解】解：由图可知，， 故选：C． 【点睛】本题考查利用数轴比较有理数的大小，熟知数轴上右边的数总大于左边的数是解答的关键． 2. 由六块相同的小正方体搭成的几何体如图所示，则它的俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】找到从上面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在俯视图中． 【详解】观察图形可知，该几何体的俯视图如下： ． 故选：D． 【点睛】本题考查了简单组合体的三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图． 3. 如图，直线，，，则的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先根据平行线的性质得，再由三角形的外角定理可得的度数． 【详解】解：∵，， ∴， 又∵， ∴． 故选：B． 【点睛】此题主要考查了平行线的性质，三角形的外角定理，准确识图，熟练掌握平行线的性质和三角形的外角定理是解答此题的关键． 4. 我国古代数学家祖冲之推算出π的近似值为，它与π的误差小于．将用科学记数法可以表示为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数数，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【详解】解：． 故选：A． 5. 关于的一元二次方程的根的情况是（　　） A. 没有实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 有两个不相等的实数根 D. 实数根的个数与实数的取值有关 【答案】C 【解析】 【分析】根据一元二次方程根的判别式求出，即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，故C正确． 故选：C． 【点睛】本题考查了根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根． 6. 若分式的值为0，则x的值是（ ） A. 1 B. 0 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】分式的值等于零时，分子等于零，且分母不等于零． 【详解】解：依题意得：且， 解得． 故选：A． 【点睛】本题考查了分式的值为零的条件．分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零． 7. 如图，四边形内接于为对角线，经过圆心．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由同弧所对圆周角相等及直角三角形的性质即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵为圆的直径， ∴， ∴； 故选：B． 【点睛】本题考查了直径所对的圆周角是直角，同圆中同弧所对的圆周角相等，直角三角形两锐角互余，掌握它们是关键． 8. 如图所示，为了调查不同时间段的车流量，某学校的兴趣小组统计了不同时间段的车流量，下图是各时间段的小车与公车的车流量，则下列说法正确的是（ ） A. 小车的车流量与公车的车流量稳定； B. 小车的车流量的平均数较大； C. 小车与公车车流量在同一时间段达到最小值； D. 小车与公车车流量的变化趋势相同． 【答案】B 【解析】 【分析】根据折线统计图逐项判断即可得． 【详解】解：A、小车的车流量不稳定，公车的车流量较为稳定，则此项错误，不符合题意； B、小车的车流量的平均数较大，则此项正确，符合题意； C、小车车流量达到最小值的时间段早于公车车流量，则此项错误，不符合题意； D、小车车流量的变化趋势是先增加、再减小、又增加；大车车流量的变化趋势是先增加、再减小，则此项错误，不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了折线统计图，读懂折线统计图是解题关键． 9. 一次函数的图象如图所示，则二次函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据一次函数图像经过的象限以及与坐标轴的交点可知：，由此可知二次函数开口方向，坐标轴情况，依此判断即可． 【详解】解：观察一次函数图像可知， ∴二次函数开口向下， 对称轴， 故选：D． 【点睛】本题主要考查一次函数的图像以及二次函数的图像，根据一次函数图像经过的象限以及与坐标轴的交点情况判断a、b的正负是解题的关键． 10. 如图①，在正方形ABCD中，点M是AB的中点，点N是对角线BD上一动点，设DN＝x，AN+MN＝y，已知y与x之间的函数图象如图②所示，点E（a，2）是图象的最低点，那么a的值为（　　） A. B. 2 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由A、C关于BD对称，推出NA=NC，推出AN+MN=NC+MN，推出当M、N、C共线时，y的值最小，连接MC，由图象可知MC=2，就可以求出正方形的边长，再求a的值即可． 【详解】解：如图，连接AC交BD于点O，连接NC，连接MC交BD于点N′． ∵四边形ABCD是正方形， ∴O是BD的中点， ∵点M是AB的中点， ∴N′是△ABC的重心， ∴N′O=BO， ∴N′D=BD， ∵A、C关于BD对称， ∴NA=NC， ∴AN+MN=NC+MN， ∵当M、N、C共线时，y值最小， ∴y的值最小就是MC的长， ∴MC=2， 设正方形的边长为m，则BM=m， 在Rt△BCM中，由勾股定理得：MC2=BC2+MB2， ∴20=m2+（m）2， ∴m=4(负值已舍)， ∴BD=4， ∴a=N′D=BD=×4＝， 故选：A． 【点睛】本题考查的是动点图象问题，涉及到正方形的性质，重心的性质，利用勾股定理求线段长是解题的关键． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 若有意义，则实数a的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式有意义则被开方数是非负数列式求解即可． 【详解】解：∵式子有意义， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次根式的定义，形如的式子叫二次根式，二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义，熟练掌握二次根式有意义的条件是解题的关键． 12. 若实数使关于的不等式组的解集为，则实数的取值范围为_________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据不等式的性质解一元一次不等组，再根据不等式组的取值方法即可且求解． 【详解】解：， 由①得，；由②得，； ∵解集为， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查解不等式组，求不等式组解集，掌握解不等式组的方法，不等组的取值方法等知识是解题的关键． 13. 一个不透明的袋子中装有3个红球和2个白球，这些小球除标号外完全相同，随机摸出两个小球，恰好是一红一白的概率是__________． 【答案】##0.6 【解析】 【分析】首先根据题意列出表格，然后由表格求得所有等可能的结果与随机摸出一红一白 的情况，再利用概率公式即可求得答案． 【详解】解：列表得： 红1 红2 红3 白1 白2 红1 （红1，红2） （红1，红3） （红1，白1） （红1，白2） 红2 （红2，红1） （红2，红3） （红2，白1） （红2，白2） 红3 （红3，红1） （红3，红2） （红3，白1） （红3，白2） 白1 （白1，红1） （白1，红2） （白1，红3） （白1，白2） 白2 （白2，红1） （白2，红2） （白2，红3） （白2，白1） 由列表可知：共有20种等可能的结果，其中随机摸出两个小球，恰好是一红一白的情况有12种， ∴恰好是一红一白的概率是， 故答案为：． 【点睛】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．注意列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比． 14. 如图，在中，，是边上一点，以为圆心的半圆分别与边相切于两点，则图中两个阴影部分面积的和为________． 【答案】## 【解析】 【分析】连接，，可证四边形是正方形，设，则，证明，通过对应边成比例求出r，则阴影部分面积之和等于减去，再减去和所包含扇形的面积之和． 【详解】解：如图，连接，， 以为圆心的半圆分别与边相切于两点， ，， ， 四边形是矩形， 又， 四边形是正方形， ，， ，， ， ， 设，则， ， 解得， ， ， 和所包含扇形的面积之和为：， 图中两个阴影部分面积的和为：， 故答案为：． 【点睛】本题考查切线的性质，正方形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，扇形面积计算等知识点，解题的关键是证明，求出半径r． 15. 如图，腰长为22的等腰ABC中，顶角∠A＝45°，D为腰AB上的一个动点，将ACD沿CD折叠，点A落在点E处，当CE与ABC的某一条腰垂直时，BD的长为_______． 【答案】或2 【解析】 【分析】分两种情况：当CE⊥AB时，设垂足为M，在Rt△AMC中，∠A＝45°，由折叠得：∠ACD＝∠DCE＝22.5°，证明△BCM≌△DCM，得到BM＝DM，证明△MDE是等腰直角三角形，即可得解；当CE⊥AC时，根据折叠的性质，等腰直角三角形的判定与性质计算即可； 【详解】当CE⊥AB 时，如图， 设垂足为M，在Rt△AMC中，∠A＝45°， 由折叠得：∠ACD＝∠DCE＝22.5°， ∵等腰△ABC中，顶角∠A＝45°， ∴∠B＝∠ACB＝67.5°， ∴∠BCM＝22.5°， ∴∠BCM＝∠DCM， 在△BCM和△DCM中， ， ∴△BCM≌△DCM（ASA）， ∴BM＝DM， 由折叠得：∠E＝∠A＝45°，AD＝DE， ∴△MDE是等腰直角三角形， ∴DM＝EM， 设DM＝x，则BM＝x，DEx， ∴ADx． ∵AB＝22， ∴2xx＝22，解得：x， ∴BD＝2x＝2； 当CE⊥AC时，如图， ∴∠ACE＝90°， 由折叠得：∠ACD＝∠DCE＝45°， ∵等腰△ABC中，顶角∠A＝45°， ∴∠E＝∠A＝45°，AD＝DE， ∴∠ADC＝∠EDC＝90°，即点D、E都在直线AB上，且△ADC、△DEC、△ACE都等腰直角三角形， ∵AB＝AC＝＝22， ∴ADAC＝2， BD＝AB﹣AD＝（22）﹣（2）， 综上，BD的长为或2． 故答案为：或2． 【点睛】本题主要考查折叠的性质，等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，注重分类讨论思想的运用是解题的关键． 三、解答题（8小题，共75分） 16. 计算： （1） （2） 【答案】（1）2022 （2） 【解析】 【分析】（1）根据零次幂、负指数幂及算术平方根可进行求解； （2）先算加法，再算除法即可进行求解． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 【点睛】本题主要考查零次幂、负指数幂、分式的混合运算及算术平方根，熟练掌握运算法则是解题的关键． 17. 中国是拥有世界级非物质文化遗产数量最多的国家，某学校开展了“弘扬中国文化，增强文化自信”的主题活动，为了解这次活动的效果，学校组织全校学生进行了中国非物质文化遗产相关知识测试（测试成绩满分为100分，且成绩均为整数）．测试结束后随机从七、八年级分别抽取了20名学生的成绩（设测试成绩为x分，共分成4组：A：，B：，C：，D：，得分在90分及以上为优秀），并绘制成了如图不完整的频数分布直方图和扇形统计图．其中七、八年级B组学生的成绩如下： 七年级B组学生的成绩：93，94，93，92，94，94 八年级B组学生的成绩：94，93，91，93，92，93，93，93，92 七、八年级选取学生测试成绩统计表： 年级 平均数 中位数 众数 优秀率 七年级 92 a 94 c 八年级 92 b 【解决问题】 （1）填空：______，______，______； （2）已知该校七、八年级分别有600名学生，请估计七、八年级学生本次测试成绩达到优秀的总人数； （3）根据以上数据，你认为该校七、八年级学生在本次测试中，哪个年级的学生对中国非物质文化遗产相关知识了解的更好一些？请说明理由．（写出一条理由即可） 【答案】（1）；93； （2）七、八年级学生本次测试成绩达到优秀的总人数人 （3）八年级的学生对中国非物质文化遗产相关知识了解的更好一些，理由见解析（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题主要考查条形统计图、扇形统计图、中位数、众数、用样本估计整体等知识点，从条形统计图和扇形统计图中获取有用信息是正确解答的前提． （1）本题考查众数、中位数、优秀率计算，先算出各组人数再根据众数、中位数、优秀率定义即可得到答案； （2）本题考查根据样本计算总体的大概情况，分别利用各年级总人数乘以占比即可得到答案； （3）本题考查根据众数，中位数，平均数及优秀率做决策，根据数据大小比较即可得到答案． 【小问1详解】 解：由题意可得，七年级A组共5人，B组共6人， 七年级成绩中位数在B组，且第10和第11个数分别是93，92， ， 七年级成绩的优秀率为， 八年级A组共人，B组共人，C组共人，D组共人， 八年级成绩中93出现次数最多，则八年级成绩众数是， 故答案为：；93；； 【小问2详解】 解：七年级学生本次测试成绩达到优秀的人数人， 八年级学生本次测试成绩达到优秀的人数人， 七、八年级学生本次测试成绩达到优秀的总人数人； 【小问3详解】 解：八年级的学生对中国非物质文化遗产相关知识了解的更好一些，理由如下： 七、八年级学生本次测试成绩的平均数相同，但八年级成绩优秀率高于七年级成绩优秀率， 故八年级的学生对中国非物质文化遗产相关知识了解的更好一些（答案不唯一）． 18. 如图，在中，平分． （1）作交于点．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） （2）求证：． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）如图，以为圆心，适当长为半径画弧交于，以为圆心长为半径画弧，交于，以为圆心，为半径画弧，交点为，连接并延长，交于，点即为所求； （2）证明，则，，由，可得，则，，进而可证． 【小问1详解】 解：如图，以为圆心，适当长为半径画弧交于，以为圆心长为半径画弧，交于，以为圆心，为半径画弧，交点为，连接并延长，交于，则，点即为所求； 【小问2详解】 证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，即． 【点睛】本题考查了作与已知角相等的角，角平分线，等腰三角形的判定与性质，平行线的判定与性质等知识．熟练掌握作与已知角相等的角，角平分线，等腰三角形的判定与性质，平行线的判定与性质是解题的关键． 19. 如图，平面直角坐标系中，的边在轴上，对角线交于点，函数的图象经过点和点． （1）求的值和点的坐标； （2）求的周长． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】本题主要考查反比例函数上点的坐标特征，平行四边形的性质等知识，灵活运用所学知识是解题的关键． （1）利用待定系数法求出，再推出，即可得到答案； （2）求出点的坐标，求出的长即可解决问题． 【小问1详解】 解：点在上， ， 四边形是平行四边形， ， 点的纵坐标为3， 点在的图象上， ． 【小问2详解】 解： ， ， 平行四边形的周长为． 20. 某数学兴趣小组借助无人机测量一条河流的宽度．如图所示，一架水平飞行的无人机在处测得河流左岸处的俯角为，无人机沿水平线方向继续飞行12米至处，测得河流右岸处的俯角为，线段米为无人机距地面的铅直高度，点，，在同一条直线上，其中．求河流的宽度（结果精确到1米，参考数据：）． 【答案】河流的宽度约为64米 【解析】 【分析】过点作于点，分别解、即可． 【详解】解：过点作于点．则四边形是矩形． ∴， ∵ ∴ 在中， ∴， ∴ ∴ 在中，， ∴，∴ ， ∴ ∴米 答：河流的宽度约为64米． 【点睛】本题考查了关于俯仰角的解直角三角形的问题．作垂线构造直角三角形是解题关键． 21. 近年来，市民交通安全意识逐步增强，头盔需求量增大．某商店购进甲、乙两种头盔，已知购买甲种头盔20只，乙种头盔30只，共花费2920元，甲种头盔的单价比乙种头盔的单价高11元． （1）甲、乙两种头盔的单价各是多少元？ （2）商店决定再次购进甲、乙两种头盔共40只，正好赶上厂家进行促销活动，促销方式如下：甲种头盔按单价的八折出售，乙种头盔每只降价6元出售．如果此次购买甲种头盔的数量不低于乙种头盔数量的一半，那么应购买多少只甲种头盔，使此次购买头盔的总费用最小？最小费用是多少元？ 【答案】（1）甲、乙两种头盔的单价各是65元， 54元． （2）购14只甲种头盔，此次购买头盔的总费用最小,最小费用为1976元． 【解析】 【分析】（1）设购买乙种头盔的单价为x元，则甲种头盔的单价为元，根据题意，得，求解； （2）设购m只甲种头盔，此次购买头盔的总费用最小,设总费用为w,则，解得，故最小整数解为，，根据一次函数增减性，求得最小值=． 【小问1详解】 解:设购买乙种头盔的单价为x元，则甲种头盔的单价为元，根据题意，得 解得，， ， 答：甲、乙两种头盔的单价各是65元， 54元． 【小问2详解】 解：设购m只甲种头盔，此次购买头盔的总费用最小,设总费用为w, 则，解得，故最小整数解为， ， ∵，则w随m的增大而增大， ∴时，w取最小值，最小值． 答：购14只甲种头盔，此次购买头盔的总费用最小,最小费用为1976元． 【点睛】本题考查一元一次方程的应用，一次函数的性质，一次函数的应用、一元一次不等式的应用；根据题意列出函数解析式，确定自变量取值范围是解题的关键． 22. 如图，抛物线经过坐标原点，且顶点为． （1）求抛物线的表达式； （2）设抛物线与轴正半轴交点为，点位于抛物线上且在轴下方，连接、，若，求点的坐标． 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】（1）设抛物线的表达式为，将代入可得； （2）过作轴于，过作轴于，设，求出；根据，，得，故，从而，即可解得答案． 【小问1详解】 解：设抛物线的表达式为， 将代入得：， 解得， ； 【小问2详解】 过作轴于，过作轴于，如图： 设， 在中，令得或， ； ，， ， ， ， ， ， ， 解得或（此时与重合，舍去）， ，． 【点睛】本题考查二次函数综合应用，涉及待定系数法，三角形相似的判定与性质，解题的关键是证明，用对应边成比例列式求出的值． 23. 将一副直角三角板与叠放在一起，如图1，，，，．在两三角板所在平面内，将三角板绕点O顺时针方向旋转（）度到位置，使，如图2． （1）求的值； （2）如图3，继续将三角板绕点O顺时针方向旋转，使点E落在边上点处，点D落在点处．设交于点G，交于点H，若点G是的中点，试判断四边形的形状，并说明理由． 【答案】（1） （2）正方形，见解析 【解析】 【分析】（1）确定旋转角，结合，，计算即可． （2）先证明四边形是矩形，再利用等腰直角三角形的性质，结合一组邻边相等的矩形是正方形证明即可． 【小问1详解】 根据题意，得旋转角， ∵，， ∴， 故． 【小问2详解】 根据题意，得旋转角， ∵，， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形． 【点睛】本题考查了旋转的性质，矩形的判断，正方形的判断，等腰直角三角形的性质，熟练掌握矩形的判断，正方形的判断，等腰直角三角形的性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$