精品解析：2024年湖南省娄底市第二中学中考二模数学试题

2024年娄底二中初中学业水平考试模拟（二）数学 时量：120分钟 注意事项： 1．答题前，请考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，并认真核对条形码上的姓名、准考证号、考室和座位号； 2．必须在答题卡上答题，在草稿纸、试题卷上答题无效； 3．答题时，请考生注意各大题题号后面的答题提示； 4．请勿折叠答题卡，保持字体工整、笔迹清晰、卡面清洁； 5．答题卡上不得使用涂改液、涂改胶和贴纸； 6．本学科试卷共26个小题，考试时量120分钟，满分120分． 一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的．请在答题卡中填涂符合题意的选项．本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 1. 的相反数是（ ） A. 2024 B. C. ﹣2024 D. 1 2. 下列图形既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 爱达·魔都号，是中国第一艘国产大型邮轮，全长米，总吨位为万吨，可搭载乘客5246人．将万用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 5. 小明所在班级部分同学身高情况统计如下： 身高/cm 160 161 162 163 164 165 人数 4 6 6 11 4 1 则这组统计数据的中位数、众数分别为（ ） A. 163，163 B. 163，162 C. 162，162.5 D. 162.5，163 6. 如图，将三角板的直角顶点放在直尺的一边上，如果 ，那么 的度数为（　　） A. B. C. D. 7. 如图，为测量位于一水塘旁的两点 ， 间的距离，在地面上确定点 ，分别取 ， 的中点 ， ，量得，则 ， 之间的距离是（ ） A. B. C. D. 8. 用直尺和圆规作一个角等于已知角的作图痕迹如图所示，可得，进一步得到．上述作图中判定全等三角形的依据是（　　） A. B. C. D. 9. 如图，已知点A为反比例函数的图象上一点，过点A作轴，垂足为B，若的面积为1，则k的值为（　　） A. 1 B. C. 2 D. 10. 观察下列“蜂窝图”，按照这样的规律，则第个图案中的“”的个数是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 11. 若代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围是_______． 12. 分解因式：2a3﹣8a=________． 13. 点关于 轴的对称点的坐标是______． 14. 围棋起源于中国，棋子分黑白两色一个不透明的盒子中装有 个黑色棋子和若干个白色棋子，每个棋子除颜色外都相同，任意摸出一个棋子，摸到黑色棋子的概率是，则盒中棋子的总个数是______ 个 15. 如图，是一个测量工件内槽宽的工具，点 既是的中点，也是的中点，若测得，则该内槽的宽为______ ． 16. 如图，在矩形 中，对角线 ， 相交于点 ，若， ，则 的长为 ____． 17. 如图是高铁隧道的横截面，它的形状是以O为圆心的圆的一部分，路面米，净高米，则 的长为________． 18. 如图，在矩形 中， ，， 是矩形内部的一个动点，且满足，则线段 的最小值为_____． 三、解答题（本大题共8小题，第19、20题每小题6分，第21、22题每小题8分，第23、24题每小题9分，第25、26题每小题10分） 19. 计算：． 20. 先化简，再求值：，其中， 21. 为弘扬向善、为善优秀品质，助力爱心公益事业，我校组织“人间自有真情在，爱心助力暖人心”慈善捐款活动，八年级全体同学参加了此次活动．随机抽查了部分同学捐款的情况，统计结果如图①和图②所示． （1）本次共抽查了_____人；并补全上面条形统计图； （2） 种捐款额度占扇形统计图的圆心角度数为_____度； （3）全校有八年级学生人，估计捐款金额超过元（不含元）的有_____人． 22. 如图，一枚运载火箭从地面O处发射，当火箭到达点A处时．地面R处的雷达站测得的距离是，仰角为．经过后，火箭直线上升到达点B处，此时地面R处的雷达站测得B处的仰角为 ．求火箭从A到B处的平均速度（结果精确到，参考数据：，）． 23. 某服装店用2600元购进A，B两种新型服装，按标价出售后可获得利润1600元 A型 B型 进价（元/件） 60 100 标价（元/件） 100 160 （1）问：A，B两种服装各购进多少件？ （2）如果A型服装按标价的7折出售，B型服装按标价的8折出售，那么这批服装全部售完后，服装店比按标价出售少收入多少元 24. 如图，在矩形 中，对角线交于点O，分别过点 作 的平行线交于点E，连接 交 于点F． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，求菱形的周长． 25. 在 中， ， 平分 交 于点E，D是边 上一点，以 为直径的 经过点E，且交 于点F． （1）求证： 是 的切线； （2）若，，求图中阴影部分的面积； （3）请猜想线段 ， 和 之间的数量关系，并说明理由． 26. 小颖为了激励自己中考冲刺，在日记中写下自勉：“平时发狠努力，中考创造奇迹”．我们不妨约定：在平面直角坐标系 中，若一个函数的图象与直线有交点，这样的函数我们称之为“奇迹函数”，这个交点称作这个函数的“奇迹点”，例如：一次函数 是“奇迹函数”，其“奇迹点”是．请解答下列问题： （1）下列函数中是“奇迹函数”的是_______（请填写序号）； ； ；； （2）已知反比例函数是“奇迹函数”，且其图象上存在两个“奇迹点”，分别是和，求线段 长度的取值范围； （3）若函数的图象上存在唯一的一个“奇迹点”，且当时， 的最大值与最小值的差是，求 的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年娄底二中初中学业水平考试模拟（二）数学 时量：120分钟 注意事项： 1．答题前，请考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，并认真核对条形码上的姓名、准考证号、考室和座位号； 2．必须在答题卡上答题，在草稿纸、试题卷上答题无效； 3．答题时，请考生注意各大题题号后面的答题提示； 4．请勿折叠答题卡，保持字体工整、笔迹清晰、卡面清洁； 5．答题卡上不得使用涂改液、涂改胶和贴纸； 6．本学科试卷共26个小题，考试时量120分钟，满分120分． 一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的．请在答题卡中填涂符合题意的选项．本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 1. 的相反数是（ ） A. 2024 B. C. ﹣2024 D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了求一个数的相反数，只有符号不同的两个数互为相反数．根据相反数的概念解题． 【详解】解；的相反数是， 故选：B． 2. 下列图形既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形；在平面内，把一个图形绕着某个点旋转 ，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．据此逐项判断即可求解． 【详解】解：A、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故本选项不符合题意； B、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故本选项不符合题意； C、既是中心对称图形又是轴对称图形，故本选项符合题意； D、是中心对称图形，不是轴对称图形，故本选项不符合题意； 故选：C． 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了同底数幂乘除法计算，幂的乘方计算和合并同类项，熟知相关计算法则是解题的关键． 【详解】解：A、，原式计算错误，不符合题意； B、与不是同类项，不能合并，原式计算错误，不符合题意； C、，原式计算错误，不符合题意； D、，原式计算正确，符合题意； 故选：D． 4. 爱达·魔都号，是中国第一艘国产大型邮轮，全长米，总吨位为万吨，可搭载乘客5246人．将万用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中为整数，表示时关键要正确确定 的值以及 的值． 科学记数法的表示形式为的形式，其中为整数．确定 的值时，要看把原数变成 时，小数点移动了多少位， 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时， 是正整数；当原数的绝对值时， 是负整数． 【详解】解：万． 故选：B． 5. 小明所在班级部分同学身高情况统计如下： 身高/cm 160 161 162 163 164 165 人数 4 6 6 11 4 1 则这组统计数据的中位数、众数分别为（ ） A. 163，163 B. 163，162 C. 162，162.5 D. 162.5，163 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了众数和中位数的知识，掌握众数和中位数的概念是解答本题的关键．将数据从小到大排列，再根据众数和中位数的概念即可求解． 【详解】解：根据表格，共有个数据，各数据从小到大排列后，处于中间的数据为第、个，分别为和， ∴中位数为：， 出现次数最多的数为，故众数为， 故选：D． 6. 如图，将三角板的直角顶点放在直尺的一边上，如果 ，那么 的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查平行线的性质，掌握平行线的性质，三角板中角度的计算是解题的关键，根据平行线的性质可得答案． 【详解】解：如图， 由平行线的性质可得，， ∵， ∴， 故答案为：C． 7. 如图，为测量位于一水塘旁的两点 ， 间的距离，在地面上确定点 ，分别取， 的中点 ， ，量得，则 ， 之间的距离是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查三角形中位线定理，根据三角形中位线定理解答即可，熟记三角形中位线等于第三边的一半是解题的关键． 【详解】解：∵ ， 分别是， 的中点， ∴ 是 的中位线， ∴， ∴ ， 之间的距离是 ， 故选： ． 8. 用直尺和圆规作一个角等于已知角的作图痕迹如图所示，可得，进一步得到．上述作图中判定全等三角形的依据是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定以及全等三角形对应角相等，解体的关键是根据作法找到已知条件．由作法可知，两三角形的三条边对应相等，所以利用可以证得． 【详解】解：由作一个角等于已知角的作法可知，，，， 在和中， ， ∴， 故选：A 9. 如图，已知点A为反比例函数的图象上一点，过点A作轴，垂足为B，若 的面积为1，则k的值为（　　） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据反比例函数的比例系数 的几何意义可得，然后去绝对值即可得． 【详解】解：由反比例函数的图象可知， ， 的面积为1，点 为反比例函数的图象上一点，且轴， ， 解得或（舍去）， 故选：D． 【点睛】本题考查了反比例函数的比例系数 的几何意义，熟记反比例函数的比例系数 的几何意义是解题的关键． 10. 观察下列“蜂窝图”，按照这样的规律，则第个图案中的“”的个数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了图形的规律探究．根据题意推导一般性规律是解题的关键． 根据题意可推导一般性规律为：第 个图案中“”的个数是，然后计算求解即可． 【详解】解：由题意知，第1个图案中“”的个数是4， 第2个图案中“”的个数是， 第3个图案中“”的个数是， 第4个图案中“”的个数是， …… ∴可推导一般性规律为：第 个图案中“”的个数是， 当时，， 故选：A． 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 11. 若代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围是_______． 【答案】 【解析】 【分析】先根据二次根式有意义的条件列出关于x的不等式，求出x的取值范围即可． 【详解】解：∵在实数范围内有意义， ∴x-1≥0， 解得x≥1． 故答案为：x≥1． 【点睛】本题考查的是二次根式有意义的条件，即被开方数大于等于0． 12. 分解因式：2a3﹣8a=________． 【答案】2a（a+2）（a﹣2） 【解析】 【分析】要将一个多项式分解因式的一般步骤是首先看各项有没有公因式，若有公因式，则把它提取出来，之后再观察是否是完全平方式或平方差式，若是就考虑用公式法继续分解因式． 【详解】． 13. 点关于 轴的对称点的坐标是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查关于 轴对称的点的坐标特征，根据关于 轴对称的点的坐标特征是横坐标不变、纵坐标互为相反数即可得到答案．熟记关于 轴对称的点的坐标特征是解决问题的关键． 【详解】解： 点关于 轴对称， 点关于 轴的对称点的坐标是， 故答案为：． 14. 围棋起源于中国，棋子分黑白两色一个不透明的盒子中装有个黑色棋子和若干个白色棋子，每个棋子除颜色外都相同，任意摸出一个棋子，摸到黑色棋子的概率是，则盒中棋子的总个数是______ 个 【答案】 【解析】 【分析】根据黑色棋子除以相应概率可以算出棋子的总数． 【详解】解：由题意：设棋子的总数为 个 解得 故答案为：20． 【点睛】本题考查了概率公式，用到的知识点为：概率 所求情况数与总情况数之比． 15. 如图，是一个测量工件内槽宽的工具，点 既是的中点，也是的中点，若测得，则该内槽的宽为______ ． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的应用：解题的关键是熟练掌握全等三角的判定法方法． 利用 证明，即可解答． 【详解】解： 点 既是的中点，也是的中点， ， 在 和中， ， ， ， 故答案为： 16. 如图，在矩形 中，对角线 ， 相交于点 ，若， ，则 的长为 ____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查矩形的性质，等边三角形的性质与判定，由条件可求得 为等边三角形，则可求得 的长． 【详解】 ， ， 四边形 为矩形 ， 为等边三角形， ， ， 故答案为： ． 17. 如图是高铁隧道的横截面，它的形状是以O为圆心的圆的一部分，路面米，净高米，则 的长为________． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查垂径定理，勾股定理，掌握垂径定理，勾股定理是解题的关键． 根据垂径定理可得，用半径表示出，再根据勾股定理即可得到答案． 【详解】解：设半径为r， ∵ 且 经过点 ， ， ， ， 在中根据勾股定理可得，， 解得：． ∴， 故答案为：5． 18. 如图，在矩形 中， ，， 是矩形内部的一个动点，且满足，则线段 的最小值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查点与圆的位置关系，勾股定理，圆周角定理，由，得到 在以 为直径的 上，连接交圆于，当 与重合时，线段 的长最小， 由勾股定理求出，即可得到，于是得到线段 的最小值为，解题的关键是正确理解 在以 为直径的 上，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：， ∴ ， ∴ 在以 为直径的 上， 连接交圆于，当 与重合时，线段 的长最小， ∵ ， ∴ ∵ ， ∴， ∴， ∴线段 的最小值为， 故答案为：． 三、解答题（本大题共8小题，第19、20题每小题6分，第21、22题每小题8分，第23、24题每小题9分，第25、26题每小题10分） 19. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查实数的混合运算，先计算乘方、立方根、零次幂和负整数次幂，再进行加减运算． 【详解】解： ． 20. 先化简，再求值：，其中， 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了整式的化简求值，正确化简是解题的关键．先根据平方差公式，合并同类项，完全平方公式展开，正确化简，然后计算代数式的值即可． 【详解】解： ， 当时， 原式． 21. 为弘扬向善、为善优秀品质，助力爱心公益事业，我校组织“人间自有真情在，爱心助力暖人心”慈善捐款活动，八年级全体同学参加了此次活动．随机抽查了部分同学捐款的情况，统计结果如图①和图②所示． （1）本次共抽查了_____人；并补全上面条形统计图； （2） 种捐款额度占扇形统计图的圆心角度数为_____度； （3）全校有八年级学生人，估计捐款金额超过元（不含元）的有_____人． 【答案】（1） 补全条形统计图如下： （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查调查与统计的相关知识，掌握根据样本估算总体数量的方法，圆心角度的计算方法即可求解． （1）根据A组的人数与百分比可求出抽样人数，再计算出捐款元的人数，即可求解； （2）根据圆心角度数的计算方法即可求解； （3）根据样本百分比估算总体数量的方法即可求解． 【小问1详解】 解：（人） “捐款为元”的学生有（人） 【小问2详解】 解：度 【小问3详解】 解：捐款金额超过元（不含元）的人数：（人）． 22. 如图，一枚运载火箭从地面O处发射，当火箭到达点A处时．地面R处的雷达站测得的距离是，仰角为．经过后，火箭直线上升到达点B处，此时地面R处的雷达站测得B处的仰角为 ．求火箭从A到B处的平均速度（结果精确到，参考数据：，）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的实际应用，分别解，求出 的长，利用路程除以时间，求出速度即可． 【详解】解：由题意，得：，， ∴在中，； 在中，， ∴， ∴火箭从A到B处的平均速度为． 23. 某服装店用2600元购进A，B两种新型服装，按标价出售后可获得利润1600元 A型 B型 进价（元/件） 60 100 标价（元/件） 100 160 （1）问：A，B两种服装各购进多少件？ （2）如果A型服装按标价的7折出售，B型服装按标价的8折出售，那么这批服装全部售完后，服装店比按标价出售少收入多少元 【答案】（1）A型服装购进10件，B型服装购进20件 （2）940元 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． （1）设A型服装购进x件，B型服装购进y件，根据“服装店用2600元购进A，B两种新型服装，按标价出售后可获得利润1600元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）由总价=单价×数量结合少收入的钱数=按标价出售的总钱数﹣打折后出售的总钱数，即可求出结论． 【小问1详解】 解：设A型服装购进x件，B型服装购进y件， 依题意，得：， 解得：． 答：A型服装购进10件，B型服装购进20件． 【小问2详解】 （元）． 答：服装店比按标价出售少收入940元． 24. 如图，在矩形 中，对角线交于点O，分别过点 作 的平行线交于点E，连接 交 于点F． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，求菱形的周长． 【答案】（1） 证明：∵， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形 是矩形， ∴， ∴四边形是菱形； （2）20 【解析】 【分析】该题主要考查了平行四边形的性质和判定，矩形的性质，菱形的性质和判定，等边三角形的性质和判定等知识点，解题的关键是掌握以上知识点； （1）根据平行四边形的判定得出四边形是平行四边形，进而利用菱形的判定解答即可； （2）根据矩形的性质和菱形的性质得出面积解答即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵四边形 是矩形，， ∴， ∴ 是等边三角形， ∴， 由（1）知：四边形是菱形， ∴． 25. 在 中， ， 平分 交 于点E，D是边 上一点，以 为直径的 经过点E，且交 于点F． （1）求证： 是 的切线； （2）若，，求图中阴影部分的面积； （3）请猜想线段 ， 和 之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1） 证明：如图，连接 ， 平分 ， ． ， ， ， ． ， ， 即． 为半径， 是 的切线； （2） （3） ，理由如下： 作于点H，连接 ， ， 平分且， ， ，， ， 在 和中 ， ， 在和中 ， ， ． 【解析】 【分析】（1）连接 ，证明即可； （2）连接 ，过点O作 于点M，，根据已知先证明四边形是矩形，利用勾股定理求出，得出是等边三角形，再利用含的直角三角形特征求出的长，根据勾股定理求出 的长，最后根据三角形的面积公式、扇形面积公式计算即可． （3）作于点H，连接 ， ，根据角平分线的性质得，， 在证，，得，，即可得出． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，连接 ，过点O作 于点M， ， 四边形为矩形， ，，． 设，则， 在中，， ， 解得： ， ，， ， ， ， 为等边三角形， ． 由（1）可知， ， ， ， ， ， ， ． 【小问3详解】 略 【点睛】本题考查角平分线的定义，切线的判定，等腰三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，矩形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，扇形的面积计算等知识，正确作出辅助线并利用数形结合的思想是解题关键． 26. 小颖为了激励自己中考冲刺，在日记中写下自勉：“平时发狠努力，中考创造奇迹”．我们不妨约定：在平面直角坐标系 中，若一个函数的图象与直线有交点，这样的函数我们称之为“奇迹函数”，这个交点称作这个函数的“奇迹点”，例如：一次函数 是“奇迹函数”，其“奇迹点”是．请解答下列问题： （1）下列函数中是“奇迹函数”的是_______（请填写序号）； ； ；； （2）已知反比例函数是“奇迹函数”，且其图象上存在两个“奇迹点”，分别是和，求线段 长度的取值范围； （3）若函数的图象上存在唯一的一个“奇迹点”，且当时， 的最大值与最小值的差是，求 的值． 【答案】（1）； （2）； （3）或． 【解析】 【分析】（ ）根据“奇迹函数”定义逐一判断即可； （）由题意得：，转化为一元二次方程判别式，再利用两点间的距离公式即可求解； （）转化为一元二次方程，利用判别式，则，然后分 当， 当，当时，当时， 时四种情况讨论即可； 本题考查了二次函数的图象及性质，二次函数与一元二次方程，两点间的距离，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【小问1详解】 联立方程组无解，即没有交点，则 不是“奇迹函数”， ，解得 或2，方程组有解，即有交点，则 是“奇迹函数”， 解得或1，方程组有解，即有交点，则是“奇迹函数”， 故答案为：； 【小问2详解】 由题意得：， ∴ ∴， ∴ 即：， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴， 【小问3详解】 ∵函数的图象上存在唯一的一个“奇迹点”， ∴与只有 个交点， ∴，整理得：， ∴，整理得：， ∴， 当时， 的最小值为， 当，即， ∴当时，当 时取最大值为， ∵ 的最大值与最小值的差是， ∴，即，解得：（舍去）或， 所以； 当，即， ∴当时， 当 取最大值为， ∵ 的最大值与最小值的差是， ∴，即： 解得：（舍去） 当时， 时，最大值是：， 时，最小值是：， ∵ 的最大值与最小值的差是， ∴ ∴ ， 当时， 时，最小值是：， 时，最大值是： ∴， ∴（舍去）， 综上：或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $