第22章　二次函数——二次函数线段最值与面积最值问题　训练　2023—2024学年人教版数学九年级上册

二次函数线段最值与面积最值问题 一，线段最值问题 例1．在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A，B两点．与y轴交于点C．且点A的坐标为（﹣1，0），点C的坐标为（0，5）． （1）求该抛物线的解析式； （2）如图（甲）．若点P是第一象限内抛物线上的一动点．当点P到直线BC的距离最大时，求点P的坐标； 练1.1．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+2x+c与x轴分别交于点A（1，0）和点B，与y轴交于点C（0，﹣3），连接BC． （1）求抛物线的解析式及点B的坐标． （2）如图，点P为线段BC上的一个动点（点P不与点B，C重合），过点P作y轴的平行线交抛物线于点Q，求线段PQ长度的最大值． 练1.2（化斜为直）．抛物线y＝ax2+bx+4与x轴交于A（﹣4，0）和B（1，0）两点，与y轴交于点C，点P是直线AC上方的抛物线上一动点．求抛物线的解析式； （1）过点P作PE⊥AC于点E，求PE的最大值及此时点P的坐标； （2）将抛物线y＝ax2+bx+4向右平移4个单位，得到新抛物线y'，点M是抛物线y'的对称轴上一点．在x轴上确定一点N，使得以点A、C、M、N为顶点的四边形是平行四边形，直接写出所有符合条件的点N的坐标． 例2．如图：抛物线y＝﹣x2+bx+c的图象交x轴于A，B两点，交y轴于点C，直线y＝﹣x+3经过B，C两点． （1）求抛物线的解析式； （2）点P为抛物线第一象限上的一动点，连接PC，PB，求△PBC面积的最大值，并求出此时点P的坐标； （3）在抛物线的对称轴上是否存在点M，使得△BCM为直角三角形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 练2.1．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx﹣3（a≠0）与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于C点． （1）求抛物线的函数表达式； （2）点P是直线BC下方抛物上一动点，连接PB，PC，求△PBC面积的最大值以及此时点P的坐标； （3）在（2）中△PBC的面积取得最大值的条件下，将该抛物线沿水平方向向左移动2个单位，平移后的抛物线顶点坐标为Q，M为y轴上一点，在平移后的抛物线上确定一点N，使得以点P，Q，M，N为顶点的四边形是平行四边形，写出所有符合条件的N的坐标，并写出求解点N的坐标的其中一种情况的过程． 变式2.1如图，抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，连接BC．如图，若点P是直线BC下方抛物线上一点，连接AC，BP，CP，求四边形ACPB面积的最大值； 变式2.2．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx﹣4交x轴于点A（﹣1，0），B（4，0），交y轴于点C，点M在该抛物线上，横坐标为m，将该抛物线M，C两点之间（包括M，C两点）的部分记为图象W． （1）求抛物线的解析式； （2）图象W的最大值与最小值的差为4时，求m的值； （3）如图2，若点M位于BC下方，过点A作AE∥BC交抛物线于点E，点D为直线AE上一动点，连接CM，CD，BM，BD，求四边形CDBM面积的最大值及此时点M的坐标． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$