精品解析：云南省玉溪市红塔区云南省玉溪第一中学2023-2024学年高二下学期6月月考数学试题

玉溪一中2023—2024学年下学期高二年级进阶测试 数学（特长级部） 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名､考场号､座位号填写在答题卡上． 2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．在试题卷上作答无效． 3．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．满分150分，考试用时120分 一､选择题：（58分） （一）单选题（本题共8小题，每题5分，共40分） 1. 已知全集，集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先根据补集的概念求得，再结合交集运算可得答案. 【详解】由题意得，所以， 故选：A. 2. “”是“直线与直线互相垂直”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 充要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合两直线垂直的性质分析判断. 【详解】∵直线与直线互相垂直 ∴，∴或， 而“”是“或”的充分不必要条件 ∴“”是“直线与直线互相垂直”的充分不必要条件， 故选：A. 3. 设F为抛物线的焦点，A，B，C为抛物线上三点，若F为的重心，则的值为（ ） A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 【答案】D 【解析】 【分析】由三角形重心坐标公式可得，再由抛物线的定义计算出长度即可. 【详解】由题意可知，点的坐标为， 设点，，的坐标分别为，，， 又为的重心，则，即， 由抛物线方程可得， 所以由抛物线的定义可知， 故选：D. 4. 若，，则的最大值为（ ） A. 3 B. 5 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】（法一）设与夹角为．因为，对其两边同时平方结合三角函数的性质即可得出答案；（法二）因为，如图设，，由知点B在以A为圆心1为半径的圆上，结合图形即可得出答案. 【详解】（法一）设与夹角为．因为， 得 ， 当时，最大值9，的最大值3，故选：A． （法二）因为，如图设，， 由知点B在以A为圆心1为半径的圆上， 当点B与O、A在一条直线，位于图中位置时，的最大值3. 故选：A. 5. 函数在的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据条件可得在上的图象关于原点对称，从而可得选项A和C错误，再利用时，，即可求出结果. 【详解】因为，所以， 从而时，图象关于原点对称，所以选项A和C错误， 又时，，，所以时，，所以选项B错误，选项D正确， 故选：D. 6. 如图，在三棱锥中，两两垂直，且，点分别是棱的中点，点是棱靠近点的三等分点，则空间几何体的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】过点作，交于点，借助线面处置的判定定理及性质定理，结合题意可得 、，作差即可得. 【详解】过点作，交于点， 因为平面，所以平面， 又，所以平面，且，可得， 因为分别为的中点，则， 所以， ， 因此. 故选：D. 7. 数列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，…，称为斐波那契数列，又称黄金分割数列，是由十三世纪意大利数学家列昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”.该数列从第三项开始，每项等于其前相邻两项之和.记该数列的前项和为，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据递推关系采用叠加法即可. 【详解】根据题意，，，，，…， ，， 则，，…，，， 将上述各式两边相加得，， 所以. 故选：B． 8. 已知是椭圆的左､右焦点，经过的直线与椭圆相交于两点，若，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据椭圆定义求出，根据边长确定，进而求出，即可求解椭圆离心率. 【详解】 由题意结合椭圆定义可知：的周长为，， 又因为， 所以，又由，知， 故，因此椭圆的离心率为. 故选：A （二）多选题（本题共3小题，每小题6分，全部选对得6分，有选错得0分，部分选对得部分分，共18分） 9. 下列说法正确的是（ ） A. 对于单峰的频率分布直方图，单峰不对称且在右边“拖尾”，则平均数大于中位数 B. 回归分析中，线性相关系数的取值范围为 C. 回归分析中，决定系数越大，拟合效果越好 D. 在独立性检验中，当（为的临界值）时，推断零假设不成立 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据频率分布直方图数据分布判断A，根据回归分析线性相关系数范围判断B，根据回归分析决定系数的定义判断C，根据独立性检验判断D. 【详解】根据频率分布直方图可得，单峰不对称且在右边“拖尾”，则平均数变大， 中位数变小，故平均数大于中位数，A正确； 回归分析中，线性相关系数的取值范围为，故B错误； 回归分析中，决定系数越大，拟合效果越好，故C正确； 在独立性检验中，当（为的临界值）时，推断零假设不成立，故D正确. 故选：ACD 10. 假设某市场供应的职能手机中，市场占有率和优质率的信息如下 品牌 甲 乙 其他 市场占有率 优质率 在该市场中任意买一部手机，用，，分别表示买到的智能手机为甲品牌､乙品牌，其他品牌，表示可买到的优质品，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据条件概率公式及相互独立事件的概率公式计算可得； 【详解】解：依题意可得，，，，因为，所以，，故正确的有ABD； 故选：ABD 11. 已知函数的定义域为，其导函数为的导函数为，且，则下列结论正确的是（ ） A. B. 若无解，则 C. 若有一个解，则 D. 若有两个解，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据可求出的表达式，连续求导两次后，代入即可判断A；利用A中所求函数表达式进行求导，求出其单调区间和极值，再结合图象可判断B,C；根据构造新函数，并用表示单调性和的范围，再次构造新函数求导，利用单调性判断出，即可判断D. 【详解】由，可得，即， 所以为常数． 又因为，所以， 则，所以正确； 因为 当且时，，当时，, 所以单调增区间为，单调减区间为， 的极小值为， 若无解，则，所以B正确； 若有一个解，则或，所以C错误； 令，则，由B中分析可得, 此时均为正根，且当时，，当时，, 可知在上为减函数，在上为增函数， ， 因为有两个解， 所以所以，所以， 构造函数，其中， 在上为增函数， 所以， 所以为增区间，所以，即，D正确. 故选：ABD． 【点睛】关键点点睛：本题主要考查导数单调性的综合应用，关键在于通过已知条件求出函数，并通过各选项中的关系式来构造所需新函数，求导求出其单调性，并利用单调性来判断大小关系. 二､填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知函数为奇函数，且最大值为1，则函数的最大值和最小值的和为__________. 【答案】2 【解析】 【分析】根据奇函数的性质求解即可. 【详解】奇函数如果存在最值，则最大值和最小值之和为0， 所以函数最大值和最小值之和为0， 则函数的最大值和最小值之和为2. 故答案为：2. 13. 若的展开式中项的系数是8，则实数的值为__________． 【答案】或 【解析】 【分析】首先将两项相乘的式子展开，再分别求项的系数，即可求解. 【详解】， 中项的系数是， 中项的系数是， 所以的展开式中项的系数是， 解得：或. 故答案为：或 14. 在中，角所对的边分别为，若成等差数列，则__________． 【答案】##0.8 【解析】 【分析】依题意可得，再利用余弦定理表示出，，代入计算即可. 【详解】解法一：利用特殊的等边三角形．解法二：依题意可得，再利用余弦定理表示出，，代入计算即可． 解法一：可设为等边三角形，求得． 解法二：因为成等差数列，则， 又由余弦定理可得： ， ． 则； 故答案为：． 三､解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤） 15. 已知等比数列的前项和为，且数列是公比为2的等比数列. （1）求的通项公式； （2）若，数列的前n项和为，求证：. 【答案】（1） （2） 由（1）知， 所以 ， 又，所以 【解析】 【分析】（1）先求出数列的通项，再根据与的关系结合是等比数列，即可得解； （2）利用裂项相消法求解即可. 【小问1详解】 因为数列是公比为2的等比数列， 又，所以. 当时，由，得， 两式相减得， 又是等比数列，所以，所以，解得， 所以，当时上式成立， 所以； 【小问2详解】 略 16. 大气污染物的浓度超过一定的限度会影响人的健康，为了研究的浓度是否受到汽车流量的影响，某校数学建模社团选择了某市8个监测点，统计每个监测点内过往的汽车流量(单位：千辆)，同时在低空相同的高度测定每个监测点该时间段内的的平均浓度(单位：)，得到的数据如下表所示： 监测点编号 1 2 3 4 5 6 7 8 千辆) 1.300 1.444 0.786 1.652 1.756 1.754 1.200 0.908 66 76 21 170 156 120 72 129 并计算得：． （1）求变量y关于的线性回归方程； （2）根据内浓度确定空气质量的等级标准，则浓度在为优良．建模社团计划从8个监测点中随机抽3个监测点再做一次数据统计，记抽到空气质量优良的监测点个数为，求的分布列与期望． 参考公式：线性回归方程为，其中以． 【答案】（1） （2）分布列见解析；期望为 【解析】 【分析】（1）根据公式，求线性回归方程； （2）求出的取值和对应的概率可得分布列，再根据公式求期望. 【小问1详解】 因为， 所以， ， 所以关于的线性回归方程为； 【小问2详解】 因为1，3，7三个监测点的空气质量为优良， 所以， 的分布列： 0 1 2 3 所以． 17. 如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，平面，，点分别在线段和的中点． （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角． 【答案】（1）解析见详解 （2） 【解析】 【分析】（1）先根据底面为直角梯形，，，点是线段的中点，证出，再根据直线与平面垂直的定义及判定定理，即可得证； （2）建立空间直角坐标系，先求出平面与平面的法向量，即可求解. 【小问1详解】 因为底面为直角梯形，， 所以， 因为，点是线段的中点， 所以，又因为， 所以四边形为平行四边形， 又因为， 所以平行四边形矩形， 所以， 因为平面，且平面， 所以， 因为，平面， 所以平面，且平面， 所以， 因为，且点是线段的中点， 所以 ， 又因为，平面， 所以平面， 【小问2详解】 因为平面，且， 所以直线两两垂直， 以原点，分别以直线为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，如图所示： 由得， ，，，，，， 由（1）知平面， 所以为平面的一个法向量， ， 设平面的一个法向量为， 因为，， 所以，取得， 所以， 所以， 设平面与平面夹角的为，则， 因为，所以， 即平面与平面夹角为. 18. 已知椭圆C∶()的左，右焦点分别为，，离心率为，M为C上一点，面积的最大值为. （1）求C的标准方程； （2）已知点，O为坐标原点，不与x轴垂直且不过直线l与C交于A，B两点，且.试问∶的面积是否存在最大值？若存在，求出该最大值；若不存在，说明理由. 【答案】（1）；（2）存在，最大值为6. 【解析】 【分析】（1）根据椭圆的离心率公式、椭圆的性质、椭圆中的关系进行求解即可； （2）通过直线斜率与倾斜角之间的关系，由可以得到，这样利用直线方程与椭圆方程联立，根据一元二次方程根与系数关系，结合斜率公式、换元法、基本不等式进行求解即可. 【详解】（1）设椭圆C的半焦距为c， 由题，面积最大值为，则，解得 所以椭圆方程为. （2）设直线的方程为，，， 将代入，得， ，由得， ，， 由，得，即，， 整理得， 即， 所以，， 所以直线l：经过，且恒成立， ， ， 令，则， 所以， 当且仅当时取等号，即，时，的面积取最大值为6. 【点睛】关键点睛：由得到这是一个关键点，另外通过变形运用基本不等式也是关键点之一. 19. 函数，. （1）讨论函数的单调性； （2）若在上恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）答案见解析；（2）. 【解析】 【分析】（1）求出函数的定义域为，求得，分、、三种情况讨论，分析导数的符号变化，由此可得出函数的单调递增区间和递减区间； （2）构造函数，由题意可知恒成立，对实数分和两种情况讨论，利用导数分析函数在区间上的单调性，验证是否成立，由此可得出实数的取值范围. 【详解】（1）函数的定义域为，. （i）当时，，函数在上单调递增； （ii）当时，令得. 若，则；若，则. ①当时，，函数在上单调递增； ②当时，， 当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减； 综上，可得，当时，函数在上单调递增； 当时，函数在上单调递增，在上单调递减； （2）设，，则. 当时，单调递增，则. 所以，函数在上单调递增，且. 当时，， 于是，函数在上单调递增，恒成立，符合题意； 当时，由于，，， 所以，存在，使得. 当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增. 故，不符合题意， 综上所述，实数取值范围是. 【点睛】本题考查利用导数求解函数的单调区间，同时也考查了利用导数研究函数不等式恒成立问题，考查分类讨论思想的应用，属于难题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 玉溪一中2023—2024学年下学期高二年级进阶测试 数学（特长级部） 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名､考场号､座位号填写在答题卡上． 2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．在试题卷上作答无效． 3．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．满分150分，考试用时120分 一､选择题：（58分） （一）单选题（本题共8小题，每题5分，共40分） 1. 已知全集，集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. “”是“直线与直线互相垂直”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 充要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 设F为抛物线的焦点，A，B，C为抛物线上三点，若F为的重心，则的值为（ ） A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 4. 若，，则的最大值为（ ） A. 3 B. 5 C. D. 5. 函数在的图象大致为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在三棱锥中，两两垂直，且，点分别是棱的中点，点是棱靠近点的三等分点，则空间几何体的体积为（ ） A. B. C. D. 7. 数列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，…，称为斐波那契数列，又称黄金分割数列，是由十三世纪意大利数学家列昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”.该数列从第三项开始，每项等于其前相邻两项之和.记该数列的前项和为，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 已知是椭圆的左､右焦点，经过的直线与椭圆相交于两点，若，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. （二）多选题（本题共3小题，每小题6分，全部选对得6分，有选错得0分，部分选对得部分分，共18分） 9. 下列说法正确的是（ ） A. 对于单峰的频率分布直方图，单峰不对称且在右边“拖尾”，则平均数大于中位数 B. 回归分析中，线性相关系数的取值范围为 C. 回归分析中，决定系数越大，拟合效果越好 D. 在独立性检验中，当（为的临界值）时，推断零假设不成立 10. 假设某市场供应的职能手机中，市场占有率和优质率的信息如下 品牌 甲 乙 其他 市场占有率 优质率 在该市场中任意买一部手机，用，，分别表示买到的智能手机为甲品牌､乙品牌，其他品牌，表示可买到的优质品，则（ ） A. B. C. D. 11. 已知函数的定义域为，其导函数为的导函数为，且，则下列结论正确的是（ ） A. B. 若无解，则 C. 若有一个解，则 D. 若有两个解，则 二､填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知函数为奇函数，且最大值为1，则函数的最大值和最小值的和为__________. 13. 若的展开式中项的系数是8，则实数的值为__________． 14. 在中，角所对的边分别为，若成等差数列，则__________． 三､解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤） 15. 已知等比数列的前项和为，且数列是公比为2的等比数列. （1）求的通项公式； （2）若，数列的前n项和为，求证：. 16. 大气污染物的浓度超过一定的限度会影响人的健康，为了研究的浓度是否受到汽车流量的影响，某校数学建模社团选择了某市8个监测点，统计每个监测点内过往的汽车流量(单位：千辆)，同时在低空相同的高度测定每个监测点该时间段内的的平均浓度(单位：)，得到的数据如下表所示： 监测点编号 1 2 3 4 5 6 7 8 千辆) 1.300 1.444 0.786 1.652 1.756 1.754 1.200 0.908 66 76 21 170 156 120 72 129 并计算得：． （1）求变量y关于的线性回归方程； （2）根据内浓度确定空气质量的等级标准，则浓度在为优良．建模社团计划从8个监测点中随机抽3个监测点再做一次数据统计，记抽到空气质量优良的监测点个数为，求的分布列与期望． 参考公式：线性回归方程为，其中以． 17. 如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，平面，，点分别在线段和的中点． （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角． 18. 已知椭圆C∶()的左，右焦点分别为，，离心率为，M为C上一点，面积的最大值为. （1）求C的标准方程； （2）已知点，O为坐标原点，不与x轴垂直且不过的直线l与C交于A，B两点，且.试问∶的面积是否存在最大值？若存在，求出该最大值；若不存在，说明理由. 19. 函数，. （1）讨论函数的单调性； （2）若在上恒成立，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $