第1讲 数列小题（十一大题型）-2023-2024学年高二数学下学期《考点•题型•密卷》期末精讲与精练（人教A版2019）

第1讲 数列小题 【复习目录】 一、等差数列及其通项公式 二、等差数列的性质 三、等差数列的函数特性 四、等差数列的前n项和 五、等差数列前n项和的性质 六、等比数列及其通项公式 七、等比数列的性质 八、等比数列的前n项和 九、等比数列前n项和的性质 十、数列的实际应用 十一、数列的最值 【考点归纳】 1．等差数列的定义：an－an-1=d (n≥2) 2．等差数列的通项公式：an ＝a1＋(n－1)d＝am＋(n－m)d . 3．等差中项：若a，b，c成等差数列，则2b=a+c . b叫做a与c的等差中项． 4．等差数列的下标和公式：若k＋l＝m＋n，则ak＋al＝am＋an. 5．等差数列的前n项和公式：Sn＝或Sn＝na1＋d. 6．等差数列的前n项和公式与函数的关系 Sn＝n2＋n. 数列{an}是等差数列⇔Sn＝An2＋Bn (A，B为常数)． 7.等差数列的常用性质 (1)数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…构成等差数列． (2)若{an}是等差数列，则也是等差数列，其首项与{an}的首项相同，公差为d. 8．等差数列的前n项和的最值 在等差数列{an}中，a1>0，d<0，则Sn存在最大值；若a1<0，d>0，则Sn存在最小值． 9．等比数列的定义：＝q (n≥2)． 10．等比数列的通项公式：an＝a1·qn－1 = am·qn－m ． 11．等比中项：若a，b，c成等比数列，则b2= a·c ． b是a与c的等比中项. 12．等比数列的下标和公式：若m＋n＝p＋q，则am·an＝ap·aq . 13．等比数列的前n项和公式：Sn＝ 14．等比数列的常用性质 在等比数列{an}中，若Sn为其前n项和，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n也成等比数列 (n为偶数且q＝－1除外)． ✿✿✿(1)已知Sn求an的常用方法是利用an＝转化为关于an的关系式，再求通项公式． (2)Sn与an关系问题的求解思路 方向1：利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)转化为只含Sn，Sn－1的关系式，再求解． 方向2：利用Sn－Sn－1＝an(n≥2)转化为只含an，an－1的关系式，再求解． ★★★已知数列的递推关系求通项公式的典型方法 (1)当出现an＋1＝an＋f (n)时，用累加法求解． (2)当出现＝f (n)时，用累乘法求解． ♥♥♥解决数列的单调性问题的三种方法 (1)用作差比较法，根据an＋1－an的符号判断数列{an}是递增数列、递减数列还是常数列． (2)用作商比较法，根据(an>0或an<0)与1的大小关系进行判断． (3)函数法． ✿✿✿求数列的最大项与最小项的常用方法 (1)函数法，利用函数求最值． (2)利用(n≥2)确定最大项，利用(n≥2)确定最小项． (3)比较法：若有an＋1－an＝f(n＋1)－f(n)>0，则an＋1>an，则数列{an}是递增数列，所以数列{an}的最小项为a1；若有an＋1－an＝f(n＋1)－f(n)<0，则an＋1<an，则数列{an}是递减数列，所以数列{an}的最大项为a1. ★★★判断数列{an}是等差数列的常用方法 (1)定义法：对任意n∈N*，an＋1－an是同一常数． (2)等差中项法：对任意n≥2，n∈N*，满足2an＝an＋1＋an－1. (3)通项公式法：对任意n∈N*，都满足an＝pn＋q(p，q为常数)． (4)前n项和公式法：对任意n∈N*，都满足Sn＝An2＋Bn(A，B为常数)． ♥♥♥等比数列的三种常用判定方法 (1)定义法：若＝q(q为非零常数，n∈N*)或＝q(q为非零常数且n≥2，n∈N*)，则{an}是等比数列． (2)等比中项法：若数列{an}中，an≠0且a＝an·an＋2(n∈N*)，则{an}是等比数列． (3)前n项和公式法：若数列{an}的前n项和Sn＝k·qn－k(k为常数且k≠0，q≠0,1)，则 {an}是等比数列． 【题型归纳】 题型一、等差数列及其通项公式 1．（23-24高二上·福建宁德·期末）已知等差数列中，，，则等于（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·浙江杭州·期末）若数列满足递推关系式，且，则（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二上·云南昆明·期末）已知数列中，且，则为（    ） A． B． C． D． 题型二、等差数列的性质 4．（22-23高二下·广东汕尾·期末）在等差数列中，，，则（    ） A．4 B．5 C．6 D．8 5．（22-23高二下·江苏镇江·期末）设等差数列的前项和为，若，且，则（    ） A．1 B．2 C．2023 D．2024 6．（21-22高二上·陕西铜川·期末）在等差数列中，，则的值为（    ） A．6 B．12 C．24 D．48 题型三、等差数列的函数特性 7．（23-24高二上·福建宁德·期末）已知等差数列的前项和为．若，，则当取最大值时，的值为（    ） A． B． C． D． 8．（21-22高二下·北京房山·期末）已知无穷等差数列为递增数列，为数列前n项和，则以下结论正确的是（    ） A． B．数列有最大项 C．数列为递增数列 D．存在正整数，当时， 9．（22-23高二下·安徽合肥·期末）记等差数列的前项和为，已知，，则当取最大值时，的值为 ． 题型四、等差数列的前n项和 10．（2024·全国·模拟预测）已知等差数列的前项和为，且，则（   ） A．48 B．52 C．54 D．56 11．（22-23高二下·广东揭阳·期末）已知数列的各项均为正数，，数列为等差数列，其前n项和为，，，则（    ） A．6 B．7 C． D． 12．（22-23高二下·陕西汉中·期末）在等差数列中，，则的前2023项和（    ） A．2023 B．4046 C．6069 D．8092 题型五、等差数列前n项和的性质 13．（22-23高二下·湖北·期末）已知等差数列，的前项和分别为，，且，则（    ） A． B． C． D． 14．（22-23高二上·山东济南·阶段练习）设等差数列的前项和为，若，，则（    ） A． B． C． D． 15．（22-23高二上·河南许昌·期末）设等差数列、的前项和分别为、，若对任意的，都有，则 ． 题型六、等比数列及其通项公式 16．（22-23高二上·江苏常州·期末）已知等比数列满足，，则（    ） A．26 B．78 C．104 D．130 17．（23-24高三上·陕西安康·阶段练习）已知数列是递增的等比数列，其前n项和为.若，，则（    ） A． B． C．或 D．－3或 18．（2023·全国·模拟预测）已知正项等比数列满足，若，则（    ） A． B． C． D． 题型七、等比数列的性质 19．（2023·四川成都·一模）在等比数列中，，是方程两根，若，则m的值为（    ） A．3 B．9 C． D． 20．（2023·吉林·一模）在等比数列中，，，则（    ） A． B． C． D．11 21．（22-23高二上·安徽宣城·期末）已知等比数列的各项都是正数，其公比为4，且，则（    ） A． B． C． D． 题型八、等比数列的前n项和 22．（23-24高二上·四川宜宾·期末）已知等比数列的前项和为，且满足，则（    ） A． B． C． D． 23．（2023·河南开封·一模）记为等比数列的前项和，若，，则（    ） A．6 B．8 C．9 D．12 24．（22-23高二下·黑龙江牡丹江·期末）已知定义数列为数列的“差数列”，若的“差数列”的第项为，则数列的前2023项和（    ） A． B． C． D． 题型九、等比数列前n项和的性质 25．（22-23高二上·广东深圳·期末）设等比数列的公比为，其前项和为，前项之积为，且满足，，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C．是数列中的最大值 D． 26．（2023·福建泉州·模拟预测）记等比数列的前项和为.若，，则（    ） A． B． C． D． 27．（21-22高二上·重庆·期末）已知等比数列各项均为正数，且，，成等差数列，则（    ） A． B． C． D． 题型十、数列的实际应用 28．（23-24高二上·甘肃·期末）《周髀算经》记载：一年有二十四个节气，每个节气晷长损益相同（晷是按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测量影子的长度），夏至､小暑､大暑､立秋､处暑､白露､秋分､寒露､霜降､立冬､小雪､大雪是连续十二个节气，其日影子长依次成等差数列.经记录测算，夏至､处暑､霜降三个节气日影子长之和为16.5尺，这十二节气的所有日影子长之和为84尺，则大雪的日影子长为（    ） A．1尺 B．1.5尺 C．11.5尺 D．12.5尺 29．（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·期末）我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里出现了如图所示的杨辉三角，这是中国数学史上的一个伟大成就．在杨辉三角中，第行的所有数字之和为，若去除所有为1的项，依次构成数列2，3，3，4，6，4，5，10，10，5，……．则此数列的前15项之和为（    ） A．114 B．116 C．124 D．126 30．（2023·广东揭阳·模拟预测）在《增减算法统宗》中有这样一则故事：“三百七十八里关，初行健步不为难；次日脚痛减一半，如此六日过其关”.其大意是：有人要去某关口，路程为里，第一天健步行走，从第二天起由于脚痛，每天走的路程都为前一天的一半，一共走了六天，才到目的地.则此人后天共走的里程数为（    ） A． B． C． D． 题型十一、数列的最值 31．（23-24高三上·辽宁·期中）已知正项等比数列的前n和为，若，且，则满足的n的最大值为 . 32．（22-23高二下·湖南湘潭·期末）有穷等差数列的各项均为正数，若，则的最小值是 . 33．（22-23高二下·浙江杭州·期末）已知数列满足，，数列的前项和为，且，则满足的正整数的最小值为 ． 【专题强化】 一、单选题 34．（23-24高二上·河南·期末）已知是公比为2的等比数列，若，则（    ） A．100 B．80 C．50 D．40 35．（23-24高二上·湖南·期末）如图，三角形蜘蛛网是由一些正三角形环绕而成的图形，每个正三角形的顶点都是其外接正三角形各边的中点．现有17米长的铁丝材料用来制作一个网格数最多的三角形蜘蛛网，若该三角形蜘蛛网中最大的正三角形的边长为3米，则最小的正三角形的边长为（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 36．（23-24高二上·湖南·期末）在数列中，已知，，若，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 37．（2024·四川绵阳·二模）已知数列的前n项和为，且，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 38．（23-24高二上·湖北·期末）定义：在数列中，若对任意的都满足为常数，则称数列为等差比数列．已知等差比数列中，，，则（    ） A． B． C． D． 39．（23-24高二上·四川宜宾·期末）一只蜜蜂从蜂房出发向右爬，每次只能爬向右侧相邻的两个蜂房 (如图)，例如：从蜂房只能爬到号或号蜂房，从号蜂房只能爬到号或号蜂房……以此类推，用表示蜜蜂爬到号蜂房的方法数，则（    ） A． B． C． D． 40．（23-24高二上·安徽合肥·期末）已知数列的前n项和满足，（），则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 41．（23-24高二上·重庆·期末）已知数列满足，且，数列满足，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 42．（23-24高二上·北京·期末）正项等比数列中，是方程的两根，则的值是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 43．（22-23高二上·江苏常州·期末）已知数列满足，若，则的前2022项和为（    ） A． B． C． D． 44．（23-24高二上·河北衡水·阶段练习）设等差数列的前项和为，满足，数列中最大的项为第（   ）项． A．4 B．5 C．6 D．7 二、多选题 45．（2024·全国·模拟预测）已知等比数列的前项和为，且，则（    ） A． B． C． D． 46．（2024·全国·模拟预测）已知等差数列的公差为d，前n项和为，，，则下列说法正确的是（    ） A． B．若，则时最大 C．若，则使为负值的n的值有6个 D．若，则 47．（23-24高二上·广东深圳·期末）已知数列的前项和为，下列说法不正确的是（    ） A．若，则成等比数列 B．若为等差数列，则为等比数列 C．若，则数列为等差数列 D．若，则数列为等比数列 48．（23-24高二上·福建宁德·期末）数列是各项为正数的等比数列，其前项和为，则下列说法正确的是（    ） A．数列是等比数列 B．数列是等比数列 C．是等差数列 D．、、成等比数列 49．（23-24高二上·重庆·期末）已知等差数列的前项和为，若，，，则下列结论正确的有（    ） A．是递减数列 B． C． D．使成立的的最小值为4046 50．（23-24高二上·山东烟台·期末）《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等.问各得几何.”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列，问五人各得多少钱？”.关于这个问题，下列说法正确的是（    ） A．戊得钱是甲得钱的一半 B．乙得钱比丁得钱多钱 C．甲、丙得钱的和是乙得钱的3倍 D．丁、戊得钱的和比甲得钱多钱 51．（23-24高二上·湖北·期末）记等差数列的前n项和为，设公差为d，正项等比数列的前n项积记为，设公比为q，以下结论错误的是（    ） A．若有最大值，则 B．若，则有最大值 C．若，则 D．若，则 三、填空题 52．（23-24高二上·山东烟台·期末）已知为等比数列的前n项和，且，，则的值为 . 53．（23-24高二上·江苏淮安·期末）已知正项数列是等差数列，若，，则的值为 . 54．（23-24高二上·江苏镇江·期末）数列的前项和，首项为1，对于任意正整数，都有，则 ． 55．（23-24高二上·江苏镇江·期末）已知等差数列，的前项和分别为，，若，则 ． 56．（23-24高二上·福建泉州·期末）原始的蚊香出现在宋代.根据宋代冒苏轼之名编写的《格物粗谈》记载：“端午时，贮浮萍，阴干，加雄黄，作纸缠香，烧之，能祛蚊虫.”如图为某兴趣小组用数学软件制作的“螺旋蚊香”，画法如下：在水平直线上取长度为1的线段，做一个等边三角形，然后以点为圆心，为半径逆时针画圆弧，交线段的延长线于点，再以点为圆心，为半径逆时针画圆弧，交线段的延长线于点，以此类推，当得到的“螺旋蚊香”与直线l恰有21个交点时，“螺旋蚊香”的总长度的最小值为 . 57．（2023高三上·全国·竞赛）已知数列满足，，记数列的前n项和为．若对于任意，不等式恒成立，则实数k的取值范围为 ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第1讲 数列小题 【复习目录】 一、等差数列及其通项公式 二、等差数列的性质 三、等差数列的函数特性 四、等差数列的前n项和 五、等差数列前n项和的性质 六、等比数列及其通项公式 七、等比数列的性质 八、等比数列的前n项和 九、等比数列前n项和的性质 十、数列的实际应用 十一、数列的最值 【考点归纳】 1．等差数列的定义：an－an-1=d (n≥2) 2．等差数列的通项公式：an ＝a1＋(n－1)d＝am＋(n－m)d . 3．等差中项：若a，b，c成等差数列，则2b=a+c . b叫做a与c的等差中项． 4．等差数列的下标和公式：若k＋l＝m＋n，则ak＋al＝am＋an. 5．等差数列的前n项和公式：Sn＝或Sn＝na1＋d. 6．等差数列的前n项和公式与函数的关系 Sn＝n2＋n. 数列{an}是等差数列⇔Sn＝An2＋Bn (A，B为常数)． 7.等差数列的常用性质 (1)数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…构成等差数列． (2)若{an}是等差数列，则也是等差数列，其首项与{an}的首项相同，公差为d. 8．等差数列的前n项和的最值 在等差数列{an}中，a1>0，d<0，则Sn存在最大值；若a1<0，d>0，则Sn存在最小值． 9．等比数列的定义：＝q (n≥2)． 10．等比数列的通项公式：an＝a1·qn－1 = am·qn－m ． 11．等比中项：若a，b，c成等比数列，则b2= a·c ． b是a与c的等比中项. 12．等比数列的下标和公式：若m＋n＝p＋q，则am·an＝ap·aq . 13．等比数列的前n项和公式：Sn＝ 14．等比数列的常用性质 在等比数列{an}中，若Sn为其前n项和，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n也成等比数列 (n为偶数且q＝－1除外)． ✿✿✿(1)已知Sn求an的常用方法是利用an＝转化为关于an的关系式，再求通项公式． (2)Sn与an关系问题的求解思路 方向1：利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)转化为只含Sn，Sn－1的关系式，再求解． 方向2：利用Sn－Sn－1＝an(n≥2)转化为只含an，an－1的关系式，再求解． ★★★已知数列的递推关系求通项公式的典型方法 (1)当出现an＋1＝an＋f (n)时，用累加法求解． (2)当出现＝f (n)时，用累乘法求解． ♥♥♥解决数列的单调性问题的三种方法 (1)用作差比较法，根据an＋1－an的符号判断数列{an}是递增数列、递减数列还是常数列． (2)用作商比较法，根据(an>0或an<0)与1的大小关系进行判断． (3)函数法． ✿✿✿求数列的最大项与最小项的常用方法 (1)函数法，利用函数求最值． (2)利用(n≥2)确定最大项，利用(n≥2)确定最小项． (3)比较法：若有an＋1－an＝f(n＋1)－f(n)>0，则an＋1>an，则数列{an}是递增数列，所以数列{an}的最小项为a1；若有an＋1－an＝f(n＋1)－f(n)<0，则an＋1<an，则数列{an}是递减数列，所以数列{an}的最大项为a1. ★★★判断数列{an}是等差数列的常用方法 (1)定义法：对任意n∈N*，an＋1－an是同一常数． (2)等差中项法：对任意n≥2，n∈N*，满足2an＝an＋1＋an－1. (3)通项公式法：对任意n∈N*，都满足an＝pn＋q(p，q为常数)． (4)前n项和公式法：对任意n∈N*，都满足Sn＝An2＋Bn(A，B为常数)． ♥♥♥等比数列的三种常用判定方法 (1)定义法：若＝q(q为非零常数，n∈N*)或＝q(q为非零常数且n≥2，n∈N*)，则{an}是等比数列． (2)等比中项法：若数列{an}中，an≠0且a＝an·an＋2(n∈N*)，则{an}是等比数列． (3)前n项和公式法：若数列{an}的前n项和Sn＝k·qn－k(k为常数且k≠0，q≠0,1)，则 {an}是等比数列． 【题型归纳】 题型一、等差数列及其通项公式 1．（23-24高二上·福建宁德·期末）已知等差数列中，，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出等差数列的公差，即可求得的值. 【详解】设等差数列的公差为，则， 故. 故选：B. 2．（23-24高二上·浙江杭州·期末）若数列满足递推关系式，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用取倒数法可得，结合等差数列的定义和通项公式即可求解. 【详解】因为，所以， 所以，又，所以， 故数列是以为首项，以为公差的等差数列， 则，得， 所以. 故选：A 3．（23-24高二上·云南昆明·期末）已知数列中，且，则为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】采用倒数法可证得数列为等差数列，根据等差数列通项公式可推导得到，得解. 【详解】由得：， 又，数列是以1为首项，为公差的等差数列， ， ，， ， 故选：A． 题型二、等差数列的性质 4．（22-23高二下·广东汕尾·期末）在等差数列中，，，则（    ） A．4 B．5 C．6 D．8 【答案】C 【分析】根据等差数列的性质求得公差，进而求得. 【详解】设等差数列的公差为， ， 所以. 故选：C 5．（22-23高二下·江苏镇江·期末）设等差数列的前项和为，若，且，则（    ） A．1 B．2 C．2023 D．2024 【答案】B 【分析】由等差数列的性质求解即可. 【详解】因为，所以， 所以. 故选：B 6．（21-22高二上·陕西铜川·期末）在等差数列中，，则的值为（    ） A．6 B．12 C．24 D．48 【答案】C 【分析】根据等差数列的性质即可求解. 【详解】由于是等差数列，所以，故， ， 故选：C 题型三、等差数列的函数特性 7．（23-24高二上·福建宁德·期末）已知等差数列的前项和为．若，，则当取最大值时，的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用等差数列的基本性质可知，当时，，当时，，即可得出结论. 【详解】因为等差数列的前项和为，，可得， 又因为，则数列的公差为， 所以，数列为单调递减数列， 则当时，，当时，， 故当时，取最大值. 故选：B. 8．（21-22高二下·北京房山·期末）已知无穷等差数列为递增数列，为数列前n项和，则以下结论正确的是（    ） A． B．数列有最大项 C．数列为递增数列 D．存在正整数，当时， 【答案】D 【分析】设等差数列的首项为，公差为，依题意可得，再根据等差数列通项公式及前项和公式一一判断即可； 【详解】解：设等差数列的首项为，公差为，则， 因为为递增数列，所以， 则， 对于A：因为，又的符号无法确定，故A错误； 对于B：当时，此时单调递增，所以数列不存在最大项，故B错误； 对于C：因为，所以， 当时，此时存在的情形，故数列不一定单调，故C错误； 对于D：因为为递增数列，所以，若，则当比较大时，，即一定存在正整数，当时，， 若，显然存在正整数，当时，，故D正确； 故选：D 9．（22-23高二下·安徽合肥·期末）记等差数列的前项和为，已知，，则当取最大值时，的值为 ． 【答案】6 【分析】利用等差数列前项和公式和等差数列数列的对称性，可得到0，，从而得出结果. 【详解】因为，， 所以0，，∴是递减数列， 当时，，当时，． ∴当取最大值时，的值为6． 故答案为：6. 题型四、等差数列的前n项和 10．（2024·全国·模拟预测）已知等差数列的前项和为，且，则（   ） A．48 B．52 C．54 D．56 【答案】B 【分析】利用等差数列的通项公式与前项和公式求得，从而得解. 【详解】依题意，设等差数列的公差为， 则由，得，解得， 所以. 故选：B. 11．（22-23高二下·广东揭阳·期末）已知数列的各项均为正数，，数列为等差数列，其前n项和为，，，则（    ） A．6 B．7 C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，求出等差数列的通项公式即可作答. 【详解】在等差数列中，，，解得， 因此数列的公差，， 显然，而数列的各项均为正数，所以. 故选：A 12．（22-23高二下·陕西汉中·期末）在等差数列中，，则的前2023项和（    ） A．2023 B．4046 C．6069 D．8092 【答案】D 【分析】根据等差数列的通项结合条件可得，再由求解. 【详解】解：设的公差为， 则， 所以. 故选：D 题型五、等差数列前n项和的性质 13．（22-23高二下·湖北·期末）已知等差数列，的前项和分别为，，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 利用等差数列的前项和公式求解. 【详解】由已知得，可设，， 则，， 即， 故选：. 14．（22-23高二上·山东济南·阶段练习）设等差数列的前项和为，若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由等差数列片段和的性质可得出、、、成等差数列，即可求得的值. 【详解】解：由等差数列的性质可知，、、、成等差数列， 且该数列的公差为，则， 所以，， 因此，. 故选：D. 15．（22-23高二上·河南许昌·期末）设等差数列、的前项和分别为、，若对任意的，都有，则 ． 【答案】 【分析】 根据等差数列的性质即可求解. 【详解】， 由于， 故答案为： 题型六、等比数列及其通项公式 16．（22-23高二上·江苏常州·期末）已知等比数列满足，，则（    ） A．26 B．78 C．104 D．130 【答案】B 【分析】根据已知求出，然后即可根据等比数列的性质得出答案. 【详解】设等比数列公比为， 根据已知可得，， 所以，，解得， 所以，. 故选：B. 17．（23-24高三上·陕西安康·阶段练习）已知数列是递增的等比数列，其前n项和为.若，，则（    ） A． B． C．或 D．－3或 【答案】B 【分析】利用等比数列通项公式和求和公式进行基本量的计算即可. 【详解】设等比数列的公比为，则， 解得:或（舍去），所以，所以. 故选:B. 18．（2023·全国·模拟预测）已知正项等比数列满足，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设出等比数列的公比，利用求出，再由即可求出. 【详解】设等比数列的公比为． 由，得， 解得， 又 得． 故选：A 题型七、等比数列的性质 19．（2023·四川成都·一模）在等比数列中，，是方程两根，若，则m的值为（    ） A．3 B．9 C． D． 【答案】B 【分析】根据韦达定理可得，结合等比数列的性质即可求解. 【详解】因为，是方程两根， 所以，即， 在等比数列中，，又， 所以，因为，所以，所以. 故选：B. 20．（2023·吉林·一模）在等比数列中，，，则（    ） A． B． C． D．11 【答案】A 【分析】设，倒序相加再由等比数列的性质求解. 【详解】设， 则 ， 所以. 故选：A 21．（22-23高二上·安徽宣城·期末）已知等比数列的各项都是正数，其公比为4，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据等比数列的性质求解即可. 【详解】解：根据等比数列性质，有， 因为，所以，解得， 因为等比数列的公比为， 所以，. 故选：C 题型八、等比数列的前n项和 22．（23-24高二上·四川宜宾·期末）已知等比数列的前项和为，且满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据已知条件求得等比数列的公比，进而求得. 【详解】设等比数列的公比为， 若，则，则，所以， 所以，， 所以，所以. 故选：B 23．（2023·河南开封·一模）记为等比数列的前项和，若，，则（    ） A．6 B．8 C．9 D．12 【答案】C 【分析】由，，求得，代入等比数列前n项和公式求解. 【详解】解：设等比数列的公比为q， 因为，， 所以，， 解得， 所以， 故选：C 24．（22-23高二下·黑龙江牡丹江·期末）已知定义数列为数列的“差数列”，若的“差数列”的第项为，则数列的前2023项和（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件可得，利用累加法求出数列的通项，再利用等比数列前n项和公式求解作答. 【详解】依题意，，当时， ，而满足上式，因此， 所以. 故选：D 题型九、等比数列前n项和的性质 25．（22-23高二上·广东深圳·期末）设等比数列的公比为，其前项和为，前项之积为，且满足，，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C．是数列中的最大值 D． 【答案】C 【分析】由已知结合等比数列的性质检验各选项即可判断. 【详解】因为等比数列满足， 又，所以，A错误； ，即,B错误； 当时，，当时，，即是数列中的最大值，C正确； 由题意得，，则,D错误. 故选：C. 26．（2023·福建泉州·模拟预测）记等比数列的前项和为.若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设等比数列的公比为（），根据求得，再由等比数列的性质得到，即可求解. 【详解】设等比数列的公比为（）， 则，解得：， 又， 所以， 故选：C. 27．（21-22高二上·重庆·期末）已知等比数列各项均为正数，且，，成等差数列，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】结合等差数列的性质求得公比，然后由等比数列的性质得结论． 【详解】设的公比为，　因为，，成等差数列， 所以，即，，或（舍去，因为数列各项为正）． 所以． 故选：A． 题型十、数列的实际应用 28．（23-24高二上·甘肃·期末）《周髀算经》记载：一年有二十四个节气，每个节气晷长损益相同（晷是按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测量影子的长度），夏至､小暑､大暑､立秋､处暑､白露､秋分､寒露､霜降､立冬､小雪､大雪是连续十二个节气，其日影子长依次成等差数列.经记录测算，夏至､处暑､霜降三个节气日影子长之和为16.5尺，这十二节气的所有日影子长之和为84尺，则大雪的日影子长为（    ） A．1尺 B．1.5尺 C．11.5尺 D．12.5尺 【答案】D 【分析】设夏至的日影长为，公差为，根据题意，列出方程组，求得，结合等差数列的通项公式，即可求解. 【详解】夏至、小暑、大暑、立秋、处暑、白露、秋分、寒露、霜降、立冬、小雪、大雪是连续十二节气，其日影之长依次成等差数列， 设夏至的日影长为，公差为， 经记录测算，夏至、处暑、霜降三个节气日影子长之和为尺， 这十二节气的所有日影子长之和为84尺， 所以，解得， 所以大雪的日影子长为（尺）. 故选：D. 29．（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·期末）我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里出现了如图所示的杨辉三角，这是中国数学史上的一个伟大成就．在杨辉三角中，第行的所有数字之和为，若去除所有为1的项，依次构成数列2，3，3，4，6，4，5，10，10，5，……．则此数列的前15项之和为（    ） A．114 B．116 C．124 D．126 【答案】A 【分析】依据新数列的构成规律可知杨辉三角前7行所有除1之外的数之和即为所求结果，再利用第行的所有数字之和为即可求得结果. 【详解】根据题意可知构成的新数列的前15项分别为杨辉三角的第三层到第七层除去1之外的所有数构成的， 除第一行有一个1以外，其余每行都有两个1， 又第行的所有数字之和为， 所以构成的新数列前15项之和为. 故选：A 30．（2023·广东揭阳·模拟预测）在《增减算法统宗》中有这样一则故事：“三百七十八里关，初行健步不为难；次日脚痛减一半，如此六日过其关”.其大意是：有人要去某关口，路程为里，第一天健步行走，从第二天起由于脚痛，每天走的路程都为前一天的一半，一共走了六天，才到目的地.则此人后天共走的里程数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设第天走里，其中，由题意可知，数列是公比为的等比数列，利用等比数列的求和公式求出的值，然后利用等比数列的求和公式可求得此人后天共走的里程数. 【详解】设第天走里，其中，由题意可知，数列是公比为的等比数列， 所以，，解得， 所以，此人后三天所走的里程数为. 故选：D. 题型十一、数列的最值 31．（23-24高三上·辽宁·期中）已知正项等比数列的前n和为，若，且，则满足的n的最大值为 . 【答案】5 【分析】利用等比数列的性质与求和公式求解基本量，再由解关于的不等式. 【详解】设等比数列公比为q，因为， 所以，解得，或. 由数列为正项等比数列，则，所以. 又由，即，解得， 因为， 所以，得，解得， 因为， 即，又， 所以的最大值为. 故答案为：. 32．（22-23高二下·湖南湘潭·期末）有穷等差数列的各项均为正数，若，则的最小值是 . 【答案】/0.75 【分析】 利用等差中项易知，再由基本不等式“1”的代换求目标式最小值，注意取值条件. 【详解】由，且， 则 ，当且仅当时等号成立且满足题设. 故答案为： 33．（22-23高二下·浙江杭州·期末）已知数列满足，，数列的前项和为，且，则满足的正整数的最小值为 ． 【答案】63 【分析】根据对数运算和递推公式可得数列的通项公式，然后对数运算结合累乘法可得，解不等式可得答案. 【详解】因为，， 所以， 所以 所以， 因为，所以，即，解得， 因为，所以正整数的最小值为63. 故答案为：63 【专题强化】 一、单选题 34．（23-24高二上·河南·期末）已知是公比为2的等比数列，若，则（    ） A．100 B．80 C．50 D．40 【答案】B 【分析】由题意，解得，然后由即可得解. 【详解】设的公比为，则， 所以，所以. 故选：B. 35．（23-24高二上·湖南·期末）如图，三角形蜘蛛网是由一些正三角形环绕而成的图形，每个正三角形的顶点都是其外接正三角形各边的中点．现有17米长的铁丝材料用来制作一个网格数最多的三角形蜘蛛网，若该三角形蜘蛛网中最大的正三角形的边长为3米，则最小的正三角形的边长为（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】B 【分析】 根据题意，构造正三角形周长满足的等比数列，结合等比数列前项和公式及指数不等式进行求解. 【详解】 由题可知，该三角形蜘蛛网中三角形的周长从大到小是以9为首项，为公比的等比数列. 设最小的正三角形的边长为米， 则，则，即，得， 故最小的正三角形的边长为米. 故选：B. 36．（23-24高二上·湖南·期末）在数列中，已知，，若，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】通过取倒数的方法，证得数列是等差数列，求得，进而求出，解决问题即可. 【详解】由，，取倒数得：， 则是以为首项，为公差的等差数列． 所以，所以； 由于，故． 故选：C. 37．（2024·四川绵阳·二模）已知数列的前n项和为，且，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据条件先求解出的通项公式，A：根据的通项公式结合指数函数的单调性进行判断；B：根据的结果进行判断；C：根据的通项公式结合的表达式进行分类讨论再判断；D：判断的单调性，然后分析的取值范围. 【详解】当时，， 当时，， 所以不满足的情况， 所以， 对于A：当时，由指数函数单调性可知：，所以，故A错误； 对于B：因为，所以，故B错误； 对于C：当时，，满足； 当时，，不满足， 故不恒成立，故C错误； 对于D：当时，，满足； 当时，由指数函数的单调性可知为递减数列，此时， 且恒成立，所以，也满足； 所以，故D正确； 故选：D. 38．（23-24高二上·湖北·期末）定义：在数列中，若对任意的都满足为常数，则称数列为等差比数列．已知等差比数列中，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题中条件可求得数列的通项公式，继而，利用通项公式计算即可. 【详解】因为为等差比数列，，，， 所以是以1为首项，2为公差的等差数列， 所以， 所以 故选： 39．（23-24高二上·四川宜宾·期末）一只蜜蜂从蜂房出发向右爬，每次只能爬向右侧相邻的两个蜂房 (如图)，例如：从蜂房只能爬到号或号蜂房，从号蜂房只能爬到号或号蜂房……以此类推，用表示蜜蜂爬到号蜂房的方法数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据递推关系以及构造法求得正确答案. 【详解】依题意，（），， 当时， ， ，所以数列是首项为，公比为的等比数列， 所以. 故选：A 【点睛】本题首先是考查观察能力，通过观察题目所给图象，探究数列的递推关系.其次是根据递推关系求通项公式，利用的是构造函数法以及等比数列的定义，将递推关系转化为等比数列的形式，从而可利用等比数列的知识来对问题进行求解. 40．（23-24高二上·安徽合肥·期末）已知数列的前n项和满足，（），则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由数列递推式可判断数列是等比数列，求出其前n项和，结合其单调性，即可求得答案. 【详解】由题意知，则，且， 两式相减得：，因为，所以，故， 则数列是首项为，公比为的等比数列， 所以， 由于随n的增大而减小，故单调递增，所以， 综上，. 故选：C 41．（23-24高二上·重庆·期末）已知数列满足，且，数列满足，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由等差数列定义求出，由累加法求出，由对勾函数单调性结合即可求解. 【详解】由题意数列满足，且， 所以数列是等差数列，且， 所以， 当时，， 又， 所以， 所以，而，所以当或时，取最小值， 当时，，当时，， 综上所述，的最小值为5. 故选：B. 42．（23-24高二上·北京·期末）正项等比数列中，是方程的两根，则的值是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】根据是方程的两根，利用等比数列的性质求得，再利用对数运算求解. 【详解】解：∵是方程的两根， ∴， ∵数列为正项等比数列， ∴， ∴， 故选：A． 43．（22-23高二上·江苏常州·期末）已知数列满足，若，则的前2022项和为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据数列递推式求出的表达式，即可得的表达式，利用裂项求和法，即可求得答案. 【详解】由题意知数列满足， 当时，； 当时，， 故，则， 也适合该式，故， 则， 故的前2022项和为 ， 故选：B 44．（23-24高二上·河北衡水·阶段练习）设等差数列的前项和为，满足，数列中最大的项为第（   ）项． A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】根据题意，得到，且，求得，进而得到前6项均为正数，从第7项起为负数，数列的最大项为，是数列中的最小项，得到最大的项为，即可求解. 【详解】 由题意，可得， 所以，且， 又由等差数列的公差， 所以数列是递减数列，前6项均为正数，从第7项起为负数， 数列的最大项为，是数列中的最小项，且， 所以数列中最大的项为，即第6项. 故选：C. 二、多选题 45．（2024·全国·模拟预测）已知等比数列的前项和为，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】根据可得，由可得，进而根据选项即可逐一求解. 【详解】设等比数列的公比为，由，由于，所以． 又，即，于是，由于正负不定，故无法确定与0的大小，A错误； ，B正确； ，C正确； ，故，D错误． 故选：BC． 46．（2024·全国·模拟预测）已知等差数列的公差为d，前n项和为，，，则下列说法正确的是（    ） A． B．若，则时最大 C．若，则使为负值的n的值有6个 D．若，则 【答案】AD 【分析】直接利用等差数列的通项公式和前n项和的基本量计算，结合等差数列的性质的应用，判断各选项的结论. 【详解】选项A：，故A正确； 选项B：，则，当时，， 则，所以，， 则当时最大，故B错误； 选项C：，则当时，， 故， 所以使为负值的n的值有5个，分别为1，2，3，4，5，故C错误； 选项D：若，则，又，即， 于是，，，故D正确． 故选：AD 47．（23-24高二上·广东深圳·期末）已知数列的前项和为，下列说法不正确的是（    ） A．若，则成等比数列 B．若为等差数列，则为等比数列 C．若，则数列为等差数列 D．若，则数列为等比数列 【答案】AC 【分析】根据等比、等差数列的概念可对AB进行判断，根据与的关系可由求出数列的通项公式，从而判断CD. 【详解】对于A，当时有，此时a，b，c不成等比数列，故A错； 对于B，若为等差数列，设其公差为d，则此时有， 所以数列为等比数列，故B对； 对于C，若，则， ， 显然不满足，所以数列不为等差数列，故C错； 对于D，若，则， ， 显然满足，所以数列为等比数列，故D正确； 故选：AC. 48．（23-24高二上·福建宁德·期末）数列是各项为正数的等比数列，其前项和为，则下列说法正确的是（    ） A．数列是等比数列 B．数列是等比数列 C．是等差数列 D．、、成等比数列 【答案】ABC 【分析】利用等比数列的定义可判断ABD选项，利用等差数列的性质可判断C选项. 【详解】设等比数列的公比为，对任意的，，则， 对于A选项，，则数列是等比数列，A对； 对于B选项，，则数列是等比数列，B对； 对于C选项，为常数，则是等差数列，C对； 对于D选项，， ， 所以，、、不成等比数列，D错. 故选：ABC. 49．（23-24高二上·重庆·期末）已知等差数列的前项和为，若，，，则下列结论正确的有（    ） A．是递减数列 B． C． D．使成立的的最小值为4046 【答案】ACD 【分析】 根据给定条件，结合等差数列前项和公式及等差数列的性质，逐项计算判断作答. 【详解】 在等差数列中，由，得，即， 因此等差数列为递减数列，公差小于0，A正确； 又，所以，整理得， 因此，， 结合A选项等差数列为递减数列，则的最大值是， 则，C正确； 因为， 则，结合，，则，故B错误； ，且当时，，所以使成立的n的最小值是4046，D正确. 故选：ACD 50．（23-24高二上·山东烟台·期末）《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等.问各得几何.”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列，问五人各得多少钱？”.关于这个问题，下列说法正确的是（    ） A．戊得钱是甲得钱的一半 B．乙得钱比丁得钱多钱 C．甲、丙得钱的和是乙得钱的3倍 D．丁、戊得钱的和比甲得钱多钱 【答案】AD 【分析】由等差数列的性质，可设甲、乙、丙、丁、戊所得钱分别为，，，，，结合已知求，，即可得甲、乙、丙、丁、戊所得钱，进而判断选项的正误. 【详解】依题意，设甲、乙、丙、丁、戊所得钱分别为，，，，，且，即，又， ∴，，即，，，， ∴甲得钱，乙得钱，丙得钱，丁得钱，戊得钱，则有如下结论： 戊得钱是甲得钱的一半，故A正确； 乙得钱比丁得钱多钱，故B错误； 甲、丙得钱的和是乙得钱的倍，故C错误； 丁、戊得钱的和比甲得钱多钱，故D正确． 故选：AD. 51．（23-24高二上·湖北·期末）记等差数列的前n项和为，设公差为d，正项等比数列的前n项积记为，设公比为q，以下结论错误的是（    ） A．若有最大值，则 B．若，则有最大值 C．若，则 D．若，则 【答案】ACD 【分析】根据等差数列前n项和的性质，结合等比数列的性质逐一判断即可. 【详解】，，最大，所以A错误； 因为， ，有最大值正确，所以B正确； ，可得，但不一定成立，所以C不正确; ，则，但可以大于或等于1，此时，所以D不正确， 故选：ACD 三、填空题 52．（23-24高二上·山东烟台·期末）已知为等比数列的前n项和，且，，则的值为 . 【答案】120 【分析】根据题意，设等比数列的公比为，由，求出的值，进而计算可得答案． 【详解】根据题意，设等比数列的公比为q， 若，则有，即，解可得或0（舍）， 则， 故答案为：120. 53．（23-24高二上·江苏淮安·期末）已知正项数列是等差数列，若，，则的值为 . 【答案】 【分析】根据等差数列的通项公式，建立方程求得方差，可得答案. 【详解】设等差数列的公差为，， 由，， ，， ，解得， . 故答案为：4. 54．（23-24高二上·江苏镇江·期末）数列的前项和，首项为1，对于任意正整数，都有，则 ． 【答案】 【分析】由数列新定义，等差数列、等比数列定义以及它们的求和公式运算即可得解. 【详解】由题意数列的前5项构成首项为1，公比为2的等比数列， 若从第5项起的数构成一个新的数列，则它的首项为，公差为， 所以由题意. 故答案为：. 55．（23-24高二上·江苏镇江·期末）已知等差数列，的前项和分别为，，若，则 ． 【答案】1 【分析】根据等差数列的等差中项以及前项和公式，即可求得. 【详解】因为，所以. 故答案为：. 56．（23-24高二上·福建泉州·期末）原始的蚊香出现在宋代.根据宋代冒苏轼之名编写的《格物粗谈》记载：“端午时，贮浮萍，阴干，加雄黄，作纸缠香，烧之，能祛蚊虫.”如图为某兴趣小组用数学软件制作的“螺旋蚊香”，画法如下：在水平直线上取长度为1的线段，做一个等边三角形，然后以点为圆心，为半径逆时针画圆弧，交线段的延长线于点，再以点为圆心，为半径逆时针画圆弧，交线段的延长线于点，以此类推，当得到的“螺旋蚊香”与直线l恰有21个交点时，“螺旋蚊香”的总长度的最小值为 . 【答案】 【分析】根据画圆弧的规律：分别以B，C，A为圆心，抽象半径长度的数列，明确圆弧与直线的交点情况，再根据当“螺旋蚊香”与直线l恰有21个交点时，若使“螺旋蚊香”的总长度最小，确定数列的项数，求得最后圆弧的半径即可. 【详解】当以B为圆心，半径为：1，4，7，10，…除起点外，与直线无交点，① 当以C为圆心，半径为：2，5，8，11，…与直线有一个交点，② 当以A为圆心，半径为：3，6，9，12，…除终点（即①的起点，点A除外）外，与直线无交点，③ 所以当“螺旋蚊香”与直线恰有个交点时，若使“螺旋蚊香”的总长度最小，则完成整数个循环， 所以以B为圆心的弧与直线只有交点A，以C为圆心的弧与直线有10个交点，以A为圆心的弧与直线有10个交点，即数列②有10项，数列③有10项， 所以最后一个圆弧的半径为， 所以“螺旋蚊香”的总长度的最小值为. 故答案为：. 57．（2023高三上·全国·竞赛）已知数列满足，，记数列的前n项和为．若对于任意，不等式恒成立，则实数k的取值范围为 ． 【答案】 【分析】由题设易知是首项、公比都为2的等比数列，可得，进而得到，裂项相消法求，根据不等式恒成立求参数范围. 【详解】由题设，而，则是首项、公比都为2的等比数列， 所以，则， 所以， 则在上恒成立， 要使不等式恒成立，只需，所以实数k的取值范围为. 故答案为： 1 学科网（北京）股份有限公司 $$