精品解析：河南省濮阳市南乐县豫北名校2023-2024学年高二下学期5月月考数学试题

河南省豫北名校5月份联考考试 2023—2024学年高二年级阶段性测试（四） 数学 考生注意： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 为研究男生和女生对数学课程的喜爱程度是否有差异，运用列联表进行检验，经计算得，参考下表，则认为“男生和女生对数学课程的喜爱程度有差异”犯错误的概率不超过（ ） 0.100 0.050 0.025 0.010 0.001 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据与临界值的大小关系确定犯错误概率的范围. 【详解】因为， 结合表格可知， 所以认为“男生和女生对数学课程的喜爱程度有差异”犯错误的概率不超过0.100. 故选：A. 2. 的展开式中的系数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出展开式的通项，然后令的次数为求出，进而可得系数. 【详解】展开式通项为， 令，解得， 所以展开式中的系数为. 故选：D. 3. 设正项等比数列的前项和为，若，则公比（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】已知，结合等比数列通项公式化简可得，解方程即可. 【详解】正项等比数列的前项和为，则，公比， 若，则，得， 则有，即，解得. 故选：B. 4. 已知直线与圆和圆都相切，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】由已知可得，可求，根据直线和圆相切，可求实数的值. 【详解】因为直线与圆相切，所以，解得， 由直线和圆相切， 所以或，解得或， 故实数的值为或. 故选：D. 5. 已知曲线的切线中有且只有一条与直线平行，则该切线的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求导，根据只有一解求出，进而可得切线方程. 【详解】设切点为，则， 由已知得有且仅有一解，可得， 解得，， 又， 所以切线方程为，即. 故选：C. 6. 某医院急救科在端午3天假期中每天选出2名医生值班，已知该科室有5名医生，每名医生至少值班1天，则不同的值班方案的种数为（ ） A. 210 B. 180 C. 150 D. 120 【答案】B 【解析】 【分析】若某人值班2天的情况数，然后和剩下的一起全排列，最后同理到4人计算即可. 【详解】若某人值班2天，则需从剩余的4人中选出2人分别与其一起值班，选法有种，剩余的2人一起值班，所以值班方案有 (种)， 同理其余4人中某人值班2天也各有36种方案， 综上所述值班方案共有(种). 故选：B. 7. 在研究变量与之间的相关关系时，进行实验后得到了一组样本数据，，…，，，利用此样本数据求得的经验回归方程为，现发现数据误差较大，剔除这对数据后，求得的经验回归方程为，且，则（ ） A. 13.5 B. 14 C. 14.5 D. 15 【答案】A 【解析】 【分析】由题意，求出剔除异常数据后的平均数，进而求出剔除异常数据前的平均数，根据回归直线必过样本中心点得到. 【详解】因为，剔除异常数据数据后， ， 因为点在直线上，所以，解得， 设利用原始数据求得的经验回归直线过点， 则， 因为，所以. 故选：A. 8. 已知离心率为的椭圆的左、右焦点分别为，，上顶点为，线段的中点为，射线与交于点，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由椭圆的离心率，得，，求得直线的方程，与椭圆方程联立，求得点坐标，由解方程可得c，再由椭圆的定义，可得. 【详解】由椭圆的离心率，得，， 由，，，可得， 直线的斜率为，方程为， 椭圆方程，即， 联立直线和椭圆方程，可得，由，解得， 则，即 由，解得， . 故选：C 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知向量，，，若，，三个向量共面，则实数，的取值可能分别为（ ） A. ，2 B. 2，2 C. ，1 D. 1，5 【答案】AD 【解析】 【分析】利用空间向量共面的条件，设实数，满足，列出方程组求解即可. 【详解】因为三向量共面， 所以存在实数，使得， 所以， 解得， 故当或时满足条件. 故选：AD. 10. 无人机在农业领域的应用对提高农业生产效率，促进农业产业的发展有着极为重要的意义．某地统计了该地近5年的农业无人机保有量，其中用了两种记录方式： 年份代码 1 2 3 4 5 无人机数量（架） 490 510 550 570 580 无人机数量（百架） 4.9 5.1 5.5 5.7 5.8 根据上表中的数据，可得关于的经验回归方程为，则（ ） A. 与的样本相关系数 B. C. 预测第6年该地农业无人机的保有量约为612架 D. 关于的经验回归方程为 【答案】BC 【解析】 【分析】对于A：根据正相关得答案；对于B：直接根据公式计算；对于C：直接代入进行预测；对于D：根据代入计算即可. 【详解】对于A：由表格中的数据可知与正相关，所以与的样本相关系数，故A错误； 对于B：. 将代入，得，B正确； 对于C：在中，令，得，所以预测第6年该地农业无人机的保有量约为612架，故C正确； 对于D：因为，所以，故 D 错误. 故选：BC 11. 已知双曲线的右顶点为，左、右焦点分别为，，离心率为，点，都在上（均不与点重合），且关于轴对称，则下列说法正确的是（ ） A. B. 若存在点，满足（为坐标原点），则 C. 若，则 D. 若，则（，分别表示直线，的斜率） 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A：利用双曲线的定义及对称性进行计算；对于B：根据是等腰直角三角形得到范围，进而可得离心率的范围；对于C：设，代入坐标计算的值即可；对于D：先求出的值，设，去掉的绝对值，然后利用基本不等式求最值. 【详解】对于A：由对称性可知，双曲线的定义得，A正确； 对于B：若，又，所以是等腰直角三角形，则双曲线的一条渐近线的斜率大于，即，所以，B错误； 对于C：由已知，设，则，记直线的斜率分别为，则，又， 所以，当时，，C正确； 对于D：若，则，不妨设， 则， 因为，所以等号不成立，故，D正确. 故选：ACD. 【点睛】方法点睛：对于圆锥曲线涉及焦点的可以多结合定义去解答；对于定值问题可以将点坐标化，然后通过计算求解. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若随机变量，且，则______． 【答案】0.36## 【解析】 【分析】利用正态密度曲线的对称性可求得结果. 【详解】因为随机变量，且, 根据正态密度曲线的对称性得，， 所以. 故答案为：. 13. 如图，已知正方体的棱长为1，为棱的中点，则点到平面的距离为______． 【答案】 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，求平面的法向量，然后利用点到平面的距离公式求解. 【详解】建立如图所示的空间直角坐标系， 则. 设平面的一个法向量为， , 则， 令，则. 设点到平面的距离为， 则， 即点到平面的距离为. 故答案为：. 14. 若函数有2个不同的零点，则实数的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】设，根据单调性及零点存在定理确定零点范围，令，得，设，求导，根据单调性及函数极值的取值情况确定的范围，再根据两个零点不相同对的取值进行排除即可. 【详解】由已知函数的定义域为， 设，明显单调递增，且，， 所以存在唯一的使，即，即， 令，得， 设，可得 当使，单调递减，当使，单调递增， 又，当时，且，又，当时， 所以当时，存在唯一的使，即， 当时，由得，此时不符合题意，舍去， 综上实数的取值范围是. 故答案为：. 【点睛】方法点睛：对于零点个数问题可以转化为函数图象的交点个数问题来研究. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数． （1）若曲线在点处的切线方程为，求的值； （2）若为的导函数，讨论的单调性． 【答案】（1）1 （2）当时，在上单调递增，当时，在上单调递增，在上单调递减. 【解析】 【分析】（1）求出曲线在点处的切线方程，对照可求出，进而可得的值； （2）求导，然后分和讨论求单调性. 【小问1详解】 ，则，又， 所以曲线在点处的切线方程为，结合 所以， 所以； 【小问2详解】 令，则， 若，则，从而，在上单调递增， 若，则当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 综上所述：当时，在上单调递增， 当时，在上单调递增，在上单调递减. 16. 已知数列满足，，设． （1）求数列的通项公式； （2）记的前项和为，若存在使得成立，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由条件可得，于是得数列是以为首项，为公差的等差数列，接着根据等差数列通项公式求解即可. （2）先由（1）得，接着将问题“存在使得成立”转化为“存在使得成立”，再将存在问题转化为最值问题研究的最小值即可求解. 【小问1详解】 因为①； 故，且②， 由②①得， 所以数列的偶数列是以为首项，公差的等差数列， 所以数列的通项公式为. 【小问2详解】 由（1）， 所以即， 所以存在使得成立，即存在使得， 所以，令， 任取，则， 因为，所以， 所以即， 故在上单调递增，同理可得在上单调递减， 又， 所以， 所以实数的取值范围为. 17. 某学校举办数学建模知识竞赛，每位参赛者要答3道题，第一题分值为40分，第二、三题分值均为30分，若答对，则获得题目对应分值，若答错，则得0分，参赛者累计得分不低于70分即可获奖．已知甲答对第一、二、三题的概率均为，乙答对第一、二、三题的概率分别为，，，且甲、乙每次答对与否互不影响． （1）求甲的累计得分的分布列和期望； （2）在甲、乙两人均获奖的条件下，求甲的累计得分比乙高的概率． 【答案】（1）的分布列为： 0 30 40 60 70 100 （2） 【解析】 【分析】（1）由题意知：甲、乙每次答对与否互不影响，利用独立事件的概率公式求出相应概率，从而得到的分布列及期望； （2）根据题目发现该问考查条件概率，利用条件概率公式进行求解，或者利用条件概率的本质特征，样本空间缩小，进行求解. 【小问1详解】 由题意知：甲累计得分的可能取值有：， 所以， ， ， ， ， ， 的分布列为： 0 30 40 60 70 100 . 【小问2详解】 法一：根据题意得：得分不低于70分即可获奖， 由（1）知：甲获奖的概率为， 乙获奖的概率为：， 乙只得70分的概率为：， 所以甲、乙两人同时获奖的概率为：， 甲、乙均获奖且甲累计得分比乙高的概率为：， 所以，在甲、乙两人均获奖的条件下，求甲的累计得分比乙高的概率为：. 法二：已知得分不低于70分才可获奖，即甲、乙的得分应为70或100，共计4种情况，其中，甲比乙高的情况，只有甲获得100分，乙获得70分时一种情况，故概率为：. 18. 如图，在四棱锥中，正方形的边长为3，点，分别在棱，上（不含端点），，且，点在棱上，． （1）证明：； （2）若点到平面的距离为2，，求直线与平面所成角的大小． 【答案】（1） 如图，过点作，垂足为，连接. 因为，，所以， 又因为，，平面，所以平面， 平面，所以平面平面， 平面平面，平面，， 所以平面，平面，所以.① 平面，平面，， 为正方形，，平面中，， 又，即有，所以四边形是矩形. 因为，，所以， 又由已知得，，所以四边形为矩形，所以.② 由①②， 结合， 平面， 所以平面，平面，所以. （2） 【解析】 【分析】（1）过点作，垂足为，通过证明平面，证得； （2）以A为坐标原点，向量的方向分别为轴的正方向建立空间直角坐标系，向量法求直线与平面所成角的大小． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ，由（1）可知，又因为，所以. 以A为坐标原点，向量的方向分别为轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系， 则，可得. 设平面的法向量为，则，令，则， 设直线与平面所成的角为，则. 所以直线与平面所成的角为. 19. 已知抛物线，直线与交于，两点，且． （1）求的值； （2）过点作的两条切线，切点分别为，，证明：直线过定点； （3）直线过的焦点，与交于，两点，在，两点处的切线相交于点，设，当时，求面积的最小值． 【答案】（1） （2）证明： 由（1）知抛物线，令，可得， 由求导可得， 设， 则直线的方程分别为， 将代入上面两个方程得，结合 整理得， 所以是方程的两根，所以， 而直线的方程为， 即， 即， 则直线过定点； （3） 【解析】 【分析】（1）将代入求出，进而可列式求； （2）令，对求导，设，求出直线的方程，并将代入计算，构造方程，利用根与系数的关系计算直线方程中的值即可； （3）设直线，与抛物线联立，利用根与系数的关系表示出的面积，然后求其最值即可. 【小问1详解】 将代入中得， 故，解得； 【小问2详解】 略； 【小问3详解】 由题意得，直线的斜率不为0， 设直线， 联立得，得，则， 联立，解得，故，即， 由，得，结合根与系数的关系可知， 从而，所以， 而，故， 由于在时为增函数， 因此当时，的面积取得最小值. 【点睛】方法点睛：求定点问题常见的方法有两种： (1)从特殊入手，求出定值点，再证明这个点与变量无关． (2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 河南省豫北名校5月份联考考试 2023—2024学年高二年级阶段性测试（四） 数学 考生注意： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 为研究男生和女生对数学课程的喜爱程度是否有差异，运用列联表进行检验，经计算得，参考下表，则认为“男生和女生对数学课程的喜爱程度有差异”犯错误的概率不超过（ ） 0.100 0.050 0.025 0.010 0.001 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828 A. B. C. D. 2. 的展开式中的系数为（ ） A. B. C. D. 3. 设正项等比数列的前项和为，若，则公比（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 4. 已知直线与圆和圆都相切，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 或 5. 已知曲线的切线中有且只有一条与直线平行，则该切线的方程为（ ） A. B. C. D. 6. 某医院急救科在端午3天假期中每天选出2名医生值班，已知该科室有5名医生，每名医生至少值班1天，则不同的值班方案的种数为（ ） A. 210 B. 180 C. 150 D. 120 7. 在研究变量与之间的相关关系时，进行实验后得到了一组样本数据，，…，，，利用此样本数据求得的经验回归方程为，现发现数据误差较大，剔除这对数据后，求得的经验回归方程为，且，则（ ） A. 13.5 B. 14 C. 14.5 D. 15 8. 已知离心率为的椭圆的左、右焦点分别为，，上顶点为，线段的中点为，射线与交于点，若，则（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知向量，，，若，，三个向量共面，则实数，的取值可能分别为（ ） A. ，2 B. 2，2 C. ，1 D. 1，5 10. 无人机在农业领域的应用对提高农业生产效率，促进农业产业的发展有着极为重要的意义．某地统计了该地近5年的农业无人机保有量，其中用了两种记录方式： 年份代码 1 2 3 4 5 无人机数量（架） 490 510 550 570 580 无人机数量（百架） 4.9 5.1 5.5 5.7 5.8 根据上表中的数据，可得关于的经验回归方程为，则（ ） A. 与的样本相关系数 B. C. 预测第6年该地农业无人机的保有量约为612架 D. 关于的经验回归方程为 11. 已知双曲线的右顶点为，左、右焦点分别为，，离心率为，点，都在上（均不与点重合），且关于轴对称，则下列说法正确的是（ ） A. B. 若存在点，满足（为坐标原点），则 C. 若，则 D. 若，则（，分别表示直线，的斜率） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若随机变量，且，则______． 13. 如图，已知正方体的棱长为1，为棱的中点，则点到平面的距离为______． 14. 若函数有2个不同的零点，则实数的取值范围是______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数． （1）若曲线在点处的切线方程为，求的值； （2）若为的导函数，讨论的单调性． 16. 已知数列满足，，设． （1）求数列的通项公式； （2）记的前项和为，若存在使得成立，求实数的取值范围． 17. 某学校举办数学建模知识竞赛，每位参赛者要答3道题，第一题分值为40分，第二、三题分值均为30分，若答对，则获得题目对应分值，若答错，则得0分，参赛者累计得分不低于70分即可获奖．已知甲答对第一、二、三题的概率均为，乙答对第一、二、三题的概率分别为，，，且甲、乙每次答对与否互不影响． （1）求甲的累计得分的分布列和期望； （2）在甲、乙两人均获奖的条件下，求甲的累计得分比乙高的概率． 18. 如图，在四棱锥中，正方形的边长为3，点，分别在棱，上（不含端点），，且，点在棱上，． （1）证明：； （2）若点到平面的距离为2，，求直线与平面所成角的大小． 19. 已知抛物线，直线与交于，两点，且． （1）求的值； （2）过点作的两条切线，切点分别为，，证明：直线过定点； （3）直线过的焦点，与交于，两点，在，两点处的切线相交于点，设，当时，求面积的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $