精品解析：2024年广东省惠州市惠城区中考二模数学试题

2024年广东省惠州市惠城区中考数学二模试卷 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 的相反数是（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了相反数，只有符号不同的两个数互为相反数． 根据只有符号不同的两个数互为相反数，可得答案． 【详解】解：的相反数是2， 故选：C． 2. 如图，AB∥CD，∠DCE＝80°，则∠BEF＝( ) A. 100° B. 90° C. 80° D. 70° 【答案】A 【解析】 【分析】根据平行线的性质推出∠DCE+∠BEF=180°，代入求出即可． 【详解】∵AB∥CD， ∴∠DCE+∠BEF=180°， ∵∠DCE=80°， ∴∠BEF=180°-80°=100°． 故选A． 【点睛】本题主要考查对平行线的性质，邻补角的定义等知识点的理解和掌握，根据平行线的性质推出∠DCE+∠BEF=180°是解此题的关键． 3. 2024年4月25日，搭载神舟十八号载人飞船的长征二号 遥十八运载火箭在酒泉卫星点火发射，其中长征二号F遥十八运载火箭低地球轨道的运载能力为千克．数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了科学记数法的表示方法，根据科学记数法的表示形式为的形式，其中 ， 为整数即可求解，解题的关键要正确确定 的值以及 的值． 【详解】解： 故选：C． 4. 已知 和 互余，若，则 的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了余角的性质，解题的关键是熟练掌握余角的性质． 根据余角的性质直接解答． 【详解】∵ 和 互余，， ∴． 故选：B． 5. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分别根据积的乘方、同底数幂的除法、平方差公式和完全平方公式逐项计算即可． 【详解】解：选项A：，结果错误，不符合题意； 选项B：，结果正确，符合题意； 选项C：，结果错误，不符合题意； 选项D： ，结果错误，不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了积的乘方、同底数幂的除法、平方差公式和完全平方公式，解答关键是熟练掌握相关运算法则． 6. 中国古代数学有着辉煌的成就，《周髀算经》《算学启蒙》《测圆海镜》和《四元玉鉴》是我国古代数学的重要文献．某中学拟从这四部数学名著中选择2部作为校本课程“数学文化”的学习内容，恰好选中《算学启蒙》和《测圆海镜》的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了利用列举法求概率，熟练掌握列举法是解题关键．先求出从这四部数学名著中选择2部的所有等可能的结果，再找出恰好选中《算学启蒙》和《测圆海镜》的结果，利用概率公式计算即可得． 【详解】解：将《周髀算经》、《算学启蒙》、《测圆海镜》和《四元玉鉴》四部数学名著分别记为 ，画出树状图如下： 由图可知，从这四部数学名著中选择2部共有12种等可能的结果，其中，恰好选中《算学启蒙》和《测圆海镜》共有2种结果， 所以恰好选中《算学启蒙》和《测圆海镜》的概率是， 故选：D． 7. 如图， 的对角线 相交于点 ．如果添加一个条件，使得 是矩形，那么这个条件可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】依据矩形的判定定理进行判断即可， 本题主要考查矩形的判定，熟悉掌握矩形判定条件是关键． 【详解】解：∵四边形 是平行四边形， ∴，， 当 时， 是菱形，不是矩形，不符合题意， 当 时， ， 是矩形，符合题意， 当 时， 是菱形，不是矩形，不符合题意， 当 时， 是平行四边形，不是矩形，不符合题意， 故选： ． 8. 如图，A，B，C三点在 上，若，则 的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质，先作出弧 所对的圆周角 ， 根据圆周角定理得出，然后根据圆内接四边形的性质即可求解，掌握圆内接四边形的性质是解题的关键． 【详解】解：如图， 为弧 所对的圆周角， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：D． 9. 佛山是国内首个被授“中国龙舟龙狮运动名城”称号的城市，“争先奋进，赛龙夺锦”的龙舟文化内核近年来成了佛山文化品牌形象和城市精神内涵的重要元素，已知2023年2月佛山某区龙舟赛的总赛程为，在同一场比赛中龙舟A队的平均速度是B队的1.2倍，最终A队冲刺终点的时间比B队提前20分钟，若设B队的平均速度是，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出方程的知识，根据“最终 队冲刺终点的时间比 队提前20分钟”列方程即可．解题的关键是找到等量关系并列出方程． 【详解】解：根据题意得：， 故选：D． 10. 如图，在菱形 中， ，E是对角线 上一点，连接 ，作交 边于点F，若，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，菱形的性质，等边三角形的判定和性质，由菱形的性质推出 ，，判定 ， 是等边三角形，得到， ，求出，而，得到，即可证明，推出，令 ，则，得出，得到，即可求出答案． 【详解】解：∵四边形 是菱形， ∴ ，， ∴ ， 是等边三角形， ∴， ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴令 ，则， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：D． 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 因式分解：_____． 【答案】 【解析】 【详解】原式= 12. 化简：__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查同分母分式的减法，分母不变，分子相减，将结果化为最简形式即可． 【详解】解：； 故答案为：． 13. 一家商店某种衣服按进价提高 后标价，又以八折优惠卖出，结果每件衣服获利 元，则这件衣服的进价是______元． 【答案】 【解析】 【分析】设这件衣服的进价 元，标价为，根据题意可得等量关系：标价 八折 进价 利润，根据等量关系列出方程即可． 【详解】解：设这件衣服的进价x元，由题意得： ， 解得：， 即：这件衣服的进价 元． 故答案是： ． 【点睛】此题主要考查了一元一次方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程． 14. 如图，正方形 的边长为4，点E在边 上，且 ，F为对角线 上一动点，连接 ， ，则的最小值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】连接 交 于一点F，连接 ，根据正方形的对称性得到此时最小，利用勾股定理求出 即可． 【详解】解：如图，连接 交 于一点F，连接 ， ∵四边形 是正方形， ∴点A与点C关于 对称， ∴ ， ∴，此时最小， ∵正方形 的边长为4， ∴， ∵点E在 上，且 ， ∴，即的最小值为 故答案为：． 【点睛】此题考查正方形的性质，熟练运用勾股定理计算是解题的关键． 15. 如图，在平面直角坐标系 中，的边 在y轴上，边 与x轴交于点C，且 ，反比例函数（）的图象经过点A，若，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查反比例函数 值的几何意义，作轴，垂足为 ，证明，得到，继而，再根据， ，得到，则，最后由即可得解．解题的关键是熟练掌握反比例函数 值的几何意义：反比例函数图象上任意一点作 轴、 轴的垂线，所得的矩形的面积为． 【详解】解：作轴，垂足为 ， ∵轴，， ， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ， ∴， ∴， ∴， ∵反比例函数图象在第二象限， ∴ ． 故答案为：． 三、解答题（一）：本大题共3小题，第16题10分，第17题6分，第18题8分，共24分． 16. （1）计算：； （2）若二次函数的图象经过和两点，求该二次函数的表达式． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题主要考查了求二次函数的解析式，三角函数的混合运算； （1）分别计算零指数幂、算术平方根，锐角三角函数，最后相加减即可； （2）利用待定系数法解答，即可求解． 【详解】原式 把和代入得： 解得 ∴该二次函数的表达式为 17. 解不等式组，并把解集表示在数轴上． 【答案】 ， 不等式组的解集在数轴上表示为： ． 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集，分别求出两个不等式的解集，再找出两个解集的公共解集即可得答案，根据不等式解集的表示方法在数轴上表示即可． 【详解】解：不等式组 解不等式①得 ， 解不等式②得 ， ∴不等式组的解集为 ． 18. 如图，四边形 是某学校的一块种植实验基地，其中 是水果园， 是蔬菜园．已知． （1）求证：； （2）若蔬菜园 的面积为80，求水果园 的面积． 【答案】（1）证明：∵ ， ∴ ， ∵， ∴，， ∴， ∴． （2） 【解析】 【分析】（1）由 ，可得 ，由，，即，可证． （2）由（1）知，则，即，计算求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）知， ∴，即， 解得，， 答：水果园 的面积为 ． 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分． 19. 如图，在 中，． （1）实践与操作：在边 上找一点D（点C，D不重合），使得 为等腰三角形（尺规作图，保留作图痕迹）； （2）猜想与证明：在（1）的条件下，试猜想之间的数量关系，并加以证明． 【答案】（1）如图，作 的垂直平分线，交 于点D，连接 ， ，点D即为所求： （2）， 证明如下；由（1）知， ， ∴， ∴， ∵ ， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】（1）作 的垂直平分线，交 于点D，连接 ，此时 ， 为等腰三角形； （2）由（1）知， ，则，，由 ，可求，进而可证． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 20. 实施新课程改革以来，学生的学习能力有了很大提高．李老师为进一步了解本班学生自主学习、合作交流的现状，对本班部分学生进行调查，把调查结果分成四类：A．特别好，B．好，C．一般，D．较差，并将调查结果绘制成以下两幅不完整的统计图，请根据统计图解答下列问题． （1）本次调查中，李老师一共调查了 名学生； （2）通过计算将条形统计图补充完整； （3）若学校共有3000名学生，请根据调查数据估计学习状态为D类的学生人数． 【答案】（1）25 （2） 补充条形统计图如图： （3）360人 【解析】 【分析】本题主要考查的是用样本估计总体，条形统计图与扇形统计图信息关联、补全条形统计图，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）用特别好的学生人数除以特别好的学生人数所占的百分比即可得这次调查的学生人数； （2）求得一般和较差学生的人数，再求得一般学生中的女生人数和较差学生中的男生人数，补全统计图即可； （3）用总人数乘以学习状态为D类的学生所占的百分比即可. 【小问1详解】 解：本次调查中，李老师一共调查的学生人数为： （名）； 【小问2详解】 解： 类的人数为（人）， 类中女生的人数为 （人）， 类的人数为（人）， 类中男生的人数为 （人）； 【小问3详解】 解：（人）， 答：估计学习状态为D类的学生人数为360人． 21. 如图， 是 的直径，点 是 上的一点， 与 的延长线交于点 ， ， ． （1）求证： 是 的切线； （2）过点 作 于点 ，若 的半径为4，求图中阴影部分的面积． 【答案】（1） 证明：连接 ， ， ， ， ， 在 中，由三角形内角和得： ， ， 是半径， 是 的切线； （2） 【解析】 【分析】此题主要考查了切线的判定和性质，扇形面积的计算，勾股定理的应用等知识点，解答此题的关键是理解过半径的外端垂直于半径的直线是圆的切线． （1）连接 ，利用等边对等角求得 ， ，利用三角形内角和定理求得 ，即可证明 是 的切线； （2）证明 是 的中位线，利用，根据扇形面积公式即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）得 ， 为直角三角形， ， ， ，， ， ， ， ， ，， ， 图中阴影部分的面积为 ． 五、解答题（三）：本大题共2小题，每小题12分，共24分． 22. 根据以下素材，探索完成任务． 如何制作简易风筝？ 素材1 图1是简易“筝形”风筝的结构图，现以两条线段 作为骨架， 垂直平分 且，并按的比例固定骨架，骨架 与 共消耗竹条 ，四边形 的面积为． 素材2 考虑到实际需要，蒙面（风筝面）边缘离骨架的端点要留出一定距离．如图2，现 以上部分的蒙面设计为抛物线形状，过距离A，B，D三点分别为，的E，F，G三点绘制抛物线（建立如图的直角坐标系）． 以下部分的蒙面设计为，点H在 延长线上且． 素材3 从一张长方形纸片中裁剪无拼接的风筝蒙面（包括 以上抛物线部分及 以下三角形部分），长方形各边均与骨架平行（或垂直）． 问题解决，完成以下任务： （1）确定骨架长度：求骨架 和 的长度． （2）确定蒙面形状：求抛物线的函数表达式． （3）选择纸张大小：至少选择面积为多少的长方形纸片？ 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，求二次函数的解析式，平行线分线段成比例，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）设 的长为，则 的长为．列式，解出即可作答． （2）先得出，结合“过距离A，B，D三点分别为，的E，F，G三点绘制抛物线”，得出，根据图象性质，设，再运用待定系数法求解，即可作答． （3）先由平行线分线段成比例，得出，代入数值进行计算，得出，，即可作答． 【小问1详解】 解：设 的长为，则 的长为． 由题意，得， 解得，． ∵， ∴； 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∴． ∵过距离A，B，D三点分别为，的E，F，G三点绘制抛物线 ∴， 设所求抛物线表达式为． 把代入，得， 解得， ∴抛物线的函数表达式是． 【小问3详解】 解：∵， ∴， 即， ∴， ∵ ∴， ∴所求长方形面积为． 23. 综合探究 【问题情境】几何探究是培养几何直观、推理能力和创新意识的重要途径．解决几何综合探究问题，往往需要运用从特殊到一般、化静为动、类比等数学思想方法． 【初步探究】 （1）如图1，将 绕点 逆时针旋转 得到 ，连接 ， ，根据条件填空： ① 的度数为 　　； ②若 ，则 的长为 　　； 【类比探究】 （2）如图2，在正方形 中，点 在边 上，点 在边 上，且满足， ， ，求正方形 的边长； 【拓展延伸】 （3）如图3，在四边形 中，，， ， 为对角线，且满足，若 ， ，请求出 的长． 【答案】（1）① ；②；（2）；（3） 【解析】 【分析】（1）①根据旋转的性质易得 为等腰直角三角形，结合等腰三角形的性质求解即可； ②结合等腰三角形的性质求解即可； （2）将 绕点 逆时针旋转 得 ，求证，由全等三角形的性质可得，易得 ，设正方形边长为 ，则，，在中由勾股定理可得，代入求解即可获得答案； （3）将 绕 逆时针旋转至 ，连接 ，首先证明，由相似三角形的性质可得，再证明 ，由勾股定理可得 ，结合即可获得答案． 【详解】解：（1）①将 绕点 逆时针旋转 得 ， ， ， 为等腰直角三角形， ； ②为等腰直角三角形，， ， 故答案为：① ；②； （2）将 绕点 逆时针旋转 得 ，如图， 由旋转的性质可得 ， ，，， ， ， ， 共线， ， ， ，， ， ， ， ， ， 设正方形边长为 ，则，， 在 中，， 即， 解得或（负值舍去）， 正方形 的边长为； （3）如图，将 绕 逆时针旋转至 ，连接 ， 由旋转的性质可得 ， ，，， ， 又， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查四边形的综合应用，主要考查了旋转的性质、等腰直角三角形的性质、正方形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识，综合性强，解题关键是熟练运用旋转的性质求解． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年广东省惠州市惠城区中考数学二模试卷 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 的相反数是（ ） A. B. C. 2 D. 2. 如图，AB∥CD，∠DCE＝80°，则∠BEF＝( ) A. 100° B. 90° C. 80° D. 70° 3. 2024年4月25日，搭载神舟十八号载人飞船的长征二号 遥十八运载火箭在酒泉卫星点火发射，其中长征二号F遥十八运载火箭低地球轨道的运载能力为千克．数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 已知 和 互余，若，则 的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 中国古代数学有着辉煌的成就，《周髀算经》《算学启蒙》《测圆海镜》和《四元玉鉴》是我国古代数学的重要文献．某中学拟从这四部数学名著中选择2部作为校本课程“数学文化”的学习内容，恰好选中《算学启蒙》和《测圆海镜》的概率是（ ） A. B. C. D. 7. 如图， 的对角线相交于点 ．如果添加一个条件，使得 是矩形，那么这个条件可以是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，A，B，C三点在 上，若，则 的度数是（ ） A. B. C. D. 9. 佛山是国内首个被授“中国龙舟龙狮运动名城”称号的城市，“争先奋进，赛龙夺锦”的龙舟文化内核近年来成了佛山文化品牌形象和城市精神内涵的重要元素，已知2023年2月佛山某区龙舟赛的总赛程为，在同一场比赛中龙舟A队的平均速度是B队的1.2倍，最终A队冲刺终点的时间比B队提前20分钟，若设B队的平均速度是，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在菱形 中， ，E是对角线 上一点，连接 ，作交 边于点F，若，则的值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 因式分解：_____． 12. 化简：__________． 13. 一家商店某种衣服按进价提高 后标价，又以八折优惠卖出，结果每件衣服获利 元，则这件衣服的进价是______元． 14. 如图，正方形 的边长为4，点E在边 上，且 ，F为对角线 上一动点，连接 ， ，则的最小值为___________． 15. 如图，在平面直角坐标系 中，的边 在y轴上，边 与x轴交于点C，且 ，反比例函数（）的图象经过点A，若，则______． 三、解答题（一）：本大题共3小题，第16题10分，第17题6分，第18题8分，共24分． 16. （1）计算：； （2）若二次函数的图象经过和两点，求该二次函数的表达式． 17. 解不等式组，并把解集表示在数轴上． 18. 如图，四边形 是某学校的一块种植实验基地，其中 是水果园， 是蔬菜园．已知． （1）求证：； （2）若蔬菜园 的面积为80，求水果园 的面积． 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分． 19. 如图，在 中，． （1）实践与操作：在边 上找一点D（点C，D不重合），使得 为等腰三角形（尺规作图，保留作图痕迹）； （2）猜想与证明：在（1）的条件下，试猜想之间的数量关系，并加以证明． 20. 实施新课程改革以来，学生的学习能力有了很大提高．李老师为进一步了解本班学生自主学习、合作交流的现状，对本班部分学生进行调查，把调查结果分成四类：A．特别好，B．好，C．一般，D．较差，并将调查结果绘制成以下两幅不完整的统计图，请根据统计图解答下列问题． （1）本次调查中，李老师一共调查了 名学生； （2）通过计算将条形统计图补充完整； （3）若学校共有3000名学生，请根据调查数据估计学习状态为D类的学生人数． 21. 如图， 是 的直径，点 是 上的一点， 与 的延长线交于点 ， ， ． （1）求证： 是 的切线； （2）过点 作 于点 ，若 的半径为4，求图中阴影部分的面积． 五、解答题（三）：本大题共2小题，每小题12分，共24分． 22. 根据以下素材，探索完成任务． 如何制作简易风筝？ 素材1 图1是简易“筝形”风筝的结构图，现以两条线段 作为骨架， 垂直平分 且，并按的比例固定骨架，骨架 与 共消耗竹条 ，四边形 的面积为． 素材2 考虑到实际需要，蒙面（风筝面）边缘离骨架的端点要留出一定距离．如图2，现 以上部分的蒙面设计为抛物线形状，过距离A，B，D三点分别为，的E，F，G三点绘制抛物线（建立如图的直角坐标系）． 以下部分的蒙面设计为，点H在 延长线上且． 素材3 从一张长方形纸片中裁剪无拼接的风筝蒙面（包括 以上抛物线部分及 以下三角形部分），长方形各边均与骨架平行（或垂直）． 问题解决，完成以下任务： （1）确定骨架长度：求骨架 和 的长度． （2）确定蒙面形状：求抛物线的函数表达式． （3）选择纸张大小：至少选择面积为多少的长方形纸片？ 23. 综合探究 【问题情境】几何探究是培养几何直观、推理能力和创新意识的重要途径．解决几何综合探究问题，往往需要运用从特殊到一般、化静为动、类比等数学思想方法． 【初步探究】 （1）如图1，将 绕点 逆时针旋转 得到 ，连接 ， ，根据条件填空： ① 的度数为 　　； ②若 ，则 的长为 　　； 【类比探究】 （2）如图2，在正方形 中，点 在边 上，点 在边 上，且满足， ， ，求正方形 的边长； 【拓展延伸】 （3）如图3，在四边形 中，，， ， 为对角线，且满足，若 ， ，请求出 的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $