精品解析：天津市北辰区朱唐庄中学2024届高三模拟预测数学试题

天津市朱唐庄中学2023-2024学年度校模拟考试 高三 数学 本试题分为第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，满分150分，考试时间120分钟。 第Ⅰ卷（共45分） 一、单项选择（每题5分，共45分。每题仅有一个正确选项，请将正确选项写到答题卡上） 1. 设全集，集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求出，再求出即可. 【详解】因为，所以， 所以， 故选：A. 2. 已知，则“”是“”的（ ）． A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意可直接判断充分性，举例说明必要性不成立即可. 【详解】若，则，即充分性成立； 若，例如，满足条件，但不成立，即必要性不成立； 综上所述：“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 3. 函数的大致图象为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分析函数的奇偶性，在上的函数值情况，由此排除不符合要求的图象即可. 【详解】函数的定义域为， 而，即函数是奇函数，A不满足； 当时，，C不满足； 当时，，则，D不满足，选项B符合题意. 故选：B 4. 设，则的大小关系为（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由指数函数的单调性可得，由对数函数的单调性可得，即可得到结果. 【详解】，且， 即，又， 即，所以. 故选：B 5. 某校随机抽取了400名学生进行成绩统计，发现抽取的学生的成绩都在50分至100分之间，进行适当分组画出频率分布直方图如图所示，下列说法正确的是（ ） A. 直方图中x的值为0.040 B. 在被抽取的学生中，成绩在区间的学生数为30人 C. 估计全校学生的平均成绩为84分 D. 估计全校学生成绩的样本数据的80%分位数约为93分 【答案】C 【解析】 【分析】根据学生的成绩都在50分至100分之间的频率和为1可求得x值，以此判断A；计算成绩在区间[70，80)的学生频率，然后可计算该区间学生数，以此判断B；按照频率频率分布直方图中平均数计算公式计算可判断C；按照频率分布直方图中百分位数的计算方法计算可判断D. 【详解】定义A：根据学生的成绩都在50分至100分之间的频率和为1，可得，解得x=0.03，所以A错； 对于B：在被抽取的学生中，成绩在区间[70，80)的学生数为10×0.015×400=60(人)，所以B错；对于C：估计全校学生的平均成绩为55×0.05+65×0.1+75×0.15+85×0.3+95×0.4=84(分)，所以C对； 对于D：全校学生成绩的样本数据的80%分位数约为 (分). 所以D错. 故选：C 6. 设数列满足，则数列的前5项和为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用递推关系求出，再利用裂项相消法求和即可得出答案. 【详解】当时，， 当时， ， ， 两式相减可得：，所以， 又时，，所以不满足， 所以，设，数列的前项和， 所以， 设数列的前5项和为： . 故选：D. 7. 已知双曲线的一条渐近线过点，且双曲线的一个焦点在抛物线的准线上，则双曲线的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意列出满足的等量关系式，求解即可. 【详解】因为在双曲线一条渐近线上， 故可得； 因为抛物线的准线为，故， 又；解得， 故双曲线方程为：. 故选：D. 8. 冰嘎别名冰尜，是东北民间少年儿童游艺品，俗称“陀螺”.通常以木镟之，大小不一，一般径寸余，上端为圆柱形，下端为锥形.如图所示的是一个陀螺立体结构图.已知分别是上、下底面圆的圆心，，底面圆的半径为，则该陀螺的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先利用已知条件底面圆的半径，以及，求得圆柱母线长以及圆锥的母线长，再利用圆柱和圆锥的表面积公式求解即可. 【详解】由底面圆的半径为，得底面圆的面积为， 又知，则 得圆柱的高等于母线长，且圆柱的母线长为， 已知圆锥的高为，圆的半径为，则圆锥的母线长为：， 则陀螺的表面积为：； 故选：B. 9. 已知函数，判断下列给出的四个命题，其中正确的命题有（ ） 个. ①的最小正周期为； ②将函数的图象向左平移个单位，将得到一个偶函数； ③函数在区间上是减函数； ④“函数取得最大值”的一个充分条件是“” A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】利用二倍角公式进行化简得，求出最小正周期；利用左加右减得出为偶函数；，函数单调递减；令，求出函数取最大值时x的集合. 【详解】 ①最小正周期为 ； ②的图象向左平移个单位得到 ， ， 所以 为偶函数； ③当 时，， 所以函数上单调递减； ④令 ，得到， 并且是的真子集， 函数取得最大值”的一个充分条件是“”. 所以正确的有3个. 故选：D 【点睛】二倍角公式的熟练运用，将函数化简为最简形式，求最小正周期，平移，单调区间，以及最值等都要熟练掌握. 第Ⅱ卷（共105分） 二、填空题（每小题6分，共30分） 10. 已知复数，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据复数的除法运算可得，结合复数的几何意义即可求出模. 【详解】由，得， 所以， 故答案为： 11. 若的展开式中的系数为7，则实数______. 【答案】 【解析】 【分析】利用二项式展开式的通项公式，根据系数，即可求得参数值. 【详解】的通项公式， 令，解得 故可得，解得. 故答案为：. 【点睛】本题考查利用二项式展开式的通项公式由项的系数求参数值，属简单题. 12. 已知直线与圆相切，则正实数k的值为___________. 【答案】 【解析】 【分析】利用圆心到直线的距离等于半径即可求解. 【详解】， ， 圆心为，， 直线与圆相切可得， 解得或，所以正实数k的值为 故答案为： 13. 袋子中有10十个大小相同的小球，其中7个白球，3个黑球．每次从袋子中随机摸出1个球，摸出的球不再放回． ①在第一次摸到白球的条件下，第二次摸到白球的概率为__________． ②两次都摸到白球的概率为__________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】设第1次摸到白球为事件A，第2次摸到白球为事件B，先求和，然后根据条件概率公式来求；先求第一次摸到白球的概率，再求第二次摸到白球的概率. 【详解】解：设第1次摸到白球为事件A，第2次摸到白球为事件B，由题意即求， 因为 ， ， 所以， 即在第1次摸到白球的条件下，第2次摸到白球的概率 . 因为摸出的球不放回，所以两次都摸到白球的概率为. 故答案为：；. 14. 在四边形中，为中点． 记，用表示_____________________；若，则的最大值为_____________________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】利用给定的基底，利用向量的线性运算求出；利用数量积的运算律及定义，余弦定理、基本不等式求出最大值即得. 【详解】由是中点，，得； 在四边形中，令，由，得， 由，得，在中，由余弦定理得， ，即，当且仅当时取等号， 由，得，， 因此 ， 所以的最大值为. 故答案为：； 15. 已知函数，若函数在上恰有三个不同的零点，则的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据函数与方程之间的关系转化两个函数图象交点个数问题，利用分段函数的表达式，结合题意将其转化为二次函数根的分布问题，利用数形结合进行求解即可． 【详解】当时，， 因为恰有三个不同的零点， 函数在上恰有三个不同的零点，即有三个解， 而无解，故. 当时，函数在上恰有三个不同的零点， 即，即与的图象有三个交点，如下图， 当时，与必有1个交点， 所以当时，有2个交点， 即，即令在内有两个实数解， ， 当时，函数在上恰有三个不同的零点， 即，即与的图象有三个交点，如下图， 当时，必有1个交点， 当时，与有2个交点， 所以，即在上有根， 令 故，解得：. 综上所述：的取值范围是. 故答案为：. 【点睛】关键点睛：本题主要考查函数方程的应用，结合分段函数的表达式转化为两个函数交点个数问题，数形结合是解决本题的关键．综合性较强，有一定的难度． 三、解答题 16. 在锐角中，角的对边分别为． 已知的面积为． （1）求的值； （2）求的值； （3）求的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用三角形面积公式可得角C，再用余弦定理求； （2）根据正弦定理即得； （3）先用二倍角公式求出，然后再用两角差的正弦公式求值. 【小问1详解】 ， ，又是锐角三角形， ，又由三角形余弦定理得： ， ． 【小问2详解】 由三角形正弦定理得：，即， . 【小问3详解】 又，， ， ， 又, ． 17. 在四棱锥中，底面，且，四边形是直角梯形，且，，，，为中点，在线段上，且. （1）求证：平面； （2）求直线PB与平面所成角的正弦值； （3）求点到PD的距离. 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）构造平面，由面面平行的判定定理证明面面平行，再根据面面平行的性质可得线面平行； （2）根据题意，建立空间直角坐标系，结合空间向量的坐标运算代入计算，即可得到结果； （3）根据题意，由空间向量的坐标运算，代入计算，即可得到结果. 【小问1详解】 如图，取中点，连接 因为为中点，，，，所以， 所以四边形为平行四边形，所以， 又平面，平面，所以平面， 因为为中点，为中点，则， 又平面，平面，所以平面， 因为平面，所以平面平面， 又平面，故平面． 【小问2详解】 根据题意，分别以所在直线轴，建立如图所示空间直角坐标系， 由条件可得，， 则， 设平面的法向量为， 则，解得， 取，则，所以平面的一个法向量为， 设直线PB与平面所成角为， 则. 所以直线PB与平面所成角的正弦值为. 【小问3详解】 由（2）可知，， 所以点到PD的距离为. 18. 已知椭圆：的离心率为，左，右焦点分别为，，过点的直线与椭圆相交于点，，且的周长为8． （1）求椭圆的标准方程； （2）椭圆的左，右顶点分别为，，上顶点为，若过且斜率为的直线与椭圆在第一象限相交于点，与直线相交于点，与轴相交于点，且满足，求直线的方程． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，由条件可得，再由离心率可求得，从而求得，即可得到椭圆的标准方程； （2）根据题意，设出直线方程，然后与椭圆方程联立，结合韦达定理可表示出的坐标，再由直线的方程表示出点的坐标，再由等量关系，即可得到结果. 【小问1详解】 由题设得，所以， 又离心率为，解得，， 所以椭圆的标准方程为. 【小问2详解】 因为，所以设直线的方程为，且， 联立，整理可得：， 则，故， 则，所以， 又直线的方程，联立，整理可得：， 所以，则，且满足. 则直线的方程为. 19. 已知为等差数列，数列满足，且，，. （1）求和的通项公式； （2）若，求数列的前项和； （3）设的前项和为，证明：. 【答案】（1）， （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）分析可知为等比数列，确定该数列的公比与首项，可求得数列的通项公式； （2）求出数列的通项公式，利用奇偶分组求和法结合等差数列的求和公式、错位相减法即可求得数列的前项和； （3）先证明柯西不等式，求出，然后利用柯西不等式可证得结论成立. 【小问1详解】 解：由及可知，数列是以为公比的等比数列， 所以，，故， 设等差数列的公差为，由，可得，， 所以，. 【小问2详解】 解：，设数列的前项和为， ， 记，， 所以，， ，① ，② ①②可得 ，所以，， 因此，. 【小问3详解】 证明：先证明柯西不等式， 构造函数， 显然且， 所以，， 即， 当且仅当时，等号成立， 本题中，由（1）可得， 所以，，且， 所以，， ， 所以，， 但不恒为常数，所以等号不成立， 则. 【点睛】方法点睛：数列求和的常用方法： （1）对于等差等比数列，利用公式法可直接求解； （2）对于结构，其中是等差数列，是等比数列，用错位相减法求和； （3）对于结构，利用分组求和法； （4）对于结构，其中是等差数列，公差为，则，利用裂项相消法求和. 20. 已知函数. （1）求曲线在点处的切线方程； （2）讨论函数的单调性； （3）若对任意的，都有成立，求整数的最大值. 【答案】（1）； （2）递减区间是，递增区间是； （3）3. 【解析】 【分析】（1）求出函数的导数，再利用导数的几何意义求出切线方程作答. （2）利用导数求出的单调区间作答. （3）等价变形给定的不等式，构造函数，利用导数求出函数的最小值情况作答. 【小问1详解】 函数，求导得，则，而， 所以曲线在点处的切线方程是. 【小问2详解】 函数的定义域是，， 当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增， 所以函数的递减区间是，递增区间是. 【小问3详解】 ，， 令，求导得， 由（2）知，在上单调递增，，， 因此存在唯一，使得，即， 当时，，即，当时，，即， 因此函数在上单调递减，在上单调递增， 于是，则， 所以整数的最大值是3. 【点睛】关键点睛：涉及不等式恒成立问题，将给定不等式等价转化，构造函数，利用导数探求函数单调性、最值是解决问题关键. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 天津市朱唐庄中学2023-2024学年度校模拟考试 高三 数学 本试题分为第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，满分150分，考试时间120分钟。 第Ⅰ卷（共45分） 一、单项选择（每题5分，共45分。每题仅有一个正确选项，请将正确选项写到答题卡上） 1. 设全集，集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知，则“”是“”的（ ）． A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 函数大致图象为（ ） A. B. C. D. 4. 设，则的大小关系为（ ）． A. B. C. D. 5. 某校随机抽取了400名学生进行成绩统计，发现抽取的学生的成绩都在50分至100分之间，进行适当分组画出频率分布直方图如图所示，下列说法正确的是（ ） A. 直方图中x的值为0.040 B. 在被抽取的学生中，成绩在区间的学生数为30人 C. 估计全校学生的平均成绩为84分 D. 估计全校学生成绩样本数据的80%分位数约为93分 6. 设数列满足，则数列的前5项和为（ ） A. B. C. D. 7. 已知双曲线的一条渐近线过点，且双曲线的一个焦点在抛物线的准线上，则双曲线的方程为（ ） A. B. C. D. 8. 冰嘎别名冰尜，是东北民间少年儿童游艺品，俗称“陀螺”.通常以木镟之，大小不一，一般径寸余，上端为圆柱形，下端为锥形.如图所示的是一个陀螺立体结构图.已知分别是上、下底面圆的圆心，，底面圆的半径为，则该陀螺的表面积为（ ） A. B. C. D. 9. 已知函数，判断下列给出的四个命题，其中正确的命题有（ ） 个. ①的最小正周期为； ②将函数的图象向左平移个单位，将得到一个偶函数； ③函数在区间上是减函数； ④“函数取得最大值”一个充分条件是“” A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 第Ⅱ卷（共105分） 二、填空题（每小题6分，共30分） 10. 已知复数，则__________． 11. 若的展开式中的系数为7，则实数______. 12. 已知直线与圆相切，则正实数k的值为___________. 13. 袋子中有10十个大小相同的小球，其中7个白球，3个黑球．每次从袋子中随机摸出1个球，摸出的球不再放回． ①在第一次摸到白球的条件下，第二次摸到白球的概率为__________． ②两次都摸到白球的概率为__________． 14. 在四边形中，为中点． 记，用表示_____________________；若，则的最大值为_____________________． 15. 已知函数，若函数在上恰有三个不同的零点，则的取值范围是________． 三、解答题 16. 在锐角中，角的对边分别为． 已知的面积为． （1）求的值； （2）求的值； （3）求的值． 17. 在四棱锥中，底面，且，四边形是直角梯形，且，，，，为中点，在线段上，且. （1）求证：平面； （2）求直线PB与平面所成角正弦值； （3）求点到PD的距离. 18. 已知椭圆：的离心率为，左，右焦点分别为，，过点的直线与椭圆相交于点，，且的周长为8． （1）求椭圆的标准方程； （2）椭圆左，右顶点分别为，，上顶点为，若过且斜率为的直线与椭圆在第一象限相交于点，与直线相交于点，与轴相交于点，且满足，求直线的方程． 19. 已知为等差数列，数列满足，且，，. （1）求和的通项公式； （2）若，求数列的前项和； （3）设的前项和为，证明：. 20. 已知函数. （1）求曲线在点处的切线方程； （2）讨论函数的单调性； （3）若对任意的，都有成立，求整数的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$