专题04 解三角形小题常考题型归类（考题猜想，8题型）-2023-2024学年高一数学下学期期末考点大串讲（人教B版2019必修第四册）

专题04 解三角形小题 一．正余弦定理解三角形 1．（23-24高一下·江苏南京·月考）已知中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一下·福建泉州·期中）已知中，，，，则（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一下·广东佛山·期中）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，且，则b的值为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高一下·湖南·期中）设的内角的对边分别为，已知，且，则角（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高一下·重庆万州·期中）在中，，则（    ） A． B． C． D． 二．三角形解的个数问题 1．（23-24高一下·福建南平·期中）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，已知，则此三角形（    ） A．无解 B．一解 C．两解 D．解的个数不确定 2．（23-24高一下·福建厦门·月考）在中，角，，所对的边分别为，，，，，，则此三角形的解的情况是（      ） A．有一解 B．有两解 C．无解 D．有解但解的个数不确定 3．（23-24高一下·辽宁·期中）在中，，，，则“恰有一解”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 4．（23-24高一下·浙江宁波·期中）在中，，，，若三角形有两解，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高一下·河南周口·月考）在中，，，．若利用正弦定理解有两解，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 三．三角形的形状判断 1．（23-24高一下·浙江·月考）已知，，分别是三内角，，的对边，则“”是“为直角三角形”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（23-24高一下·山东·期中）在中，若，则这个三角形是（    ） A．等腰三角形或直角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形 3．（23-24高一下·云南丽江·月考）在中，角，，的对边分别为，，，若，，则是（   ） A．钝角三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 4．（23-24高一下·江苏盐城·月考）已知中，角的对边分别是，若，则是（    ） A．钝角三角形 B．等边三角形 C．锐角三角形 D．等腰直角三角形 5．（23-24高一下·河南安阳·期中）（多选）已知的内角所对的边分别为下列说法错误的是（     ） A．若，则是等腰三角形 B．若，则是直角三角形 C．若，则是直角三角形 D．“”是“是等边三角形”的充分不必要条件 四．三角形的面积与周长问题 1．（23-24高一下·云南·月考）在中，，，，则的面积为（    ） A． B． C． D．1 2．（23-24高一下·浙江丽水·期中）已知在中，三个内角的对边分别为，若，，边上的高等于，则的面积为（    ） A． B．9 C． D． 3．（2023·内蒙古赤峰·二模）在中，内角，，所对的边分别是，，，已知，，的面积为，则的周长是（    ） A．4 B．6 C．8 D．18 4．（23-24高一下·广西钦州·期中）在中，角所对的边分别为若且的外接圆的半径为则面积的最大值为 ． 5．（23-24高一下·重庆渝中·期中）在中，角对应的边分别为，已知，且，则 ，的面积为 ． 五．三角形的外接圆问题 1．（23-24高一下·江西·月考）在中，，则的外接圆的面积为（   ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·甘肃定西·开学考试）如图，内接于，若，，，则的半径是（    ）    A． B． C． D． 3．（23-24高一下·江苏镇江·月考）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，若边上的中线，则的外接圆面积是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高一下·浙江·月考）在中，角的对边分别为，满足外接圆的半径为，则 ． 5．（23-24高一下·福建莆田·期中）在中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且，若，则外接圆半径为 . 六．解三角形在几何中的应用 1．（23-24高一下·山西·月考）已知非直角三角形，是的重心，，则（    ） A． B．1 C． D．2 2．（23-24高一下·重庆·期中）内角对应边分别为．若，，点在边上，并且，为的外心，则之长为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一下·江西抚州·期中）已知中，，，若，则（   ） A． B． C． D． 4．（23-24高一下·重庆·期中）如图，已知，，为边上的两点，且满足，．则当取最大值时，的面积等于（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高一下·江苏·月考）（多选）如图，的角所对的边分别为，，且，若点在外，，则下列说法中正确的有（     ） A． B． C．四边形面积的最大值为 D．四边形面积的最大值为 七．解三角形与向量结合 1．（23-24高一下·吉林长春·期中）在中，内角A，B，C所对的边分别为，，.向量，若，则角的大小为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一下·吉林白城·月考）在ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，向量，向量，且满足，则角A＝（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一下·重庆渝中·月考）在中，角、、的对边分别为、、，若，又的面积，且，则（    ） A．64 B．84 C．-69 D．-89 4．（23-24高一下·内蒙古赤峰·月考）中，、、分别是内角、、的对边，若且，则形状是（    ） A．有一个角是的等腰三角形 B．顶角是的等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．不能确定三角形的形状 5．（23-24高一下·四川眉山·月考）设向量满足，与的夹角为，则的最大值为 八．正余弦定理的实际应用 1．（23-24高一下·湖南·月考）某班同学利用课外实践课，测量两地之间的距离，在处测得两地之间的距离是4千米，两地之间的距离是6千米，且，则两地之间的距离是（    ） A．千米 B．千米 C．千米 D．千米 2．（23-24高一下·江苏盐城·月考）高一年级的全体同学参加了主题为《追寻红色足迹，青春在历练中闪光》的社会实践活动.在参观今世缘酒业厂区时，有一个巨大的方鼎雕塑.若在B､C处分别测得雕塑最高点的仰角为30°和20°，且，则该雕塑的高度约为（    ）（参考数据） A．4.92 B．5.076 C．5.91 D．7.177 3．（23-24高一下·河南商丘·月考）北京天安门广场中心屹立着一座中国最大的纪念碑——人民英雄纪念碑，它专门为缅怀近现代英雄而建，它不仅仅是一个简单的建筑，更是民族精神的象征.某学生为测量该纪念碑的高度，选取与碑基在同一水平面内的两个测量点.现测得米，在点处测得碑顶的仰角为，则纪念碑高为（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 4．（23-24高一下·辽宁·期中）2023年下半年开始，某市加快了推进“5G+光网”双千兆城市建设.如图，某市区域地面有四个5G基站A，B，C，D.已知C，D两个基站建在江的南岸，距离为，基站A，B在江的北岸，测得，，，，则A，B两个基站的距离为（    ） A． B． C．40km D． 5．（23-24高一下·福建三明·月考）圣•索菲亚教堂是哈尔滨的标志性建筑，其中央主体建筑集球、圆柱、棱柱于一体，极具对称之美．为了估算索菲亚教堂的高度，在索菲亚教堂的正东方向找到一座建筑物，高约为，在它们之间的地面上的点（，，三点共线）处测得楼顶，教堂顶的仰角分别是和，在楼顶处测得塔顶的仰角为，则估算索菲亚教堂的高度约为（    ） A． B． C． D． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 解三角形小题 一．正余弦定理解三角形 1．（23-24高一下·江苏南京·月考）已知中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，且，所以，即， 所以由余弦定理得.故选：D 2．（23-24高一下·福建泉州·期中）已知中，，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】在中，由余弦定理得， 由正弦定理得.故选：A 3．（23-24高一下·广东佛山·期中）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，且，则b的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】， 由正弦定理角化边得， 又，所以①， 由余弦定理得②， 联立①②求解得，所以.故选：D 4．（23-24高一下·湖南·期中）设的内角的对边分别为，已知，且，则角（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由，得， 由正弦定理，得， 或. 又.故选：B. 5．（23-24高一下·重庆万州·期中）在中，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为，所以， 因为， 两式相减，得， 由正弦定理，得，即， 因为，所以.故选：A. 二．三角形解的个数问题 1．（23-24高一下·福建南平·期中）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，已知，则此三角形（    ） A．无解 B．一解 C．两解 D．解的个数不确定 【答案】C 【解析】由正弦定理，得，解得 ， 因为，所以 ， 又因为，所以或， 故此三角形有两解.故选：C. 2．（23-24高一下·福建厦门·月考）在中，角，，所对的边分别为，，，，，，则此三角形的解的情况是（      ） A．有一解 B．有两解 C．无解 D．有解但解的个数不确定 【答案】A 【解析】由，得， 又 ，，故只能为锐角，即， 故该三角形只有一解．故选：A. 3．（23-24高一下·辽宁·期中）在中，，，，则“恰有一解”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】由，得， 方程 的判别式， ①，解得． 当时， 转化为，解得 符合题意； 当时 转化为，解得 不符合题意； ②，且两根之积， 可得有一正根和一负根，负根舍去，此时有一解，此时； ③，且两根之积，解得， 当时，，解得 符合题意； 当时，解得不符合题意； 故若有一解，则或， 故“恰有一解”，是“”的必要不充分条件故选：B． 4．（23-24高一下·浙江宁波·期中）在中，，，，若三角形有两解，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题设，过作于，如下图示， 则，可得时，三角形有两解. 当，即时，三角形不存在； 当或时，△分别对应等边三角形或直角三角形，仅有一个三角形； 当时，在射线方向上有一个△， 而在射线方向上不存在，故此时仅有一个三角形；故选：B 5．（23-24高一下·河南周口·月考）在中，，，．若利用正弦定理解有两解，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】如图，，过作于， 则， 以为圆心，为半径画圆弧， 要使有两个解，则圆弧和边应该有两个交点， 故且，即，解得．故选：B. 三．三角形的形状判断 1．（23-24高一下·浙江·月考）已知，，分别是三内角，，的对边，则“”是“为直角三角形”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】在中，由正弦定理可得：， 由，可得：， 所以，因为，所以， 即，所以， 因为，所以， 所以，所以为直角三角形， 故“”是“为直角三角形”的充分条件； 若为直角三角形，设，， 则，所以， 所以， 所以“”不是“为直角三角形”的必要条件； 即“”是“为直角三角形”的充分不必要条件.故选：A. 2．（23-24高一下·山东·期中）在中，若，则这个三角形是（    ） A．等腰三角形或直角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形 【答案】A 【解析】因为， 由正弦定理可得， 化简可得， 即， 即，所以或， 即或者，所以三角形是等腰三角形或直角三角形.故选：A 3．（23-24高一下·云南丽江·月考）在中，角，，的对边分别为，，，若，，则是（   ） A．钝角三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】B 【解析】由及正弦定理可得，得， 故（舍去）或，即， 又，所以， 因，，得，故， 故是等边三角形，故选：B 4．（23-24高一下·江苏盐城·月考）已知中，角的对边分别是，若，则是（    ） A．钝角三角形 B．等边三角形 C．锐角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】B 【解析】由， 结合正弦定理可得，所以， 又因为是的内角，故，所以是等边三角形.故选：B. 5．（23-24高一下·河南安阳·期中）（多选）已知的内角所对的边分别为下列说法错误的是（     ） A．若，则是等腰三角形 B．若，则是直角三角形 C．若，则是直角三角形 D．“”是“是等边三角形”的充分不必要条件 【答案】ABD 【解析】对于A项，由和正弦定理，， 即，故得或， 即或，即是等腰三角形或直角三角形，故A项错误； 对于B项，因，由余弦定理，， 代入化简得，，即得，故是等边三角形，故B项错误； 对于C项，由和正弦定理，,化简得，(*)， 因,则,代入(*),得， 因，，则，故,即C项正确； 对于D项，若是等边三角形，则,即必成立， 故“”是“是等边三角形”的必要条件，故D项错误.故选：ABD. 四．三角形的面积与周长问题 1．（23-24高一下·云南·月考）在中，，，，则的面积为（    ） A． B． C． D．1 【答案】B 【解析】因为，角是锐角，所以， 由余弦定理，，解得， 所以的面积.故选：B. 2．（23-24高一下·浙江丽水·期中）已知在中，三个内角的对边分别为，若，，边上的高等于，则的面积为（    ） A． B．9 C． D． 【答案】A 【解析】由，即，得， 所以.故选：A. 3．（2023·内蒙古赤峰·二模）在中，内角，，所对的边分别是，，，已知，，的面积为，则的周长是（    ） A．4 B．6 C．8 D．18 【答案】B 【解析】，由正弦定理得，， 又，所以， 因为，所以，故， 因为，所以， 由三角形面积公式可得，故， 由余弦定理得， 解得或（舍去）， 故三角形周长为.故选：B 4．（23-24高一下·广西钦州·期中）在中，角所对的边分别为若且的外接圆的半径为则面积的最大值为 ． 【答案】 【解析】在中， 由正弦定理得由余弦定理得 因为为的内角，则，所以 因为的外接圆的半径为由正弦定理得 所以由余弦定理得即 因为所以当且仅当时取等号， 故的面积所以面积的最大值为 5．（23-24高一下·重庆渝中·期中）在中，角对应的边分别为，已知，且，则 ，的面积为 ． 【答案】 /0.5 【解析】因为， 在中，由正弦定理得， 由余弦定理得， 因为，所以； 因为在中，由正弦定理，即， 所以，所以， 所以，所以， 所以或（舍）， 因为的面积为． 五．三角形的外接圆问题 1．（23-24高一下·江西·月考）在中，，则的外接圆的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由正弦定理得的外接圆的半径， 所以的外接圆的面积．故选:． 2．（23-24高一上·甘肃定西·开学考试）如图，内接于，若，，，则的半径是（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【解析】中，由余弦定理知，，则， 由正弦定理，外接圆半径为R，则， 所以的半径是.故选：A 3．（23-24高一下·江苏镇江·月考）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，若边上的中线，则的外接圆面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为，所以， 又，所以， 又是中点，所以，又， 所以， 即，解得（负值舍去）， 所以，则， 所以，即， 所以的外接圆面积为，故选：A. 4．（23-24高一下·浙江·月考）在中，角的对边分别为，满足外接圆的半径为，则 ． 【答案】3 【解析】因为，所以， 因为，所以， 所以，，所以， 又因为，所以， 从而，又外接圆的半径为， 所以由正弦定理得． 5．（23-24高一下·福建莆田·期中）在中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且，若，则外接圆半径为 . 【答案】 【解析】由及正弦定理得， 即，即，由，则，所以， 因为，所以，所以， 所以由正弦定理得，的外接圆半径为. 六．解三角形在几何中的应用 1．（23-24高一下·山西·月考）已知非直角三角形，是的重心，，则（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】D 【解析】因为是的重心，所以，， 因为，所以， 所以，所以， 所以， 所以，即， 所以 .故选：D 2．（23-24高一下·重庆·期中）内角对应边分别为．若，，点在边上，并且，为的外心，则之长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】连结， 因为，根据正弦定理得， 则，即， 且外接圆半径， 即在中，，， 所以，且， 在中，， 所以.故选：B 3．（23-24高一下·江西抚州·期中）已知中，，，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由，可得D为BC中点， 因为，故， 在中，由正弦定理，①， 在中，由正弦定理，②， 两式相除可得，；设， 而，可得， 则.故选：D. 4．（23-24高一下·重庆·期中）如图，已知，，为边上的两点，且满足，．则当取最大值时，的面积等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】不妨设， 分别记的面积为, 则① ② 由①，②两式左右分别相乘，可得：.故得：. 设，在中，由余弦定理，， 因，则，当且仅当时，等号成立，此时， 因，故，取得最大值， 此时的面积等于.故选：C 5．（23-24高一下·江苏·月考）（多选）如图，的角所对的边分别为，，且，若点在外，，则下列说法中正确的有（     ） A． B． C．四边形面积的最大值为 D．四边形面积的最大值为 【答案】ABC 【解析】因为，由正弦定理得， 即， 因为，可得，所以， 又因为，可得，所以，所以为等边三角形， 可得，，所以A、B正确； 设， 在中，由余弦定理得， 且， 可得， 所以四边形的面积为， 当时，四边形的面积最大，最大值为，所以C正确，D错误.故选：ABC. 七．解三角形与向量结合 1．（23-24高一下·吉林长春·期中）在中，内角A，B，C所对的边分别为，，.向量，若，则角的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，， 所以，即， 由余弦定理可得. 因为，所以，故选：D. 2．（23-24高一下·吉林白城·月考）在ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，向量，向量，且满足，则角A＝（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为，向量，且， 所以， 由正弦定理得，即， 由余弦定理得， 所以，因为，所以，故选：C. 3．（23-24高一下·重庆渝中·月考）在中，角、、的对边分别为、、，若，又的面积，且，则（    ） A．64 B．84 C．-69 D．-89 【答案】C 【解析】由，得， 所以， 则，即，即， 又，即， 又，得， 联立、、，解得， 则，即， 由，平方知， 所以.故选：C. 4．（23-24高一下·内蒙古赤峰·月考）中，、、分别是内角、、的对边，若且，则形状是（    ） A．有一个角是的等腰三角形 B．顶角是的等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．不能确定三角形的形状 【答案】C 【解析】如图所示，在边、上分别取点、，使、， 以、为邻边作平行四边形，则，显然， 因此平行四边形为菱形，平分， 而，则有，即， 于是得是等腰三角形，即， 令直线交于点，则是边的中点，， 而，因此有，从而得， 所以是等腰直角三角形.故选：C 5．（23-24高一下·四川眉山·月考）设向量满足，与的夹角为，则的最大值为 【答案】4 【解析】如图所示，设 因为，所以， 因为，所以， ，，所以四点共圆, 因为，，所以， 由正弦定理知，即过四点的圆的直径为4， 所以||的最大值等于直径4. 八．正余弦定理的实际应用 1．（23-24高一下·湖南·月考）某班同学利用课外实践课，测量两地之间的距离，在处测得两地之间的距离是4千米，两地之间的距离是6千米，且，则两地之间的距离是（    ） A．千米 B．千米 C．千米 D．千米 【答案】A 【解析】由余弦定理可得， 则.故选：A 2．（23-24高一下·江苏盐城·月考）高一年级的全体同学参加了主题为《追寻红色足迹，青春在历练中闪光》的社会实践活动.在参观今世缘酒业厂区时，有一个巨大的方鼎雕塑.若在B､C处分别测得雕塑最高点的仰角为30°和20°，且，则该雕塑的高度约为（    ）（参考数据） A．4.92 B．5.076 C．5.91 D．7.177 【答案】C 【解析】在中，由正弦定理得：， 所以， 在中，；故选：C. 3．（23-24高一下·河南商丘·月考）北京天安门广场中心屹立着一座中国最大的纪念碑——人民英雄纪念碑，它专门为缅怀近现代英雄而建，它不仅仅是一个简单的建筑，更是民族精神的象征.某学生为测量该纪念碑的高度，选取与碑基在同一水平面内的两个测量点.现测得米，在点处测得碑顶的仰角为，则纪念碑高为（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】A 【解析】在中，， 由正弦定理得，即，解得， 在中，．故选：A 4．（23-24高一下·辽宁·期中）2023年下半年开始，某市加快了推进“5G+光网”双千兆城市建设.如图，某市区域地面有四个5G基站A，B，C，D.已知C，D两个基站建在江的南岸，距离为，基站A，B在江的北岸，测得，，，，则A，B两个基站的距离为（    ） A． B． C．40km D． 【答案】D 【解析】在中，，， 所以，即，得故． 在中，． 由正弦定理得，， 解得 在中，由余弦定理得， ， 解得，即两个基站、之间的距离为．故选：D． 5．（23-24高一下·福建三明·月考）圣•索菲亚教堂是哈尔滨的标志性建筑，其中央主体建筑集球、圆柱、棱柱于一体，极具对称之美．为了估算索菲亚教堂的高度，在索菲亚教堂的正东方向找到一座建筑物，高约为，在它们之间的地面上的点（，，三点共线）处测得楼顶，教堂顶的仰角分别是和，在楼顶处测得塔顶的仰角为，则估算索菲亚教堂的高度约为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题可知，， 由题意，， ， 在中由正弦定理可得，即，得，故选：B 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司2 学科网（北京）股份有限公司 $$