专题05 解三角形大题常考题型归类（考题猜想，10题型）-2023-2024学年高一数学下学期期末考点大串讲（人教B版2019必修第四册）

专题05 解三角形大题 一．正余弦定理解三角形 1．（23-24高一下·重庆璧山·月考）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且，． (1)求的值； (2)求的值． 2．（23-24高一下·江苏扬州·月考）已知分别为内角的对边，． (1)求角A； (2)若的面积为，周长为6，求． 3．（23-24高一下·广东湛江·开学考试）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且． (1)求C； (2)若，求的面积． 4．（23-24高一下·浙江金华·期中）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足，. (1)求证：； (2)求的值. 5．（23-24高一下·江西·月考）在中，内角的对边分别为的面积为，且． (1)证明：； (2)若，求． 二．三角形的中线应用 1．（23-24高一下·湖南常德·期中）在中，角，，的对边分别是，，且． (1)求角的大小； (2)若，为的中点，，求. 2．（23-24高一下·江苏南通·期中）在中，角所对的边分别为，且. (1)求角； (2)若为的中点，且，求. 3．（22-23高一下·湖北黄冈·期中）在中，内角，，的对边分别为，，，点是中点．，． (1)求； (2)再从条件①、条件②中选择一个作为已知条件，求边． 条件①的面积为；条件②． 4 ．（23-24高一下·新疆乌鲁木齐·月考）记的内角的对边分别为，满足． (1)求角； (2)若为上一点，且，，，求的面积； (3)若，，是中线，求的长． 5．（23-24高一下·湖北·月考）已知分别为锐角三角形三个内角的对边，且. (1)求; (2)若，为的中点，求中线的取值范围. 三．三角形的角平分线应用 1．（22-23高一下·安徽滁州·期末）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知. (1)求角A的大小； (2)若，，AD是△ABC的角平分线，求AD的长. 2．（23-24高一下·辽宁·期中）在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且________，在①；②；③，这三个条件中任选一个，补充在上面的横线上，并解答下列问题： (1)求角A的大小； (2)若AD是的角平分线，且，，求线段AD的长； (3)若，判断的形状. 3．（23-24高一下·江苏扬州·期中）已知的内角的对边分别为，且． (1)求的值； (2)给出以下三个条件：①；②；③．这三个条件中仅有两个正确，请选出这两个正确的条件并回答下面的问题： ①求边的值； ②求的角平分线的长． 4．（22-23高一下·湖北武汉·期中）已知的内角，A，B，C的对边为a，b，c，且． (1)求； (2)若的面积为为内角A的角平分线，交边于点D，求线段长的最大值． 5．（22-23高一下·云南·期末）在中，角所对的边分别为，且满足. (1)求角A； (2)若为的中点，且的角平分线交于点，且，求边长. 四．三角形的高线应用 1．（23-24高一下·江苏无锡·月考）在中，角所对的边分别为，已知. (1)若，求角的大小； (2)若，求边上的高. 2．（23-24高一下·山西运城·月考）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且. (1)求A； (2)已知，D是边BC的中点，且，求AD的长. 3．（23-24高三上·广东佛山·月考）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，D是BC上的中点，. (1)求的大小； (2)E是AB上一点，，求DE的长度. 4．（23-24高一下·河南安阳·月考）在中角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． (1)求角C的大小； (2)若，，CH为AB边上的高，H为垂足，，其中m，，求的值． 5．（23-24高一下·广东广州·月考）在中，角的对边分别是，且满足． (1)求； (2)若是边上的高，求的最大值． 五．多三角形与四边形解三角形 1．（23-24高一下·广东佛山·期中）四边形中，，记，，的角平分线与相交于点，且，. (1)求的大小； (2)求的值. 2．（23-24高一下·北京·期中）如图，在梯形ABCD中，，， (1)求； (2)求BC的长． 3．（23-24高一下·山东聊城·月考）如图，在平面四边形ABCD中，E为线段BC的中点，． (1)若，求AE； (2)若，求AE的最大值． 4．（23-24高一下·福建莆田·期中）记的内角，，的对边分别为，，，已知． (1)求； (2)设，若点是边上一点，，且，求，． 5．（23-24高一下·湖北武汉·月考）如图，的内角的对边分别为，已知，为线段上一点，且． (1)求角； (2)若，求面积的最大值； (3)若，求． 六．角度或三角值的最值范围 1．（23-24高一下·贵州贵阳·月考）锐角，角的对边分别是.已知. (1)求； (2)求的取值范围. 2．（22-23高一下·河南南阳·月考）记的内角的对边分别为，分别以为直径的三个半圆的面积依次为，已知，． (1)求的面积； (2)求的最大值． 3．（23-24高一下·河南周口·月考）在锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知. (1)求角C； (2)求的取值范围. 4．（23-24·河北沧州·模拟预测）已知在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且． (1)求C； (2)求的最大值． 5．（23-24高一下·福建福州·期中）中，内角、、的对边分别为、、，且. (1)若，试判断的形状，并说明理由； (2)若，则的面积为，求，的值； (3)若为锐角三角形，求的取值范围. 七．边长或周长的最值范围 1．（23-24高一下·云南·月考）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知. (1)求角C的大小； (2)若，求的取值范围. 2．（23-24高一下·江苏盐城·月考）已知锐角的内角A，B，C所对的边分别为，向量，，且. (1)求角C的值； (2)若，求的取值范围. 3．（23-24高一下·福建厦门·月考）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量，，且，外接圆面积为 (1)求A； (2)求周长的最大值. 4．（23-24高一下·山西·月考）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知. (1)求角B的大小； (2)若，，求周长的取值范围. 5．（23-24高一下·辽宁·期中）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，. (1)求角B的大小； (2)若，求的取值范围. 八．面积的最值范围 1．（23-24高一下·吉林长春·期中）的内角的对边分别为，设 (1)求B； (2)若，试判断的形状； (3)若，求锐角的面积的取值范围. 2．（23-24高一下·四川·期中）锐角的内角的对边分别为，已知 (1)求角的值； (2)若求面积的取值范围． 3．（23-24高一下·新疆乌鲁木齐·月考）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，点D在AC上，且，． (1)求角B； (2)求面积的最大值． 4．（22-23高一下·福建泉州·期末）在平面四边形中，点在直线的两侧，，，四个内角分别用表示，. (1)求； (2)求与的面积之和的最大值. 5．（22-23高一下·安徽合肥·月考）已知为锐角三角形，角所对的边分别为，且． (1)求的取值范围； (2)若，求面积的取值范围． 九．三角形的外接圆与内切圆 1．（23-24·全国·模拟预测）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且． (1)求； (2)若，求内切圆半径取值范围． 2．（23-24高一下·江苏·专题练习）已知中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且. (1)求A (2)若，求内切圆周长的最大值. 3．（23-24·全国·模拟预测）已知中，角，，的对边分别是，，，． (1)求角的大小； (2)若，外接圆的半径为，内切圆半径为，求的最小值． 4．（22-23高一下·河南平顶山·期末）如图所示，四边形的外接圆为圆. (1)求； (2)若，求的长. 5．（23-24高一下·湖北·月考）如图所示，圆内接四边形中，，为圆周上一动点，. (1)求四边形ABCD周长的最大值; (2)若，求AC的长. 十．解三角形新定义问题 1．（23-24高一下·安徽·月考）已知在任意一个三角形的三条边上分别向外做出三个等边三角形，则这三个等边三角形的中心也构成一个等边三角形;我们称由这三个等边三角形中心构成的三角形为其外拿破仑三角形．在锐角中，角所对的边分别为且，以的边分别向外作的三个等边三角形的中心分别记为，且的面积为，记为的外接圆半径． (1)若，求; (2)若，求面积的取值范围． 2．（23-24高一下·安徽安庆·月考）著名的费马问题是法国数学家皮埃尔·德·费马（1601－1665）于1643年提出的平面几何极值问题：“已知一个三角形，求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小”费马问题中的所求点称为费马点，已知对于每个给定的三角形，都存在唯一的费马点，当△ABC的三个内角均小于120°时，则使得的点P即为费马点．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为，且．若是的“费马点”，． (1)求角； (2)若，求的周长； (3)在（2）的条件下，设，若当时，不等式恒成立，求实数的取值范围． 3．（23-24高一下·山东·月考）克罗狄斯托勒密（约90-168年）是希腊著名的数学家、天文学家和地理学家.他一生有很多发明和贡献，其中托勒密定理和托勒密不等式是欧几里得几何中的重要定理.托勒密不等式内容如下：在凸四边形中，两组对边乘积的和大于等于两对角线的乘积，即，当四点共圆时等号成立.已知凸四边形中，. (1)当为等边三角形时，求线段长度的最大值及取得最大值时的边长； (2)当时，求线段长度的最大值. 4．（23-24高一下·山东济宁·期中）在中，，，对应的边分别为，，， (1)求； (2)若为线段内一点，且，求线段的长； (3)法国著名科学家柯西在数学领域有非常高的造诣；很多数学的定理和公式都以他的名字来命名，如对于任意的，都有被称为柯西不等式；在（1）的条件下，若，求：的最小值； 5．（23-24高一下·重庆·期中）在中，角A，，对应的边分别为，，，． (1)求角A； (2)法国著名数学家奥古斯丁路易斯柯西（AugustinLouisCauchy，1789年－1857年）在数学领域有非常高的造诣．很多数学的定理和公式都以他的名字来命名，如柯西不等式、柯西积分公式．其中柯西不等式在解决不等式证明的有关问题中有着广泛的应用． ①柯西不等式的二维形式是对于任意的，，，，有．请证明上述不等式，并写出等号取到的条件； ②请用柯西不等式的二维形式求的最大值，并写出等号取到的条件； ③在（1）的条件下，若，是内一点，过作，，垂线，垂足分别为，，，借助于三维分式型柯西不等式：，，，当且仅当时等号成立．求的最小值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 解三角形大题 一．正余弦定理解三角形 1．（23-24高一下·重庆璧山·月考）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且，． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）因为，所以由正弦定理得， 由，得，所以， 所以由余弦定理得， 因为，所以； （2）因为，所以由正弦定理得，所以, 因为， ， 所以由余弦定理得， 所以. 2．（23-24高一下·江苏扬州·月考）已知分别为内角的对边，． (1)求角A； (2)若的面积为，周长为6，求． 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）因为， 由正弦定理可得， 又因为， 可得， 且，则，可得，整理得， 又因为，则，所以，即. （2）因为，则， 由余弦定理可得，解得． 3．（23-24高一下·广东湛江·开学考试）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且． (1)求C； (2)若，求的面积． 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）由余弦定理得， 因为，可得， 又由正弦定理得， 即，可得，又因为，可得. （2）由（1）知，由余弦定理知， 将，代入化简得，解出或（舍去）， 所以的面积． 4．（23-24高一下·浙江金华·期中）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足，. (1)求证：； (2)求的值. 【答案】(1)证明见解析；(2) 【解析】（1）在中，有， ，即， 当时，等式显然不成立，所以，. （2）由正弦定理推出， 且（1）得，，即， ，即， 又，，， ，即， ，或（舍去）. 5．（23-24高一下·江西·月考）在中，内角的对边分别为的面积为，且． (1)证明：； (2)若，求． 【答案】(1)证明见解析；(2) 【解析】（1）因为的面积，又． 所以， 又．所以．所以． 所以，又，所以． （2）因为．所以， 所以．所以， 所以． 二．三角形的中线应用 1．（23-24高一下·湖南常德·期中）在中，角，，的对边分别是，，且． (1)求角的大小； (2)若，为的中点，，求. 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）因为， 由余弦定理得， 又，所以； （2）因为， 由正弦定理可得，即， 所以， 化简得，即， 又，则， 所以，即，则，所以，， 因为且为的中点， 在中，解得（负值舍去），所以． 2．（23-24高一下·江苏南通·期中）在中，角所对的边分别为，且. (1)求角； (2)若为的中点，且，求. 【答案】(1)；(2). 【解析】（1）在中，由及正弦定理，得， 又，于是， 而，即有，则，所以. （2）依题意，，显然， 由余弦定理得，整理得， 在中，由余弦定理，得，因此， 即，则，令，则， 所以. 3．（22-23高一下·湖北黄冈·期中）在中，内角，，的对边分别为，，，点是中点．，． (1)求； (2)再从条件①、条件②中选择一个作为已知条件，求边． 条件①的面积为；条件②． 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）因为， 由正弦定理可得， 即， ，， 又，； （2）若选①， 在中由余弦定理得，即， 又，则，所以，即， 所以，所以. 若选②，在中由余弦定理得，即， 在中由余弦定理得，即， 所以， 所以，所以或（舍去）， 又，则，所以. 4 ．（23-24高一下·新疆乌鲁木齐·月考）记的内角的对边分别为，满足． (1)求角； (2)若为上一点，且，，，求的面积； (3)若，，是中线，求的长． 【答案】(1)；(2)；(3) 【解析】（1）因为，由正弦定理得， 由，故， 所以， 可得 因为，可得），所以， 又因为，所以. （2）因为点为上一点，且，，， 由三角形面积公式可得，所以， 所以，则. （3）由，可得，所以， 又由，由余弦定理得， 即，可得， 因为是中线，可得， 所以，所以. 5．（23-24高一下·湖北·月考）已知分别为锐角三角形三个内角的对边，且. (1)求; (2)若，为的中点，求中线的取值范围. 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）因为是锐角三角形的三个内角，所以，， 根据正弦定理可得，即， 所以， 则， 整理得，即， 又，所以，即. （2）因为为的中点，所以， 两边平方得， 在中，由余弦定理得，即， 所以， 在中，由正弦定理得，所以， 所以， 因为为锐角三角形，所以且，解得， 所以，所以，所以， 所以中线的取值范围是. 三．三角形的角平分线应用 1．（22-23高一下·安徽滁州·期末）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知. (1)求角A的大小； (2)若，，AD是△ABC的角平分线，求AD的长. 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）由正弦定理可知. 由余弦定理可得， 又，所以. （2）由题意知， 所以， 所以，解得. 2．（23-24高一下·辽宁·期中）在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且________，在①；②；③，这三个条件中任选一个，补充在上面的横线上，并解答下列问题： (1)求角A的大小； (2)若AD是的角平分线，且，，求线段AD的长； (3)若，判断的形状. 【答案】(1)；(2)；(3)直角三角形 【解析】（1）选择①：由，可得， 即，即， 因为，所以； 选择②：因为②，由正弦定理得， 可得， 因为，可得，所以， 即，可得， 因为，可得，所以； 选择③，由，可得, 又由正弦定理得，再由余弦定理得， 因为，所以. （2）因为AD是的角平分线，且，设， 因为，可得， 即，解得，即. （3）由（1）知， 由余弦定理得， 因为，平方得，即， 代入上式，可得，即， 将代入，可得，解得或， 当时，可得，此时，可得为直角三角形； 当时，此时（不成立，舍去）； 综上可得，为直角三角形. 3．（23-24高一下·江苏扬州·期中）已知的内角的对边分别为，且． (1)求的值； (2)给出以下三个条件：①；②；③．这三个条件中仅有两个正确，请选出这两个正确的条件并回答下面的问题： ①求边的值； ②求的角平分线的长． 【答案】(1)；(2)①；②. 【解析】（1）因为，所以， 所以，，因为，所以. （2）因为为钝角，所以为最大边，故②不正确，①和③正确. 由余弦定理可得，又，所以. 由可得，所以. ，所以. 4．（22-23高一下·湖北武汉·期中）已知的内角，A，B，C的对边为a，b，c，且． (1)求； (2)若的面积为为内角A的角平分线，交边于点D，求线段长的最大值． 【答案】(1)；(2)2 【解析】（1）由正弦定理，得，即，故. （2）由（1）知， 因为的面积为，所以，解得， 又因为， 所以． 于是, 那么． 所以（当且仅当时等号成立） 故的最大值为2． 5．（22-23高一下·云南·期末）在中，角所对的边分别为，且满足. (1)求角A； (2)若为的中点，且的角平分线交于点，且，求边长. 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）因为， 所以， 因为，所以， 所以由正弦定理得， 因为，所以， 所以， 所以，所以， 所以，所以， 因为，所以， （2）因为，的角平分线交于点，所以， 因为，所以， 所以，所以， 因为为的中点，且， 所以，所以， 所以，所以， 所以，所以，解得或（舍去）， 所以 所以由余弦定理得， 所以 四．三角形的高线应用 1．（23-24高一下·江苏无锡·月考）在中，角所对的边分别为，已知. (1)若，求角的大小； (2)若，求边上的高. 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）由正弦定理，，即， 因，故,即是锐角，故； （2）如图，由余弦定理，， 知角是锐角，则， 作于点，在中，, 即边上的高是. 2．（23-24高一下·山西运城·月考）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且. (1)求A； (2)已知，D是边BC的中点，且，求AD的长. 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）由正弦定理及，得， 再由余弦定理得，即， 因为，所以. （2）因为是边的中点，所以. 由（1）知，因为，所以， 故，故. 由余弦定理得， 故，因为，所以，. 在中，，， 所以，即的长为. 3．（23-24高三上·广东佛山·月考）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，D是BC上的中点，. (1)求的大小； (2)E是AB上一点，，求DE的长度. 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）设，则，因为，，所以， 在中，由余弦定理可得① 在中，由余弦定理可得② 由①②得，，，， 所以， 又因为，所以，所以. （2）由（1）知，，，且，所以. 4．（23-24高一下·河南安阳·月考）在中角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． (1)求角C的大小； (2)若，，CH为AB边上的高，H为垂足，，其中m，，求的值． 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）中，，由正弦定理和同角三角函数的商数关系， 得，由倍角公式得． 又因为为的内角，所以，， 所以． 所以，，则有，得． （2），，如图， 则， 所以， 由题意知，所以， 即． 所以，所以． 5．（23-24高一下·广东广州·月考）在中，角的对边分别是，且满足． (1)求； (2)若是边上的高，求的最大值． 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）因为，由正弦定理， 得，即， 因为，所以，所以，则． （2）因为，由余弦定理，即， 所以当且仅当时取等号， 所以，则，当且仅当时取等号， 所以，又， 所以， 故的最大值为． 五．多三角形与四边形解三角形 1．（23-24高一下·广东佛山·期中）四边形中，，记，，的角平分线与相交于点，且，. (1)求的大小； (2)求的值. 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）在中，由正弦定理得，所以， 因为，两式相除得，所以， 又因为，可得，所以. （2）因为，所以， 又因为平分，可得， 因为，且，， 所以， 即，解得， 在中，由余弦定理得 ，所以. 2．（23-24高一下·北京·期中）如图，在梯形ABCD中，，， (1)求； (2)求BC的长． 【答案】(1)；(2). 【解析】（1）在中，，，则、均为锐角， 则，， . （2）在中，由正弦定理得，， 由，得， 在中，由余弦定理得， 所以. 3．（23-24高一下·山东聊城·月考）如图，在平面四边形ABCD中，E为线段BC的中点，． (1)若，求AE； (2)若，求AE的最大值． 【答案】(1)；(2). 【解析】（1）在四边形中，由，得，过作交于， 由，得，则四边形是平行四边形，， 而，因此，， 在中，由余弦定理得. （2）连接，由，，得， 设，， 在中，由正弦定理，得， 在中，由余弦定理得 ，其中锐角由确定，显然， 则当时，，即， 所以AE的最大值为. 4．（23-24高一下·福建莆田·期中）记的内角，，的对边分别为，，，已知． (1)求； (2)设，若点是边上一点，，且，求，． 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）因为， 由正弦定理可得， 即， 所以， 因为，所以， 所以，又，所以． （2）如图所示：因为，，所以，． 又，所以． 在中，由余弦定理得，即．① 又，即， 所以， 两边平方得，即， 所以．② ②－①得，所以， 代入①得（负值已舍去）． 5．（23-24高一下·湖北武汉·月考）如图，的内角的对边分别为，已知，为线段上一点，且． (1)求角； (2)若，求面积的最大值； (3)若，求． 【答案】(1)；(2)；(3) 【解析】（1）因为， 由正弦定理可得， 即， 所以， 所以， 又，所以，所以， 即， 又，所以，则. （2）因为， 所以， 所以 即， 解得，当且仅当即、时等号成立. 故，当且仅当即、时等号成立. 所以面积的最大值为． （3）设，，则，， 在中由正弦定理，即， 在中由正弦定理，即， 所以， 即， 即， 又，则， 即，解得， 即. 六．角度或三角值的最值范围 1．（23-24高一下·贵州贵阳·月考）锐角，角的对边分别是.已知. (1)求； (2)求的取值范围. 【答案】(1)；(2)的取值范围为. 【解析】（1）由正弦定理可得，为的外接圆半径， 所以， 所以，可化为， 所以， 因为为锐角三角形，所以，所以， 所以，即，所以； （2）因为为锐角三角形， 所以，，所以， 因为， 所以， 所以， 因为，所以，所以， 所以的取值范围为. 2．（22-23高一下·河南南阳·月考）记的内角的对边分别为，分别以为直径的三个半圆的面积依次为，已知，． (1)求的面积； (2)求的最大值． 【答案】(1)；(2)． 【解析】（1）因为，可得，解得， 由余弦定理得，解得， 所以． （2）由正弦定理可得，可得，， 所以， 又由余弦定理得， 当且仅当时取等号， 所以，即的最大值为． 3．（23-24高一下·河南周口·月考）在锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知. (1)求角C； (2)求的取值范围. 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）因为， 由余弦定理，，整理得： ， 又由正弦定理，，而A为三角形内角，故， 故，而C为锐角三角形内角，故 （2）由（1）知， ， 因为三角形为锐角三角形，故，解得：， 则，故，所以. 故的取值范围是. 4．（23-24·河北沧州·模拟预测）已知在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且． (1)求C； (2)求的最大值． 【答案】(1)；(2). 【解析】（1）在中，由及正弦定理得， 即，由余弦定理得， 而，所以. （2）由（1）知，，由正弦定理得， 而，因此，当且仅当时取等号， 于是，解得， 在中，，由，得， 所以当时，取得最大值． 5．（23-24高一下·福建福州·期中）中，内角、、的对边分别为、、，且. (1)若，试判断的形状，并说明理由； (2)若，则的面积为，求，的值； (3)若为锐角三角形，求的取值范围. 【答案】(1)直角三角形，理由见解析；(2)；(3) 【解析】（1）因为， 解法一：因为， 可得， 且，则，可得， 则，可得， 且，则，可得， 又因为，所以； 解法二：可得整理得， 由正弦定理可得， 由余弦定理可得， 又因为，所以； 若，即，且，可得，， 所以为直角三角形. （2）因为，则，解得， 由余弦定理可得， 即，可得，所以. （3）因为 . 因为，且三角形是锐角三角形，则，解得， 则，可得， 则， 所以的取值范围为. 七．边长或周长的最值范围 1．（23-24高一下·云南·月考）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知. (1)求角C的大小； (2)若，求的取值范围. 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）因为，所以， 即，由正弦定理， 因，则得， 又，故，因为，所以. （2）由正弦定理得， 所以，，所以. 由，得， 故， 因为，，所以， 所以，即的取值范围为. 2．（23-24高一下·江苏盐城·月考）已知锐角的内角A，B，C所对的边分别为，向量，，且. (1)求角C的值； (2)若，求的取值范围. 【答案】(1)；(2). 【解析】（1）因为， 所以， 方法一：利用正弦定理角化边得， 又，，则， 又为锐角三角形，故. 方法二：由和差公式可得， 又因为，所以， 又为锐角三角形，故. （2）由正弦定理得， ， 由于为锐角三角形，则， 又，解得， 方法一：所以 ， 而，即， ，故的取值范围为. 方法二：所以，所以， 又，所以， 由余弦定理得， 记， 易知在上单调递增， 所以，即， 所以的取值范围为. 3．（23-24高一下·福建厦门·月考）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量，，且，外接圆面积为 (1)求A； (2)求周长的最大值. 【答案】(1)；(2)9 【解析】（1）已知向量， 则，则， 所以，则， 所以， 又，故且，所以， 又，则； （2）由（1）知：，则， 由正弦定理可得：的外接圆半径为，则，即， 所以， 则，当且仅当且，即时等号成立， 故三角形周长的最大值为 4．（23-24高一下·山西·月考）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知. (1)求角B的大小； (2)若，，求周长的取值范围. 【答案】(1)或；(2) 【解析】（1）由正弦定理和得： ， 故， 又，所以，即， 又，所以或. （2）若，则, 所以由（1），又， 所以由正弦定理得， 所以， 又由上，所以， 所以， 所以，即周长的取值范围为. 5．（23-24高一下·辽宁·期中）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，. (1)求角B的大小； (2)若，求的取值范围. 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）因为，， 由正弦定理得，即， 由余弦定理得， 因为，所以； （2）由正弦定理得，所以， 由（1）得， 故 因为，所以，故，所以，， 故，则. 八．面积的最值范围 1．（23-24高一下·吉林长春·期中）的内角的对边分别为，设 (1)求B； (2)若，试判断的形状； (3)若，求锐角的面积的取值范围. 【答案】(1)；(2)为等边三角形；(3) 【解析】（1）因为， 由正弦定理可得， 因为，则，可得，即，所以. （2）由（1）知， 由余弦定理可得：， 又因为，即， 可得，整理得，即， 又，所以为等边三角形. （3）因为是锐角三角形， 由（1）知且，可得， 因为，所以， 由三角形面积公式得， 又由正弦定理且， 所以， 因为，所以，所以，则， 所以， 即面积的取值范围为. 2．（23-24高一下·四川·期中）锐角的内角的对边分别为，已知 (1)求角的值； (2)若求面积的取值范围． 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）及正弦定理， ， ， ,即， 又，. （2）在中，由正弦定理定理，可得， 是锐角三角形，，解得， 由，得， 所以，于是有， 故面积的取值范围为. 3．（23-24高一下·新疆乌鲁木齐·月考）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，点D在AC上，且，． (1)求角B； (2)求面积的最大值． 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）因为， 由余弦定理可得，整理得，所以， 又，所以； （2）因为， 所以， 故， 即，所以， 当且仅当，即时取等号， 所以， 所以面积的最大值为． 4．（22-23高一下·福建泉州·期末）在平面四边形中，点在直线的两侧，，，四个内角分别用表示，. (1)求； (2)求与的面积之和的最大值. 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）在中，由余弦定理得，解得：， ，即，. （2）设，则， ，，四点共圆，且为该圆的直径， ，， ，， 在中，，， .    ，，， ，当，即时，， 故与的面积和的最大值为.    5．（22-23高一下·安徽合肥·月考）已知为锐角三角形，角所对的边分别为，且． (1)求的取值范围； (2)若，求面积的取值范围． 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）因为， 由正弦定理可得：，则， 所以或，即或， 所以， 因为为锐角三角形，可得，即， 解得：，所以，，， 故的取值范围为. （2）在中，由正弦定理可得， 又，， ， 因为， 当时，， 当时，， 又，在上单调递增， 当时，的面积最小，最小值为. 综上所述，三角形面积的最小值为. 九．三角形的外接圆与内切圆 1．（23-24·全国·模拟预测）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且． (1)求； (2)若，求内切圆半径取值范围． 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）由题意得， 即，，故． （2）因为，为内切圆半径， 所以． 设，则， 又因为，，，， 所以三角形内切圆半径的取值范围为． 2．（23-24高一下·江苏·专题练习）已知中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且. (1)求A (2)若，求内切圆周长的最大值. 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）由已知， 由正弦定理可得. 又，， 得， 上式化简得， 所以，因为，所以； （2）由余弦定理可得，得到，所以. 设内切圆的半径为，， 所以， 又， 又，，且，则， ，， 所以， 故内切圆周长为，最大值为. 3．（23-24·全国·模拟预测）已知中，角，，的对边分别是，，，． (1)求角的大小； (2)若，外接圆的半径为，内切圆半径为，求的最小值． 【答案】(1)；(2)2 【解析】（1）由及正弦定理， 得， 故， 即， 即． 由，则，故，即． 因为，所以． （2）由（1）和余弦定理可得，， 故，， 即，当且仅当时等号成立． 故． 由利用等面积法求得的最大值，易知， 故，故， 利用正弦定理，所以的最小值为2． 4．（22-23高一下·河南平顶山·期末）如图所示，四边形的外接圆为圆. (1)求； (2)若，求的长. 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）由，可得. 设， 在中，由余弦定理得，即，解得（舍去）或， 由正弦定理得. （2）， 由已知得， 设. 在中，由余弦定理得， ，即.. 5．（23-24高一下·湖北·月考）如图所示，圆内接四边形中，，为圆周上一动点，. (1)求四边形ABCD周长的最大值; (2)若，求AC的长. 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）方法1、连接BD，因为，所以， 在中，由余弦定理得，解得， 设，则， 再在中，由正弦定理得， 所以， 所以， 当且仅当时，周长的最大值为. 方法2、连接BD，因为，所以， 在中，由余弦定理得，可得， 在中，由余弦定理得 所以， 因为当且仅当时等号成立， 所以， 所以周长的最大值为. （2）依题意得，设， 在中由余弦定理得，可得， 所以，解得，所以， 可得，所以， 在中，由正弦定理，所以， 则， 在中，由余弦定理得， 所以. 十．解三角形新定义问题 1．（23-24高一下·安徽·月考）已知在任意一个三角形的三条边上分别向外做出三个等边三角形，则这三个等边三角形的中心也构成一个等边三角形;我们称由这三个等边三角形中心构成的三角形为其外拿破仑三角形．在锐角中，角所对的边分别为且，以的边分别向外作的三个等边三角形的中心分别记为，且的面积为，记为的外接圆半径． (1)若，求; (2)若，求面积的取值范围． 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）由得，因为为锐角三角形，所以， 连接，如图所示， 由等边三角形中心的位置可知，故， 又，则，且，同理， 由得， 又，则， . （2）因为，即， 又，所以，则， 则， 由，，得，由，有， 为锐角三角形，得，所以， 得，所以． 2．（23-24高一下·安徽安庆·月考）著名的费马问题是法国数学家皮埃尔·德·费马（1601－1665）于1643年提出的平面几何极值问题：“已知一个三角形，求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小”费马问题中的所求点称为费马点，已知对于每个给定的三角形，都存在唯一的费马点，当△ABC的三个内角均小于120°时，则使得的点P即为费马点．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为，且．若是的“费马点”，． (1)求角； (2)若，求的周长； (3)在（2）的条件下，设，若当时，不等式恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)；(2)；(3)． 【解析】（1）由已知，得， 由正弦定理，得， 即，即， 由于，所以，所以. （2）设， 则． 所以，由得： ，即， 由余弦定理得，， 即，即， 又，联立解得． 所以的周长为. （3）设， 由（2）在中，由余弦定理得， 联立求解可得， 所以， 所以，， 即，令， 由对勾函数性质知在上单调递减， 所以．即的取值范围为． 3．（23-24高一下·山东·月考）克罗狄斯托勒密（约90-168年）是希腊著名的数学家、天文学家和地理学家.他一生有很多发明和贡献，其中托勒密定理和托勒密不等式是欧几里得几何中的重要定理.托勒密不等式内容如下：在凸四边形中，两组对边乘积的和大于等于两对角线的乘积，即，当四点共圆时等号成立.已知凸四边形中，. (1)当为等边三角形时，求线段长度的最大值及取得最大值时的边长； (2)当时，求线段长度的最大值. 【答案】(1)，的边长为；(2) 【解析】（1）设，因为，所以， 所以，当四点共圆时等号成立，因为，， 在中，， 所以，所以的边长为； （2）设，在中， 因为， 所以，所以， 因为.所以， 当且仅当时等号成立， 因为，所以， 所以， 由，故， 因为，， 所以，所以. 4．（23-24高一下·山东济宁·期中）在中，，，对应的边分别为，，， (1)求； (2)若为线段内一点，且，求线段的长； (3)法国著名科学家柯西在数学领域有非常高的造诣；很多数学的定理和公式都以他的名字来命名，如对于任意的，都有被称为柯西不等式；在（1）的条件下，若，求：的最小值； 【答案】(1)；(2)；(3)48 【解析】（1）因为 所以， 由正弦定理，所以即：， 又，所以； （2）（方法一）因为，所以， 所以， 所以， 及 （方法二）以AB所在的直线为轴，A为坐标原点建立坐标系，如图， 则 则： 所以； （3）根据柯西不等式： （当且仅当为正三角形时取等号） 即：的最小值为48. 5．（23-24高一下·重庆·期中）在中，角A，，对应的边分别为，，，． (1)求角A； (2)法国著名数学家奥古斯丁路易斯柯西（AugustinLouisCauchy，1789年－1857年）在数学领域有非常高的造诣．很多数学的定理和公式都以他的名字来命名，如柯西不等式、柯西积分公式．其中柯西不等式在解决不等式证明的有关问题中有着广泛的应用． ①柯西不等式的二维形式是对于任意的，，，，有．请证明上述不等式，并写出等号取到的条件； ②请用柯西不等式的二维形式求的最大值，并写出等号取到的条件； ③在（1）的条件下，若，是内一点，过作，，垂线，垂足分别为，，，借助于三维分式型柯西不等式：，，，当且仅当时等号成立．求的最小值． 【答案】(1)；(2)①证明见解析；②答案见解析；③ 【解析】（1）因为， 由正弦定理得， 由余弦定理得，即， 若，等式不成立，则，可得， 因为，所以. （2）①设， 因为， 当且仅当，即共线时，等号成立， 所以，当且仅当时，等号成立； ②令， 则， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 且，可得， 所以的最大值为3，当且仅当时，等号成立； ③. 又， 所以. 由三维分式型柯西不等式有. 当且仅当即时等号成立. 由余弦定理得， 所以即，则. 令，则 因为，解得，当且仅当时等号成立. 所以.则. 令，则在上递减， 当即时，有最大值，此时有最小值. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司2 学科网（北京）股份有限公司 $$