专题03 平面向量的数量积常考题型归类（考题猜想，10题型）-2023-2024学年高一数学下学期期末考点大串讲（人教B版2019必修第三册）

专题03 平面向量的数量积 一．向量数量积的运算律 1．（23-24高一下·河南周口·月考）设向量，的夹角的余弦值为，，，则（   ） A．-23 B．23 C．-27 D．27 2．（23-24高一下·广东东莞·月考）对任意向量，下列向量运算一定成立的是（    ） A．若，则 B． C．若，则 D． 3．（23-24高一下·四川成都·期中）以下等式错误的是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高一下·安徽·月考）（多选）下列关于平面向量的运算中，错误的是（    ） A． B． C． D．若，则 5．（23-24高一下·江西·月考）（多选）已知是三个非零向量，则下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 二．坐标法求向量的数量积 1．（12-13高一上·黑龙江牡丹江·期末）已知，若，则（　　） A．6 B．5 C．4 D．3 2．（23-24高一下·重庆·期中）已知向量，，，若，则（    ） A． B．24 C． D．12 3．（23-24高一下·江苏·月考）在中，满足，则 ． 4．（23-24高一下·江苏南通·期中）在矩形ABCD中，已知，，点P在CD边上，满足，则（    ） A． B．0 C． D． 5．（23-24高一下·甘肃天水·期中）如图，在边长为4的正方形ABCD中，M，N分别为线段BC，DC上的点，且，，则的值为 . 三．基底法求向量的数量积 1．（23-24高一下·天津·月考）在平行四边形中，，，，点在上，满足，则 . 2．（23-24高一下·江苏南京·期中）在平行四边形中，，则 （    ） A．12 B．16 C．14 D．10 3．（23-24搞一下·四川南充·月考）如图，在边长为3的正三角形中，，，则（    ） A． B．3 C． D．2 4．（23-24高一下·江西景德镇·期中）如图，在平面四边形ABCD中，，，，．若点M为边BC上的中点，则的值为（ ） A． B．6 C．8 D．12 5．（23-24高一下·安徽·月考）如图所示，中，，，，，则（    ） A． B． C． D． 四．向量的投影求解 1．（23-24高一下·吉林长春·期中）已知向量与的夹角为，则在上的投影向量的模为 2．（23-24高一下·云南·月考）已知向量，，则向量在方向上的投影向量的坐标为 . 3．（23-24高一下·河北邢台·期中）已知平面向量，则向量在方向上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 4．（23-24高一下·江苏连云港·期中）已知向量，则在方向上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 5．（23-24高一下·山东淄博·期中）已知是的外心，，，则向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 五．利用数量积求向量夹角 1．（23-24高一下·天津·月考）已知与，它们的夹角为（    ） A．90° B．45°或135° C．135° D．45° 2．（23-24高一下·河南·期中）在四边形中，，且，则（   ） A． B． C． D． 3．（23-24高一下·辽宁·期中）已知向量，，，满足（），且，若为，的夹角，则的值是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高一下·安徽安庆·月考）已知平面内非零向量在向量上的投影向量为，且，则与夹角的余弦值为 ． 5．（23-24高一下·湖北·月考）已知向量满足，且，则（    ） A． B． C． D． 六．根据向量夹角求参数 1．（23-24高一下·上海·月考）已知，若与夹角为锐角，则实数的取值范围为 ． 2．（23-24高一下·江苏盐城·期中）设 ， 且的夹角为钝角，实数的取值范围是 . 3．（23-24高一下·江苏南京·月考）已知向量，，若，的夹角为钝角，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高一下·浙江·期中）已知向量，且与的夹角为． (1)求和； (2)若向量与所成的角是锐角，求实数的取值范围． 5．（23-24高一下·河南濮阳·月考）已知向量，，向量满足，且. (1)求的坐标； (2)若与的夹角为钝角，求实数的取值范围. 七．利用数量积求向量的模长 1．（23-24高一下·江西赣州·期中）已知向量，向量满足，则（   ） A． B． C． D． 2．（23-24高一下·山东青岛·期中）如果，，，则的值是（    ） A．1 B．2 C． D． 3．（2024·江苏扬州·模拟预测）已知向量，满足，，且与的夹角为，则（    ） A． B． C．1 D．13 4．（23-24高一下·云南·月考）已知平面向量，则 ． 5．（23-24高一下·北京顺义·期中）已知非零向量，，满足：，，，，则 ． 八．数量积与向量垂直关系 1．（23-24高一下·重庆璧山·月考）已知向量，，且，则（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一下·河北保定·月考）已知单位向量与的夹角为，则（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一下·广东茂名·月考）已知向量，若，则 . 4．（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·期中）已知，，,的夹角，若，则 ． 5．（23-24高一下·山西运城·月考）已知向量，满足，，. (1)求在上的投影向量； (2)若向量与垂直，求实数的值. 九．向量数量积的最值与范围 1．（23-24高一下·四川泸州·期中）在梯形ABCD中，，，，E为的中点，F为上的动点（含端点），则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一下·山西运城·月考）已知正六边形ABCDEF的边长为4，点P为边DE上的一个动点（含端点），则的取值范围是 . 3．（23-24高一下·安徽合肥·期中）如图，某公园内有一块边长为2个单位的正方形区域市民健身用地，为提高安全性，拟在点处安装一个可转动的大型探照灯，其照射角始终为（其中，分别在边，上），则的取值范围 . 4．（23-24高一下·辽宁朝阳·期中）已知| ，，，则的最大值为（    ） A．2 B． C．3 D．4 5．（23-24高一下·山西忻州·月考）已知，且，则的取值范围是 . 十．向量的新定义问题 1．（23-24高一下·山东淄博·期中）已知两个非零向量与的夹角为，我们把数量叫作向量与的叉乘的模，记作，即.若向量，，则（    ） A． B．10 C． D．2 2．（23-24高一下·福建福州·期中）（多选）定义:已知两个非零向量的夹角为，把两个向量的叉乘记作:，则以下说法正确的是（   ） A．若，则 B． C．若四边形ABCD为平行四边形，则它的面积等于 D．若，则的最小值为 3．（23-24高一下·重庆璧山·月考）对任意两个非零向量，，定义： (1)若向量，，求的值； (2)若单位向量，满足，求向量与的夹角的余弦值； (3)若非零向量，满足，向量与的夹角是锐角，且是整数，求的取值范围． 4．（23-24高一下·福建泉州·期中）设非零向量，并定义 (1)若，求； (2)写出之间的等量关系，并证明； (3)若，求证：集合是有限集. 5．（23-24高一下·甘肃天水·期中）对于数集，其中，.定义向量集.若对于任意，存在，使得，则称具有性质.定义向量集的子集，若存在不相等的向量，，使得，且具有性质，则称为“向量伴随数集”. (1)已知数集，请你写出数集对应的向量集，并验证是否具有性质； (2)已知数集，请你写出数集对应的向量集，并验证是否具有性质； (3)若，且具有性质，写出的值（不需要写出解析过程），并说明是否为“向量伴随数集”. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 平面向量的数量积 一．向量数量积的运算律 1．（23-24高一下·河南周口·月考）设向量，的夹角的余弦值为，，，则（   ） A．-23 B．23 C．-27 D．27 【答案】B 【解析】设与的夹角为，则， 又，，所以， 所以．故选：B. 2．（23-24高一下·广东东莞·月考）对任意向量，下列向量运算一定成立的是（    ） A．若，则 B． C．若，则 D． 【答案】D 【解析】例如，可知，但，故A错误； 可知，即，故B错误； 例如，可知，但，故C错误； 对于选项D：由数量积的运算律可得，故D正确；故选：D. 3．（23-24高一下·四川成都·期中）以下等式错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】对于A，正确； 对于B，，正确； 对于C，设，则， 所以，则，而， 所以，则，错误； 对于D，，正确.故选：C 4．（23-24高一下·安徽·月考）（多选）下列关于平面向量的运算中，错误的是（    ） A． B． C． D．若，则 【答案】BCD 【解析】因为，故A正确； 因为，，而，故B错误； 因为表示与共线的向量，表示与共线的向量， 而与不一定共线，且与不一定相等，故C错误； 若，且，则与是任意向量，故D错误.故选：BCD. 5．（23-24高一下·江西·月考）（多选）已知是三个非零向量，则下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】BCD 【解析】A：由，所以，不一定有，故A错误； B：因为，所以，即． 得，所以，故B正确； C：因为，所以，即， 得，故与反向，所以，故C正确： D：因为．所以存在实数，使得， 此时， 即，故D正确．故选：BCD． 二．坐标法求向量的数量积 1．（12-13高一上·黑龙江牡丹江·期末）已知，若，则（　　） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】C 【解析】因为，所以， 又，，所以，解得.故选：C. 2．（23-24高一下·重庆·期中）已知向量，，，若，则（    ） A． B．24 C． D．12 【答案】A 【解析】因为，故，故，故，， 故.故选：A 3．（23-24高一下·江苏·月考）在中，满足，则 ． 【答案】 【解析】在中，由，可得，所以为直角三角形， 以为原点，以所在的直线分别为轴，建立平面直角坐标系， 如图所示，则，可得， 所以. 4．（23-24高一下·江苏南通·期中）在矩形ABCD中，已知，，点P在CD边上，满足，则（    ） A． B．0 C． D． 【答案】C 【解析】如图建立平面直角坐标系，， 设，则， 所以，得， 所以， 所以.故选：C. 5．（23-24高一下·甘肃天水·期中）如图，在边长为4的正方形ABCD中，M，N分别为线段BC，DC上的点，且，，则的值为 . 【答案】 【解析】建立如图所示的直角坐标系， 由于，， 所以， 故，, . 三．基底法求向量的数量积 1．（23-24高一下·天津·月考）在平行四边形中，，，，点在上，满足，则 . 【答案】/ 【解析】因为平行四边形中，，，，点在上，满足， 所以，， ， 所以, 2．（23-24高一下·江苏南京·期中）在平行四边形中，，则 （    ） A．12 B．16 C．14 D．10 【答案】A 【解析】，， 所以 .故选：A. 3．（23-24搞一下·四川南充·月考）如图，在边长为3的正三角形中，，，则（    ） A． B．3 C． D．2 【答案】C 【解析】由题意知，， 则， 所以.故选：C. 4．（23-24高一下·江西景德镇·期中）如图，在平面四边形ABCD中，，，，．若点M为边BC上的中点，则的值为（ ） A． B．6 C．8 D．12 【答案】B 【解析】由，，得， 由，，得， ， ，， 所以 故选：B 5．（23-24高一下·安徽·月考）如图所示，中，，，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意， ， . 在中，由余弦定理得. 所以 .故选：A. 四．向量的投影求解 1．（23-24高一下·吉林长春·期中）已知向量与的夹角为，则在上的投影向量的模为 ； 【答案】2 【解析】在上的投影向量的模为为 . 2．（23-24高一下·云南·月考）已知向量，，则向量在方向上的投影向量的坐标为 . 【答案】 【解析】依题意，， 所以向量在方向上的投影向量为. 3．（23-24高一下·河北邢台·期中）已知平面向量，则向量在方向上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】平面向量， ， 所以向量在上的投影向量为．故选：C． 4．（23-24高一下·江苏连云港·期中）已知向量，则在方向上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由，得， 所以在方向上的投影向量为.故选：A 5．（23-24高一下·山东淄博·期中）已知是的外心，，，则向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由，可知点在的中点，且是的外心， 所以，又因为，则，则， 所以向量在向量上的投影向量为.故选：C 五．利用数量积求向量夹角 1．（23-24高一下·天津·月考）已知与，它们的夹角为（    ） A．90° B．45°或135° C．135° D．45° 【答案】D 【解析】设与的夹角为，则， 因为，所以，故选：D 2．（23-24高一下·河南·期中）在四边形中，，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】，，则且， 又，，所以，则， 所以四边形为直角梯形， 如图，以点为坐标原点，分别为轴建立平面直角坐标系， 则，，，所以，， 所以.故选：B. 3．（23-24高一下·辽宁·期中）已知向量，，，满足（），且，若为，的夹角，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为，可得， 所以，可得， 所以，可得， 不妨令分别为且， 所以，即， 因为且，经检验可得，此时.故选：A. 4．（23-24高一下·安徽安庆·月考）已知平面内非零向量在向量上的投影向量为，且，则与夹角的余弦值为 ． 【答案】 【解析】设与的夹角为， 因为，即，又， 则，即． 5．（23-24高一下·湖北·月考）已知向量满足，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，所以，所以， 即，所以，即， ，，，即； ，，，即； ， ， ， 所以.故选：D 六．根据向量夹角求参数 1．（23-24高一下·上海·月考）已知，若与夹角为锐角，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【解析】已知， 当时，有，此时与方向相同， 若与夹角为锐角，则且与不同向， 即，解得且， 所以实数的取值范围为. 2．（23-24高一下·江苏盐城·期中）设 ， 且的夹角为钝角，实数的取值范围是 . 【答案】 【解析】因为的夹角为钝角，则且不共线， 可得，解得且， 所以实数的取值范围是. 3．（23-24高一下·江苏南京·月考）已知向量，，若，的夹角为钝角，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为，，，的夹角为钝角， 所以，解得，且， 即的取值范围是，故选：B 4．（23-24高一下·浙江·期中）已知向量，且与的夹角为． (1)求和； (2)若向量与所成的角是锐角，求实数的取值范围． 【答案】(1)，；(2)． 【解析】（1）向量，且与的夹角为． 则，，， 由，有，解得， 所以，得． （2）， 由题意，得， 又，， 若与共线，则有，解得， 此时与同向平行，不合题意， 所以且． 则实数的取值范围为． 5．（23-24高一下·河南濮阳·月考）已知向量，，向量满足，且. (1)求的坐标； (2)若与的夹角为钝角，求实数的取值范围. 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）设，则， 又，且， 所以，解得，所以 （2）因为， 因为与的夹角为钝角， 则，解得且， 所以实数的取值范围为. 七．利用数量积求向量的模长 1．（23-24高一下·江西赣州·期中）已知向量，向量满足，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设，则，解得， 即，所以．故选：A． 2．（23-24高一下·山东青岛·期中）如果，，，则的值是（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】A 【解析】因为，，， 所以，故选：A. 3．（2024·江苏扬州·模拟预测）已知向量，满足，，且与的夹角为，则（    ） A． B． C．1 D．13 【答案】B 【解析】根据题意，， 则.故选：B 4．（23-24高一下·云南·月考）已知平面向量，则 ． 【答案】/ 【解析】因为， 所以，解得， 则，可得，所以． 5．（23-24高一下·北京顺义·期中）已知非零向量，，满足：，，，，则 ． 【答案】/ 【解析】因为，， 不妨设，， 由，得； 由，得；所以. 八．数量积与向量垂直关系 1．（23-24高一下·重庆璧山·月考）已知向量，，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为向量，，可得， 因为，所以，解得：，故选：C 2．（23-24高一下·河北保定·月考）已知单位向量与的夹角为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】依题意，， 由，得，所以.故选：C 3．（23-24高一下·广东茂名·月考）已知向量，若，则 . 【答案】 【解析】由向量， 因为，可得，解得. 4．（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·期中）已知，，,的夹角，若，则 ． 【答案】 【解析】由，以及可得， 由 可得，解得. 5．（23-24高一下·山西运城·月考）已知向量，满足，，. (1)求在上的投影向量； (2)若向量与垂直，求实数的值. 【答案】(1)；；(2). 【解析】（1）， 所以在上的投影向量为. （2）由向量与垂直，得， 整理得，即， 所以. 九．向量数量积的最值与范围 1．（23-24高一下·四川泸州·期中）在梯形ABCD中，，，，E为的中点，F为上的动点（含端点），则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】以A为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系， 则，，，，，， 所以， 因为的取值范围是，所以的取值范围是故选：D． 2．（23-24高一下·山西运城·月考）已知正六边形ABCDEF的边长为4，点P为边DE上的一个动点（含端点），则的取值范围是 . 【答案】 【解析】建系如图，则，，设， 因为点是边上的一点，则，，， 则. 3．（23-24高一下·安徽合肥·期中）如图，某公园内有一块边长为2个单位的正方形区域市民健身用地，为提高安全性，拟在点处安装一个可转动的大型探照灯，其照射角始终为（其中，分别在边，上），则的取值范围 . 【答案】 【解析】设, 则，. 以点为坐标原点,所在直线分别为轴建立坐标系, 则，, 所以. 令，，则，. 由对勾函数的性质可得在上单调递减，在上单调递增， 所以. 又，所以在上的值域为， 所以. 4．（23-24高一下·辽宁朝阳·期中）已知| ，，，则的最大值为（    ） A．2 B． C．3 D．4 【答案】A 【解析】由，得，即，则， 因此， 而，所以当时，取得最大值2．故选：A 5．（23-24高一下·山西忻州·月考）已知，且，则的取值范围是 . 【答案】 【解析】由，得， 则，当且仅当共线时取等号， 两边平方得，即，解得， 所以的取值范围是. 十．向量的新定义问题 1．（23-24高一下·山东淄博·期中）已知两个非零向量与的夹角为，我们把数量叫作向量与的叉乘的模，记作，即.若向量，，则（    ） A． B．10 C． D．2 【答案】B 【解析】若向量，，则， ，则， .故选：B 2．（23-24高一下·福建福州·期中）（多选）定义:已知两个非零向量的夹角为，把两个向量的叉乘记作:，则以下说法正确的是（   ） A．若，则 B． C．若四边形ABCD为平行四边形，则它的面积等于 D．若，则的最小值为 【答案】ACD 【解析】对于A，由，得，而，因此， 又，则或，所以，A正确； 对于B，，当时，， 当时，，B错误； 对于C，的面积，C正确； 对于D，由，得，由，得， 两式平方相加得，则， 当且仅当时取等号，D正确.故选：ACD 3．（23-24高一下·重庆璧山·月考）对任意两个非零向量，，定义： (1)若向量，，求的值； (2)若单位向量，满足，求向量与的夹角的余弦值； (3)若非零向量，满足，向量与的夹角是锐角，且是整数，求的取值范围． 【答案】(1)；(2)；(3) 【解析】（1）因为，，所以， 所以， 故的值为. （2）因为向量、是单位向量，所以，， 由， 可得，解得， 由，可得， ， 故向量与的夹角的余弦值为. （3）设向量与的夹角为，由题意可知，则， 因为，所以，. 因为，所以，. 因为是整数，所以，所以，， 而 ，即，所以， 因为， ，所以，即， 故的取值范围为. 4．（23-24高一下·福建泉州·期中）设非零向量，并定义 (1)若，求； (2)写出之间的等量关系，并证明； (3)若，求证：集合是有限集. 【答案】(1)；(2)，证明见解析；(3)证明见解析 【解析】（1）因为，依题意得， 所以 ， 即，所以. （2）的等量关系是. 证明如下： 依题意得， 所以. 因为，所以 即， 所以， 故. （3）由（2）及得.依此类推得， 设，则. 依题意得，， ， 所以. 同理得， ， ， . 所以. 综上，集合是有限集. 5．（23-24高一下·甘肃天水·期中）对于数集，其中，.定义向量集.若对于任意，存在，使得，则称具有性质.定义向量集的子集，若存在不相等的向量，，使得，且具有性质，则称为“向量伴随数集”. (1)已知数集，请你写出数集对应的向量集，并验证是否具有性质； (2)已知数集，请你写出数集对应的向量集，并验证是否具有性质； (3)若，且具有性质，写出的值（不需要写出解析过程），并说明是否为“向量伴随数集”. 【答案】(1)，具有 (2)，具有；(3)，是 【解析】（1）因为， 所以， 因为， ， ， 即对任意，存在，使得，所以具有性质. （2）因为，则 因为， ，， ，， 即对任意，存在，使得，所以具有性质. （3）因为，设数集对应的向量集， 则， 选取（）， 则中与垂直的元素必有形式，则， 又，当时，则，不符合题意， 当时，则，不符合题意， 当时，则，不符合题意， 所以，则，解得或（舍去）， 所以，经检验时具有性质； 此时， 则子集 若取，，由，故， 即存在不相等的向量，，使得，所以是“向量伴随数集”. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司2 学科网（北京）股份有限公司 $$