精品解析：天津市双菱中学2023-2024学年高一下学期第二次月考数学试题

2023—2024双菱中学高一（下）数学 第二次月考 一、单选题：（在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.）共9小题每小题3分共27分. 1. 复数满足，则（ ） A. B. C. D. 2. 有一组样本数据：5，6，6，6，7，7，8，8，9，9.则关于该组数据的下列数字特征中，数值最大的为（ ） A. 平均数 B. 第50百分位数 C. 极差 D. 众数 3. 的内角、、的对边分别为、、，若，则等于 A. B. C. 或 D. 或 4. 已知、是两条不同的直线，、、是三个不同的平面，则下列命题正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，，则 C. 若，，则 D. 若，，，则 5. 将一个棱长为的正方体铁块磨成一个球体零件，则能制作的最大零件的体积为（ ） A. B. C. D. 6. 若，且，那么是（ ） A. 直角三角形 B. 等边三角形 C 等腰三角形 D. 等腰直角三角形 7. 为了给热爱朗读的师生提供一个安静独立的环境，某学校修建了若干“朗读亭”.如图所示，该朗读亭的外形是一个正六棱柱和正六棱锥的组合体，正六棱柱两条相对侧棱所在的轴截面为正方形，若正六棱锥与正六棱柱的侧面积之比为，则正六棱锥与正六棱柱的高的比值为（ ） A. B. C. D. 8. 如图所示，在三棱锥中，且，则下列命题正确的个数是（ ） ①平面平面 ②平面平面 ③平面平面 ④平面平面 ⑤平面平面 ⑥平面平面 A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 9. 在中，为上一点，，为上任一点，若，则最小值是 A 9 B. 10 C. 11 D. 12 二、填空题：本大题共6小题，共24分. 10. 若向量，则与平行的单位向量是________． 11. 如图，一个水平放置的正方形，它在直角坐标系中，点的坐标为，则在用斜二测画法画出的正方形的直观图中，顶点到轴的距离为______． 12. 某高校甲、乙、丙、丁四个专业分别有150，150，400，300名学生．为了解学生的就业倾向，用分层抽样的方法从该校这四个专业共抽取40名学生进行调查，应在丙专业抽取的学生人数为________． 13. 已知某6个数据的平均数为4，方差为8，现加入2和6两个新数据，此时8个数据的方差为__________． 14. 在中，，，.若，，且，则的值为______. 15. 如图，三棱锥中， ，点分别是的中点，则异面直线所成的角的余弦值是________． 三、解答题：本题共4小题，共49分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16. 天津市某中学高三年级有1000名学生参加学情调研测试，用简单随机抽样的方法抽取了一个容量为50的样本，得到数学成绩的频率分布直方图如图所示： （1）求第四个小矩形的高，并估计本校在这次统测中数学成绩不低于120分的人数； （2）求样本数据的中位数的近似值（保留1位小数）； （3）估计这1000名学生的数学平均分． 17. 在中，角，，对边分别为，，，已知． （1）求值； （2）若，，求的面积． 18. 如图，直三棱柱中，底面边长AB＝5，BC＝4，AC＝3，侧棱长为，D为BC中点，CE⊥AD，E为垂足． （1）求证：//平面； （2）求证：平面⊥平面； （3）求直线与平面所成角的正弦值． 19. 如图所示，正四棱锥中，为底面正方形的中心，侧棱与底面所成的角的正切值为. （1）求侧面与底面所成的二面角的大小； （2）若是的中点，求异面直线与所成角的正切值； （3）在（2）的条件下，问在棱上是否存在一点，使侧面，若存在，试确定点的位置；若不存在，说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023—2024双菱中学高一（下）数学 第二次月考 一、单选题：（在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.）共9小题每小题3分共27分. 1. 复数满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据复数除法的运算性质以及复数模长的计算公式代入化简求解. 【详解】由题意，，则. 故选：B. 2. 有一组样本数据：5，6，6，6，7，7，8，8，9，9.则关于该组数据的下列数字特征中，数值最大的为（ ） A. 平均数 B. 第50百分位数 C. 极差 D. 众数 【答案】A 【解析】 【分析】分别求出平均数、第50百分位数、极差、众数，即可得到答案 【详解】平均数为； ，则第50百分位数为； 极差为； 众数为 故平均数最大 故选：A. 3. 的内角、、的对边分别为、、，若，则等于 A. B. C. 或 D. 或 【答案】D 【解析】 【详解】由正弦定理得或，选D. 4. 已知、是两条不同的直线，、、是三个不同的平面，则下列命题正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，，则 C. 若，，则 D. 若，，，则 【答案】D 【解析】 【分析】用具体事物比如教室作为长方体，再根据面面平行判定定理及线面平行的判定定理判断． 【详解】对于A，比如教室的一角三个面相互垂直，故A不正确； 对于B，若，，，此时与可能相交或平行，故B不正确； 对于C，若，，此时或，由线面平行的判定定理可知，或，故C不正确； 对于D，若，，则，而，所以，故D正确. 故选：D 5. 将一个棱长为的正方体铁块磨成一个球体零件，则能制作的最大零件的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由正方体的棱长求得正方体内切球的半径，代入球的体积公式求解. 【详解】正方体的棱长为1，要使制作成球体零件的体积最大，则球内切于正方体， 则球的直径为1，半径为.所以能制作的最大零件的体积为. 故选：A. 6. 若，且，那么是（ ） A. 直角三角形 B. 等边三角形 C. 等腰三角形 D. 等腰直角三角形 【答案】B 【解析】 【分析】由给定边的关系式结合余弦定理求出角A，再由正弦定理角化边，结合边的关系式可得c=b即可推理作答. 【详解】由，得， 化简得， 所以，由余弦定理得， 因为，所以， 因， 所以，由正余弦定理角化边得，化简得， 所以，即为等边三角形． 故选：B 7. 为了给热爱朗读的师生提供一个安静独立的环境，某学校修建了若干“朗读亭”.如图所示，该朗读亭的外形是一个正六棱柱和正六棱锥的组合体，正六棱柱两条相对侧棱所在的轴截面为正方形，若正六棱锥与正六棱柱的侧面积之比为，则正六棱锥与正六棱柱的高的比值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设出正六棱柱底面边长为，可知正六棱柱的高为，再通过正六棱锥与正六棱柱的侧面积之比为可得正六棱锥的高，这样就可以得到答案. 【详解】设正六棱柱底面边长为，由题意可知正六棱柱的高为，则可知正六棱柱的侧面积为. 设正六棱锥的高为，可知正六棱锥侧面的一个三角形的边为上的高为， 所以正六棱锥的侧面积为， 由题意有， 所以六棱锥与正六棱柱的高的比值为. 故选：D. 8. 如图所示，在三棱锥中，且，则下列命题正确的个数是（ ） ①平面平面 ②平面平面 ③平面平面 ④平面平面 ⑤平面平面 ⑥平面平面 A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意可得该几何体中面，面，再根据平行、垂直的判定定理，即可得到答案； 【详解】，，，，平面，，，，； 对①，平面平面，故①正确； 对②，平面，平面平面平面，故②正确； 对③，为二面角的平面角，，故③错误； 对④，若平面平面，可过A作于，则，平面，矛盾，故假设错误，故④错误； 对⑤，为二面角的平面角，，故⑤错误； 对⑥，平面，平面平面平面，故⑥正确； 故选：A. 9. 在中，为上一点，，为上任一点，若，则的最小值是 A. 9 B. 10 C. 11 D. 12 【答案】D 【解析】 【分析】由题意结合向量共线的充分必要条件首先确定的关系，然后结合均值不等式的结论整理计算即可求得最终结果. 【详解】由题意可知：， 三点共线，则：，据此有： ， 当且仅当时等号成立. 综上可得：的最小值是12. 本题选择D选项. 【点睛】本题主要考查三点共线的充分必要条件，均值不等式求最值的方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 二、填空题：本大题共6小题，共24分. 10. 若向量，则与平行的单位向量是________． 【答案】或 【解析】 【分析】根据向量的坐标，可得，计算即可得出与平行的单位向量的坐标. 【详解】因为，所以， 则与平行的单位向量的坐标是： 或， 故答案为：或. 11. 如图，一个水平放置的正方形，它在直角坐标系中，点的坐标为，则在用斜二测画法画出的正方形的直观图中，顶点到轴的距离为______． 【答案】 【解析】 【分析】作出正方形的直观图，再结合斜二测画法的规则计算可得. 【详解】作出正方形的直观图如图所示： 因为，， 所以顶点到轴的距离为． 故答案为： 12. 某高校甲、乙、丙、丁四个专业分别有150，150，400，300名学生．为了解学生的就业倾向，用分层抽样的方法从该校这四个专业共抽取40名学生进行调查，应在丙专业抽取的学生人数为________． 【答案】16 【解析】 【详解】试题分析：因为高校甲乙丙丁四个专业分别有名学生，所以本校共有学生名，因为用分层抽样的方法从该校四个专业共抽取名学生进行调查，所以每个个体被抽到的概率是，因为丙专业有人，所以要抽取人． 考点：分层抽样． 13. 已知某6个数据的平均数为4，方差为8，现加入2和6两个新数据，此时8个数据的方差为__________． 【答案】 【解析】 【分析】利用方差公式计算即可得到结果． 【详解】设原数据为，则，. 加入2和6两个新数据后，所得8个数据的平均数为， 所得8个数据的方差为． 故答案为：7 14. 在中，，，.若，，且，则的值为______. 【答案】2 【解析】 【分析】结合已知，用表示，然后结合向量数量积的运算性质即可求解． 【详解】∵，， ∴. ， ∵， ∴， 则，解得. 故答案为：. 15. 如图，三棱锥中， ，点分别是的中点，则异面直线所成的角的余弦值是________． 【答案】 【解析】 【详解】如下图，连结，取中点，连结，，则可知即为异面直 线，所成角（或其补角）易得， ，， ∴，即异面直线，所成角的余弦值为. 考点：异面直线的夹角. 三、解答题：本题共4小题，共49分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16. 天津市某中学高三年级有1000名学生参加学情调研测试，用简单随机抽样的方法抽取了一个容量为50的样本，得到数学成绩的频率分布直方图如图所示： （1）求第四个小矩形的高，并估计本校在这次统测中数学成绩不低于120分的人数； （2）求样本数据的中位数的近似值（保留1位小数）； （3）估计这1000名学生的数学平均分． 【答案】（1）0.028；700. （2）126.7 （3）126.2 【解析】 【分析】（1）设第四个小矩形的高为a，由各矩形的面积之和为1求解；然后再得到数学成绩不低于120分的概率，进而得到其人数； （2）设中位数为x，利用中位数的公式求解； （3）利用平均数公式求解. 【小问1详解】 解：设第四个小矩形的高为a， 则， 解得 ， 则在这次统测中数学成绩不低于120分概率为： ， 所以在这次统测中数学成绩不低于120分的人数为； 【小问2详解】 设中位数为x， 则， 解得； 小问3详解】 这1000名学生的数学平均分为： . 17. 在中，角，，的对边分别为，，，已知． （1）求的值； （2）若，，求的面积． 【答案】（1）；（2）． 【解析】 【分析】（1）在中，由正弦定理化简得，又由，化简得，即可求得的值； （2）在中，由余弦定理，列出关于方程，求得，再利用三角形的面积公式，即可求解． 【详解】（1）由题意，知， 由正弦定理可得， 整理得， 即， 又因为，则，所以， 即， 又因为，所以，解得． （2）在中，由余弦定理可得， 因为，，所以，解得，所以， 则三角形的面积． 【点睛】本题主要考查了正弦定理、余弦定理和三角形的面积公式的应用，其中在解有关三角形的题目时，要抓住题设条件和利用某个定理的信息，合理应用正弦定理和余弦定理李额方程求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题． 18. 如图，直三棱柱中，底面边长AB＝5，BC＝4，AC＝3，侧棱长为，D为BC中点，CE⊥AD，E为垂足． （1）求证：//平面； （2）求证：平面⊥平面； （3）求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）. 【解析】 分析】（1）取的中点，连接，易得，进而即可证得平面； （2）根据条件可证平面，根据平面，所以平面平面； （3）设与平面所成的角为，则，利用条件及勾股定理即可求得相应线段长度及 【详解】（1）取的中点 因为四边形为长方形，所以为的中点， 因为为中点，连接，所以， 又因为平面，平面，所以平面， （2）在直三棱柱中，平面，因为平面， 所以，又因为，， 所以平面， 因为平面，所以平面平面； （3）由（2）可知平面， 所以平面， 设与平面所成的角为，则， 因为为中点，所以，， 所以， 则， 因为，所以， 在中， 所以， ， ， 则． 19. 如图所示，正四棱锥中，为底面正方形的中心，侧棱与底面所成的角的正切值为. （1）求侧面与底面所成的二面角的大小； （2）若是的中点，求异面直线与所成角的正切值； （3）在（2）的条件下，问在棱上是否存在一点，使侧面，若存在，试确定点的位置；若不存在，说明理由. 【答案】（1） （2） （3）存在，是的等分点，靠近点的位置 【解析】 【分析】（1）取中点，连接、，由正四棱锥的性质知为所求二面角的平面角，为侧棱与底面所成的角，设，求出的值，即可得解； （2）依题意连接、，可知为异面直线与所成的角，证明出，计算出、的长，即可求得结果； （3）延长交于，取的中点，连接、，易得平面，可得平面平面，分析出为正三角形，易证平面，取的中点，连接，可得四边形为平行四边形，从而，可得平面，即可得出结论. 【小问1详解】 解：取的中点，连接、， 由正四棱锥的性质可知平面，平面，则， 依条件可知，则为所求二面角的平面角. 面，则为侧棱与底面所成的角，则， 设，则，所以，， 则，因为，故. 【小问2详解】 解：连接、， 所以，为异面直线与所成的角. 平面，平面，则， ，，平面， 又平面，. ，所以，. 【小问3详解】 解：延长交于，则为的中点，取的中点，连接、. 因为，为的中点，则，同理可得， ，故平面， 平面，平面平面， 又，， 所以，为正三角形，为的中点，则， 又因为平面平面，平面平面，平面， 所以，平面， 取的中点，连接， 、分别为、的中点，则且， 因为且，、分别为、的中点，则且， 为的中点，则且，故且， 所以，四边形为平行四边形，则，故平面. 因此，是的等分点，靠近点的位置. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$