精品解析：吉林省长春市第二中学2023-2024学年高二下学期5月期中考试数学试题

2023-2024学年度高二年级下学期第二学程考试数学科试卷 一、单选题（本题共8个小题，每小题5分，共40分） 1. 已知变量x与y的回归直线方程为，变量y与z负相关，则（ ） A. x与y负相关，x与z负相关 B. x与y正相关，x与z正相关 C. x与y负相关，x与z正相关 D. x与y正相关，x与z负相关 2. 在的展开式中，的系数为（ ） A. B. C. 40 D. 80 3. 某市为了解某种农作物的生长情况，抽取了10000株作为样本，若该农作物的茎高X近似服从正态分布且．则该农作物茎高在范围内的株数约为（ ） A. 1000 B. 2000 C. 3000 D. 4000 4. 点是曲线上的点，是直线上的点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 5. 一排有7个空座位，有3人各不相邻而坐，则不同的坐法共有（ ） A. 120种 B. 60种 C. 40种 D. 20种 6. 已知函数在上是单调递增函数，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 8. 为备战乒乓球赛，某体校甲､乙两名主力进行训练，规则如下：两人每轮分别与老师打2局，当两人获胜局数不少于3局时，则认为此轮训练过关；否则不过关.若甲､乙两人每局获胜的概率分别为，，且满足，每局之间相互独立.记甲、乙在轮训练中训练过关的轮数为，若，则从期望的角度来看，甲､乙两人训练的轮数至少为（ ） A. 28 B. 24 C. 32 D. 27 二、多选题（本题共3个小题，每小题6分，共18分） 9. 下列说法正确的是（ ） A. 设有一个经验回归方程＝3－5x，变量x增加一个单位时，y平均增加5个单位 B. 若两个具有线性相关关系的变量的相关性越强，则样本相关系数r的值越接近于1 C. 在残差图中，残差点分布的水平带状区域越窄，说明模型的拟合精度越高 D. 在一元线性回归模型中，决定系数R2越接近于1，说明回归的效果越好 10. 对于函数，下列说法正确的是（ ） A. 若，则函数为奇函数 B. 函数有极值的充要条件是 C. 若函数f（x）有两个极值点，，则 D. 若，则过点作曲线的切线有且仅有3条 11. 一个笼子里关着10只猫，其中有4只黑猫、6只白猫．把笼子打开一个小口，使得每次只能钻出1只猫．猫争先恐后地往外钻，如果10只猫都钻出了笼子，事件表示“第k只出笼的猫是黑猫”，，2，…，10，则（ ） A. B. C. D. 三、填空题（本题共3个小题，每小题5分，共15分） 12. 为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了5次试验，得到5组数据： ，，，，，根据收集到的数据可知，并求得回归直线方程为，则的值为______． 13. 甲袋中有5个白球、7个红球，乙袋中有4个白球、2个红球，从两个袋中任选一袋，从中任取一球，则取到的球是白球的概率为________. 14. 已知实数满足，其中是自然对数的底数，则的值为______． 四、解答题（共77分） 15. 根据以往的统计资料，甲、乙两运动员在比赛中的得分情况统计如下： 甲 X 0 1 2 P 0.1 0.8 0.1 乙 X 0 1 2 P 0.4 0.2 0.4 现有一场比赛，派哪位运动员参加比较好？请写出你的决定，并说明理由． 16. 已知函数（其中），. （1）当时，求函数的图象在点处的切线方程； （2）当时，若恒成立，求的取值范围. 17. 党的十九大报告提出，转变政府职能，深化简政放权，创新监管方式，增强政府公信力和执行力，建设人民满意的服务型政府，某市为提高政府部门的服务水平，调查群众对两个部门服务的满意程度.现从群众对两个部门的评价（单位：分）中各随机抽取20个样本，根据评价分作出如下茎叶图： 从低到高设置“不满意”，“满意”和“很满意”三个等级，在内为“不满意”，在为“满意”，在内为“很满意”. （1）根据茎叶图判断哪个部门的服务更令群众满意？并说明理由； （2）从对部门评价为“很满意”或“满意”的样本中随机抽取3个样本，记这3个样本中评价为“很满意”的样本数量为，求的分布列和期望. （3）以上述样本数据估计总体数据，现在随机邀请5名群众对两个部门的服务水平打分，则至多有1人对两个部门的评价等级相同的概率是多少？（计算结果精确到0.01） 18. 已知函数 （1）讨论的单调性； （2）证明：. 19. 龙泉游泳馆为给顾客更好的体验，推出了A和B两个套餐服务，顾客可选择A和B两个套餐之一，并在App平台上推出了优惠券活动，下表是该游泳馆在App平台10天销售优惠券情况． 日期t 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 销售量千张 1.9 1.98 2.2 2.36 2.43 2.59 2.68 2.76 2.7 0.4 经计算可得：. （1）因为优惠券购买火爆，App平台在第10天时系统出现异常，导致当天顾客购买优惠券数量大幅减少，已知销售量y和日期t呈线性关系，现剔除第10天数据，求y关于t的经验回归方程结果中的数值用分数表示； （2）若购买优惠券的顾客选择A套餐的概率为，选择B套餐的概率为，并且A套餐可以用一张优惠券，B套餐可以用两张优惠券，记App平台累计销售优惠券为n张的概率为，求； （3）记（2）中所得概率的值构成数列. ①求的最值； ②数列收敛的定义：已知数列，若对于任意给定的正数，总存在正整数，使得当时，，（是一个确定的实数），则称数列收敛于.根据数列收敛的定义证明数列收敛． 参考公式： . 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023-2024学年度高二年级下学期第二学程考试数学科试卷 一、单选题（本题共8个小题，每小题5分，共40分） 1. 已知变量x与y的回归直线方程为，变量y与z负相关，则（ ） A. x与y负相关，x与z负相关 B. x与y正相关，x与z正相关 C. x与y负相关，x与z正相关 D. x与y正相关，x与z负相关 【答案】D 【解析】 【分析】根据已知条件，结合回归方程可判断x与y正相关，再由变量y与z负相关，即可判断x与z负相关. 【详解】根据回归方程可知变量x与y正相关，又变量y与z负相关， 由正相关、负相关的定义可知，x与z负相关. 故选：D 2. 在的展开式中，的系数为（ ） A. B. C. 40 D. 80 【答案】A 【解析】 【分析】利用二项式定理写出其通项，求得时，展开式中含有项，代入计算可得结果. 【详解】由二项式的通项为可得， 当，即时，展开式中含有项， 此时， 因此的系数为. 故选：A 3. 某市为了解某种农作物的生长情况，抽取了10000株作为样本，若该农作物的茎高X近似服从正态分布且．则该农作物茎高在范围内的株数约为（ ） A. 1000 B. 2000 C. 3000 D. 4000 【答案】C 【解析】 【分析】根据正态分布的对称性可得，结合题意即可得结果. 【详解】由题意可知：，且， 则， 所以该农作物茎高在范围内的株数约为. 故选：C. 4. 点是曲线上的点，是直线上的点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设与直线平行的直线与曲线相切于点，则两平行线间的距离最小，求出最小值即可. 【详解】设与直线平行的直线与曲线相切于点， 则两平行线间的距离即为的最小值， 因为，所以，解得， 所以，即， 所以曲线的切线为， 由平行线间的距离公式可得的最小值为． 故选：A． 5. 一排有7个空座位，有3人各不相邻而坐，则不同的坐法共有（ ） A. 120种 B. 60种 C. 40种 D. 20种 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，由插空法即可得到结果. 【详解】首先拿出4个空座位，则四个空座位之间一共有5个空位置，包括两端， 从5个空位置中选出3个空位置，即，然后3人全排列为, 所以不同的坐法共有种， 故选:B 6. 已知函数在上是单调递增函数，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】问题转化为在上，恒成立， 【详解】因为函数在是单调递增函数，所以在上，恒成立. 而， 当时，. 设，，则，. 因为，所以， 所以在单调递减，所以. 所以. 故选：B 7. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】构造函数，利用函数的单调性可得出与的大小关系；构造函数，利用函数在上的单调性可判断与的大小关系；构造函数，利用函数在上的单调性结合作商法可判断、的大小，综合可得出结论. 【详解】令，其中，则， 当时，，此时函数单调递减， 当时，，此时函数单调递增， 所以，，即，当且仅当时，等号成立， 所以，， 令，其中，则且不恒为零， 所以，函数在上单调递增，当时，， 所以，当时，，则， 且，构造函数，其中，则， 所以，函数在上单调递增， 故当时，，即， 因为，所以，，因此，. 故选：A. 【点睛】思路点睛：解答比较函数值大小问题，常见的思路有两个： （1）判断各个数值所在的区间； （2）利用函数的单调性直接解答. 数值比较多的比较大小问题也可以利用两种方法的综合应用. 8. 为备战乒乓球赛，某体校甲､乙两名主力进行训练，规则如下：两人每轮分别与老师打2局，当两人获胜局数不少于3局时，则认为此轮训练过关；否则不过关.若甲､乙两人每局获胜的概率分别为，，且满足，每局之间相互独立.记甲、乙在轮训练中训练过关的轮数为，若，则从期望的角度来看，甲､乙两人训练的轮数至少为（ ） A. 28 B. 24 C. 32 D. 27 【答案】D 【解析】 【分析】由题可得甲乙两人通过训练的概率表达式，结合基本不等式及二次函数知识可得两人通过训练概率的最大值，再结合甲、乙在轮训练中训练过关的轮数为满足二项分布，及二项分布期望表达式可得答案. 【详解】由题可得，甲乙两人通过训练的概率为：， 因，由基本不等式，， 当且仅当时，取等号.则 . 又注意到甲、乙在轮训练中训练过关的轮数为满足二项分布，则期望为： ，结合，可得.故D正确. 故选：D 二、多选题（本题共3个小题，每小题6分，共18分） 9. 下列说法正确的是（ ） A. 设有一个经验回归方程＝3－5x，变量x增加一个单位时，y平均增加5个单位 B. 若两个具有线性相关关系的变量的相关性越强，则样本相关系数r的值越接近于1 C. 在残差图中，残差点分布的水平带状区域越窄，说明模型的拟合精度越高 D. 在一元线性回归模型中，决定系数R2越接近于1，说明回归的效果越好 【答案】CD 【解析】 【分析】根据线性回归方程的含义即可判断A，由相关系数以及决定系数的定义即可判断BD，由残差的含义即可判断C. 【详解】A选项，因为＝3－5x，所以变量x增加一个单位时，y平均减少5个单位，故A错误；B选项，线性相关性具有正负，相关性越强，则样本相关系数r的绝对值越接近于1，故B错误； C选项，在残差图中，残差点分布的水平带状区域越窄，说明波动越小，即模型的拟合精度越高，故C正确； D选项，在一元线性回归模型中，决定系数R2越接近于1，说明模型拟合的精度越高，即回归的效果越好，故D正确. 故选：CD 10. 对于函数，下列说法正确的是（ ） A. 若，则函数为奇函数 B. 函数有极值的充要条件是 C. 若函数f（x）有两个极值点，，则 D. 若，则过点作曲线的切线有且仅有3条 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A：利用奇偶性的定义直接判断；对于B：利用极值的计算方法直接求解；对于C：先求出，表示出，即可求出；对于D：设切点，由导数的几何意义得到.设，利用导数判断出函数有三个零点，即可求解. 【详解】对于A：当时，定义域为. 因为， 所以函数不是奇函数.故A错误； 对于B：函数有极值 在上不单调. 由求导得：. 在上不单调在上有正有负. 故B正确. 对于C：若函数f（x）有两个极值点，，必满足，即. 此时，为的两根，所以. 所以. 所以 对称轴，所以当时，. 即.故C正确； 对于D：若时，. 所以. 设切点，则有：， 消去，整理得： 不妨设，则. 令，解得：或；令，解得： . 所以在，上单调递增，在上单调递减. 所以， . 所以作出的图像如图所示： 因为函数有三个零点，所以方程有三个根，所以过点作曲线的切线有且仅有3条.故D正确. 故选：BCD. 11. 一个笼子里关着10只猫，其中有4只黑猫、6只白猫．把笼子打开一个小口，使得每次只能钻出1只猫．猫争先恐后地往外钻，如果10只猫都钻出了笼子，事件表示“第k只出笼的猫是黑猫”，，2，…，10，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据题求得，结合事件表示第只出笼的猫都是黑猫，可判定A错误；利用，可判定B正确；根据条件的概率的计算公式，可判定C、D正确. 【详解】由题意，可得， 对于A中，事件表示第只出笼的猫都是黑猫， 则，所以A错误； 对于B中，事件表示第1只或第2只出笼的猫是黑猫， 则，所以B正确； 对于C中，，所以C正确； 对于D中，表示第1只和第10只猫时黑猫， 可得，所以，所以D正确， 故选：BCD. 三、填空题（本题共3个小题，每小题5分，共15分） 12. 为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了5次试验，得到5组数据： ，，，，，根据收集到的数据可知，并求得回归直线方程为，则的值为______． 【答案】341 【解析】 【分析】计算，代入方程计算得到，得到答案. 【详解】，则， 当时，， 故. 故答案为： 13. 甲袋中有5个白球、7个红球，乙袋中有4个白球、2个红球，从两个袋中任选一袋，从中任取一球，则取到的球是白球的概率为________. 【答案】 【解析】 【分析】设事件A表示“选中甲袋”，B表示“选中乙袋”，C表示“取到的球是白球”， 则，由条件结合全概率公式求结论. 【详解】设事件A表示“选中甲袋”，B表示“选中乙袋”，C表示“取到的球是白球”， 则，，，， 故. 故答案为：. 14. 已知实数满足，其中是自然对数的底数，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】由，得，，构造函数，由函数单调，有，得，可解的值. 【详解】由可得，，即，也即， 由可得，所以，即， 构造函数，在恒成立， 所以函数在定义域上单调递减， 由，得，即， 又因为，得，所以，解得． 故答案为： 四、解答题（共77分） 15. 根据以往的统计资料，甲、乙两运动员在比赛中的得分情况统计如下： 甲 X 0 1 2 P 0.1 0.8 0.1 乙 X 0 1 2 P 0.4 0.2 0.4 现有一场比赛，派哪位运动员参加比较好？请写出你的决定，并说明理由． 【答案】甲 【解析】 【分析】由期望和方差公式分别求出甲乙运动员的期望和方差，再做比较即可. 【详解】甲的期望， 方差； 乙的期望， 方差； 因为甲、乙的期望相等，而方差甲小于乙， 所以甲成绩比较稳定， 所以派甲运动员参加比较好. 16. 已知函数（其中），. （1）当时，求函数的图象在点处的切线方程； （2）当时，若恒成立，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求出，求导，得到，利用导数几何意义求出切线方程； （2）转化为，令，二次求导得到单调性和最小值，求出，得到答案. 【小问1详解】 时，，， ，故， 故函数在点的切线方程为，即 【小问2详解】 时，恒成立， 故， 令，定义域为， 则，令， 则在恒成立， 故在上单调递增， 又， 故当时，，当时，， 故在上单调递减，在上单调递增， ， 所以，的取值范围是. 17. 党的十九大报告提出，转变政府职能，深化简政放权，创新监管方式，增强政府公信力和执行力，建设人民满意的服务型政府，某市为提高政府部门的服务水平，调查群众对两个部门服务的满意程度.现从群众对两个部门的评价（单位：分）中各随机抽取20个样本，根据评价分作出如下茎叶图： 从低到高设置“不满意”，“满意”和“很满意”三个等级，在内为“不满意”，在为“满意”，在内为“很满意”. （1）根据茎叶图判断哪个部门的服务更令群众满意？并说明理由； （2）从对部门评价为“很满意”或“满意”的样本中随机抽取3个样本，记这3个样本中评价为“很满意”的样本数量为，求的分布列和期望. （3）以上述样本数据估计总体数据，现在随机邀请5名群众对两个部门的服务水平打分，则至多有1人对两个部门的评价等级相同的概率是多少？（计算结果精确到0.01） 【答案】（1）A部门，理由见解析； （2）的分布列为： 期望为1； （3）. 【解析】 【分析】（1）通过茎叶图中两部门“叶”的分布即可看出；（2）随机抽取3人，，分别求出相应的概率，即可求出的分布列和期望；（3）求出评价一次两个部门的评价等级不同和相同的概率，随机邀请5名群众，是独立重复实验满足二项分布 根据计算公式即可求出. 【详解】解：（1）通过茎叶图可以看出：A部门的“叶”分布在“茎”的8上， B部门的“叶”分布在“茎”的7上. 所以A部门的服务更令群众满意. （2）由茎叶图可知：部门评价为“很满意”或“满意”的样本数量有个, “很满意”的样本数量有个， 则从中随机抽取3人，， 所以的分布列为： . （3）根据题意可得：A部门“不满意”，“满意”和“很满意”的概率分别为：，，， B部门“不满意”，“满意”和“很满意”的概率分别为：，，. 若评价一次两个部门的评价等级不同的概率为： ， 则评价一次两个部门的评价等级相同的概率为. 因为随机邀请5名群众，是独立重复实验，满足二项分布， 所以至多有1人对两个部门的评价等级相同的概率为： ， 所以至多有1人对两个部门的评价等级相同的概率是. 【点睛】本题考查主要考查茎叶图的集中程度、概率、离散型随机变量的分布列、数学期望的求法、二项分布的求法，属于难题. 18. 已知函数 （1）讨论的单调性； （2）证明：. 【答案】（1）当时，在上单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增. （2）证明：构建， 则， 由可知， 构建， 因为在上单调递增，则在上单调递增， 且， 可知在上存在唯一零点， 当，则，即； 当，则，即； 可知在上单调递减，在上单调递增， 则， 又因为，则，， 可得， 即，所以. 【解析】 【分析】（1）求导可得，分和两种情况，结合导函数的符号判断原函数单调性； （2）构建，，根据单调性以及零点存在性定理分析的零点和符号，进而可得的单调性和最值，结合零点代换分析证明. 【小问1详解】 由题意可得的定义域为，， 当时，则在上恒成立， 可知在上单调递减； 当时，令，解得；令，解得； 可知在上单调递减，在上单调递增； 综上所述，当时，在上单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增. 【小问2详解】 略 19. 龙泉游泳馆为给顾客更好的体验，推出了A和B两个套餐服务，顾客可选择A和B两个套餐之一，并在App平台上推出了优惠券活动，下表是该游泳馆在App平台10天销售优惠券情况． 日期t 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 销售量千张 1.9 1.98 2.2 2.36 2.43 2.59 2.68 2.76 2.7 0.4 经计算可得：. （1）因为优惠券购买火爆，App平台在第10天时系统出现异常，导致当天顾客购买优惠券数量大幅减少，已知销售量y和日期t呈线性关系，现剔除第10天数据，求y关于t的经验回归方程结果中的数值用分数表示； （2）若购买优惠券的顾客选择A套餐的概率为，选择B套餐的概率为，并且A套餐可以用一张优惠券，B套餐可以用两张优惠券，记App平台累计销售优惠券为n张的概率为，求； （3）记（2）中所得概率的值构成数列. ①求的最值； ②数列收敛的定义：已知数列，若对于任意给定的正数，总存在正整数，使得当时，，（是一个确定的实数），则称数列收敛于.根据数列收敛的定义证明数列收敛． 参考公式： . 【答案】（1） （2） （3）①最大值为 ，最小值为； ②证明：对任意总存在正整数，其中 表示取整函数， 当 时，， 所以数列收敛. 【解析】 【分析】（1）计算出新数据的相关数值，代入公式求出的值，进而得到y关于t的回归方程； （2）由题意可知，其中，构造等比数列，再利用等比数列的通项公式求解； （3）①分n为偶数和n为奇数两种情况讨论，结合指数函数的单调性求解； ②利用数列收敛的定义，准确推理、运算，即可得证． 【小问1详解】 解：剔除第10天的数据，可得， ， 则， 所以， 可得，所以. 【小问2详解】 解：由题意知，其中， 所以，又由， 所以是首项为1的常数列，所以 所以，又因为， 所以数列是首项为，公比为的等比数列， 故，所以. 【小问3详解】 解：①当为偶数时，单调递减， 最大值为； 当 为奇数时，单调递增，最小值为， 综上可得，数列的最大值为，最小值为. ②略 【点睛】知识方法点拨：与新定义有关的问题的求解策略： 1、通过给出一个新的定义，或约定一种新的运算，或给出几个新模型来创设新问题的情景，要求在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实心信息的迁移，达到灵活解题的目的； 2、遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、运算、验证，使得问题得以解决. 方法点拨：与数列有关的问题的求解策略： 3、若新定义与数列有关，可得利用数列的递推关系式，结合数列的相关知识进行求解，多通过构造的分法转化为等差、等比数列问题求解，求解过程灵活运用数列的性质，准确应用相关的数列知识. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $