七年级（下）期末考试培优卷-【学霸满分】2023-2024学年七年级数学下册重难点专题提优训练（苏科版）

2023-2024学年七年级下学期期末考试培优卷 （范围：下册全部的内容，时间：120分钟，满分：120分） 一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的） 1．下面一些车标图形中，能够通过基本图形平移得到的图形是（    ） A． B． C． D． 2．是指大气中直径小于或等于 的细颗粒物，也称为可入肺细颗粒物，它对人体健康和大气环境质量有较大的危害．数据用科学记数法表示为（　　） A． B． C． D． 3．下列运算正确的是（　　） A． B． C． D． 4．下列变形不正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 5．解方程组时，甲同学正确解得，乙同学因把写错而得到，则（    ） A． B． C．22 D．29 6．下列命题：①平行于同一条直线的两条直线平行；②不等式无解；③相等的角是对顶角；④将一副直角三角板如图放置，使两直角边重合，则的度数为，其中真命题有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 7．若，则应满足条件 ． 8．写出命题“内错角相等，两直线平行”的逆命题： ． 9．已知三角形的三边长分别是3，4，，则的取值范围是 ． 10．已知关于的二次三项式可分解为，则的值为 ． 11．如图，用个全等的正五边形按如下方式拼接可以拼成一个环状，使相邻的两个正五边形有公共顶点，所夹的锐角为，图中所示的是前个正五边形的拼接情况，拼接一圈后，中间会形成一个正多边形，则的值为 ． 12．已知，则 ． 13．若关于x，y的二元一次方程组的解满足，则k的取值范围是 ． 14．如图， 一块长为米， 宽为米的矩形土地被踩出两条小路 （过，间任意一点作的平行线， 被每条小路截得的线段长都是 2 米） ． 若小路①，②的面积分别为，，则，的大小关系是 ． 15．从，，，，，这六个数中，随机抽取一个数，记为，若数使关于的不等式组无解，那么这六个数中所有满足条件的的值之和是 ． 16．已知关于x，y的二元一次方程组，若不论a为何值，代数式的值都为定值，则k的值为 ，这个定值为 ． 三、解答题（本大题共11小题，17,18每小题7分，19,20,21,22,23,24,25每小题8分，26,27每小题9分，共88分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．计算： (1)； (2)． 18．解下列方程组． (1)； (2)解不等式：，并把它的解集在如图所示的数轴上表示出来． 19．（1）先化简， 再求值∶ ，其中 ； （2）某同学在计算一个多项式乘以时，因抄错运算符号，算成了加上 ，得到的结果是 ，那么正确的计算结果是多少？ 20．学习对复杂多项式进行因式分解时，老师示范了如下例题： 例：因式分解：． 解：设，则原式…………第一步 ……………………………………………………第二步 ……………………………………………………… 第三步 …………………………………………………第四步 完成下列任务： (1)例题中第二步到第三步运用了因式分解的______（填序号） ①提取公因式；        ②平方差公式； ③两数和的完全平方公式；    ④两数差的完全平方公式． (2)请你模仿以上例题分解因式：． 21．如图，在一次课本剧的展演中，两个三角形道具重合在一起，小王把其中一个沿三角形的边所在的直线向右移动，使之平移到三角形的位置． (1)若，，求的长． (2)若，求的度数． 22．某中学为落实《教育部办公厅关于进一步加强中小学生体质管理的通知》文件要求，决定增设篮球、足球两门选修课程，为此需要购进一批篮球和足球．已知购买2个篮球和3个足球需要510元；购买3个篮球和5个足球需要810元． (1)若购买2个篮球和2个足球共需要多少钱； (2)学校计划采购篮球、足球共50个，并要求篮球不少于30个，且总费用不超过5500元，请求出有哪几种购买方案？ 23．已知关于，的二元一次方程组，其中为实数． (1)当时，求方程组的解； (2)求的值（用含的代数式表示）； (3)试说明无论取何数时，代数式的值始终不变． 24．（1）若关于a，b的多项式中不含有项，则的值为______． （2）完 例如：若，，求的值． 解：，，，． ．． ①如图，点是线段上的一点，分别以，为边向直线两侧作正方形，正方形．设，两正方形的面积和为34，则的面积为______； ②若，求的值． 25．阅读材料：利用公式法，可以将一些形如的多项式变形为的形式，我们把这样的变形方法叫做多项式的配方法，运用多项式的配方法及平方差公式能对一些多项式进行因式分解．∵，∴当时，原式有最小值，最小值为．根据以上材料，解答下列问题： (1)利用配方法分解因式：； (2)求多项式的最小值； (3)已知，，是的三边长，且满足求的周长． 26．阅读材料：定义：若关于的一元一次方程的解及解的二倍都在一元一次不等式组的解集范围内，则称这个方程为该不等式组的“完全子方程”．例如：方程的解为，则；不等式组的解集是，可以发现方程的解及都在不等式组的解集的范围内，则称方程是不等式组的“完全子方程”． 请根据以上材料回答下面问题： (1)在方程①；②中，是不等式组的“完全子方程”的是______；（填序号） (2)若方程是不等式组的“完全子方程”，求的取值范围． 27．如图．平分，平分，判断，是否平行，并说明理由．    (1)条件和结论互换，改成了：“如图，平分，平分，，则．" 小明认为这个结论正确，你赞同他的想法吗？请说明理由． (2)小明发现：若将其中一条角平分线改成的垂线，则“”这个结论不成立．请帮小明完成探究： 如图1，，平分，，是与的夹角，是与的夹角， ①若，求的度数； ②试说明：． (3)如图2．若，，平分，请直接写出与的等量关系______． 试卷第4页，共11页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023-2024学年七年级下学期期末考试培优卷 （范围：下册全部的内容，时间：120分钟，满分：120分） 一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的） 1．下面一些车标图形中，能够通过基本图形平移得到的图形是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是利用平移设计图案，熟知图形平移的不变性的性质是解答此题的关键． 根据图形平移的性质即可得出结论． 【详解】解：由图可知，A、B、D不能通过基本图形平移得到，C能够通过基本图形平移得到． 故选：C． 2．是指大气中直径小于或等于 的细颗粒物，也称为可入肺细颗粒物，它对人体健康和大气环境质量有较大的危害．数据用科学记数法表示为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了科学记数法，根据科学记数法：（，为正整数），先确定的值，再根据小数点移动的数位确定的值即可解答，根据科学记数法确定和的值是解题的关键． 【详解】解：， 故选：． 3．下列运算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用同底数幂的除法的法则，幂的乘方的法则，完全平方公式，单项式乘多项式的法则对各项进行运算即可．本题主要考查整式的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握． 【详解】解：A、，故A不符合题意； B、，故B符合题意； C、，故C不符合题意； D、，故D不符合题意； 故选：B． 4．下列变形不正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】考查了不等式的性质，由不等式的性质进行计算并作出正确的判断，应用不等式的性质应注意的问题：在不等式的两边都乘以(或除以)同一个负数时，一定要改变不等号的方向；当不等式的两边要乘以(或除以)含有字母的数时，一定要对字母是否大于0进行分类讨论． 【详解】解：A、若，则，计算正确，故选项不符合题意； B、若，则，计算正确，故选项不符合题意； C、若，则，计算正确，故选项不符合题意； D、若，则，当时，不成立，故选项符合题意； 故选：D． 5．解方程组时，甲同学正确解得，乙同学因把写错而得到，则（    ） A． B． C．22 D．29 【答案】C 【分析】此题考查了二元一次方程组的解，以及二元一次方程组的解法，理解题中方程组的解的含义是解题的关键．将代入方程组可得，即可求出的值，再将代入方程可得，然后解方程组可得，的值，代入计算即可得． 【详解】解：将代入方程组， 得：， 解得：， 将代入方程， 得：， 联立， 解得：， ． 故选：C． 6．下列命题：①平行于同一条直线的两条直线平行；②不等式无解；③相等的角是对顶角；④将一副直角三角板如图放置，使两直角边重合，则的度数为，其中真命题有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了平行，不等式解集，对顶角的概念，几何图形中角度的计算，掌握以上知识是解题的关键． 【详解】解：在同一平面内，平行于同一条直线的两条直线平行；故①错误； 根据“大大小小无解”的取值方法，可得无解，故②正确； 相等的不一定是对顶角，故③错误； 一副直角三角板如图放置，使两直角边重合，如图所示， ∴，则， ∴，故④正确； 综上所述，其中真命题的有②④，共2个， 故选：B ． 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 7．若，则应满足条件 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了零次幂，关键是掌握底数不能为零． 根据零指数幂：可得，解出即可． 【详解】解：∵， ∴， 解得：， 故答案为：． 8．写出命题“内错角相等，两直线平行”的逆命题： ． 【答案】两直线平行，内错角相等 【分析】考查了命题与与逆命题，熟练掌握知识点是解题的关键． 交换原命题的特设与结论即可写出逆命题． 【详解】解：命题“内错角相等，两直线平行”的逆命题：两直线平行，内错角相等， 故答案为：两直线平行，内错角相等． 9．已知三角形的三边长分别是3，4，，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了三角形的三边关系，根据三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边可得答案． 【详解】解：根据三角形的三边关系可得：， 即． 故答案为：． 10．已知关于的二次三项式可分解为，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解的定义，熟练掌握因式分解的定义是解题的关键．利用因式分解定义将变为即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∴，， ∴， 故答案为：． 11．如图，用个全等的正五边形按如下方式拼接可以拼成一个环状，使相邻的两个正五边形有公共顶点，所夹的锐角为，图中所示的是前个正五边形的拼接情况，拼接一圈后，中间会形成一个正多边形，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查正多边形和圆、多边形的内角与外角等知识，由完全拼成一个圆环需要的正五边形为个，则围成的多边形为正边形，利用正五边形的内角与夹角计算出正边的每个内角的度数，然后根据内角和定理得到解方程求解即可．熟练掌握多边形内角和和外角和是解题的关键． 【详解】解：∵正五边形的外角和为， ∴正五边形每个外角的度数为：， ∴正五边形每个内角为：， ∴组成的正多边形的每个内角为：， ∵个全等的正五边形拼接可以拼成一个环状，中间会形成一个正多边形， ∴组成的正多边形为正边形， ∴， 解得：． 故答案为：． 12．已知，则 ． 【答案】 【分析】本题考查非负性，平方差公式，利用非负性求出的值，利用平方差公式和整体思想，代入求值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 13．若关于x，y的二元一次方程组的解满足，则k的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了解二元一次方程组，求一元一次不等式的解集，熟练掌握知识点是解题的关键． 对于，由①+②得到，再由，可得到，解不等式即可． 【详解】解： 由①+②得：， ∵， ∴， 解得：， 故答案为：． 14．如图， 一块长为米， 宽为米的矩形土地被踩出两条小路 （过，间任意一点作的平行线， 被每条小路截得的线段长都是 2 米） ． 若小路①，②的面积分别为，，则，的大小关系是 ． 【答案】＝ 【分析】根据题意可知小路①、②的面积都相当于长为米、 宽为 2 米的长方形的面积 ．本题考查了不规则图形的面积计算， 解题的关键是将不规则图形转化为规则图形 ． 【详解】解：过，间任意一点作的平行线， 被每条小路截得的线段长都是 2 米， （平方米）；（平方米）． ． 故答案为：． 15．从，，，，，这六个数中，随机抽取一个数，记为，若数使关于的不等式组无解，那么这六个数中所有满足条件的的值之和是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解． 解不等式组①和②，可得不等式组的解集为，由不等式组无解，确定出的范围，进而即得出，，，，相加即可． 【详解】解： 解不等式①得：， 解不等式②得： ∴不等式组的解集为， 由不等式组无解，得到， 即，，，， 满足条件的的值之和为， 故答案为：． 16．已知关于x，y的二元一次方程组，若不论a为何值，代数式的值都为定值，则k的值为 ，这个定值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查二元一次方程组的应用，将方程组中的两个方程变形后联立消掉a即可得出结论，将方程组中的两个方程联立消掉是解题的关键． 【详解】解：关于x，y的二元一次方程组， 解得：， 把代入， 得：， 若不论a为何值，代数式的值都为定值， ， 故k的值为， 代入代数式得：， 故答案为：，． 三、解答题（本大题共11小题，17,18每小题7分，19,20,21,22,23,24,25每小题8分，26,27每小题9分，共88分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据零指数幂、绝对值、负整数指数幂、有理数的乘方的运算法则计算即可； （2）根据积的乘方、合并同类项、同底数幂的乘法和除法的运算法则计算即可． 【详解】（1）原式 （2）原式 【点睛】本题主要考查有理数的乘方、合并同类项和整式的乘除，牢记零指数幂、绝对值、负整数指数幂、有理数的乘方、积的乘方、合并同类项、同底数幂的乘法和除法的运算法则是解题的关键． 18．解下列方程组． (1)； (2)解不等式：，并把它的解集在如图所示的数轴上表示出来． 【答案】(1) (2)，数轴见解析 【分析】此题考查了解二元一次方程组和解一元一次不等式，根据加减法和解一元一次不等式的步骤解答即可． （1）利用加减法解方程组即可； （2）利用去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化1的步骤解一元一次不等式，再把解集表示在数轴上即可． 【详解】（1）解： ①＋②得， 解得 把代入①得， 解得 ∴ （2） 去分母得，， 移项合并同类项得， 系数化为1得， 解集在数轴上表示出来如下： 19．（1）先化简， 再求值∶ ，其中 ； （2）某同学在计算一个多项式乘以时，因抄错运算符号，算成了加上 ，得到的结果是 ，那么正确的计算结果是多少？ 【答案】（1），；（2） 【分析】本题主要考查多项式的乘除，熟练运用乘法公式，正确理解题意是解题的关键． （1）先用完全平方公式，平方差公式等去括号，再合并同类项，计算多项式除以单项式，最后化简代入求值； （2）先求出原题的多项式，再根据多项式乘以单项式法则计算． 【详解】（1） 当时，原式 （2）原题多项式为： 原题正确的计算结果是： 20．学习对复杂多项式进行因式分解时，老师示范了如下例题： 例：因式分解：． 解：设，则原式…………第一步 ……………………………………………………第二步 ……………………………………………………… 第三步 …………………………………………………第四步 完成下列任务： (1)例题中第二步到第三步运用了因式分解的______（填序号） ①提取公因式；        ②平方差公式； ③两数和的完全平方公式；    ④两数差的完全平方公式． (2)请你模仿以上例题分解因式：． 【答案】(1)④ (2) 【分析】本题考查了利用完全平方公式进行因式分解．解题的关键在于理解题意并熟练掌握完全平方公式． （1）根据两数差的完全平方公式进行作答即可； （2）根据题干中的解题过程进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意知，第二步到第三步运用了因式分解的两数差的完全平方公式， 故答案为：④ （2）解：， 设， 原式 ． 21．如图，在一次课本剧的展演中，两个三角形道具重合在一起，小王把其中一个沿三角形的边所在的直线向右移动，使之平移到三角形的位置． (1)若，，求的长． (2)若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了平移的性质，平行线的性质，解题关键是掌握平移的性质及平行线的性质． （1）由平移的性质可知，，再根据即可得出答案； （2）由平移的性质得，，，再根据平行线的性质“两直线平行，同位角相等”，“两直线平行，内错角”，即可得． 【详解】（1）解：由平移的性质可知，， ， ． （2）解：沿射线方向平移，得到， ，， ，， ， ． 22．某中学为落实《教育部办公厅关于进一步加强中小学生体质管理的通知》文件要求，决定增设篮球、足球两门选修课程，为此需要购进一批篮球和足球．已知购买2个篮球和3个足球需要510元；购买3个篮球和5个足球需要810元． (1)若购买2个篮球和2个足球共需要多少钱； (2)学校计划采购篮球、足球共50个，并要求篮球不少于30个，且总费用不超过5500元，请求出有哪几种购买方案？ 【答案】(1)420元 (2)共有种购买方案，详情见解析 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组． （1）设篮球的单价是元，足球的单价是元，根据“购买2个篮球和3个足球需要510元；购买3个篮球和5个足球需要810元”列出方程组，进一步求解即可得出答案； （2）设购买个篮球，则购买个足球根据“篮球不少于30个，且总费用不超过5500元列不等式组求出的范围，结合为正整数可得答案． 【详解】（1）解：设篮球的单价是元，足球的单价是元， 根据题意得：， 解得：，              答：购买2个篮球和个足球需要420元． （2）设购买个篮球，则购买个足球， 根据题意得：， 解得：，                又为正整数， 可以为30，31，32，33， 共有种购买方案， 方案：购买30个篮球，20个足球； 方案：购买31个篮球，19个足球； 方案：购买32个篮球，18个足球； 方案：购买33个篮球，17个足球． 23．已知关于，的二元一次方程组，其中为实数． (1)当时，求方程组的解； (2)求的值（用含的代数式表示）； (3)试说明无论取何数时，代数式的值始终不变． 【答案】(1) (2) (3)见解析 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组和方程组的解，解题关键是熟练掌握解二元一次方程组的一般步骤和方程组解的定义． （1）把代入关于，的二元一次方程组得关于，的方程组，解方程组求出，即可； （2）把两个方程相减，求出即可； （3）把方程②①，消去，从而得到的值，从而求出的值即可． 【详解】（1）把代入关于，的二元一次方程组得：， ①②得：， 把代入②得：， 方程组的解为：， 当时，方程组的解为：； （2）， ①②得：， ， ； （3）证明：， ②得：③， ①③得：， ， ， 无论取何数时，代数式的值始终不变． 24．（1）若关于a，b的多项式中不含有项，则的值为______． （2）完 例如：若，，求的值． 解：，，，． ．． ①如图，点是线段上的一点，分别以，为边向直线两侧作正方形，正方形．设，两正方形的面积和为34，则的面积为______； ②若，求的值． 【答案】（1）；（2）①；②11． 【分析】本题考查完全平方公式的变形应用，整式的加减运算，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． （1）将原多项式去括号、合并同类项，令项的系数为0，求出m的值即可； （2）①分别设正方形和的边长分别为未知数，得到二者之和、二者平方之和，从而得到二者之积，进而可求得的面积；②分别用字母表示和，从而得到二者之和、二者之积，计算二者平方之和即可． 【详解】解：（1） ， ∵上述多项式不含有项， ∴， ∴， 故答案为：． （2）①设正方形和的边长分别为a和b，则的面积为； 根据题意，得， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． ②令，，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 25．阅读材料：利用公式法，可以将一些形如的多项式变形为的形式，我们把这样的变形方法叫做多项式的配方法，运用多项式的配方法及平方差公式能对一些多项式进行因式分解．∵，∴当时，原式有最小值，最小值为．根据以上材料，解答下列问题： (1)利用配方法分解因式：； (2)求多项式的最小值； (3)已知，，是的三边长，且满足求的周长． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查因式分解的应用，解题的关键是掌握完全平方差，平方差公式，平方的非负性，即可． （1）根据材料方法，对式子进行因式分解，即可； （2）根据材料下对式子进行因式分解，再根据平方的非负性，即可； （3）根据材料对进行化简，求出，，的值，即可． 【详解】（1）， ， ， ， ． （2）， ， ， ∵， ∴当时，原式有最小值，最小值为． （3）∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴． 26．阅读材料：定义：若关于的一元一次方程的解及解的二倍都在一元一次不等式组的解集范围内，则称这个方程为该不等式组的“完全子方程”．例如：方程的解为，则；不等式组的解集是，可以发现方程的解及都在不等式组的解集的范围内，则称方程是不等式组的“完全子方程”． 请根据以上材料回答下面问题： (1)在方程①；②中，是不等式组的“完全子方程”的是______；（填序号） (2)若方程是不等式组的“完全子方程”，求的取值范围． 【答案】(1)① (2) 【分析】本题考查的是一元一次方程的解法，一元一次不等式组的解法，掌握新定义的含义是解本题的关键； （1）先解两个方程得到方程的解，再解不等式组，得到不等式组的解，再根据新定义的含义判定即可； （2）先解不等式组得到解集为，再由方程可得，，再结合新定义的含义建立不等式组，即可得到答案． 【详解】（1）解：解方程①得： ∴， ∴， 解方程②得： ∴，而， ∵， 解不等式得： ∴， 解不等式得： ∴， 解得： ∴， ∵，都在范围内，不在范围内， 不等式组的“完全子方程”是①． 故答案为：①． （2）∵， 解不等式，得． 解不等式，得． 不等式组的解集是． 解方程，得． 方程是不等式组的“完全子方程”， ，即， 解得； 且，即， 解得． 综上所述，的取值范围是． 27．如图．平分，平分，判断，是否平行，并说明理由．    (1)条件和结论互换，改成了：“如图，平分，平分，，则．" 小明认为这个结论正确，你赞同他的想法吗？请说明理由． (2)小明发现：若将其中一条角平分线改成的垂线，则“”这个结论不成立．请帮小明完成探究： 如图1，，平分，，是与的夹角，是与的夹角， ①若，求的度数； ②试说明：． (3)如图2．若，，平分，请直接写出与的等量关系______． 【答案】(1)，证明见解析；赞同，理由见解析； (2)①，②证明见解析； (3) 【分析】本题考查了平行线的性质、角平分线的定义，熟知两直线平行，同旁内角互补是解答本题的关键． （1）根据角平分线的定义得到的，结合，可得，由此证明；若条件和结论互换，根据两直线平行，同旁内角互补可得，根据角平分线的定义得到的，即可证明； （2）① 先求出，再由两直线平行，同旁内角互补，求出，再根据角平分线的定义求出的度数即可；② 由，得到，再根据平分得到，结合，即可得证； （3）由，得到，再根据平分得到，结合，即可得证； 【详解】（1） 平分，平分，， ， ． 赞同他的说法，理由如下： ， ， 平分，平分， ， （2）①　， ， ，， ， ， ， ， 平分， ． ②　， ， 平分， ， ， ， ， ． （3）， ， 平分， ， ， ， ． 试卷第4页，共11页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$