八年级（下）期末考试培优卷-【学霸满分】2023-2024学年八年级数学下册重难点专题提优训练（苏科版）

2023-2024学年八年级下学期期末考试培优卷 （范围：下册全部的内容，时间：120分钟，满分：120分） 一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的） 1．下列成语所反映的事件中，是确定事件的是（　　） A．十拿九稳 B．守株待兔 C．水中捞月 D．一箭双雕 2．2024年巴黎奥运会是第三十三届夏季奥林匹克运动会，于2024年7月26日至8月11日在法国巴黎举行．下面2024年巴黎奥运会项目图标是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 3．下列化简中，正确的是（    ） A． B． C． D． 4．为了调查我市某校学生的视力情况，在全校的1500名学生中随机抽取了300名学生，下列说法正确的是（　　） A．此次调查属于普查 B．样本容量是300 C．1500名学生是总体 D．被抽取的每一名学生称为个体 5．反比例函数的图象经过点，则下列说法错误的是（    ） A． B．函数图象分布在第二、四象限 C．函数图像关于原点中心对称 D．当时，随的增大而减小 6．已知关于的分式方程的解是非负数，则的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 7．若二次根式有意义，则的取值范围是 ． 8．2024年5月3日下午17时27分，嫦娥六号在我国文昌航天发射场成功发射，这次任务的目标是实现人类首次在月球背面的采样，填补了人类对月球背面探索的历史空白．检查航天器零部件的质量情况，适合采用 调查．（填“全面”或“抽样”） 9．若的值为零，则x的值为 ． 10．连续三次抛掷一枚硬币都是正面朝上，则第四次抛掷，结果正面朝上是 事件（选填“不可能”、“必然”、“随机”）． 11．如图，菱形的对角线与相交于点，为边的中点，连接．若，，则 ． 12．若反比例函数的图象在每一象限内，y的值随x值的增大而减小，则k的值可以是 ．（写出一个即可） 13．若直线与双曲线交于、两点，则的值为 ． 14．用去分母的方法解关于的分式方程时会产生增根，则的值是 ． 15．如图，在正方形中，，点E在边上，连结，将沿翻折，点A的对应点为点F．当直线恰巧经过的中点M时，的长为 ． 16．在中，，，点O是的中点，将绕着点O向三角形外部旋转角时，得到，当恰为轴对称图形时，的值为 ． 三、解答题（本大题共11小题，17,18每小题7分，19,20,21,22,23,24,25每小题8分，26,27每小题9分，共88分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．计算： (1) (2) 18．（1）解方程： （2）先化简，再求值：，其中 19．如图，直线与双曲线在第一象限交于点 (1)求双曲线的函数表达式； (2)已知在双曲线上，求P点的坐标． 20．在一个不透明的盒子里装有颜色不同的黑、白两种球共个，它们除颜色不同外，其余都相同，王颖做摸球试验，她将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中搅匀，经过大量重复上述摸球的过程，发现摸到白球的频率稳定于， (1)请估计摸到白球的概率将会接近______； (2)如果要使摸到白球的概率为，需要往盒子里再放入多少个白球？ 21．某商场销售一批运动鞋，每双进价120元．当销售价格进行调整时，销售数量随销售价格产生变化，部分数据如表： 销售价格x（元） 250 300 销售数量y（件） 24 20 (1)求出符合表格数据的关系式； (2)若商场计划每天的销售利润为2400元，则销售价格应定为多少元？ 22．如图，方格纸中每个小方格都是边长为1个单位的正方形，在建立平面直角坐标系后，的顶点均在格点上，已知三个顶点的坐标分别为、、． (1)画出关于原点对称的； (2)画出以点O为旋转中心，将按逆时针方向旋转后得到的； (3)设为轴上一个动点，且四边形为平行四边形，则点坐标为______ 23．某学校近期开展了“亮眼控肥”系列活动，旨在增强学生爱眼护眼和预防肥胖的意识，使学生在日常生活中保持良好的用眼、饮食和运动习惯．为了了解学生对于“亮眼控肥”知识的掌握情况，该学校采用随机抽样的调查方式，且对收集到的信息进行统计，绘制了下面两幅尚不完整的统计图．      根据以上信息，解答下列问题： (1)在本次调查中，一共抽取了______名学生，请补全频数分布直方图； (2)求扇形统计图中“合格”部分所对应圆心角的度数； (3)若该学校共有学生1600人，请估计该学校学生中“亮眼控肥”知识掌握程度为“合格”和“待合格”的总人数． 24．如图所示，在平面直角坐标系中，点B为x轴负半轴上一点，以为边构造菱形，点C的坐标为，反比例函数 的图象经过点 C，且与边 交于点P． (1)求反比例函数的解析式及A 点坐标； (2)判断点 P 是否为边 的中点，并说明理由． 25．在进行二次根式化简时，我们有时会碰上形如，，的式子，这样的式子我们可以将其进一步化简，，，，这种化简的方法叫做分母有理化，请利用分母有理化解答下列问题： (1)化简：； (2)若a是的小数部分，求的值； (3)比较与的大小． 26．新定义：如果两个实数，使得关于的分式方程的解是成立，那么我们就把实数，组成的数对称为关于的分式方程的一个“关联数对”． 例如：，使得关于的分式方程的解是成立，所以数对就是关于的分式方程的一个“关联数对”． (1)判断下列数对是否为关于的分式方程的“关联数对”，若是，请在括号内打“√”．若不是，打“×”． ①（    ）；②（    ）；③（    ）； (2)若数对是关于的分式方程的“关联数对”，求的值； (3)若数对（且，）是关于的分式方程的“关联数对”，且关于的方程有整数解，求整数的值． 27．如图1，在正方形中，，是对角线上一动点（不与点、重合），连接，作交边或边的延长线于点，以和为邻边构造矩形，连接． (1)线段，的数量关系是_______；位置关系是_______． (2)如图2，当时，求的长． (3)设，，求与之间的函数解析式． 试卷第4页，共11页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023-2024学年八年级下学期期末考试培优卷 （范围：下册全部的内容，时间：120分钟，满分：120分） 一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的） 1．下列成语所反映的事件中，是确定事件的是（　　） A．十拿九稳 B．守株待兔 C．水中捞月 D．一箭双雕 【答案】C 【分析】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念.必然事件指在一定条件下一定发生的事件.不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件.不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念进行解答即可． 【详解】解：A. 十拿九稳是随机事件，不符合题意； B.守株待兔是随机事件，不符合题意； C.水中捞月是不可能事件，是确定事件，符合题意； D. 一箭双雕是随机事件，不符合题意； 故选：C． 2．2024年巴黎奥运会是第三十三届夏季奥林匹克运动会，于2024年7月26日至8月11日在法国巴黎举行．下面2024年巴黎奥运会项目图标是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了中心对称图形的定义：把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，熟练掌握掌握中心对称图形的定义是解题的关键． 根据中心对称图形的定义即可得出答案． 【详解】A.不是中心对称图形，不符合题意； B.是中心对称图形，符合题意； C.不是中心对称图形，不符合题意； D.不是中心对称图形，不符合题意； 故选B． 3．下列化简中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式的加减法以及除法运算，二次根式的性质，据此相关运算法则，进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、，故该选项是错误的； B、，故该选项是错误的； C、，故该选项是错误的； D、，故该选项是正确的； 故选：D． 4．为了调查我市某校学生的视力情况，在全校的1500名学生中随机抽取了300名学生，下列说法正确的是（　　） A．此次调查属于普查 B．样本容量是300 C．1500名学生是总体 D．被抽取的每一名学生称为个体 【答案】B 【分析】本题考查了全面调查与抽样调查，总体、个体、样本、样本容量，总体是指考查的对象的全体，个体是总体中的每一个考查的对象，样本是总体中所抽取的一部分个体，而样本容量则是指样本中个体的数目．我们在区分总体、个体、样本、样本容量，这四个概念时，首先找出考查的对象．从而找出总体、个体．再根据被收集数据的这一部分对象找出样本，最后再根据样本确定出样本容量． 【详解】解：A．以上调查属于抽样调查，原说法错误，故A不符合题意； B．样本容量是300，说法正确，故B符合题意； C．1500名学生的视力情况是总体，原说法错误，故C不符合题意； D．每名学生的视力情况是一个个体，原说法错误，故D不符合题意； 故选：B． 5．反比例函数的图象经过点，则下列说法错误的是（    ） A． B．函数图象分布在第二、四象限 C．函数图像关于原点中心对称 D．当时，随的增大而减小 【答案】D 【分析】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数的性质，根据反比例函数的性质及图象上点的坐标特点对各选项进行逐一分析即可，熟知反比例函数的性质是解答此题的关键． 【详解】解：A、∵反比例函数的图象经过点， 故选项不符合题意； B、 ∴此函数图象的两个分支位于二四象限，故选项不符合题意； C、∵反比例函数的图象关于原点对称，故选项不符合题意； D、∵反比例函数图象的两个分支位于二四象限， ∴当时，随着的增大而增大，故选项符合题意． 故选：D． 6．已知关于的分式方程的解是非负数，则的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 【答案】D 【分析】本题考查了解分式方程，解一元一次不等式，分式有意义的条件，正确的计算是解题的关键． 解分式方程，根据分式方程的解为非负数，进而列出一元一次不等式，结合分式有意义的条件即可求解． 【详解】解：， 去分母得：， 解得：， ∵关于x的分式方程的解是非负数， ∴且， 解得：且， 故选：D． 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 7．若二次根式有意义，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，能根据二次根式有意义的条件得出是解此题的关键． 【详解】解：要使二次根式有意义，必须， 解得：． 故答案为：． 8．2024年5月3日下午17时27分，嫦娥六号在我国文昌航天发射场成功发射，这次任务的目标是实现人类首次在月球背面的采样，填补了人类对月球背面探索的历史空白．检查航天器零部件的质量情况，适合采用 调查．（填“全面”或“抽样”） 【答案】全面 【分析】本题考查主要全面调查与抽样调查，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．根据全面调查与抽样调查的意义进行解答即可． 【详解】解：∵航天器零部件精确度要求高， ∴适合采用全面调查． 故答案为：全面． 9．若的值为零，则x的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的意义和绝对值的意义，熟练掌握分式的意义是解题的关键． 根据题意先得出，再根据分式的意义即可得出答案． 【详解】解：若的值为零， 则且， 解得． 故答案为：． 10．连续三次抛掷一枚硬币都是正面朝上，则第四次抛掷，结果正面朝上是 事件（选填“不可能”、“必然”、“随机”）． 【答案】随机 【分析】本题考查了随机事件的定义，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．根据随机事件的定义即可判断． 【详解】解：∵抛掷一枚硬币可能是正面朝上，也可能是反面朝上， ∴第四次抛掷正面朝上是随机事件． 故答案为：随机． 11．如图，菱形的对角线与相交于点，为边的中点，连接．若，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查菱形的性质、勾股定理、三角形的中位线定理；由菱形的性质得，，，所以，则，根据三角形的中位线定理得，即可求解． 【详解】解：四边形是菱形，对角线与相交于点，，， ，，， ， ， 为的中点，为边的中点， ， 故答案为：． 12．若反比例函数的图象在每一象限内，y的值随x值的增大而减小，则k的值可以是 ．（写出一个即可） 【答案】1（答案不唯一） 【分析】本题考查反比例函数的性质，根据反比例函数的增减性，得到，求出的范围，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：， ∴； ∴k的值可以是； 故答案为：1（答案不唯一）． 13．若直线与双曲线交于、两点，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题是反比例函数与一次函数的交点问题．根据反比例函数和正比例函数均是中心对称图形可知，，代入代数式解题即可． 【详解】解：∵直线与双曲线交于、两点， ∴，， ∴， 故答案为：． 14．用去分母的方法解关于的分式方程时会产生增根，则的值是 ． 【答案】1 【分析】本题考查了分式方程的增根，首先把所给的分式方程化为整式方程，然后根据分式方程有增根，得到，据此求出的值，代入整式方程求出的值即可． 【详解】解：把分式方程去分母得： ， 解得：， 分式方程有增根， ， 把代入中得： ， 解得：， 故答案为：1． 15．如图，在正方形中，，点E在边上，连结，将沿翻折，点A的对应点为点F．当直线恰巧经过的中点M时，的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查正方形的折叠问题，勾股定理，熟练掌握正方形与折叠的性质是解题的关键． 连接，先由勾股定理求出，再由折叠的性质可知：，，则，设，则，由勾股定理得：，即，解得：，即可求解． 【详解】解：连接， ∴正方形中，， ∴， ∵点M是的中点， ∴， 由折叠的性质可知：，， ， 设，则， 由勾股定理得：， ， 解得：， ， 故答案为：． 16．在中，，，点O是的中点，将绕着点O向三角形外部旋转角时，得到，当恰为轴对称图形时，的值为 ． 【答案】或或 【分析】本题考查旋转变换、全等三角形的判定和性质、直角三角形的性质等知识，分三种情形讨论①当时，②当时，③当时，分别利用全等三角形的性质计算即可．解题的关键是学会分类讨论的思想思考问题． 【详解】解：在中，∵，，点O是的中点， ∴， ∴，，， ①如图，当时， 在和中，， ∴， ∴， ∴． ②如图，当时， 同理可证 ∴， ∴． ③如图中，当时， 同理可证， ∴， ∴， 故答案为：或或． 三、解答题（本大题共11小题，17,18每小题7分，19,20,21,22,23,24,25每小题8分，26,27每小题9分，共88分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是二次根式的加减运算，掌握运算法则是解本题的关键； （1）先化简二次根式，再合并同类二次根式即可； （2）先化简二次根式，再合并同类二次根式即可； 【详解】（1）解： ； （2） ． 18．（1）解方程： （2）先化简，再求值：，其中 【答案】（1）；（2）， 【分析】本题考查分式的化简求值、解一元一次方程，熟练掌握运算法则和解一元一次方程的方法是解答本题的关键． （1）根据解一元一次方程的步骤进行计算即可求解； （2）先化简所求式子，再将的值代入化简后的式子计算即可． 【详解】（1）解：方程两边同时乘以12， 得 解得． （2）解：原式 ， 当时，原式． 19．如图，直线与双曲线在第一象限交于点 (1)求双曲线的函数表达式； (2)已知在双曲线上，求P点的坐标． 【答案】(1) (2)或 【分析】此题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，涉及的知识有：一次函数图象上点的坐标特征，反比例函数图象上点的坐标特征，待定系数法确定反比例函数解析式，熟练掌握待定系数法是解本题的关键． （1）由一次函数的解析式求得A的坐标，然后利用待定系数法即可求得双曲线的函数表达式； （2）把代入反比例函数的解析式即可求得a的值，即可求得P点的坐标． 【详解】（1）将点代入得：， ， ， 把点代入得，， 解得， 双曲线解析式为； （2）将代入反比例解析式得：， 整理得：，即， 解得：或， 经检验，和都是方程的解， 则P坐标为或 20．在一个不透明的盒子里装有颜色不同的黑、白两种球共个，它们除颜色不同外，其余都相同，王颖做摸球试验，她将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中搅匀，经过大量重复上述摸球的过程，发现摸到白球的频率稳定于， (1)请估计摸到白球的概率将会接近______； (2)如果要使摸到白球的概率为，需要往盒子里再放入多少个白球？ 【答案】(1) (2)15个 【分析】（1）直接根据频率估计概率，求解即可； （2）设需要往盒子里再放入x个白球，根据概率公式求解即可． 【详解】（1）经过大量重复上述摸球的过程，发现摸到白球的频率稳定于； ∴估计摸到白球的概率将会接近 故答案为：． （2）原有白球： 设需要往盒子里再放入x个白球 根据题意得：，解得：（经检验，是原方程的解） 答：需要往盒子里再放入个白球． 【点睛】本题考查的是根据概率公式求概率，频率估计概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 21．某商场销售一批运动鞋，每双进价120元．当销售价格进行调整时，销售数量随销售价格产生变化，部分数据如表： 销售价格x（元） 250 300 销售数量y（件） 24 20 (1)求出符合表格数据的关系式； (2)若商场计划每天的销售利润为2400元，则销售价格应定为多少元？ 【答案】(1) (2)200元 【分析】本题考查分式方程的实际应用，反比例函数的解析式，理解题目信息，找到等量关系，列出方程是解题的关键，分式方程求解之后记得检验． （1）观察表格数据，发现x与y的乘积保持不变，由此得到反比例函数表达式； （2）设销售价格应定位元，根据利润等于售价减去成本乘以销售数量，由此即可求解； 【详解】（1） ，， x和y成反比例，且， y关于x的函数关系式是； （2）设销售价格应定位元， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意． 答：销售价格应定为200元． 22．如图，方格纸中每个小方格都是边长为1个单位的正方形，在建立平面直角坐标系后，的顶点均在格点上，已知三个顶点的坐标分别为、、． (1)画出关于原点对称的； (2)画出以点O为旋转中心，将按逆时针方向旋转后得到的； (3)设为轴上一个动点，且四边形为平行四边形，则点坐标为______ 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查作图旋转变换、中心对称、平行四边形的性质，熟练掌握旋转的性质、中心对称的性质、平行四边形的性质是解答本题的关键． （1）根据中心对称的性质作图即可； （2）根据旋转的性质作图即可； （3）结合平行四边形的性质可得答案． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：如图，即为所求． ； （3）解：四边形为平行四边形， ，， 点的坐标为． 故答案为：． 23．某学校近期开展了“亮眼控肥”系列活动，旨在增强学生爱眼护眼和预防肥胖的意识，使学生在日常生活中保持良好的用眼、饮食和运动习惯．为了了解学生对于“亮眼控肥”知识的掌握情况，该学校采用随机抽样的调查方式，且对收集到的信息进行统计，绘制了下面两幅尚不完整的统计图．      根据以上信息，解答下列问题： (1)在本次调查中，一共抽取了______名学生，请补全频数分布直方图； (2)求扇形统计图中“合格”部分所对应圆心角的度数； (3)若该学校共有学生1600人，请估计该学校学生中“亮眼控肥”知识掌握程度为“合格”和“待合格”的总人数． 【答案】(1)80；见解析 (2)扇形统计图中“合格”部分所对应圆心角的度数为 (3)400名 【分析】本题考查了条形统计图与扇形统计图信息相关联，求扇形统计图的圆心角，画频数分布直方图，作样本估计总体数量等知识点，从两个统计图中获取信息是关键． （1）根据优秀的频数及其占比可求得抽取的总人数，则可求得良好的频数，进而可补充完整频数分布直方图； （2）由合格的频数及抽取的总人数即可求得其占比，进而求得圆心角的度数； （3）根据“合格”和“待合格”的占比与1600的积，即可估计出“合格”和“待合格”的总人数． 【详解】（1）解：抽取的总人数为：（名）， 则良好的人数为：（名）； 补充的频数分布直方图如下：    故答案为：80； （2）解：，； 即扇形统计图中“合格”部分所对应圆心角的度数为； （3）解：（名）； 即估计该学校学生中“亮眼控肥”知识掌握程度为“合格”和“待合格”的总人数为400名． 24．如图所示，在平面直角坐标系中，点B为x轴负半轴上一点，以为边构造菱形，点C的坐标为，反比例函数 的图象经过点 C，且与边 交于点P． (1)求反比例函数的解析式及A 点坐标； (2)判断点 P 是否为边 的中点，并说明理由． 【答案】(1)反比例函数的解析式为 ，点A的坐标为 (2)点P不是边的中点，理由见解析 【分析】本题考查反比例函数图像和性质，菱形的性质，勾股定理，根据菱形的性质求出点A坐标是解题的关键． （1）利用待定系数法求函数解析式，然后求出菱形的边长，利用菱形的四条边相等得到长，即可解题； （2）根据点A，B的坐标得到中点P的坐标，代入反比例函数解析式检验即可． 【详解】（1）∵点C的坐标为，反比例函数的图象经过点C， ∴． ∴反比例函数的解析式为， 延长 交y轴于点 D． ∵， ∴． ∵点C的坐标为， ∴，． 在中， ， ∴． ∴． ∴点A的坐标为． （2）点 P 不是边 的中点． 理由∶∵A的坐标为，点B的坐标为， ∴由中点公式可得的中点坐标是， ， ∴点P不是边的中点． 25．在进行二次根式化简时，我们有时会碰上形如，，的式子，这样的式子我们可以将其进一步化简，，，，这种化简的方法叫做分母有理化，请利用分母有理化解答下列问题： (1)化简：； (2)若a是的小数部分，求的值； (3)比较与的大小． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了二次根式的乘法与加法、分母有理化等知识点，熟练掌握二次根式的运算法则是解题关键． （1）分子分母同乘以即可得； （2）先根据无理数的估算求出a的值，再代入进行分母有理化即可得； （3）根据题意得到，，然后由即可求解． 【详解】（1）， ， ； （2）， ， 的小数部分是，即， 则 ， ； （3）根据题意得， ， ∵ ∴． 26．新定义：如果两个实数，使得关于的分式方程的解是成立，那么我们就把实数，组成的数对称为关于的分式方程的一个“关联数对”． 例如：，使得关于的分式方程的解是成立，所以数对就是关于的分式方程的一个“关联数对”． (1)判断下列数对是否为关于的分式方程的“关联数对”，若是，请在括号内打“√”．若不是，打“×”． ①（    ）；②（    ）；③（    ）； (2)若数对是关于的分式方程的“关联数对”，求的值； (3)若数对（且，）是关于的分式方程的“关联数对”，且关于的方程有整数解，求整数的值． 【答案】(1)①×；②√；③× (2)； (3)． 【分析】本题考查了新定义，分式方程的解，学生的理解能力以及知识的迁移能力等知识，理解“方程数对”的定义是解题的关键． （1）根据“方程数对”定义分别判断即可； （2）根据“方程数对”定义计算即可； （3）根据“方程数对”定义计算即可． 【详解】（1）解：当，时，分式方程为， 方程无解， ∴①不是关于的分式方程的“方程数对”； 当，时，分式方程为， 解得， ， ②是关于的分式方程的“方程数对”； 当，时，分式方程为， 解得， ， ③不是关于的分式方程的“方程数对”； 故①×；②√；③×； （2）解：数对是关于的分式方程的“方程数对”， ，， ， 解得； （3）解：数对，且，是关于的分式方程的“方程数对”， ，， ， 解得． ∵可化为 ∴， 解得：． 方程有整数解， 整数，即 又，， ．． 27．如图1，在正方形中，，是对角线上一动点（不与点、重合），连接，作交边或边的延长线于点，以和为邻边构造矩形，连接． (1)线段，的数量关系是_______；位置关系是_______． (2)如图2，当时，求的长． (3)设，，求与之间的函数解析式． 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】（1）作于点，于点，根据正方形的性质与判定可得四边形为正方形，结合矩形的性质可得，减去一个公共角可得，即可证明，即可推得矩形是正方形，则有，减去公共角可得，可证，根据全等三角形对应角相等及等腰直角三角形性质即可证明； （2）过点作，交于点，交于点，过点作，交于点，交于点，证明，进而得出四边形是正方形，由（1）可得．设，则，根据，建立方程，即可求解． （3）由结合已知条件得出，则，进而即可求解． 【详解】（1）如图，作于点，于点，   ， 正方形中， ，，平分， 四边形为正方形， ，， 矩形中，， ， 则， 即， 和中 ， ， 矩形是正方形， ，， ， 则， 即， 和中， ， ， 等腰直角中有， ， 即，． 故答案为： （或填相等）；（或填垂直） （2）如图，过点作，交于点，交于点，过点作，交于点，交于点．   四边形是正方形， ，， 四边形，，，是矩形， ，． 对角线平分， ，， ，是等腰直角三角形， 四边形，为正方形， ． ， ． ， ． ， ， ， 四边形是正方形， 由（1）可得． 设，则， ． ， 即， 解得， （3）如图，， ． 又，， ， 即． 【点睛】本题考查的知识点是正方形的判定与性质、矩形的性质、全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质，勾股定理，函数关系式，解题关键是综合运用正方形、矩形、等腰三角形的性质及全等三角形的判定进行推理论证． 试卷第4页，共11页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$